6. Elektrische Wechselgrössen

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1 Grundlagen der Elektrotechnk GE 2 [Buch GE 2: Seten 72-14] Grundbegrffe Wechselgrössen Perodsche Wechselgrössen Lnearer und quadratscher Mttelwert Der Effektvwert Bezugspfele Verallgemenerte Zetfunktonen Grundbegrffe I Glech- und Wechselgrössen Konventonen und Symbole: 6. Elektrsche Wechselgrössen postv Bezugspfel? (später) Glechgrössen negatv Wechselgrössen allgemene Wechselgrösse werden als Zetfunktonen dargestellt. Glechgrössen werden mt grossen Buchstaben gekennzechnet. Wechselgrössen werden mt klenen Buchstaben gekennzechnet. 1

2 Grundbegrffe II Perodsche Wechselgrössen (1) Bespel enes perodschen Wechselstroms: () t I = () t Perodendauer «perodsch»: 2 3 t t t 1 2 t 1 + t 2 + t ()= t+ ( )= t+ =±1, ± 2, Frequenz: f = 1 Hz : Glechstrom 1 PHz : Lcht (UV) [ f ]= s 1 = Hz (Hertz) Grundbegrffe III Perodsche Wechselgrössen (2) Lnearer Mttelwert: () t I = () t Q : transporterte Ladung Lnearer Mttelwert 2 3 t t t 1 2 t 1 + t 2 + = 1 Q Lnearer Mttelwert: = 1 t + t ()dt = t : = : Mschgrösse rene Wechselgrösse 2

3 Grundbegrffe IV Perodsche Wechselgrössen (3) Quadratscher Mttelwert und Effektvwert: (A) In Wärme umgesetzte Lestung: pt ()= R() t 2 p = 1 pt ()dt = = R 1 t ()2 dt (B) Bem Glechstrom: Momentanlestung pt ()= p = RI 2 Grundbegrffe V Perodsche Wechselgrössen (3) Quadratscher Mttelwert und Effektvwert: Frage: We gross darf en Glechstrom sen, damt er an enem Wderstand m zetlchen Mttel de gleche Wärme umwandelt we der belebge, perodsche Wechselstrom? RI 2 =! R 1 t ()2dt = R I 2 (C) Der quadratsche Mttelwert: I 2 = 1 t ()2 dt 3

4 Grundbegrffe VI Perodsche Wechselgrössen (3) Quadratscher Mttelwert und Effektvwert: (D) Der Effektvwert: A 2 A I eff = I 2 = 1 t ()2 dt Antwort: De Stromstärke des äquvalenten Glechtroms, welcher de gleche Verlustlestung am Wderstand umsetz, we en belebger, perodscher Wechselstrom hesst: Effektvwert. A 2 > A Merke: I eff Grundbegrffe VII Perodsche Wechselgrössen (4) Der Glechrchtwert: A 2 A (E) Der lneare Mttelwert des Absolutbetrages: = 1 t ()dt Der lneare Mttelwert der Absolutbetrages hesst auch Glechrchtwert. Es st der lneare Mttelwert der Wechselgrösse, be welcher alle negatven Antele «hochgeklappt» (glechgerchtet) wurden. Merke: I eff 4

5 Grundbegrffe VIII (1) Bezechnungen: ut ()= û cos( t + u ) = 2 f = 2 [ ]= 1s normerte Zet = Phase û : Schetelwert Nullphasenwnkel u = Verschebung des Nullpunktes : Kresfrequenz u : Nullphasenwnkel Grundbegrffe IX (2) Zum Nullphasenwnkel: cos( t + u )= cos t 2 u = 4 = 2 = sn t Beträgt der Nullphasenwnkel der Spannung gerade /2, was ener Verschebung um ene Vertelperode entsprcht, dann ergbt sch ene Snusfunkton als Zetabhänggket. Es besteht zwschen cosnus- und snusförmgen Zetfunktonen ken prnzpeller Untersched. In der Wechselstromlehre wr deshalb an Stelle der Cosnusfunkton auch oft ene snusförmge Zetabhänggket angenommen. So z.b. n den ausgezechneten Lehrbüchern aus der ehemalgen DDR (cf. E. Phlppow oder K. Lunze)

6 Grundbegrffe X (3) Zwe Wechselgrössen mt unglechen Schetelwerten und Nullphasenwnkeln: u 1 u 2 ()= t û 2 cos( t + u2 ) ut ()= u 1 ()+ t u 2 () t ()= t û 1 cos t + u1 Frage: Was ergbt de Addton der beden Wechselgrössen genau? (A) Das Addtonstheorem des Wnkelarguments: cos( t ± u )= cos( t)cos( u ) sn( t)sn( u ) (B) Das Addtonstheorem angewandt auf de Wechselspannungen: u 1 u 2 ()=û t 1 cos( t + u1 )=û 1 cos( t)cos( u1 )û 1 sn( t)sn u1 ()=û t 2 cos( t + u2 )=û 2 cos( t)cos( u2 )û 2 sn( t)sn u2 Grundbegrffe XI (3) Zwe Wechselgrössen mt unglechen Schetelwerten und Nullphasenwnkeln: (C) Addton der Wechselspannungen: ut ()= u 1 ()+ t u 2 ()= t û 1 cos( t + u1 )+ û 2 cos( t + u2 ) { û 1 cos( u1 )+ û 2 cos( u2 )}cos( t) = { û 1 sn( u1 )+ û 2 sn u2 }sn t = { A} cos( t) { B}sn( t) = { û cos( u )} cos( t) { û sn( u )}sn t = ûcos t + u zusammengefasst neu nterpreteren Ergbt wederum ene cosnusförmge Zetabhänggket

7 Grundbegrffe XII (3) Zwe Wechselgrössen mt unglechen Schetelwerten und Nullphasenwnkeln: (D) Koeffzentenverglech: { û cos( u )}= û 1 cos( u1 )+ û 2 cos u2 { û sn( u )}= û 1 sn( u1 )+ û 2 sn( u2 ) { } { } Quadreren und adderen Dvderen û = û 2 1 +û û 1 û 2 cos u1 u2 û u = arctan 1 sn( u1 )+ û 2 sn u2 û 1 cos( u1 )+ û 2 cos u2 Grundbegrffe XIII (4) Bespel: «Zwe Wechselgrössen mt unglechen Nullphasenwnkeln» (E) Bespel: u 1 u 2 û 1 = û 2 = û u1 = u2 = 2 ()= t û 2 sn( t) ()= t û 1 cos t ut ()= 2 ûcos( t 4 ) 7

8 Grundbegrffe XIV (5) Zwe Wechselgrössen mt unglechen Kresfrequenzen: u 1 u 2 ()= t ûsn t ()= t û sn 2t 2 De resulterende Spannung st ncht mehr snus- oder cosnusförmg aber trotzdem perodsch! Grundbegrffe XV (6) Der lneare Mttelwert: ut ()= rene Wechselgrösse! x = t + u dx = dt Berechnung gemäss Fole 21: ut ()= 1 t + ut ()dt t = û cos ( t + u )dt = û 2 = û sn x 2 cos( x)dx 2 = 8

9 Grundbegrffe XVI (7) Der Effektvwert: Berechnung gemäss Fole 213: U eff = 1 ut ()2 dt = û 2 cos ( t + u ) 2 dt U eff = û2.77û Der Effektvwert der snusförmgen Spannung = 1 û2 2 = û2 Grundbegrffe XVII (8) Der Glechrchtwert: Berechnung gemäss Fole 214: ut ()= 2û.637û u := De Integraton über ene Perode st unabhängg vom Nullphasenwnkel! Der Glechrchtwert der snusförmgen Wechselspannung ut ()= 1 ut ()dt = 2 = 2 = 2û û cos( t)dt û cos( t)dt + 4 sn( t) 4 = 2û

10 Grundbegrffe XVIII Wechselgrössen und Bezugspfele Bespelschaltung: Alle Wechselgrössen lassen sch daraus auch für andere Zeten t = t 1 drekt bestmmen. Frage: We st der Bezugspfel ener Wechselgrösse zu defneren, wenn m Zetverlauf sowohl postve als auch negatve Werte vorkommen? Bezugspfel der Urspannung: Wrd defnert für den Zetpunkt t = : Der Bezugspfel soll dann n de Rchtung des postven Lnenntegrals der elektrschen Feldstärke zegen. Der Rest folgt der Verbraucherpfelregelung. Verallgemenerte Zetfunktonen I Der gedämpfte snusförmge Zetverlauf Bespel: «Exponentell abklngende Snusfunkton» De gedämpfte Schwngung geht asymptotsch gegen Null. De angefachte Schwngung geht gegen Unendlch. Dese verallgemenerten Snusbzw. Cosnusfunktonen snd häufge Lösungen von Netzwerkproblemen. Dese Funktonen snd ncht mehr perodsch! Allgemen: ut ()= 1Ve.3t s 2 sn ( t) 2s Dämpfungs- bzw. Wachstumskoeffzent ut ()=ûe t cos t + u > :angefachte Schwngung < :gedämpfte Schwngung 1

11 Verallgemenerte Zetfunktonen II Komplexe Wechselgrössen Komplexe Darstellung der verallgemenerten Cosnusfunkton: ut ()=ûe t cos( t + u ) Verallgemenerten Cosnusfunkton (Fole 226) (A) Eulersche Formel: e jx = cos( x)+ jsn( x) cos( x)= Re e jx (B) Zum Real- und Imagnärteltel: Re{ z}= 1 z + z * 2 Im z { }= 1 2 j { } sn x * ( z z ) z (C) Komplexe Darstellung der verallgemenerten Cosnusfunkton: ut ()= Re ûe t e j ( t + u ) { }= 1 2 ûe t e j t + u { } = Im e jx + ûe t e j ( t + u ) Verallgemenerte Zetfunktonen III Komplexe Wechselgrössen Komplexe Darstellung der verallgemenerten Cosnusfunkton: (C) Komplexe Darstellung der verallgemenerten Cosnusfunkton: ut ()= Re ûe t e j ( t + u ) { }= 1 2 ûe t e j t + u Konventon E-echnk: postven Antel nehmen! (D) Komplexe Spannung: + jt = ûe t e j ( t + u ) ( ()+ ut ) ()* ut ut ()= ûe j u e t e j t = ûe j u est ut s = + j s : komplexe Frequenz ut () : komplexe Spannung ûe j u : komplexe Ampltude hat zwemal den ähnlchen Informatonsgehalt! { ()} ()= Re ut 11

12 Verallgemenerte Zetfunktonen IV Komplexe Wechselgrössen Komplexe Darstellung der verallgemenerten Cosnusfunkton: (D) Komplexe Spannung: ()= ûe j u est = û e st û = ûe j u : komplexe Ampltude ut û = ûe j u u = arg{ û} u = e j u = û s = + j : komplexe Frequenz (E) Komplexe zetunabhängge Ampltude: û = û e jarg{ û} = ûe j u = û u Betrag Argument De komplexe Amltude st her mt dem Schetelwert û verknüpft. De komplexe Ampltude lesse sch auch mt dem Effektvwert U verknüpfen, wobe dann gelten muss: Versor (les: «Versor Ph u» ut ()= ûe st = 2 U e st Verallgemenerte Zetfunktonen V Zusammenfassung und Ausblck -23- Snusförmge Wechselgrössen lassen sch ohne Enbusse der Allgemenhet als drehende, komplexe Ampltuden n der komplexen Ebene (Gausssche Zahlenebene) auffassen. Dese kompakte Darstellung von elektrschen Wechselgrössen defnert ene egene heore. Dese hesst komplexe Wechselstromrechnung. De komplexe Darstellung st en Modell; nur der jewelge Realtel (oder Imagnärtel) bestzt enen Realtätsstatus. De komplexe Wechselgrösse stellt ene zetabhängge Lösung enes Netzwerkproblems dar; deren rechtsdrehende Ampltude aber auch, und de Summe der beden auch. 12