Modellierung von Hydrosystemen Numerische und daten-basierte Methoden 2018 Finite-Elemente-Methode Selke-Modell

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1 Modellerung von Hydrosystemen Numersche und daten-baserte Methoden 2018 Fnte-Elemente-Methode Selke-Modell Olaf Koldtz *Helmholtz Centre for Envronmental Research UFZ 1 Technsche Unverstät Dresden TUDD 2 Centre for Advanced Water Research CAWR Dresden Olaf Koldtz - Modellerung von Hydrosystemen // Fnte-Elemente-Methode / 31

2 Lecture Table of Contents mplztes Verfahren - Grunddee mplzte FD Glechungen Implementerung Testbespel Olaf Koldtz - Modellerung von Hydrosystemen // Fnte-Elemente-Methode / 31

3 Wr haben uns sehr ntensv mt der Methode der fnten Dfferenzen beschäftgt. Be der Enführung der numerschen Berechnungsmethoden n der Hydronformatk II Veranstaltung haben wr gesehen, dass es en ganzes Arsenal von Verfahren gbt (Abb. 2.1, Hydronformatk II Skrpt), welche für bestmmte Problemstellungen geegnet oder ungeegnet snd. In den Vsualserungsübungen m VISLab werden wr sehen, dass FD Verfahren Grenzen haben, wenn es um de exakte Beschrebung komplexer Geometren geht. Her snd Verfahren m Vortel, de sogenannte unstrukturerte Rechengtter benutzen können. Herzu zählt z.b. de Fnte Elemente Methode, mt der wr uns nun etwas näher beschäftgen möchten. De Abb. 1 zegt uns en aktuelles Bespel aus enem Forschungsvorhaben zusammen mt der Bundesanstalt für Geowssenschaften und Rohstoffe (BGR) n Hannover Olaf Koldtz - Modellerung von Hydrosystemen // Fnte-Elemente-Methode / 31

4 ../../SCRIPT/fgures/grmsel_frac_msh.PNG Olaf Koldtz - Modellerung von Hydrosystemen // Fnte-Elemente-Methode / 31

5 - Motvaton Fgure: Bodensäulenmodell zur Erläuterung der FE Methode nach Istok (1989) Olaf Koldtz - Modellerung von Hydrosystemen // Fnte-Elemente-Methode / 31../../SCRIPT/fgures/fem1.png

6 - Konzept Wr betrachten en 1D statonäres Grundwasserströmungsproblem. ( ) h K x = 0 (1) x x En Näherungsverfahren wrd uns ene Näherungslösung ĥ lefern, welche de Blanzglechung (1) ncht mehr ganz korrekt erfüllt. ( ) ĥ K x = R(x) 0 (2) x x Olaf Koldtz - Modellerung von Hydrosystemen // Fnte-Elemente-Methode / 31

7 Dabe st R(x) der Fehler, das sogenannte Resduum. Das Resduum kann n den verschedenen Gtterpunkten, unterschedlche Wert R R annehmen. Am Knoten 3 hängen de Elemente (2) und (3) (Abb. 2). Daher ergbt sch das Resduum m Knoten 3 aus den Elementwerten we folgt. R 3 = R (2) 3 + R (3) 3 (3) Olaf Koldtz - Modellerung von Hydrosystemen // Fnte-Elemente-Methode / 31

8 Ohne Beschränkung der Allgemenhet können wr für eden Knoten, das Resduum we folgt schreben. R = p e=1 R (e) (4) Dabe st p de Anzahl der Elemente, de am Knoten angebunden snd. Olaf Koldtz - Modellerung von Hydrosystemen // Fnte-Elemente-Methode / 31

9 Der Elementbetrag zum Resduum lässt sch we folgt berechnen. ( ) x e R (e) = N (e) x e K x (e) 2 ĥ (e) x 2 dx (5) Dabe st N (e) W (x) ene Interpolatonsfunkton auf dem Element (e) (Abb. 3). Olaf Koldtz - Modellerung von Hydrosystemen // Fnte-Elemente-Methode / 31

10 ../../SCRIPT/fgures/fem3.png Olaf Koldtz - Modellerung von Hydrosystemen // Fnte-Elemente-Methode / 31

11 De gleche Bezehung lässt sch den anderen Element-Knoten schreben. (e) ( ) x R (e) = N (e) x (e) K x (e) 2 ĥ (e) x 2 dx (6) Olaf Koldtz - Modellerung von Hydrosystemen // Fnte-Elemente-Methode / 31

12 De lnearen Interpolatonsfunktonen für 1D Elemente snd N (e) (x) = x (e) x L (e), N (e) (x) = x x (e) L (e) (7) Olaf Koldtz - Modellerung von Hydrosystemen // Fnte-Elemente-Methode / 31

13 De approxmerte Feldgröße h kann nun we folgt auf dem 1D fnten Element nterpolert werden (Abb. 3). ĥ (e) (x) = N (e) = x (e) L (e) h + N (e) x h h + x x (e) L (e) h (8) Olaf Koldtz - Modellerung von Hydrosystemen // Fnte-Elemente-Methode / 31

14 ../../SCRIPT/fgures/fem4.png Fgure: Interpolerte Näherungslösung auf enem 1D Element nach Istok (1989) Olaf Koldtz - Modellerung von Hydrosystemen // Fnte-Elemente-Methode / 31

15 Jetzt stoßen wr auf en ernsthaftes Problem. In den Glechungen (5) und (6) müssten wr Abletungen zweter Ordnung berechnen, unsere Interpolatonsfunktonen snd aber lnear - also exsteren kene zweten Abletung - was tun? Wr machen ene mathematschen Trck n desen Glechungen. En partelle Integraton von (5) ergbt. x e = x e K (e) x N (e) x x e x e ĥ (e) x N (e) ( K (e) x dx + N(e) ) 2 ĥ (e) x 2 dx (9) K (e) x ĥ (e) x x e x e Olaf Koldtz - Modellerung von Hydrosystemen // Fnte-Elemente-Methode / 31

16 We können wr de Umformung n Glechung (10) überprüfen? Der zwete Term auf der rechten Sete von (10) N (e) K x (e) ĥ (e) x x e x e (10) entsprcht der Vorgabe von Werten auf den Randknoten x e und x e des Elements (e). Handelt es sch um enen Randknoten, dann geht es um Randbedngungen. Olaf Koldtz - Modellerung von Hydrosystemen // Fnte-Elemente-Methode / 31

17 Um welchen Randbedngungstypen handelt es be (10)? Welche Randbedngung st es, wenn der Wert von (10) glech Null st? Was passert mt nneren Knoten? Olaf Koldtz - Modellerung von Hydrosystemen // Fnte-Elemente-Methode / 31

18 Nun setzen wr de Bezehung (10) n de Glechung (5) en und erhalten. R (e) = x e x e x e = x e N (e) ( K (e) x K (e) x N (e) x ) 2 ĥ (e) x 2 dx ĥ (e) x dx + N(e) K (e) x ĥ (e) x x e x e (11) Olaf Koldtz - Modellerung von Hydrosystemen // Fnte-Elemente-Methode / 31

19 Jetzt müssen wr uns um ĥ(e) / x kümmern. ĥ (e) x = ( x N (e) ) h + N (e) h = N(e) x h + N (e) x h (12) Olaf Koldtz - Modellerung von Hydrosystemen // Fnte-Elemente-Methode / 31

20 Nach Ensetzen der Interpolatonsfunktonen erhalten wr schleßlch. ĥ (e) x = 1 L (e) ( h + h ) (13) Olaf Koldtz - Modellerung von Hydrosystemen // Fnte-Elemente-Methode / 31

21 Für de Abletungen der lnearen Interpolatonsfunktonen folgt. N (e) = x (e) x x x L (e) = 1 L (e) (14) N (e) x ( ) = x x (e) x L (e) = 1 L (e) (15) Olaf Koldtz - Modellerung von Hydrosystemen // Fnte-Elemente-Methode / 31

22 Setzen wr etzt de Bezehungen n de Glechung (11) en, ergbt sch. x e ( R (e) = K x (e) 1 ) ( ) 1 L (e) L (e) ( h + h ) x e = K x (e) L (e) (h h ) (16) In glecher Wese bekommen wr. R (e) = K x (e) L (e) ( h + h ) (17) Olaf Koldtz - Modellerung von Hydrosystemen // Fnte-Elemente-Methode / 31

23 Bede Glechungen (16) und (17) lassen sch zusammen n ener Matrzen-Form schreben. { R (e) R (e) } = K x (e) L (e) [ +1 ] 1 } 1 +1 {{ } 2 2 { h h } (18) Olaf Koldtz - Modellerung von Hydrosystemen // Fnte-Elemente-Methode / 31

24 Letfähgketsmatrx [K (e) ] = K x (e) L (e) [ +1 ] 1 } 1 +1 {{ } 2 2 (19) Olaf Koldtz - Modellerung von Hydrosystemen // Fnte-Elemente-Methode / 31

25 Aufgrund der Elementgeometren L (e) (Abb. 2) ergeben sch folgende Elementmatrzen. [ ] [ ] [K (1) +1/2 1/2 ] =, [K (2) +1 1 ] = 1/2 +1/ [ ] [ ] +1/3 1/3 +1/3 1/3 K (3) =, [K 1/3 +1/3 (4) ] = 1/3 +1/3 (20) Olaf Koldtz - Modellerung von Hydrosystemen // Fnte-Elemente-Methode / 31

26 Zusammenbauen des Glechungssystems. {R} = [K]{h} = 0 (21) {R} = R 1 R 2 R 3 R 4 R 5, {h} = h 1 h 2 h 3 h 4 h 5 (22) [K] = [K (1) ] + [K (2) ] + [K (3) ] + [K (4) ] (23) Olaf Koldtz - Modellerung von Hydrosystemen // Fnte-Elemente-Methode / 31

27 [K] = = 1/2 1/ / / /3 1/ /3 1/3 + 1/3 1/ /3 1/3 1/2 1/ /2 3/ /3 1/ /3 2/3 1/ /3 1/3 (24) Olaf Koldtz - Modellerung von Hydrosystemen // Fnte-Elemente-Methode / 31

28 1/2 1/ /2 3/ /3 1/ /3 2/3 1/ /3 1/3 h 1 h 2 h 3 h 4 h 5 = (25) Olaf Koldtz - Modellerung von Hydrosystemen // Fnte-Elemente-Methode / 31

29 - Implementerung Verglechen wr de Quelltexte der man Funktonen für FD und FE Verfahren, sehen wr kaum Unterschede. Das hesst de Abläufe (Algorthmen) snd sehr ähnlch. Olaf Koldtz - Modellerung von Hydrosystemen // Fnte-Elemente-Methode / 31

30 extern vod Gauss(double*,double*,double*,nt); nt man() { // FEM* fem = new FEM(); fem->setintalcondtons(); fem->setboundarycondtons(); // nt tn = 10; for(nt t=0;t<tn;t++) { fem->assembleequatonsystem(); Gauss(fem->matrx,fem->vecb,fem->vecx,fem->IJ); fem->savetmestep(); fem->outputresults(t); } // return 0; } Olaf Koldtz - Modellerung von Hydrosystemen // Fnte-Elemente-Methode / 31