=, grad Z(s) = m n = grad N(s).

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1 Stabltätsprüfung anhand der Übertragungsfunkton (.9) leferte den Zusammenhang zwschen der Gewchtsfunkton g(t) und der Übertragungsfunkton G(s) enes lnearen zetnvaranten Systems G (s) { g ( t)}. Aus den Abschntten.. und.3. st weter bekannt, dass de Übertragungsfunkton G(s) enes lnearen zetnvaranten Systems mt n Specherelementen ene gebrochen ratonale Funkton n. Grades n s st Z ( s) G ( s), grad Z(s) m n grad N(s). N( s) e n Nullstellen des Nennerpolynoms N(s)snd de Pole der Übertragungsfunkton p. ese können reell, enfach und / oder mehrfach oder konjugert komplex paarwese (und des ggf. auch mehrfach) sen. ese Pole können n der lnken Hälfte der komplexen s Ebene legen Re{ p } <, auf der magnären Achse legen Re{ p }, oder n der rechten Hälfte legen Re{ p } >. Be gegebener bzw. bekannter Übertragungsfunkton G(s) kann man de Pole berechnen und hat damt alle Informatonen. a nun glt (sehe (.9)) g (t) - { G ( s)} kann man de Laplacerücktransformaton über de Partalbruchentwcklung von G(s) vornehmen (sehe und.5.). Mt desem Weg gelngt es nun n ganz drekter und enfacher Wese, de o.g. Stabltätsbedngung (7.5.) mt der Lage der Pole p der Übertragungsfunkton G(s) n Verbndung zu brngen und so en gut handhabbares Stabltätskrterum anhand der Übertragungsfunkton genauer: anhand der Lage hrer Pole zu formuleren. as dazu erforderlche Rüstzeug wurde ausführlch n und.5. beretgestellt, und zwar für alle möglchen Fallunterschedungen bezüglch der vorkommenden Pollagen und Velfachheten. Her wollen wr uns auf das Wesentlche beschränken und m Interesse des guten Verstehens für den enfachsten Fall G(s) hat nur reelle, enfache Pole, das Stabltätskrterum ableten. Herfür st folgender Ansatz für de Partalbruchentwcklung von G(s) gültg C G( s), (7.) n s p

2 5 so dass für de Gewchtsfunkton folgt n g( t) C e. (7.7) p t e Gewchtsfunkton g(t) st ene gewchtete Summe von elementaren e Funktonen mt (we angenommen) reellen Exponenten. Snd alle n Pole p negatv, gehen alle elementaren p e Funktonen t e für t gegen Null und folglch st Bedngung (7.5) erfüllt (de Gesamtfläche unter g (t) st endlch). Wäre dagegen en (enzger) Pol p, dann st der zugehörge elementare Telvorgang wegen e ene Konstante C und das recht aus, dass de Fläche unter g (t) für t über alle Grenzen wächst, also (7.5) ncht erfüllt st! Hat G(s) pt mndestens enen postven Pol p >, dann wächst der zugehörge Telvorgang C e n g(t) mt t über alle Grenzen, so dass (7.5) ncht erfüllt st. Also: (7.5) st für den angenommenen Fall sämtlch enfacher reeller Pole von G(s) genau dann erfüllt, wenn alle n Pole p negatv snd, d. h. wenn se alle n der lnken Hälfte der komplexen s Ebene also auf der negatven reellen Achse legen. er Nullpunkt s st dabe ausgeschlossen! as Stabltätskrterum lautet daher: - En lneares zetnvarantes System n. Ordnung dessen Übertragungsfunkton G(s) nur reelle und vonenander verschedene Pole p bestzt st genau dann stabl, wenn sämtlche Pole de Bedngung erfüllen. p <,,,..., n (7.8) Mt den Kenntnssen aus und.5. können auch de weter vorkommenden, o.g. Fälle bezüglch der Lage der Pole von G(s) behandelt und für de Stabltätsprüfung n folgendem grundlegendem Stabltätskrterum zusammengefasst werden (das natürlch (7.8) enschleßt!): Re{ } <,,,... p (7.9) Bedngung (7.9) bedeutet, dass Stabltät genau dann vorlegt, wenn sämtlche Pole der Übertragungsfunkton G(s) des Systems n der lnken Hälfte der komplexen s Ebene legen. Man sagt auch: as Stabltätsgebet enes lnearen zetnvaranten (zetkontnuerlchen) Systems st de offene lnke s Halbebene:

3 e magnäre Achse gehört gemäß (7.9) ncht zum Stabltätsgebet (deshalb offene lnke s-halbebene); se st de Stabltätsgrenze. Um das grundlegende Stabltätskrterum (7.9) praktsch anwenden zu können, müssen zunächst de Pole p der Übertragungsfunkton G(s) durch Nullstellenberechnung hres Nennerpolynoms N(s) explzt ermttelt werden. Bekanntlch st das für Polynome N(s) mt enem Grad n > 3 nur noch numersch möglch. MATLAB betet dazu den Befehl >>roots (N) Bespel: Man prüfe de Stabltät des Systems mt der Übertragungsfunkton s + 4 G ( s). s³ + s² s N ( s) s³ + s² s >> N [ - - ] >>roots (N) ans

4 7 as grundlegende Stabltätskrterum (7.9) st ncht erfüllt; das System st nstabl. e Gewchtsfunkton g (t) - { G ( s)} enthält den zum Pol p 3 gehörenden elementaren Telvorgang C e 3t, der mt t über alle Grenzen wächst und daher st (7.5) ncht erfüllt. Man sprcht her wegen des monotonen Wachsens von C e 3t von monotoner Instabltät. Mt den heute verfügbaren rechentechnschen Hlfsmtteln st de Polynomnullstellenbestmmung auch für Polynome höheren Grades ken Problem mehr; de explzte Berechnung der Pole p von G(s) aus N(s) und Überprüfung der Stabltätsbedngung (7.9) st daher heute de gängge und praxsrelevante Methode der Stabltätsprüfung. ennoch haben auch heute sog. algebrasche Stabltätskrteren, we das Routh Hurwtz Krterum ene Berechtgung für de Stabltätsprüfung; se ermöglchen ene Stabltätsaussage ohne de explzte Berechnung der Pole p nur anhand von Bedngungen, de de Koeffzenten des Nennerpolynoms N(s) der Übertragungsfunkton des Systems erfüllen müssen, damt geschert st, dass N(s) nur Nullstellen m Stabltätsgebet Re{s } < bestzt und damt das System stabl st, also de Pole von G(s) n der lnken s Halbebene legen. er deutsche Mathematker Hurwtz (859 99) hat deses Problem untersucht und das nach hm benannte (Stabltäts-)Krterum bewesen: En Polynom N(s) a n s n +a n- s n a s+a mt a n > hat genau dann nur Nullstellen mt negatven Realtelen, wenn glt: a) notwendge Bedngung a >,,,..., n (7.) b) notwendge und hnrechende Bedngung Hurwtz etermnanten H j >, j,,..., n. (7.) e Hurwtz etermnanten werden aus der Hurwtz Matrx H an an 3 an 5... an an an 4... an an... 3 an an... a ( n, n) (7.) als nordwestlche Hauptabschnttsdetermnanten we angedeutet bestmmt: an an 3,,..., n a. a a an n n n e notwendge Bedngung (7.) st sehr enfach zu überprüfen, nämlch durch Anschauen der Polynomkoeffzenten: Es müssen alle Koeffzenten vorhanden sen und gleches Vorzechen (be der Verenbarung a n > also postves Vorzechen a >,,,,...,n) haben. Ist das ncht erfüllt, weß man schon her, dass mndestens ene Nullstelle von N(s) ncht n Re{s } < legt, das System also nstabl st. es st m obgen Bespel der Fall: a n a 3 >, aber a - und a - bede <! amt st de notwendge Bedngung

5 8 (7.) ncht erfüllt (We wr wssen, legt tatsächlch ene Nullstelle von N(s) n der rechten Halbebene be +3). In desem Fall kann der Stabltätstest berets her abgebrochen werden und de mühsam zu prüfenden notwendg und hnrechenden Bedngungen (7.) müssen gar ncht zum Stabltätsentsched herangezogen werden. Nur n den Fällen, n denen de notwendge Bedngung (7.) erfüllt st, muss man de notwendg und hnrechenden Bedngungen (7.) heranzehen. enn wenn de nur notwendge Bedngung (7.) be enem Polynom N(s) mt enem Grad n 3 erfüllt st, dann kann das Polynom nur Nullstellen n Re{s } < haben, aber es kann auch sen, dass das ncht so st! Aus der Erfüllung der nur notwendgen Bedngung dafür, dass das untersuchte Polynom nur Nullstellen n Re{s } < hat, kann ncht der Schluss gezogen werden, dass das Polynom nur solche Nullstellen hat.

6 9 Bespel: G( s) s N( s) s 4 4 3s³ + s + s³ + s² + s s³ + s² + s Anwendung des grundlegenden Stabltätskrterums (7.9): >>N [ 5 ]; >>roots (N) ans -5,87 -,344 ±,8737j G(s) hat en konjugert komplexes Polpaar n der rechten Halbebene; das durch G(s) beschrebene System st nstabl (und zwar wegen des rechts legenden k.k.p.p. oszllatorsch nstabl). - Anwendung des Hurwtzkrterums: a) Notwendge Bedngung a) (7.) st erfüllt: Alle Koeffzenten a,,,, 3, 4 snd vorhanden und haben gleches (a 4 > ) postves Vorzechen. Anhand der notwendgen Bedngung (7.) st also ken Stabltätsentsched möglch, d. h. es muss nun (7.) herangezogen werden! b) Notwendge und hnrechende Bedngung b) (7.) Bldung der Hurwtz Matrx (her quadratsch vom Format (4,4) gemäß (7.): H 5 5 ( 4, 4) Berechnung der Hurwtz etermnanten: > 3 4 > 5 <!! H 5* 3 8 <! (7.) st ncht erfüllt; es legen ncht alle Nullstellen von N(s) m Stabltätsgebet Re{s } <. Mehr wess man ncht! as System st nstabl. a man be Anwendung des Hurwtz Krterums de Pole selbst ncht kennt und nchts über hre genaue Lage n der s Ebene erfährt, kann man sch m vorlegenden Bespel auch ken Bld über de Art der Instabltät des Systems machen..h. m vorlegenden Fall gbt das Hurwtz-Krterum kenen Aufschluss darüber, dass de Instabltät durch en konjugert komplexes Polpaar n der rechten Halbebene verursacht

7 3 wrd und damt ene sog. oszllatorsche Instabltät des durch G(s) beschrebenen Systems vorlegt. enn zu dem nstablen konjugert - komplexen Polpaar p 3,4,344 ±,8737j n der rechten Halbebene, das wr oben m Zusammenhang mt dem grundlegendem Stabltätskrterum (7.9) explzt berechnet hatten, gehört m Zetberech en aufklngender harmonscher Schwngungsvorgang Ke, 344t sn(, 8737t + ϕ ) bzw. de Lnearkombnaton, 344t k e sn(, 8737t) + ke, 344t cos(, 8737t) (sehe 5.3. und.5.). er postve Realtel δ 344 bewrkt gemäß Anwachsen der Schwngungsampltuden. 3, 4, e 344t, en mt t > Man sprcht daher n enem solchen Fall treffend von oszllatorscher Instabltät des durch G(s) beschrebenen Systems. Alle dese Informatonen lefert das Hurwtz Stabltätskrterum aber ncht! Es lefert nur ene Ja/Nen Entschedung bezüglch der Stabltät. as grundlegende Stabltätskrterum (7.9), be dem man explzt de Lage der Pole von G(s) ermttelt, st n desem Snne nformatver als ene Ja/Nen Entschedung zur Stabltätsprüfung: Aus der Kenntns der Lage der Pole von G(s) n der s Ebene kann man auf den Charakter des Systemverhaltens schleßen (sehe und.5.). Abschleßend soll noch auf zwe Begrffe hngewesen werden. En Polynom N(s) das nur Nullstellen n Re{s } <, also n der lnken s Halbebene hat, nennt man en Hurwtz Polynom und gelegentlch auch en Stabltätspolynom. Im angelsächsschen Sprachraum st en dem Hurwtz Krterum glechwertges algebrasches Stabltätskrterum, das Routh Krterum, verbreteter und gebräuchlcher. e Bedngungen, de de Polynomkoeffzenten a erfüllen müssen, damt geschert st, dass das Polynom N(s) nur Nullstellen n Re{s } < hat, werden her anders formulert als m Hurwtz Krterum. Es entfällt nsbesondere de etermnantenberechnung. Auch ermöglcht das Routh Krterum Aussagen darüber, wevel Nullstellen ggf. ncht n Re{s } < legen. Herzu se auf de Lteratur verwesen.