Zur Erinnerung. Stichworte aus der 9. Vorlesung: Einteilung von Stößen:

Transkript

1 Zu nneung tchwote aus de 9. Volesung: ntelung von tößen: kn, kn kn,, kn, Q Q = 0 elastsche töße de umme de nneen nege de Telchen (chwngung und Rotaton) blebt unveändet, Q > 0 unelastsche töße knetsche nege wd n nnee nege de Telchen (ode Rebungswäme) umgewandelt Q < 0 supe-elastsche töße nnee nege de Telchen wd n knetsche nege umgewandelt Zentale töße Ncht-zentale töße nege- und mpulsehaltung xpementalphysk 00 0-

2 Zu nneung lastsche ncht-zentale toß mt m = m : Abwechung vom dealen Ablenkwnkel von 90 haltung de Gesamtenege haltungssätze Tanslaton mpuls nege haltungssätze Rotaton nege p p p p m m m ot, ot, mpuls L L L L 0 p p 0 0 ot, ot, 0 0 Dehmpuls blebt ehalten, abe Tanslatonsenege wd n Rotatonsenege umgewandelt!! xpementalphysk 00 0-

3 5. Dynamk stae ausgedehnte Köpe Allgemenes: De Bewegung enes staen Köpes lässt sch mme zusammensetzen aus de Tanslaton des chwepunktes und de Rotaton des Köpes um den chwepunkt. sta Abstand k = - k = const. ü belebge Volumenelemente und k Rotatonsachse ω muss ncht aumfest sen vollständge Beschebung efodet Angabe von ( t) x ( t), y ( t), z ( t) (t) (t), (t), (t) x y z sechs Koodnaten, sechs ehetsgade xeung (z.b.) des P: es bleben de ehetsgade zusätzlche xeung ene Dehachse: es blebt en ehetsgad xpementalphysk

4 Volumenntegale Katessche Koodnaten: xpementalphysk

5 Volumenntegale Katessche Koodnaten: xpementalphysk

6 Volumenntegale Zylndekoodnaten: xpementalphysk

7 Volumenntegale Kugelkoodnaten: xpementalphysk

8 Massenschwepunkt Ausgedehnte, unegelmäßg gefomte Köpe mt ncht konstante Dchte ρ: xpementalphysk

9 Bewegung enes staenköpes Allgemenes: Otsvekto zum Volumenelement dv Otsvekto zum chwepunkt Otsvekto von dv m P tae Köpe. 0 const d dt v 0 v v v 0 v wegen v v v v Tanslaton + Rotaton xpementalphysk

10 Bewegung enes staenköpes Käfte am staen Köpe: Angffspunkt de Kaft st entschedend Zelegung n: a) Dehmoment bezüglch chwepunkt b) Tanslaton von D H H 0 H D D ( D D ) Rotaton: D H D Tanslaton: H M a xpementalphysk

11 Dehmomente fü unteschedlche Angffspunkte Omas Ganolle: xpementalphysk 00 0-

12 Käfte am staen Köpe Wkung von? und H, : Dehung H, H, = M a Tanslaton,s z H, + H, = 0 H, = H, s O x D = ½ (,s ) ½ (,s H, ) =, = D Dehmoment Dehung um Achse duch chwepunkt xpementalphysk 00 0-

13 xpementalphysk Käfte am staen Köpe xeung ene Dehachse duch den chwepunkt: 0 ) ( z t n z t n z D D D n t z t n z Dehachse Dehachse unwksam wg. Lageung ( z = M a : Tanslaton duch Lageung vehndet) 0 n D 0 t D unwksam wg. Lageung ( n = M a Tanslaton duch Lageung vehndet) Dehung um de Achse

14 Käfte am staen Köpe D = ( z ) 0 D Dehung unwksam duch Lageung z z Achse n Achse D = ( n ) t t z D = 0 da n Beschleungung n = M a duch Lageung vehndet D 3 = ( t ) D 3 bewkt Dehung um de Achse n t n Achse D = = ( z + n + t ) D = ( z ) + ( n ) + ( t ) D = D + D + D 3 xpementalphysk

15 xpementalphysk Käfte am staen Köpe Dehmomente duch de chwekaft: dm dv dv dv dm dm d V V V N N g g g D g D Defnton des chwepunktes: 0 0 V V M dm dm M g g D Be de Lageung m chwepunkt wken kene Dehmomente duch de chwekaft (de Lage des Köpes st stabl).

16 Dynamk de Dehbewegung Allgemenes: Dynamk de Dehbewegung wd wesentlch bestmmt duch de Dchte-Vetelung de Masse gleche Masse, veschedene Masse-Vetelung veschedenes Täghetsmoment (s.u.) knetsche nege be Dehbewegung (bzw. Rollbewegung) dastellen duch Tanslaton des chwepunktes und Rotaton um Achse duch chwepunkt (he: Täghetsmoment wchtg) xpementalphysk

17 xpementalphysk Dynamk de Dehbewegung Täghetsmoment: v x y x y z kn v m,,,,,,, : Abstand zu Dehachse dv dv m m m V V ot N m ot kn kn z z z kn 0,,,,, lm 0 ) ( : Abstand zu Dehachse

18 Dynamk de Dehbewegung Knetsche nege de Rotaton: ot dv V Täghetsmoment: V dv V dm Täghetsmoment wd bestmmt duch de Abstandsvetelung de Massen um de Dehachse xpementalphysk

19 xpementalphysk Dehmpuls ausgedehnte stae Köpe L v L v L m m m L dv m m m ot L L L L L Dehmpuls, Täghetsmoment, knetsche nege

20 Dehmpuls ausgedehnte stae Köpe Täghetsmoment ene homogenen Kugel: xpementalphysk

21 Gößen de Tanslaton und Rotaton Übesetzungstabelle : Tanslaton Rotaton Knetsche nege de Tanslaton/Rotaton: Masse m mpuls p Kaft Geschwndgket v Beschleungung a kn mv Täghetsmoment Dehmpuls L Dehmoment D Wnkelgeschwndgket Wnkelbeschleungung d/dt ot mpuls/dehmpuls: p m v L p L Kaft/Dehmoment: m a D D d dt Bewegungsglechung: mx Dxx lneae Deh- D chwngung xpementalphysk 00 0-

22 Dehmpuls, Täghetsmoment und Wnkelgeschwndgket Dehstuhlvesuch: se Dehmoment D = 0 Dehmpuls L blebt konstant Veändeung de Massenvetelung füht zu ene Veändeung des Täghetsmomentes m m, ot negeblanz?? xpementalphysk 00 0-

23 xpementalphysk Dehmpuls, Täghetsmoment und Wnkelgeschwndgket negeblanz:,, ot ot Zusammenhang L L Dehmpulsehaltung,,,,, ot ot ot ot ot da Wohe kommt de nege??

24 Dehmpuls, Täghetsmoment und Wnkelgeschwndgket Abet gegen de Zentfugalkaft: xpementalphysk

25 Täghetsmoment fü belebge Achsen atz von tene: Vebndung von B um belebge Achse B mt des Köpes bezogen auf ene zu B paallele Achse duch den chwepunkt B B dm a dm a dm dm a dm M 0 B M a Wenn das Täghetsmoment um Achse duch P bekannt st, dann st das Täghetsmoment um ene belebge dazu paallele Achse mt dem atz von tene bestmmba. xpementalphysk

26 tenesche atz Bespel: xpementalphysk

27 Täghetsmomente Zusammenfassung: Das Täghetsmoment enes Köpes st mme auf ene bestmmte Dehachse bezogen. gegebene Massenvetelung, veschedene Dehachsen veschedene Täghetsmomente!! gegebene Dehachse, veschedene Massenvetelung veschedene Täghetsmomente!! (wchtg, da be gegebenem ω Dehmpuls L = ω und ot = ½ ω von = ρ dv bestmmt weden. Täghetsmoment beechenba wenn ρ () bekannt, be symmetschen Massenvetelungen elatv lecht auszuweten falls Dehachse ncht duch chwepunkt geht: teneschen atz (s.u.) nutzen Molekülphysk xpementalphysk

28 tenesche atz Rollende Zylnde auf schefe bene: D Mg sn M Tanslatonsbewegung des chwepunktes: a s Mg sn g sn M M Je göße das Täghetsmoment, desto genge de Beschleungung pot ( ) kn ( ) gssn v M Mgssn Mv v gssn ot g v ( ) Mgssn ollend gletend, kene Dehung xpementalphysk

29 Momentane Dehachse und Beschleungung des chwepunktes t a s R momentane Dehachse m nne des tene schen atzes st R de Abstand de Dehachse vomchwepunkt. xpementalphysk

30 Momentane Dehachse und Beschleungung des chwepunktes ds ds = R d R ds =R dt ds dt d =R a dt s d momentane Dehachse xpementalphysk

31 Momentane Dehachse und Beschleungung des chwepunktes momentane Dehachse xpementalphysk

32 Haupttäghetsachsen Bezehung zwschen de momentanen Wnkelgeschwndgket ω und dem Dehmpuls L es glt: m Allgemenen muss de Dehmpuls L enes belebg staen Köpes ncht paallel zu momentanen Dehachse, d.h. paallel zu ω sen! De Zusammenhang zwschen den Vektoen ω und L st bestmmt duch de Massenvetelung m staen Köpe Zel: allgemene Aussagen übe Täghetsmomente enes gegebenen Köpes es gbt belebg vele Dehachsen! belebg vele (unabhängge) Täghetsmomente? (duch tene schen atz eduzeba auf belebge Achse duch den chwepunkt) gebns: Poblem st eduzeba auf Täghetsmoment fü Dehung um de ausgezechnete Achsen: Haupttäghetsachsen mt Haupttäghetsmomenten xpementalphysk