6. Übungsblatt zur VL Einführung in die Klassische Mechanik und Wärmelehre Modul P1a, 1. FS BPh 17. November 2009

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1 6. Übungsblatt zur VL Enführung n de Klasssche Mechank und Wärmelehre Modul P1a, 1. FS BPh 17. November 2009 Aufgabe 6.1: Schlepplft In enem Wntersportgebet soll en neuer Schlepplft für Schfahrer gebaut werden. Deser soll de Wntersportler enen Hang der Stegung 11% über ene Gesamtstrecke von 0,6 km hnauf befördern. De Scherhetsvorschrften schreben vor, dass der Lft ene Geschwndgket von maxmal 1 m/s haben darf und zwschen den Lftbügeln en Mndestabstand von 5 m engehalten werden muss. Natürlch wollen de Lftbetreber dese Vorschrften auch maxmal ausrezen. a) Welche Energe wrd benötgt, um enen Schfahrer der Masse 80 kg den Hang hnauf zu zehen? b) Berückschtgen Se nun auch de Rebung der Scher (Gletrebungskonstante von f = 0,1). Welche Energe wrd dann benötgt? c) Wevele Personen können so n ener Stunde maxmal befördert werden? d) We groß muss de Motorlestung des Lfts mndestens gewählt werden? Wetere Rebungseffekte können vernachlässgt werden. Aufgabe 6.2: Straßenbahn Ene Straßenbahn begt mt 20 km/h um ene (ncht genegte) Kurve mt Radus 10 m. Welchen Wnkel zur Senkrechten nehmen de fre hängenden Handschlaufen dabe en? Aufgabe 6.3: Roterender Puck a) En Puck der Masse m gletet rebungsfre auf enem Tsch auf ener Kresbahn mt Radus r und st über ene Schnur (durch en Loch m Kreszentrum) mt ener hängenden Masse M verbunden. Be welcher m r Geschwndgket des Pucks blebt de M aufgehängte Masse n Ruhe? b) Nun wrd der Puck mt enem Gletrebungskoeffzenten f gebremst. Geben se de Wnkelgeschwndgket und den Radus n Abhänggket der Zet an.

2 Aufgabe 6.4: James Bond James Bond wrd be enem Ensatz m Auftrag Ihrer Majestät von Blofeld m Auto verfolgt. Er trfft auf ene scharfe Kurve mt Radus 30 m. In deser Kurve lässt Bond durch ene Spezalvorrchtung Motoröl hnter sch auf de Straße laufen, wodurch sch der Haftrebungskoeffzent von 00,7 auf 0,2 senkt. Welches st de höchste noch schere Geschwndgket für a) James Bonds Auto und b) das Auto des Verfolgers? Aufgabe 6.5: Kugel auf roterende Schebe Konstrueren Se de Bahn ener Kugel, de auf ener mt der Frequenz 0.05 Hz roterenden Schebe vom Mttelpunkt aus mt der Geschwndgket 6 cm/s (gemessen gegenüber dem Laborsystem) abgeschossen wrd, und zwar a) m Laborsystem und b) m System der drehenden Schebe. Aufgabe 6.6: Passatwnd Passatwnde snd beständge Wnde, de n tropschen Seegebeten auftreten. De Rchtung, aus der deser Wnd weht, verleht hm den Namen: Auf der Nordhalbkugel st es der Nordost-Passat, welcher also aus nordöstlcher Rchtung weht, auf der Südhalbkugel der Südostpassat. a) Erklären Se das Auftreten der Passatwnde aus enem verenfachten Wettermodel. Dabe st de Erde ene glatte, roterende Kugel und de Wnde kommen zustande, ndem am Äquator Tefdruckgebete und auf den Polen Hochdruckgebete herrschen, wodurch auf de Luftmoleküle ene Gradentenkraft F = (m / ρ) grad(p) (m / ρ) ( P / x) ê P wrkt. m st de Masse enes Luftmoleküls, ρ de Luftdchte, P der Luftdruck, x de Entfernung zweer Messpunkte und ê P der Enhetsvektor n Rchtung des Gradenten. b) Auf dem nördlchen Bretengrad ϕ = 20 weht der Wnd heute genau aus Nordost. Zwe Wetterstatonen, de jewels 50 km nördlch und südlch legen, melden enen Luftdruck von jewels 1009,0 mbar und 1009,5 mbar. We hoch st de Wndgeschwndgket am 20. Bretengrad? (Luftdchte ρ = 1,204 kg/m³).

3 Aufgabe 6.7: Zwe Massen m 1 und m 2 m2m1 können sch m Schwerefeld der Erde auf um de Wnkel und gegen de Horzontale genegten Ebenen rebungslos bewegen. Se snd durch enen Faden konstanter LängeL mtenander verbunden und führen damt endmensonale Bewegungen aus. 1. Stellen Se de Bewegungsglechungen für de beden Massen m 1 und m 2 auf. 2. Drücken Se de Beschleungungen durch m 1,m 2,, und g aus. 3. Berechnen Se de Fadenspannung S. 4. Unter welcher Bedngung befnden sch de Massen n Ruhe (bzw. n glechförmg geradlnger Bewegung)? Aufgabe 6.8: Es se x x. t Bestmmen Se de allgemene Lösung der folgenden nhomogenen Dfferentalglechung: a) x x x 5t1 b) 4x 2x 3x3t 9 Aufgabe 6.9: En kugelförmger Wassertropfen (Radus R, Volumen V, Masse m) falle m Schwerefeld der Erde senkrecht nach unten. Dabe wrkt auf hn de Rebungskraft Der Fall starte zur Zet FR 2 ˆR v ˆ 0 t 0 v 0 0. In der Luft nmmt das Volumen des Tropfens durch Kondensaton von Wasserdampf n der Atmosphäre zu, und zwar proportonal zu sener Oberfläche: dv dt R t R t R 0

4 De Dchte des Wassers blebe dabe konstant, so dass de Masse des Tropfens zunmmt. Stellen Se de Bewegungsglechung auf und ntegreren Se dese. Berechnen Se damt de Geschwndgket des Wassertropfens v v. t Es empfehlt sch, be der Lösung R anstelle der Zet t als unabhängge Varable enzusetzen. Aufgabe 6.10: Testen Se durch folgende Rechenaufgaben Ihre Fähgket mt komplexen Zahlen umzugehen: 1. Berechnen Se: 3 15 /3 /2,, 425, 1n 1, e, e. 2. Berechnen Se das Produkt zzz : 1 2 z1 ; z 1, 3 2 ; 5 4. a) 1 2 b) z1 z2 3. Zechnen Se n der komplexen Zahlenebene de Punkte z undz en: * 3 z11, z23, z3 3 2, z Suchen Se de Polardarstellung der folgenden komplexen Zahlen: 32 1 z1, z 1 1, z e, z 3, z Bestmmen Se Real- und Imagnärtel der folgenden komplexen Zahlen: 1/2 1 3/2 3 z e, z e, z e. 6. z t se ene lneare Zetfunkton: a) z t t 2 t, b) z t 2t3 / 2 t. We lautet der Realtel von zt e und dessen Perode?

5 Aufgabe 6.11: a) Gegeben se de lneare, homogene Dfferentalglechung 3.Ordnung: 3 j0 j j t x t 0 Zegen Se, dass de dre Lösungsfunktonen,, x t x t x t genau dann lnear unabhängg snd, wenn hre sogenannte Wronsk- Determnante, x t x t x t W x, x, x ; t x t x t x t, ncht verschwndet. x t x t x t b) Gegeben se de lneare homogene Dfferentalglechung 6 12 x t x t x t 2 3 t t Überprüfen Se durch Ensetzen, ob 0 1 x t ; x t t ; x t t t spezelle Lösungen der Dfferentalglechung snd. Snd se lnear unabhängg? We lautet de allgemene Lösung?