Mathematik für das Ingenieurstudium

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1 Mathematk für das Ingeneurstudum von Martn Stämpfle, Jürgen Koch 2., aktual. Aufl. Hanser München 2012 Verlag C.H. Beck m Internet: ISBN Zu Inhaltsverzechns schnell und portofre erhältlch be beck-shop.de DIE FACHBUCHHANDLUNG

2 Leseprobe Jürgen Koch, Martn Stämpfle Mathematk für das Ingeneurstudum ISBN (Buch): ISBN (E-Book): Wetere Informatonen oder Bestellungen unter sowe m Buchhandel. Carl Hanser Verlag, München

3 Komplee Zahlen und Funktonen Obwohl berets Leonhard Euler und Johann Carl Fredrch Gauß das Zechen für magnäre Enhet engeführt haben, wurde de Bedeutung der kompleen Zahlen für de Mathematk erst Anfang des 19. Jahrhunderts erkannt. Etwa zetglech fand durch de Erfndung der elektrschen Telegrafe der Ensteg n de elektronsche Nachrchtenübermttlung statt. Dadurch snd wr heute n der Lage, Informatonen mt Telefon, Fernsehen und Computer n Echtzet zu übermtteln. Trotzdem gbt es nach we vor gute Gründe dafür, dass vele Informatonen n ncht elektronscher Form, etwa durch Brefe, Bücher oder Zetschrften übermttelt werden. Mt den reellen und kompleen Zahlen verhält es sch ganz ähnlch. Vele Problemstellungen lassen sch durch komplee Zahlen enfacher beschreben und mthlfe kompleer Zahlen schneller und enfacher lösen. Trotzdem kommt man be ener ganzen he von Problemstellungen n der Mathematk auch ganz gut ohne komplee Zahlen zurecht. Zusammenhang mt kompleen Zahlen treten Begrffe we magnäre Enhet und agnärtel auf. Dadurch gewnnt man lecht den Endruck, dass komplee Zahlen fktve Geblde snd, de kene Bedeutung für de reale Welt haben. Genau das Gegentel st jedoch der Fall. Komplee Zahlen snd genau so real we de reellen Zahlen. An de reellen Zahlen haben wr uns nur schon gewöhnt. De Lebe zu den kompleen Zahlen st mestens kene Lebe auf den ersten Blck. Wer jedoch das Prnzp enmal durchschaut hat, möchte de kompleen Zahlen ne mehr mssen Defnton und Darstellung Wenn n der Mathematk ene neue Zahlenmenge engeführt wrd, muss es dafür enen plausblen Grund geben, sehe Abschntt 1.2. Es stellt sch also de Frage, welche mathematschen Probleme ncht mt reellen Zahlen gelöst werden können. Bem chnen mt reellen Zahlen snd wr mmer weder auf das Problem gestoßen, dass unter der Wurzel kene negatve Zahl stehen darf. Oder anders formulert: Es gbt kene reelle Zahl, deren Quadrat ene negatve Zahl ergbt. De grundlegende Idee der kompleen Zahlen besteht darn, de reellen Zahlen so zu erwetern, dass deses Manko behoben wrd Komplee Zahlen De Bass für de kompleen Zahlen wrd durch de Defnton ener magnären Enhet gelegt. De magnäre Enhet st dadurch gekennzechnet, dass das Quadrat der magnären Enhet 1 ergbt. De magnäre Enhet st somt kene reelle Zahl, sondern etwas Neues.

4 Komplee Zahlen und Funktonen In der Mathematk st es üblch, de komplee Enhet mt zu bezechnen. Um Verwechslungen mt der Abkürzung für de Stromstärke zu vermeden, verwendet man n der Elektrotechnk manchmal de Schrebwese j. Defnton 11.1 (agnäre Enhet) De magnäre Enhet st defnert durch 2 = 1. In Defnton 11.1 haben wr bewusst ncht de Formulerung = 1 gewählt. In Abschntt werden wr klären, we das Wurzelsymbol m Zusammenhang mt kompleen Zahlen zu verstehen st. Ausgehend von der kompleen Enhet defnert man de Menge der kompleen Zahlen. Dabe geht man so ähnlch we be Koordnaten von Punkten oder Vektoren vor. Jede komplee Zahl bestzt ene reelle und ene magnäre Komponente. Defnton 11.2 (Komplee Zahlen) De Menge der kompleen Zahlen st defnert durch C = {z = + y, y R, 2 = 1}. Dabe bezechnet de reelle Zahl den altel (z) und de reelle Zahl y den agnärtel (z) der kompleen Zahl z = + y. De Menge der reellen Zahlen st ene echte Telmenge der kompleen Zahlen. Se besteht aus allen kompleen Zahlen mt agnärtel null. Alle kompleen Zahlen der Form z = y, also alle kompleen Zahlen mt altel null, bezechnet man als ren magnäre Zahlen. Bespel 11.1 (Komplee Zahlen) a) De komplee Zahl z 1 = 1 hat den altel 1 und den agnärtel 1. b) De Zahl z 2 = 2 hat den altel 0 und den agnärtel 2. c) Durch z 3 = 1 wrd ene komplee Zahl mt altel 1 und agnärtel 0 festgelegt Gaußsche Zahlenebene Ene komplee Zahl hat zwe reelle Antele, den altel und den agnärtel. Dabe st unbedngt zu beachten, dass der agnärtel ene reelle Zahl st und de magnäre Enhet ncht enthält. Ene komplee Zahl bestzt zwe unabhängge Komponenten. Deshalb recht zur Darstellung kompleer Zahlen en Zahlenstrahl, we wr es von den reellen Zahlen gewohnt snd, ncht aus.

5 11.1 Defnton und Darstellung 433 Gaußsche Zahlenebene De grafsche Darstellung der Menge der kompleen Zahlen n enem kartesschen Koordnatensystem bezechnet man als Gaußsche Zahlenebene. De horzontale Achse st de reelle Achse und de vertkale Achse de magnäre Achse. De Darstellung durch z = + y bezechnet man als kartessche Form. y 1 1 z =+y Korrekterwese muss de Enhet be der Beschrftung der magnären Achse angegeben werden. An velen Stellen wrd jedoch dese mathematsche Fenhet gnorert und de magnäre Achse ohne de magnäre Enhet beschrftet. Oftmals werden komplee Zahlen n der Gaußschen Zahlenebene ncht nur durch Punkte, sondern durch Pfele dargestellt Polarkoordnaten Für komplee Zahlen haben sch mehrere Darstellungsformen etablert. In kartesschen Koordnaten verwendet man den altel und den agnärtel, um ene komplee Zahl zu beschreben. In Polarkoordnaten betrachtet man den Abstand ener kompleen Zahl vom Ursprung und den Wnkel, den ene komplee Zahl mt der postven reellen Achse bldet. Bem Arbeten mt kompleen Zahlen muss man mt beden Darstellungen vertraut sen. Es gbt Problemstellungen, de sch n kartesscher Form lechter lösen lassen als n Polarkoordnaten. Andere Probleme wederum lassen sch eleganter n Polarkoordnaten lösen. Defnton 11.3 (Betrag ener kompleen Zahl) Der Betrag der kompleen Zahl z st der Abstand von z zum Ursprung. In kartesscher Form glt z = + y z = 2 + y 2. y z = 2 +y 2 1 z =+y Wenn man zusätzlch zum Betrag auch noch enen Wnkel für ene komplee Zahl festlegt, dann st de Zahl dadurch endeutg beschreben. Be kompleen Zahlen wrd der Wnkel bezüglch der postven reellen Achse gemessen.

6 Komplee Zahlen und Funktonen Defnton 11.4 (Argument ener kompleen Zahl) Das Argument der kompleen Zahl z = + y mt z 0 st der Wnkel von z. Es glt: arg(z) = arctan ( y ) für > 0, y bel. arctan ( y ) + π für < 0, y 0 arctan ( y ) π für < 0, y < 0 π 2 für = 0, y > 0 π 2 für = 0, y < 0. y 1 arg(z) z =+y Der Arkustangens lefert Werte zwschen π 2 und π. Abhängg vom Quadranten, ndem 2 de komplee Zahl legt, muss man deshalb be der Wnkelberechnung π adderen oder subtraheren. De Formel zur Berechnung des Wnkels n Defnton 11.4 lefert dadurch Werte m Intervall von ( π, π]. Zahlen auf der postven reellen Achse haben das Argument 0, auf der postven magnären Achse das Argument π, auf der negatven reellen Achse 2 das Argument π und auf der negatven magnären Achse das Argument π 2. Be der kompleen Zahl Null legt ene Ausnahmestuaton vor. Der Zahl Null st ken endeutger Wnkel zugeordnet. Mestens umgeht man deses Problem, ndem man der Zahl Null den Wnkel null zuordnet. Be praktschen Problemstellungen wrd man oft mt Wnkelberechnungen konfrontert. In velen Programmersprachen gbt es deshalb ene erweterte Arkustangensfunkton, de n der gel mt atan2 bezechnet wrd: arg( + y) = atan2(y, ). De Wnkelzuordnung be den kompleen Zahlen hat enen Schönhetsfehler. Bem Wechsel über de negatve reelle Achse sprngen de Wnkelwerte um 2 π. Deser Schönhetsfehler lässt sch genau so weng besetgen we de Datumsgrenze entlang des 180. Längengrads. Defnton 11.5 (Polarform, Polarkoordnaten) De Darstellung ener kompleen Zahl z mt Betrag r und Wnkel ϕ n der Form z = r cos ϕ (z) + r sn ϕ (z) nennt man Polarform. Man bezechnet r und ϕ als Polarkoordnaten von z. y 1 ϕ z =rcosϕ+rsnϕ r

7 11.1 Defnton und Darstellung 435 In Polarkoordnaten snd auch Wnkel außerhalb des Intervalls ( π, π] zulässg. Dabe st zu beachten, dass Wnkel, de sch um en ganzzahlges Velfaches von 2 π unterscheden, be glechem Radus deselbe komplee Zahl darstellen Eponentalform Mtte des 18. Jahrhunderts hat Leonhard Euler enen verblüffenden Zusammenhang zwschen der Kreszahl π, der Eulerschen Zahl e und der magnären Enhet entdeckt: e π = 1. Durch de magnäre Enhet entsteht also ene mathematsche Verbndung zwschen der Wachstumskonstante e und der trgonometrschen Konstante π. Deser Zusammenhang lässt sch auf de e-funkton und de trgonometrschen Funktonen Snus und Kosnus erwetern. Satz 11.1 (Eulersche Identtät) Für jede reelle Zahl ϕ glt de Eulersche Identtät e ϕ = cos ϕ + sn ϕ. Dese Bezehung wrd auch als Satz von Euler oder Euler-Formel bezechnet. Außerdem glt stets e ϕ = 1. De Eulersche Identtät lässt sch mthlfe von Potenzrehen bewesen, sehe Kaptel 8. Durch de Eulersche Identtät und durch Polarkoordnaten ergbt sch de sogenannte Eponentalform ener kompleen Zahl. Defnton 11.6 (Eponentalform) De Darstellung ener kompleen Zahl z mthlfe der Eulerschen Zahl e z = r e ϕ y z =re ϕ nennt man Eponentalform. Dabe snd der Betrag z = r und das Argument arg(z) = ϕ de Polarkoordnaten der kompleen Zahl z. 1 ϕ r De Eponentalform st bem Arbeten mt kompleen Zahlen sehr hlfrech. Insbesondere werden wr de Potenzgesetze aus Satz 1.4 verwenden, um Potenzen und Wurzeln von kompleen Zahlen zu berechnen.

8 Komplee Zahlen und Funktonen Bespel 11.2 (Komplee Zahlen) De komplee Zahl z 1 = 1 + lässt sch von der kartesschen Form n de Eponentalform umrechnen: z 1 = 2, arg(z 1) = arctan 1 1 = π 4. z 2 = 2e 5 π 6 2 z 1 = 2e π 4 De Zahl z 2 = 2 e 5 π 6 lautet n kartesscher Form z 2 = 2 cos 5 π sn 5 π 6 = z 3 = 2e 5 π 6 2 De Zahl z 3 = 2 e 5 π 6 legt m drtten Quadranten. Defnton 11.7 (Konjugert komplee Zahl) De konjugert komplee Zahl z ener kompleen Zahl z erhält man durch Spegeln an der reellen Achse: z = + y z = y z = r e ϕ z = r e ϕ y y r ϕ ϕ z =+y = re ϕ r z = y = re ϕ Manchmal verwendet man auch de Bezechnung z für de konjugert komplee Zahl von z. De Eulersche Identtät besagt, dass man ene e-funkton mt magnärem Eponenten mthlfe von Snus und Kosnus ausdrücken kann. Umgekehrt lassen sch Snus und Kosnus auch mt e-funktonen mt magnären Eponenten darstellen. Dazu betrachten wr de Eulersche Identtät enmal für den Wnkel ϕ und enmal für den Wnkel ϕ. Durch Addton bzw. Subtrakton der beden Identtäten ergbt sch e ϕ = cos ϕ + sn ϕ e ϕ = cos ϕ sn ϕ e ϕ + e ϕ = 2 cos ϕ e ϕ = cos ϕ + sn ϕ e ϕ = cos ϕ sn ϕ e ϕ e ϕ = 2 sn ϕ Satz 11.2 (Darstellung von Snus und Kosnus durch komplee e-funktonen) Der Snus und der Kosnus lassen sch für jede reelle Zahl ϕ mthlfe von e-funktonen mt magnären Eponenten darstellen: cos ϕ = e ϕ + e ϕ 2 sn ϕ = e ϕ e ϕ 2