Statisches Gleichgewicht des starren Körpers (Statik)

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1 Us Wyde CH Basel Statsches Glechgewcht des staen Köpes (Statk) Glechgewchtsbedngungen En Köpe befndet sch n Ruhe (ode bewegt sch mt konstante Geschwndgket), wenn de Summe de Käfte und de Momente, de auf hn wken, glech Null st: Summe de Käfte: uuv uuv uuv uu F + F + F +... = F = 0 (I.) 2 3 Summe de Dehmomente: M + M + M +... = M = 0 (II.) 2 3 Spezalfall: Alle Käfte gefen n enem enzgen Punkt an Gefen sämtlche Käfte n enem enzgen Punkt an, so können kene Dehmomente entstehen. In desem Fall entfällt de zwete Bedngung (II.) und es echt, wenn de Summe de Käfte glech Null st. Gefen de Käfte ncht n enem enzgen Punkt an, so kann en Köpe beschleungt weden, selbst wenn de Summe de Käfte glech Null st: In desem Bespel st de vektoelle Summe de Käfte glech Null. Totzdem wkt auf den schebenfömgen Köpe en Moment de Gösse M = 2F, welches ene Rotatons- beschleungung bewkt.

2 Stables, lables und nstables Glechgewcht En Glechgewcht kann stabl, labl (ndffeent) ode nstabl sen. Addton von Käften, Käftepaallelogamm Käfte snd vektoelle Gössen. Se haben enen Betag und ene Rchtung. Gefen zwe Käfte n enem Punkt an, so können dese duch ene enzge Kaft, de Resulteenden, esetzt weden. De esulteende Kaft st de vektoelle Summe de beden enzelnen Käfte. Geometsch ehält man de Resulteende mttels Konstukton des Käftepaallelogamms. Symmetsche Anodnung de Käfte Snd de Betäge de beden Käfte glech, so wd aus dem Paallelogamm en Rhombus mt ve glech langen Seten. De beden Dagonalen stehen senkecht zuenande und halbeen sch. De Resulteende lässt sch mt dem Cosnussatz fü echtwnklge Deecke beechnen: FRes α cos 2 α = FRes = 2Fcos 2 F 2 2

3 Asymmetsche Anodnung de Käfte (allgemene Fall de Käfteaddton) De beden Käfte F und F 2 snd betagsmässg ncht glech goss. Fü de Beechnung de Resulteenden Kaft muss de allgemene Cosnussatz vewendet weden. De Wnkel zwschen den beden Käften st α. Somt betägt de andee Wnkel des Paallelo- uuu gamms 80 α. Wete glt, dass CB = F2 st. Damt lässt sch m Deeck ABC de Resulteende Kaft mt dem Cosnussatz beechnen. 2 2 Res 2 2 F = F + F 2FF cos 80 α Anwendung: schefe Ebene (Rampe) Fü de auf den Köpe de Masse m wkende Kaft glt: FG = m g. Dese Kaft wd n ene bezüglch de Rampe senkechten Kaft F (Auflagekaft) sowe ene paallelen Kaft FP (Hangab- tebskaft) aufgetelt. Es glt: F = F G cosα = mgcosα F = F snα = mgsnα P G 3

4 Expement: bestmmen des Haftebungskoeffzenten μ En Gegenstand wd auf de Rampe gelegt. De Negunswnkel wd kontnuelch ehöht, bs de Gegenstand abzuutschen begnnt. In desem Augenblck glt de Glechgewchtsbedngung F Hangabteb F P = F = µ F Rebung mg snα = mgµ cosα snα = µ tanα = µ cosα Intepetaton: De Zusammenhang zwschen dem Stegungswnkel und dem Rebungskoeffzenten ennet an de Defnton de Stegung n de Mathematk: Δy y2 y Geadenglechung: y = mx+ q (ode y = ax+ b) mt tanα = m= = Δx x x 2 De Rebungskoeffzent μ st also nchts andees als dejenge Stegung, be welche en Gegenstand auf ene Rampe de Haftung velet und abgletet. We füht man mt desem Wssen en Expement zu Bestmmung des Rebungskoeffzenten μ am besten duch? Welche Gössen wüdest du messen? Schwepunkt (enfache Fälle) Ene 2 Mete lange (gewchtslose) Stange tägt an hen Enden ene Masse von 0 kg esp. 30 kg: De Schwepunkt st dejenge Punkt, n welchem de Summe de Momente glech Null st. Im obgen Bespel glt also: x 30kg = l x 0kg x 30kg+ x 0kg = l 0kg x= l 4 De Schwepunkt befndet sch be enem Vetel de Stange. Das hesst, de Schwepunkt telt de Stange m Vehältns :3. 4

5 Schwepunkt m Koodnatensystem De Lage de Massenpunkte m, m2, m3,... m wd duch de Otsvektoen, 3, 3,... bescheben. Gesucht st de Lage des Schwepunktes M, welche duch den Otsvekto bescheben wd. Das System aus meheen Massen kann dann esetzt weden duch de Summe alle Massen, de sch m Punkt M befndet. = 0 (Summe de Dehmomente st Null) M = F, F = m a, also glt: M = F = m a = 0 m a m a = 0, M M m a = a m m = M m a = a = m m m m M = M Bespel: Im Punkt P(0,0) befndet sch ene Masse von 2 kg, m Punkt Q(,0) befndet sch ene Masse von 0 kg und m Punkt R(0,) befndet sch ene Masse von 6 kg = m = + + = + + = M

6 Aufgaben. De Rhenfähen weden fü de Übefaht schäg zu Stömung gestellt. De Wnkel betage 20, was ene Kaft von 000 N n Stömungschtung bewkt. Beechne de Kaft, welche das Boot setlch übe den Rhen dückt (also de Kaft, de senkecht zum Ufe steht). 2. Stassenlampe: Übe ene 0 Mete bete Stasse wd en Dahtsel gespannt, an welchem n de Mtte ene 20 kg schwee Lampe hängt. We goss st de auf de Sele wkende Zugkaft, wenn de Duchhang des Seles n de Mtte 20 cm betägt? We vel, wenn e bloss 0 ode 5 cm betagen wüde? Opton: Stelle den Velauf de Zugkaft n Abhänggket des Duchhanges gaphsch da. 3. En.88 Mete gosse Mensch legt hozontal auf enem (gewchtslosen) Bett. Das Bett legt mt den beden Enden auf je ene Waage. Am Kopfende zegt de Waage 445 N und am Fussende 400 N an. Auf welche Höhe befndet sch de Schwepunkt des Menschen? 4. Wtshausschld: En Schld mt de Masse 20 kg hängt am Ende ene 2 Mete langen und 4 kg schween Stange. En Dahtsel, welches Mete obehalb de Stange n de Hauswand veanket st und mt dem Ende de Stange vebunden st, hält de Stange und das Schld. We goss st de Zugkaft, welche auf das Sel wkt? Mt welche Kaft wd de Stange gegen de Hauswand gedückt? 5. Im Punkt A(,) befndet sch ene Masse von 0 kg, m Punkt B(4,3) ene Masse von 6 kg und m Punkt C(.5, 0.5) ene Masse von 4 kg. Beechne de Lage des Schwepunktes. 6. Ene 5 m lange Lete mt homogene Massenvetelung und ene Gewchtskaft von 60 N lehne an ene glatten, vetkalen Wand, de kenele Rebung ausübt. Das untee Ende de Lete st 3 m von de Wand entfent. We goss muss de Haftebungszahl de Rebung zwschen Boden und Lete mndestens betagen, damt de Lete ncht abutscht? 6