Lineare Gleichungssysteme und ihre Lösung

Transkript

1 III Lnee Glechungssysteme und he Lösung In den Kpteln II. und II. wude de Bedeutung von Lneen Glechungssysteme (LGS) fü Poleme de Anlytschen Geomete deutlch. eshl stellt sch de Fge nch systemtschen Lösungsvefhen. Lnee Glechungssysteme mt zwe Glechungen und zwe Uneknnten Feet. Addtonsvefhen, Ensetzvefhen, Glechsetzungsvefhen (We meh düe wssen möchte: e 8. Klsse!). Welche de Vefhen snnvoll fü Glechungssysteme mt Glechungen und de Uneknnten (ode noch komplzetee Systeme?). Welche zusätzlchen Voschften snd fü en llgemen vewendes Vefhen notwendg, um zu Lösung zu gelngen? -8x - x + x x + x x x + x + x - x -9 x x - 5

2 e Gußsche Algothmus en llgemenes Vefhen zu Lösung lnee Glechungssysteme Zel: Nchennde weden us den Glechungen Vlen elmnet. eshl heßt ds Vefhen uch Gußsches Elmntonsvefhen. Bespel: x + x + x x - x x - - (I) -5x - x - x + 5 (I) x + x + x > x - x 5 x -7 x + x + x + ¼ (II) x + x + x > x - x 5 x -7 (Oee eecksfom) x + x +/ x / :(/) x + x + x -(III) > x - x 5 x (III) x + x +x x + x + x - > x - x +x 8 :(-) x + x +x x + x + x - -(II) > x +x +x - x + x +x x +x + x + > x +x +x - gonlfom x + x +x > x, x -; x Elute Zelenumfomungen: - Addton enes geegneten Velfchen ene Zele zu ene ndeen Zele - Multplkton ene Zele mt ene Zhl unglech Null - Vetuschung zwee Zelen Kuzschewese: Zu Aküzung knn mn de Pmete weglssen und ds System ls sogennnte ewetete Koeffzentenmtx scheen: 6

3 7 x ; x ; x > S. 6/,

4 etemnnten Begffe efnton: Fsst mn n Vektoen des IR n zu ene qudtschen Zhlnodnung zusmmen, so spcht mn von ene qudtschen ode n, n-mtx.... n n... nn e Elemente de Mtx snd doppelt ndzet:. Index Zele;. Index Splte. e Zelen zw. Splten nennt mn enzeln uch Zelenvektoen zw. Spltenvektoen. A ( ) ; B ( ; ;... n ) Bechte:. Ist de Anzhl de Splten unglech de Anzhl de Zelen, so spcht mn von ene Rechtecksmtx (m,n-mtx). e ewetete Koeffzentenmtx us. st ene n,n+-mtx.. e Menge lle n,n-mtzen ldet enen Vektoum de menson n². efnton:. Als etemnnte ene qudtschen,- Mtx vesteht mn folgende eelle Zhl: det A Huptdgonle - Neendgonle. Als etemnnte ene qudtschen,- Mtx vesteht mn folgende eelle Zhl (Entwcklung nch de esten Zele): det A + Bespele: 5 ; 5 ; 8

5 Egenschften von etemnnten S. Spegelungsstz: e Wet ene etemnnte let glech, wenn mn lle Elemente n de Huptdgonle spegelt. (d.h. de Zelen und Splten snd glecheechtgt. d g c e h d e f c f g h V. Vetuschungsstz: Ene etemnnte ändet h Vozechen, wenn mn zwe enchte Zelen (Splten) mtennde vetuscht. d g d g e h e h c f f c N. Nullwetstz: Ene etemnnte mt zwe glechen Zelen (Splten) ode zuennde popotonlen Zelen (Splten) ht den Wet Null. es st hnechend, e ncht notwendg! ; M. Multplktonsstz: Ene etemnnte wd mt enem Skl multplzet, ndem mn ene Zele (Splte) mt dem Skl multplzet. Umgekeht knn mn usklmmen. d g k d g k e h k e h c f kc f K. Komntonsstz: e Wet ene etemnnte let glech, wenn mn zu ene Zele (Splte) ene elege Lnekomnton de ügen Zelen ddet. det(,, c) det( + k + lc,, c) E. Entwcklungsstz: e etemnnte ene,- Mtx (ode göße) knn nch ene elegen Zele (Splte) efolgen, woe folgendes Schem zu eückschtgen st

6 c Anwendung: Flächennhlte m IR uch de lne unhänggen Vektoen, st en Pllelogmm festgelegt. Bezüglch ene Bss B (ex, ey) (us Enhetsvektoen) glt:,. y Fü de Fläche des weßen Pllelogmms glt: F ( ; ) FRechteck (Fgün + Fgel+Flu) ( + ) ( + ) ( + ½ + ½ )... det ( ; ) Allgemen: F (F ( ; ) det ( ; ) -> FS

7 d Anwendung: Cme sche Regel Stz : e etemnnte ene qudtschen Mtx ht genu dnn den Wet Null, wenn de Spltenvektoen lne hängg snd. Zel Ange ene Lösungsfomel fü en Lnees Glechungssystem mt zwe Uneknnten und zwe Glechungen. (I) x + x > A (II) x + x (I) (II) > ( ) x > x (nu flls Nenne ) Anlog egt sch x (nu flls Nenne ) Cmesche Regel: s oge lnee Glechungssystem ht genu dnn ene Lösung, wenn det A st. Mt folgt fü de Lösung des ogen Glechungssystems: x ; x Cmesche Regel fü Glechungssysteme mt de Glechungen und de Uneknnten: En lnees Glechungssystem x + x + x mt de Glechungen und de Uneknnten ht genu ene Lösung wenn det ( ; ; ) st. nn glt: x ; x ; x, woe (,,) us duch esetzen de -ten Splte duch entsteht. Bespel: x + 5 x - x - x - x + x x + x - x > ene Lösung 5 > x 5 > x 5 > x L {( )}

8 Aufge: Fü welche Wete des Pmetes s gt es genu ene Lösung des lneen Glechungssystems? We snd de ügen Fälle zu deuten? x - x + x x + s x + x s x + x + x Ene Lösung fü s s² + s 6 (s + )(s ) s - s s > genu ene Lösung fü s IR \{-; } Sondefälle: s - In desem Fll hen de Spltenvektoen de lnken Sete de Fom ; ; ; de esten eden snd offenschtlch lne hängg, de dtte st unhängg von den ndeen. e Spltenvekto v lässt sch dnn ) entwede llen duch und dstellen. x st dnn fe wähl, es gt unendlch vele Lösungen. de Vekto v lne hängg von und st, dent ls Kteum nch Stz v det (,, ) v ) ode ncht lne komneen. es zegt mn mttels det (,, ) ; L {} v Mn echnet nch, dss m Bespel glt det (,, ) -5, somt L {}. s In desem Fll hen de Spltenvektoen de lnken Sete de Fom ; ; ; se snd wegen de etemnnte ( ) lne hängg. Es genügt zu wssen, dss und lne unhängg snd (dnn st sche lne komne). Mn echnet nch, dss glt: v det (,, ), lso Lösungen.

9 e Üelck: Lnee,-Glechungssysteme x + x + x x + x + x <> x + x + x x + x + x. Fll: {, ; } lne unhängg Genu ene Lösung.. Fll: En P {, j } lne unhängg, dtte Vekto k lne hängg dvon ) von {, j } lne unhängg Lösungen ) von {, j } lne hängg Lösungen. Fll: Alle Pe {, j } lne hängg und z.b. ) von { } lne unhängg Lösungen ) von { } lne hängg Lösungen. Fll: ) Lösungen ) Lösungen