Grundbildung Lineare Algebra und Analytische Geometrie (LPSI/LS-M2) SoSe C. Curilla/ B. Janssens

Transkript

1 Fchberech Mthemtk Algebr und Zhlentheore Chrstn Curll Grundbldung Lnere Algebr und Anltsche Geometre (LPSI/LS-M) Bltt 1 SoSe C. Curll/ B. Jnssens Präsenzufgben (P1) Mch Se sch be den folgenden Glechungssstemen de Lösung mt ener Skzze deutlch. Lösen Se dnn de Ssteme mt den (hoffentlch) us der Schule beknnten Verfhren. () Lösen Se ds Glechungssstem mt dem Glechsetzungsverfhren. + = 3 = 3 (L) Wr formen de Glechungen nch um, = 3 = Wr setzen de beden Seten glech, 3 = Des lefert uns nun = 1, und dmt = 3 1 =. Skzze: (b) Lösen Se ds Glechungssstem mt dem Ensetzungsverfhren. + 3 = 5 + = 0 (Lb) Aus der zweten Glechung folgt =. Ensetzen n de erste Glechung lefert 5 = 5, lso = 1. Dher hben wr uch = = 1. Skzze: Unverstät Hmburg Chrstn Curll Geom. 33 Tel. (040)

2 (c) Lösen Se ds Glechungssstem mt dem Addtonsverfhren. 4 = 3 + = 1 (Lc) Multplzeren wr de zwete Glechung mt, dnn erhlten wr ds Sstem 4 = 6 + =. Adderen wr dese Glechungen, so erhlten wr = 0, lso = 0. Dnn lefert z.b. de zwete Glechung =, und somt = 1. Skzze: (P) Es se ene Glechungssstem + b = r c + d = s mt (, b), (c, d) (0, 0) gegeben. Außerdem gelte d bc = 0, s cr = 0 und 0. Zegen Se, dss ds Pr (, ) genu dnn ene reelle Lösung des Glechungssstems st, wenn es von der Form ( r bβ, β) mt enem β R st. (LP) Es gbt her vele korrekte Lösungen, Folgende st nur ene dvon. Wr zegen, dss jede Lösung von +b = r uch ene Lösung von c+d = s st und umgekehrt. De Lösungen von obenstehendem Sstem snd dnn genu de Lösungen von +b = r, und de snd ncht schwer zu fnden: umformen nch = (r b)/ zegt, dss ener belebgen Whl β R genu ener Lösung (, ) = ( r bβ, β) entsprcht und umgekehrt.

3 Aus 0 folgt c 0, denn ngenommen c = 0, so wäre wegen d = bc uch d = 0. Des st ber en Wderspruch zu (c, d) (0, 0). Es glt nun folgendes: ( 0) (d=bc) (s=cr) c + d = s c + d = s c + bc = s c + bc = cr c( + b) = cr (c 0) + b = r. Somt st jede Lösung von + b = r uch ene Lösung von c + d = s und umgekehrt. 3

4 Husufgben (H1) Es se ene Glechungssstem + b = r c + d = s mt (, b), (c, d) (0, 0) gegeben. () Zegen Se, dss folgendes glt: d bc = 0 λ R \ {0} : = λc und b = λd. (4 Punkte) (L) Ds st ncht schwer: d bc = λcd λdc = 0. D (c, d) (0, 0) hben wr c 0 oder d 0. Erst nehmen wr n c 0. D c 0 hben wr = λc mt λ :=. Wr zegen, dss mt desem λ uch c b = λd glt. Herzu ergänzen wr = λc n d = bc und erhlten so λcd = bc. Wr benutzen erneut c 0, und schlussfolgern, dss b = λd. Im Fll c = 0 muß d 0 sen. Anlog zu obger Rechnung glt her b = λd mt λ := b. Aus b = λd und d = bc folgt d = λdc, lso = λc. Es st klr dss d λ 0, nsonsten wäre (, b) = (0, 0). (b) Se weder d bc = 0 und λ de reelle Zhl, de Se nch () erhlten. Zegen Se, dss ds Glechungssstem lösbr st, wenn r = λs glt. ( Punkte) (Lb) Wenn r = λs, knn mn + b = r schreben ls λ(c + d) = λs. De Glechungen + b = r und c + d = s hben wegen λ 0 de gleche Lösungsmenge. Es blebt nur zu bewesen, dss + b = r lösbr st. Ds st ber ncht schwerg: wenn b 0 erhält mn = r, lso für jede β R b st (β, r β ) ene Lösung. Wenn b = 0 muß 0 sen, und mn erhält de b Lösungen ( r bβ, β) mt β R. Übrgens st ds Glechungssstem lösbr genu dnn wenn r = λs. Wenn ds Glechungssstem überhupt lösbr st, glt für jede Lösung (, ) dss λs = λ(c + d) = + b = r. (Ds wr jedoch ncht de Frge.) (H) Zegen Se, dss de m Stz 1.. ngegebene Abbldung f : R C (, 0) en Körperhomomorphsmus st, d.h. f st ene njektve Abbldung, für de f(b) = f()f(b) (6 Punkte) und für lle, b R glt. f( + b) = f() + f(b) 4

5 (LH) f st verträglch mt der Multplkton: f()f(b) = (, 0) (b, 0) = ( b 0 0, b) = (b, 0) = f(b). f st verträglch mt der Addton: f() + f(b) = (, 0) + (b, 0) = ( + b, 0 + 0) = ( + b, 0) = f( + b). Offenschtlch st f (we jeder Körperhomomorphsmus) njektv; wenn f() = f(b), dnn folgt (, 0) = (b, 0) und somt = b. (H3) Es seen de kompleen Zhlen = und = 1 + gegeben. () Berechnen Se +,, 1 und 1. (L) + = = ( ) ( + 1 ) (8 Punkte) ( 1 = + 1 ) ( 1 + ) = 1 ( 1 ( 1) ) 1 + ( ) 1 = ( ) 1 1 = ( ) 1 = ( = ) ( 1 1 ) 1 = ( 1 + ) 1 = 1 ( 1 + ) ( 1 ) = ( Punkte) 5

6 (b) Schreben Se de Elemente us () n Tupel-Schrebwese und zechnen Se se n de Stndrdebene R en. Lb = ( 1 1, ), = ( 1, ), = ( 1 1, ), + = ( 1 1 1, + ), 1 = ( 1, 1 ), und 1 = ( 1, ). In der Ebene wrd ds: / 1/ ( Punkte) (c) Bestmmen Se de Lösungen der Glechung w = 9. (Lc) Wr nehmen n, dss es ene Lösung w = +b gbt, und versuchen dnn und b zu bestmmen. Wenn es ene Lösung gbt, so muss (n Tupel-Schrebwese) gelten (, b) (, b) = ( b, b) = ( 9, 0), lso b = 9 (1) und b = 0. () Aus () folgt = 0 oder b = 0. Ist b = 0, so folgt für (1) = 9. Des st llerdngs ncht lösbr (denn st reell). Ist = 0, so folgt b = 9 und des ht de Lösungen b = 3 und b = 3. Mn überprüft lecht, dss (0, 3) und (0, 3) (bzw. 3 und 3) de Lösungen von w = 9 snd. ( Punkte) (d) Bestmmen Se de Lösungen der Glechung w =. (Ld) Anlog zu (Lc) erhlten wr für ene Lösung w = + b de Glechung ( b, b) = (0, ), lso b = 0 (3) und b =. (4) 6

7 Aus (4) folgt 0 und = b 1 bzw. b = 1. Es glt ( ) 1 = = 0 ( + 1)( + 1)( 1) = 0 = = 1 oder = 1. Aus b = 1 folgt b = 1 (wenn = 1) oder b = 1 (wenn = 1). Mn überprüft lecht, dss (1, 1) und ( 1, 1) (bzw. 1 + und (1 + )) de Lösungen von w = snd. ( Bonuspunkte) (6 Punkte) De Abgbe der Lösungen zu den Husufgben deses Zettels muss bs zum Begnn der Vorlesung m Montg, den 11. Aprl 011 n de dfür vorgesehenen Ordner uf dem Pult erfolgen. 7