Physik für Studierende der Biologie und Chemie Universität Zürich, HS 2009, U. Straumann Version 26. Oktober 2009

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1 Physk für Studerende der Bologe und Cheme Unverstät Zürch, HS 009, U. Straumann erson 6. Oktober 009 Inhaltsverzechns 3. Systeme von Telchen Schwerpunkt Newton s zwetes Prnzp für Systeme von Telchen der Schwerpunktssatz Impulssatz für Systeme von Telchen Knetsche Energe und Arbet be Translaton Knetsche Energe der Drehbewegung Systeme von Telchen Bs jetzt haben wr uns ausschlesslch auf Bespele konzentrert, wo wr m Wesentlchen en klenes Objekt betrachteten, ene Kugel, enen Klotz oder Ähnlches, wo alle Tele starr mtenander verbunden snd und daher de Angabe enes enzelnen Punkts für de Beschrebung der Bewegung genügt. Auch für de Kräfte spelten de Angrffspunkte bsher m Detal kene Rolle. Dese Beschränkungen wollen wr jetzt fallen lassen. Wr kommen jetzt zu Systemen von velen Telchen, de mtenander starr oder auch beweglch verbunden snd. 3.. Schwerpunkt De Beobachtung lehrt uns, dass zu enem ausgedehnten Körper genau en Punkt exstert, dessen Bahn be ener Bewegung des Körpers genau so verläuft, we wenn alle Masse des Körpers n desem Punkt konzentrert wäre. Wr nennen desen Punkt den Schwerpunkt. Wr wollen nun zuerst de Defnton des Schwerpunktes kennenlernen. Anschlessend zegen wr, dass aus der erallgemenerung des. Newton schen Prnzps für Systeme von Telchen folgt, dass sch en System von Telchen tatsächlch so bewegt, als wenn alle Masse n senem Schwerpunkt konzentrert wäre. Für zwe Massen m und m (m + m = M), de auf ener Achse an den Koordnatenpunkten x und x mt dem Abstand d legen, legt der Schwerpunkt (center of mass) S be x S = m x + m x m + m = x + m M d m x S m x x d x 3.

2 Der Schwerpunkt legt also zwschen den beden Massen und näher be der schwereren. Wenn wr es mt mehreren Massen zu tun haben, können wr de Defnton erwetern zu x s = m x + m x m n x n = m x m + m m n M M st de totale Masse des Systems. Wenn we enzelnen Tele des Systems ncht entlang ener Achse, sondern räumlch vertelt snd, so erwetern wr de Defntonen auf dre Koordnaten statt ener x s = M m x y S = M m y z S = M m z In vektoreller Form lässt sch des schreben als r s = M m r Oft besteht en Objekt, en Ball, en Klotz en Sandhaufen oder ähnlches aus so velen glechen Enzeltelen (Atomen, Sandkörnern), dass wr von ener kontnuerlchen Materevertelung sprechen können. De Massen m der enzelnen Tele werden dann zu dfferentellen Massenelementen dm, de Summen n obgen Defntonen werden zu Integralen, und das Integral erstreckt sch über das gesamte olumen des Objekts: x s = M xdm y S = M ydm z S = M zdm Für ene homogene Substanz mt konstanter Dchte ρ erhält man wegen M = ρ und dm = ρd x s = xd y S = yd z S = zd Aus desen Defntonen seht man, dass de Lage des Schwerpunkts durch de Form des Objekts bestmmt st. Ist ene Massenvertelung symmetrsch bezüglch ener Achse, dann snd de Beträge zum Integral von beden Seten der Achse enander entgegengesetzt glech. Der Schwerpunkt legt dann auf deser Achse. Be ener kugelsymmetrschen Massenvertelung legt der Schwerpunkt m Zentrum. Be enem Quader legt der Schwerpunkt ebenfalls m geometrschen Zentrum. Bespel NH 3 : Das Ammonak-Molekül (NH 3 ) hat Pyramdenform. Das Stckstoffatom legt auf ener Achse, de senkrecht st zur Ebene, de von den dre Wasserstoff-Atomen aufgespannt wrd. De dre Wasserstoffatome besetzen de Ecken enes glechsetgen Dreecks. Aus Symmetregründen legt der Schwerpunkt auf der Achse durch das Stckstoffatom be ener Höhe h s = M (3m H 0 + m N h) = m N M h = 4 7 h H + H N 0.4x0 - m H 9.4x0 - m 3.

3 Abbldung 3.: Lage des Schwerpunkts ener Büchse Coca-Cola. Be der vollen Büchse legt der Flüssgketsspegel be y = 9.8 cm. Bespel Coca-Cola: Wo legt der Schwerpunkt ener Coca-Cola (Lght) Büchse (sehe Abbldung 3.)? Sene Lage ändert sch mt der Höhe der verblebenden Flüssgket. Wr lösen dese Aufgabe an Hand gemessener Daten. De leere Büchse hat ene Masse von M B = 8.8 g, enen Aussendurchmesser von 6.6 cm und ene Höhe von h =.5 cm. Wr nehmen an, dass de Dcke der Wände überall glech st, und berechnen de mttlere Wandstärke aus dem olumen und der Dchte von Alumnum (ρ (Al) =.7 g/cm 3 ). Das Aussenvolumen der Büchse beträgt cm 3, das Mantelvolumen 6.96 cm 3 (=8.8 g/.7 g/cm 3 ), das Innenvolumen daher cm 3, und de Aussenfläche cm. Des ergbt ene mttlere Wandstärke von 0.7 mm, de für de weteren Überlegungen vernachlässgt werden kann. De volle Büchse hat ene Masse von 343 g und enthält F l = 0.33 l Getränk. Büchse und Flüssgket haben Zylndersymmetre. Der Schwerpunkt legt also auf der Achse ( y Achse). Ist de Büchse leer, so legt der Schwerpunkt auf halber Höhe y sb = h/ = 5.75 cm. Der Schwerpunkt der Füssgket (totale Masse 34. g, Dchte 0.98 g/cm 3 ) legt be der vollen Büchse auf halber Höhe der Flüssgket, also be y F l = h F l / = 4.9 cm. Bezechnen wr den verblebenden Rest mt 0 = M 0 /ρ F l, de dazugehörge Höhe des Flüssgketsspegels mt h 0 = ( 0 / F l )h F l, dann legt der Schwerpunkt der Füssgket be y SF l = h 0 /. Für Büchse und Inhalt ergbt sch dann y S = y SBM B + y SF l M 0 = (h 0/) (h 0 /9.8) 34. = h 0 cm M B + M (h 0 /9.8) h 0 om Anfangswert (volle Büchse) be 4.95 cm Höhe snkt der Schwerpunkt mt dem Flüssgketsspegel nach unten, errecht be.9 cm hohem Rest den tefsten Punkt be.06 cm und wandert dann weder nach oben bs zum Wert von 5.75 cm be leerer Büchse (sehe Abbldung 3.). 3.3

4 3.. Newton s zwetes Prnzp für Systeme von Telchen der Schwerpunktssatz Für Systeme von Telchen kann man aus dem. und dem 3. Newtonschen Prnzp allgemenere Folgerungen zehen. Wr betrachten dazu en System von Massenpunkten m, zwschen denen nnere Kräfte G k wrken, und de auch unter dem Enfluss äusserer Kräfte F stehen. Für jeden enzelnen Massenpunkt glt das Aktonsprnzp F + G + G G n = d p F + G + G G n = d p F n + G n + G n G n,n = d p n Beachten wr nun das 3. Newton sche Prnzp: G k = G k, und adderen wr dese Glechungen, so heben sch de nneren Kräfte paarwese heraus: F = d p = = Dese Glechung schreben wr noch etwas um. Für konstante Massen st p = m v = m d r = d m r Benützen wr nun de Defntonsglechung für den Schwerpunkt r S = M m r M = m und dfferenzeren se nach der Zet, so ergbt sch p = d (M r S) = M d r S = M v S v S hesst de Schwerpunktsgeschwndgket. Mt desen Defntonen folgt der Schwerpunktssatz: N = F = M d v S = M a S a S st de sogenannte Schwerpunktsbeschleungung. Der Schwerpunktssatz besagt 3.4

5 Der Schwerpunkt S enes Systems von Massenpunkten bewegt sch so, als ob n hm de gesamte Masse konzentrert st und sämtlche äusseren Kräfte an hm angrefen. Für allgemene Massenpunktsysteme gbt der Schwerpunktsatz kene Auskunft über de Bewegung enzelner Telchen. Er macht nur Aussagen über de Bewegung enes Punkts, des Schwerpunkts S, der übrgens ncht enmal mt enem Massenpunkt des Systems zusammenfallen muss. Für starre Körper beschrebt der Schwerpunktsatz de Translaton. Formal st er zum. Newton schen Prnzp äquvalent, we wr es für enen Massenpunkt formulert haben. Er lefert ene Bewegungsglechung für S, woraus de Schwerpunktsbewegung und damt de Translatonsbewegung bestmmt werden kann. Dagegen st der Schwerpunktsatz ncht n der Lage etwas über de Drehbewegung auszusagen. Dafür benötgt man wetere Bewegungsglechungen. Man defnert de Grössen Drehmoment und Drehmpuls und zegt, dass aus dem. Newton schen Prnzp der sogenannte Drallsatz folgt, der etwas über den Zusammenhang deser Grössen aussagt. Leder können wr aus Zetgründen n deser orlesung ncht tefer n de fasznerende Welt der Gesetze der Drehbewegungen enstegen. Bespel Knebeugen auf ener Waage: De Anzege ener Waage verändert sch, wenn de daraufstehende Person ncht ruht, sondern sch bewegt, z. B. ene Knebeuge macht. Man beobachtet, dass bem n de Hocke gehen de Anzege klener wrd, während se bem Hochgehen grösser wrd als de statsche Belastung. Wr bezechnen de Normalkraft der Waage auf de Person mt N W P und hre Reaktonskraft mt N P W, und ernnern uns, dass de Anzege der Waage N P W entsprcht. Wr fnden, wr den Schwerpunktssatz auf de Person anwenden m a S = G + N W P mt N W P = N P W Wählen wr ene z Achse senkrecht zur Waage nach oben, dann lesen sch de obgen Glechungen we folgt ma z = mg + N W P N W P = m(g + a z ) Be Ruhe st a z = 0, be Bewegung nach unten a z < 0 und bem Aufrchten st a z > 0. Daher st N W P = N P W = mg, N W P = N P W < mg bzw. N W P = N P W > mg für de dre Fälle. Wenn man n de Kne geht, muss man allerdngs de Bewegung nach unten auch weder abbremsen, um de gebeugte Ruheposton enzunehmen. Deses Abbremsen entsprcht a z > 0 und damt weder enem grösseren Ausschlag. De beobachtete Sequenz der Anzege st also de folgende: ) Stehen - statsche Belastung, ) n de Kne gehen - klenerer Ausschlag, ) Abbremsen - grösserer Ausschlag, v) Hocke - statscher Ausschlag, v) Hochgehen - grösserer Ausschlag, v) Abbremsen - klenerer Ausschlag, v) Stehen - statscher Ausschlag. Wesentlch st dabe, dass es nur auf de Lage und de Beschleungung des Schwerpunktes ankommt. De Füsse bewegen sch ja ncht, während der Oberkörper ene Bewegung ausführt. Im Mttel bewegt sch der Schwerpunkt ebenfalls, allerdngs etwas wenger stark als der Oberkörper. De Bewegung des Schwerpunktes bestmmt nach dem Schwerpunktsatz de Kraft, de de Waage anzegt. 3.5

6 De Ausschläge ener besonders empfndlch engestellten Waage, de de Zetstruktur des Pulsschlags der darauf stehenden Person haben, stammen ebenfalls von mnmalen Änderungen des Schwerpunkts ener entsprechenden, durch das Zusammenzehen des Herzmuskels verursachten Schwerpunktsbeschleungung Impulssatz für Systeme von Telchen Mt den Bezechnungen P für den totalen Impuls des Systems, und F für de resulterende äussere Kraft, lest sch das. Newton sche Prnzp für en System von Telchen auch als P = p = F n = F = F = d P Obwohl dese Glechung, de man den Impulssatz nennt, mt dem. Newton schen Prnzp der Form nach dentsch st, st der Inhalt deser Glechung en anderer. Wrken auf en System kene äusseren Kräfte, d. h. F = 0, so nennt man deses System abgeschlossen. Für en abgeschlossenes System glt d P = 0 P = const. Der totale Impuls enes abgeschlossenen Systems st konstant Der Impuls st ene sogenannte Konstante der Bewegung Knetsche Energe und Arbet be Translaton De knetsche Energe enes Systems von Massenpunkten st gegeben durch T = T = Für ene kontnuerlche Massenvertelung muss jewels de Summe über de Massenpunkte durch en Integral ersetzt werden, T = v dm M m v Für starre Körper st de knetsche Energe m spezellen Fall rener Translaton, be der alle Geschwndgketen v glech gross snd, und damt auch v = v S glt, gegeben durch T S = m v = v S m = M v S v v S v 3 v S 3 3.6

7 Wrken auf en System von Massenpunkten mehrere Kräfte F j, so lestet jede enzelne de Arbet dw j = F j d r j Der Massenpunkt j, an dem de Kraft F j angreft, wrd um d r j verschoben. De gesamte am System gelestete Arbet dw st de Summe dw = j dw j = j F j d r j Be rener Translaton enes starren Körpers snd alle d r j glech d r S und es glt dw = j F j d r j = d r S F j = F d r S De gesamte, von allen Kräften gelestete Arbet st glech der Arbet, welche de resulterende Kraft F be der Schwerpunktsverschebung d r S lestet, genau we wr des für den Massenpunkt gefunden haben. Da de nneren Kräfte G k jewels enen Reaktonspartner G k haben, für den glt G k = G k, heben sch de Terme G k d r S + G k d r S gerade gegensetg auf. Wenn wr vom Schwerpunktssatz ausgehen, dann lässt sch de gelestete Arbet mt der Änderung der knetschen Energe der Schwerpunktsbewegung verknüpfen: d p S = F M j v S v S = F v S = M(v S vs) = F d r S De gesamte von allen Kräften gelestete Arbet st glech der Arbet, welche de resulterende Kraft am Schwerpunkt lestet und glech der Änderung der knetschen Energe der Translatonsbewegung des Schwerpunkts: dw = dt S T S T S = W = Dese Bezehung, de wr her als Integral des Schwerpunktssatzes erhalten haben, und de weder formell mt derjengen für den enzelnen Massenpunkt dentsch st, glt nur, wenn der Körper starr st, und de Bewegung ener renen Translaton (ncht notwendgerwese geradlng) entsprcht. Dass dese Bedngungen notwendg snd, wollen wr an zwe enfachen Gedankenexpermenten llustreren. F d r S Zwe ruhende Massen m = m = m werden ausenandergezogen von zwe glechen, aber entgegengesetzten Kräften: F x = F x = F x. Das Integral des Schwerpunktssatzes lefert (F x + F x ) x S = 0 = (m)v S = 0 F x d d F x m m Der Schwerpunkt blebt n Ruhe. Dafür muss kene Arbet aufgewendet werden. Trotzdem wrd Arbet gelestet, denn jede enzelne Masse wrd um d bewegt und erhält de Geschwndgket v: F x d = mv /. De gesamte Arbet st also F x d = mv. Her haben wr es ncht mt enem starren Körper und auch ncht mt rener Translaton zu tun. Das Integral der Schwerpunktssatzes 3.7

8 lefert nur de für de Bewegung des Schwerpunkts notwendge Arbet, ncht de gesamte Arbet. De Summe der zusätzlchen nternen Energen, her also de knetsche Energe der Relatvbewegung zwschen den beden Körpern, nennt man oft nnere Energe. Dese spelt besonders n der Themodynamk ene grosse Rolle. En zwetes Bespel st ene aufgerollte Kette, de n enem klenen Haufen auf enem rebungslosen Boden ruht und durch ene konstante Kraft ausenandergezogen und auf ene Geschwndgket v gebracht wrd. De erschebung des Angrffspunkts der Kraft st grösser als de des Schwerpunkts. Der Schwerpunktssatz lefert F d S = mvs / als Arbet für de Schwerpunktsbewegung. De gesamte Arbet st jedoch F d = F (d s + L/) > F d s. Auch her st das System ncht starr. En Tel der am System gelesteten Arbet wrd ncht n knetsche Energe verwandelt. De Energeblanz stmmt erst weder, wenn man andere Energeformen berückschtgt. Her st es Energe, de bem Ausenanderzehen der Kette zu Stössen unter den Kettengledern, Deformatonen und schlesslch zu lechter Erwärmung der Kette führt. Wr können aus der beobachteten knetschen Energe nur jenen Tel der Arbet abschätzen, der für de Schwerpunktsbewegung notwendg st. L d s v d S s F 3..5 Knetsche Energe der Drehbewegung Falls es m allgemenen Fall auch äussere Kräfte gbt, de ncht am Schwerpunkt angrefen, können dese zu ener Drehbewegung führen. Dadurch lesten se ebenfalls Arbet, de dazugehörge Energe wrd n der Drehenerge gespechert. Dese st aber n der oben hergeleteten Translatonsenerge natürlch ncht enthalten. De Rotaton stellt also auch ene Energeform dar, man nennt se de knetsche Energe der Rotaton. Wr wollen schauen, von was de Rotatonsenerge von starren Körpern abhängt. Nehmen wr vorerst enen ganz enfachen Fall: Ene klene punktförmge Masse m rotere auf enem Kres mt Radus R. Ihre knetsche Energe st offenschtlch: T = m v = m R ω wobe wr de Bezehung v = Rω verwendet haben. En starrer Körper besteht aus enem System von velen Massenelementen m, deren ndvdueller Abstand von der Drehachse r se. Dann wrd de gesamte n der Rotaton gespecherte Energe T rot = m r ω und da de Wnkelgeschwndgket be enem starren Körper für alle Massentele glech gross st T rot = ω ( m r ) 3.8

9 Für den nfntesmalen Grenzübergang m dm wrd T rot = ω dm r Das her auftretende Integral hesst das Träghetsmoment J J = dm r Es st also für enen gegebenen Körper ene feste Konstante, hängt aber m allgemenen von der Wahl der Drehachse ab. Zusammenfassend lautet de Rotatonsenerge enes starren Körpers: T rot = J ω De Rotatonsenerge st proportonal zur Drehfrequenz m Quadrat. Se hängt von der Massenvertelung m Körper ab: En ollzylnder hat en kleneres Träghetsmoment als en solcher der de gleche Massen auf dem äusseren Radus konzentrert hat. 3.9