Netzwerkanalyse. Stephan Senn geschlossene Oberfläche

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1 Netzwerkanalyse Entelung der Netzwerke lneare resstve Netzwerke (lnear tme-nvarant crcuts): Das Netzwerk hängt ncht von der betrachteten Zet ab. Se st zetunabhängg. Das Strom-Spannungsverhältns st lnear: U RI R const. bzw. I GU G const. ncht-lneare resstve Netzwerke (non-lnear tme-nvarant crcuts): Das Netzwerk hängt ncht von der betrachteten Zet ab. Se st zetunabhängg. Das Strom- Spannungsverhältns st ncht lnear. lneare dynamsche Netzwerke (tme-varant dynamc crcuts): En Netzwerk benhaltet zetabhängge Gleder. Das Ladung-Spannungsverhältns sowe das Verhältns Stromfluss zu magnetschem Fluss snd lnear: Q CU C const. φ LI L const. Ncht-lneare dynamsche Netzwerke (tme-nvarant dynamc crcuts): En Netzwerk benhaltet zetabhängge Gleder. Das Ladung-Spannungsverhältns sowe das Verhältns Stromfluss zu magnetschem Fluss snd ncht lnear. konzentrerte Netzwerke (lumped network): De räumlche Ausdehnung D des Baulements und des Netzwerks st vel klener als de Elektromagnetsche Wellenlänge γ des elektromagnetschen Feldes der Sgnale. In konzentrschen Schaltungen spelen Ausbretungseffekte kene Rolle. De Krchhoff schen Strom- und Spannungsgesetze gelten nur n desem Fall. Dgraph enes Netzwerks Ersetzen wr de Elemente n den Zwegen enes Netzwerks durch de Dgraphen der Elemente (gerchteter Graph), so entsteht der Dgraph enes Netzwerks. Folgendes st be der Ersetzung zu beachten: Ideale Strom- und Spannungsquellen werden zusammen mt hren Innenwderständen bzw. Innenletwerte ersetzt. Gesteuerte Strom- und Spannungsquellen werden auch engezechnet. Vorgehen: Knoten nummereren. Referenzknoten bestmmen. Gerchtete Graphen enzechnen. De Stromrchtung bestmmt de Rchtung des Graphen. Krchhoff sches Stromgesetz (Krchhoff Current Law, KCL) De Summe der elektrschen Ströme n enem konzentrerten Netzwerk, de n enen elementaren oder zusammengesetzten Knoten flessen st zu jeder Zet t null. k (t) 0 geschlossene Oberfläche Stephan Senn

2 Tellegen s Theorem De Summe der Lestungen, de n den Zwegen enes Netzwerkes verbraucht oder erzeugt wrd, st glech null. v T b k 1 v k k 0 Krchhoff sches Spannungsgesetz (Krchhoff Voltage Law, KVL) Entlang ener belebgen geschlossenen Knotenfolge (Masche, Kres) st zu allen Zeten t be enem Netzwerk mt konzentrerten Elementen de Summe der durchlaufenen Zwegspannungen v k glech 0. v k (t) 0 geschlossene Knotenfolge Egenschaften von lnearen und dynamschen Netzwerken Superpostonsgesetz (Überlagerungsgesetz): De Auswrkung aller unabhänggen Quellen n enem lnearen Netzwerk lässt sch als de Summe der Auswrkung jeder enzelnen Quelle - wenn alle andern Quellen den Wert null aufwesen - ermtteln. Thevenn-Norton-Äquvalenz: Jede reale Stromquelle lässt sch n ene reale Spannungsquelle umwandeln und umgekehrt. Des glt aber ncht für deale Quellen. Es glt: U q U q Iq R Thévennäquvalent Iq Nortonäquvalent R Substtutonstheorem: En komplexes nchtlneares zetvarantes Netzwerk kann durch Auftelung n Subnetzwerke wesentlch verenfacht werden. Unter Voraussetzung der Endeutgket der Lösung kann en Netzwerk n zwe Netzwerke untertelt werden, sodass glt: Das Netzwerk A kann durch ene deale Spannungsquelle v(t) ersetzt werden, ohne dass sch de Ströme und Spannungen m Netzwerk B ändern. Das Netzwerk A kann durch ene deale Stromquelle (t) ersetzt werden, ohne dass sch de Ströme und Spannungen m Netzwerk B ändern. Tableau-Analyse Da de Knotenpotentalmethode nur mt Hlfe ener Modfzerung für bestmmte Netzwerkelemente hre Gültkget hat, wurde nach ener Unversalmethode gesucht, mt deren Hlfe man fast alle Netzwerkelemente unengeschränkt ntegreren kann. Somt lässt sch jedes Netzwerk mt Hlfe ener derartgen Analyse bestmmen. Des gescheht mt Hlfe der Tableau-Analyse. Allerdngs muss man enen erheblchen Mehrwert an Netzwerkglechungen n Kauf nehmen. De Tableau-Analyse besteht aus dre Matrzenglechungen: KCL: A. (t) 0 KVL: v(t) A T. e 0 Zwegglechungen: M. v(t) + N. (t) u s (t) Stephan Senn

3 Dese Glechungen werden n der Tableau-Matrx-Schrebwese zusammengefasst: 0 0 A e(t) 0 T A 1 0 v(t) 0 oder T. w(t) u(t) 0 M N (t) u (t) s Man bemerke, dass de Varablen A, M und N wederum Matrzen darstellen. De T-Matrx west zudem mmer quadratsche Gestalt auf. Der Spannungsquellenvektor u s (t) kann auch Stromquellen benhalten. De Namensgebung st en weng verwrrend. Für de Bestmmung der M- und N-Matrx empfehlt es sch, de Zwegglechungen des gesamten Netzwerks aufzustellen. Für dynamsche Netzwerke erhalten wr dfferentelle Zwegglechungen. Wr schreben deshalb allgemen: (M 0 D + M 1 ). v(t) + (N 0 D + N 1 ). (t) u s (t) mt dem Dfferentaloperator D t De Tableau-Matrx ergbt dann: 0 0 A e(t) 0 T A 1 0 v(t) 0 0 M D + M N D + N (t) u (t) s Der grosse Nachtel der Tableau-Analyse besteht m sehr schnellen Anwachsen der Tableau- Matrx. De Grösse der Tableau-Matrx sowe deren bestmmenden Faktoren snd m folgenden angegeben: [b + (n-1)] [b + (n-1)]-matrx b : Anzahl KVL-Glechungen (Maschenglechungen) n: Anzahl KCL-Glechungen (Knotenglechungen) Klen- und Grossgnalanalyse Gültgket De Klen- und Grossgnalanalyse lässt sch be jedem Netzwerk anwenden, be dem de Sgnalquelle (oder AC-Quelle genannt) wesentlch klener st als de DC-Quelle. Wr bezechnen aus desem Grund de Sgnalquelle als Klensgnalquelle und de DC-Quelle als Grossgnalquelle. Es muss also gelten: Q AC <<Q DC. Merke: AC: Alternatng Current, Wechselstrom DC: Drect Current, Glechstrom Grossgnalanalyse Alle AC-Quellen auf Null setzen. Alle Kapaztäten durch Leerläufe ersetzen. Alle Induktvtäten durch Kurzschlüsse ersetzen. AC-Spannungsquellen müssen durch Kurzschlüsse ersetzt werden. AC-Stromquellen müssen durch Leerläufe ersetzt werden. Alle 1-Tore müssen durch hre nchtlnearen bzw. lnearen Charakterstken dargestellt werden. DC-Arbetspunkt bestmmen. Stephan Senn

4 Graphsche Methode: Arbetspunkt entsprcht dem Schnttpunkt der Charakterstk des Entores und der Lastkurve des Basnetzwerkes Analytsche Methode: Glechung des Basnetzwerks und Glechung des Entores nenander ensetzen und physkalsche Lösungen suchen Klensgnalanalyse Alle DC-Quellen auf Null setzen. DC-Spannungsquellen müssen durch Kurzschlüsse ersetzt werden. DC-Stromquellen müssen durch Leerläufe ersetzt werden. Nchtlneare 1-Tor- oder -Tor-Charakterstken müssen m Arbetspunkt lnearsert und durch en lneares äquvalentes Netzwerk ersetzt werden. AC-Klensgnale bestmmen. (Lösen der lnearen Glechungen) Gesteuerte Quellen CCVS: Current Controlled Voltage Source; stromgesteuerte Spannungsquelle CCCS: Current Controlled Current Source; stromgesteuerte Stromquelle (z.b. Bpolartransstor) VCVS: Voltage Controlled Voltage Source; spannungsgesteuerte Spannungsquelle (z.b. Operatonsverstärker) VCCS: Voltage Controlled Current Source; spannungsgesteuerte Stromquelle (z.b. Feldeffekttransstor) f 1 () f () CCVS v 1 0 v r m 1 1 VCVS v CCCS v VCCS v v µv 1 α 1 g m v 1 Graphsche Methode zur Bestmmung von v--kennlnen Vorgehen Geegnete graphsche Approxmaton für en entsprechendes Bautel fnden. vertkale und horzontale Geraden für deale Quellen Wnkelstück für Doden Gerade mt postver Stegung für ohm sche Wderstände usw. Alle v--kennlnen von jedem Bautel enzechnen. Anschlessend v--kennlnen der Bautele mtenander verknüpfen. be Sereschaltung: Addton entlang der v-rchtung be Parallelschaltung: Addton entlang der -Rchtung Stephan Senn

5 Analyse von Netzwerken mt berechswese lnearen Elementen Her müssen Fallunterschedungen engeführt werden! Vorgehen Annahme enes bestmmten Zustands für das berechswese lneare Element Ersatzmodell ensetzen Berechnung der Netzwerkvarablen Frage: Exstert ene wderspruchsfree Lösung? Ja: Wr snd am Zel. Der Gültgketsberech muss noch festgelegt werden. Nen: Prozedur nochmals wederholen. Bedeutung der Lösungen von dynamschen Netzwerken Dynamsche Netzwerke werden durch Dfferentalglechungen (DGL) beschreben. De Lösung ener DGL besteht aus enem homogenen Tel und enem nhomogenen. Der nhomogene Tel wrd auch als Störfunkton bezechnet. De Lösung der DGL kann als Superposton der Lösung des homogenen und des nhomogenen Tels aufgefasst werden. Des entsprcht aber auch der physkalschen Interpretaton: Lösung des homogenen Tels (Zero-Input-Response): Ist de Antwort des Netzwerks auf sene Anfangsbedngungen ohne Stmulus. Lösung des nhomogenen Tels (Partkulärlösung, Zero-State-Response): Ist de Antwort des Systems auf den Stmulus, wenn de Anfangsbedngungen alle null wären. De Partkulärlösung beschrebt also de Anregung des Systems, den Stmulus. In enem stablen System repräsentert de Partkulärlösung den statonären Zustand. Dynamscher Pfad Be dynamschen Netzwerken ergbt sch das Problem der Stabltät. Insbesondere können de nchtlnearen Kennlnen Gebete mt negatvem dfferentellem Wderstand enthalten. Dese negatven dfferentellen Wderstände geben Anlass zu Instabltäten, de schaltungstechnsch als Oszllatoren gorsse Bedeutung erlangt haben. Um solche Instabltäten zu erkennen, benötgen wr das Prnzp des Dynamschen Pfades. Vorgehen Wr betrachten den Dynamschen Pfad von (t) und v(t). Danach führen wr dre Fallunterschedungen en und betrachten das Verhalten der Strom- Spannung-Kennlne. Dabe müssen de Abhänggketen beachtet werden! (v(t)) v((t)) > 0 v(t)? 0 v(t)? < 0 v(t)? v > 0 (t)? v 0 (t)? v < 0 (t)? Wr erhalten somt Angaben über bestmmte Arbetspunkte des Netzwerks: stabler Punkt metastabler Punkt: Im Punkt selbst st de Schaltung stabl. Bewegt man sch jedoch weg von desem Punkt, so wrd de Schaltung nstabl. Sprungphänomene können auftreten. nstabler Punkt: In desem Punkt kommt es zu Sprungverhalten (Oszllaton). Stephan Senn

6 Merke: be Induktvtäten Strom blebt konstant! Spannung sprngt! be Kapaztäten Strom sprngt! Spannung blebt konstant! Schwngkrese (Dynamsche Netzwerke. Ordnung) RCL-Parallelschwngkres & L + & L + L S (t) R PC LC LC De rechte Sete der Glechung beschrebt de Anregung des Schwngkreses (her durch ene Stromquelle). Ist s (t) 0 so erhalten wr ene homogene DGL. RCL-Sereschwngkres R S 1 1 & v C + v& C + v C vs (t) L LC LC De rechte Sete der Glechung beschrebt de Anregung des Schwngkreses (her durch ene Spannungsquelle). Ist v s (t) 0 so erhalten wr ene homogene DGL. Allgemene Form der homogenen DGL && x + α x& + ω x 0 0 ω 1 R 1 0 α S LC L R C α: Dämpfungskonstante ω 0 : Egenfrequenz P Lösungen der homogenen DGL 1 Überdämpfte aperodsche Schwngung Krtsch gedämpfte aperodsche Schwngung Stephan Senn

7 3 Gedämpfte perodsche Schwngung 4 Ungedämpfte, statonäre perodsche Schwngung Güte enes Schwngkreses ω 0 τ 1 Q π τ α T 0 α T 0 : Perode der Schwngung τ: Abklngzetkonstante der Exponentalfunkton Fallunterschedungen Q verlustloser Fall, statonärer Oszllator (4) 0.5 < Q < gedämpfter perodscher Fall (3) Q 0.5 krtsch gedämpfter Fall () 0 < Q < 0.5 gedämpfter aperodscher Fall (1) Verstmmung ω ω0 V ω0 ω Phasorendarstellung Zeger oder auf engl. phasor st en Hlfsmttel n der Netzwerkanalyse zur Veranschaulchung von Sgnalen, also von zetvaranten Netzwerken. Da en Sgnal nchts anderes st als de Änderung der Ampltude A zu ener bestmmten Zet t, lässt sch deser Sachverhalt auch mt Hlfe der komplexen Ebene beschreben. A(φ) Â. e jφ Â. [cos(φ) + jsn(φ)] φ ωt Â: Schetelwert des Sgnals En zetlch abhängges Sgnal wrd also n en phasenabhängges Sgnal transformert. De Phasordarstellung erlaubt es ncht nur harmonsche Funktonen zu betrachten, sondern auch belebge Sgnale können mt der Phasordarstellung umschreben werden. Denn durch de Fourerrehenentwcklung enes bekannten Engangssgnals bzw. ener Engangsfunkton Stephan Senn

8 oder sogar de dskrete Fourertransformaton enes abgetasteten Engangssgnals erhalten wr wederum harmonsche Funktonen, de wr n Phasordarstellung schreben können. Mt Phasoren lässt sch we mt Vektoren rechnen. Insebesondere glt de Vektoraddton und Subtrakton. Bespele x 1 (t) Acos(ωt) Re[Ae jω ] x(t) Bcos(ωt) Re[Be jω ] x(t) x1(t) + x(t) Re[(A+B)e jω ] j x 3 (t) Csn(ωt) Im[Ce ω ] De Phasorendarstellung egnet sch besonders gut für graphsche Analysen, da de Vektoraddton lecht graphsch durchgeführt werden kann. De Wnkel und Längen der resulterenden Phasoren müssen dann nur noch abgelesen werden. Aber auch für Schwngkrese und somt für dynamsche Netzwerke wrd de Phasorendarstellung oft benutzt. Denn mt hrer Hlfe lassen sch de relatv aufwendgen Dfferentalglechungen n enfache Glechungen transformeren. Dabe glt folgende wchtge Bezehung: Element Zetberech Phasordarstellung Induktvtät L (t) V jωli v(t) L t Kapaztät C v(t) I jωcv (t) C t Dabe ergbt sch für de Impedanz (komplexer Wderstand): V 1 Z jωl I jωc Analog ergbt sch für de Admttanz (komplexer Letwert): I 1 Y jωc V jωl Somt lässt sch mt Phasoren rechnen we mt normalen Wderständen bzw. Letwerten. De Regeln für das Zusammenfassen von Wderständen bzw. Letwerten n Parallel- und Sereschaltung glt her ebenfalls. Bode-Dagramm Um das Frequenzverhalten enes Netzwerks zu erörtern, benutzt man häufg das Bode- Ausgangspunkt bldet ene Übertragungsfunkton H(jω), ene Input-Output- Dagramm. Bezehung der Form: Vout H ( jω ) Vn Um das Frequenzverhalten zu erörtern, erwest sch de Phasordarstellung als sehr hlfrech. De Übertragungsfunkton wrd also n Phasordarstellung geschreben. Das Bode-Dagramm besteht aus zwe Dagrammen: Phasendagramm: Phasengang der Übertragungsfunkton Ampltudendagramm: Ampltudengang des Betrags der Übertragungsfunkton n Dezbel Stephan Senn

9 Auf der Abszsse (x-achse) wrd n beden Fällen de Frequenz logarthmsch aufgetragen: log(ω ) Bem Ampltudendagramm wrd auf der Ordnate (y-achse) der Betrag der Übertragungsfunkton n Dezbel [db] aufgetragen: 0log( H(jω ) ) Bem Phasendagramm wrd auf der Ordnate (y-achse) der Wnkel n Grad [ ] oder n Rad [rad] angegeben. Übertragungsfunktonen mt n dynamschen Gledern (Kapaztäten und Induktvtäten) werden als Übertragungsfunktonen n-ter Ordnung bezechnet. Ampltudendagramme bestmmen Zuerst empfehlt es sch, de Regeln des Logarthmerens n Ampltudendagramm bedeutet des folgendes: Ernnerung zu rufen. Für das Z 1 0log H ( jω ) 0log 0[ log( Z1) 0log( Z ) Z ] 0log H ( jω ) 0log Z1 Z 0 log( Z1) + 0 log( Z ) ( ) [ ] Mt deser Hlfe lassen sch Übertragungsfunktonen n-ter Ordnung auf solche erster Ordnung reduzeren. Des verenfacht das Zechnen, da de enzelnen Übertragungsfunktonen erster Ordnung gemäss hrem Verlauf addert werden können. Im folgenden snd de wchtgsten Übertragungsfunktonen erster Ordnung aufgelstet. H(jω) 1 + jω /ω C (A) Ampltudendagramm: horzontale Kurve mt Funktonswert 0dB vom Ursprung (1,0) bs zur Knckfrequenz ω C ; anschlessend Knck nach oben mt Stegung 0dB/Dekade Phasendagramm: dreht von 0 nach +90 ; Mtte der Kurve be ω C ; s-förmger Verlauf H(jω) (1 + jω /ωc) -1 (B) Ampltudendagramm: horzontale Kurve mt Funktonswert 0dB vom Ursprung (1,0) bs zur Knckfrequenz ω C ; anschlessend Knck nach unten mt Stegung -0dB/Dekade Phasendagramm: dreht von 0 nach -90 ; Mtte der Kurve be ω C ; s-förmger Verlauf H(jω) jω (Dfferenzergled) Ampltudendagramm: Kurve mt Stegung 0dB/Dekade nach oben m Ursprung (1,0) Phasendagramm: konstant be 90 H(jω) ( jω) 1 (Integrergled) Ampltudendagramm: Kurve mt St egung -0dB/Dekade nach unten m Ursprung (1,0) Phasendagramm: konstant be -90 H(jω) jω /ω C Ampltudendagramm: Kurve mt Stegung 0dB/Dekade m Punkt (ω C,0) Phasendagramm: konstant be +90 Stephan Senn

10 H(jω) ( jω /ω C ) -1 Ampltudendagramm: Kurve mt Stegung -0dB/Dekade m Punkt (ω C,0) Phasendagramm: konstant be -90 Phasendagramme bestmmen Her empfehlt es sch, folgende Regeln anzuwenden: Z1 a1 + jb1 b1 b arg(h( jω)) arg arg arctan arctan Z a + jb a1 a b arg( H(jω)) arg Z Z arg (a1 jb1) (a jb ) arctan a b + arctan a 1 ( ) ( ) 1 Der Wnkel ener Übertragungsfunkton st also nchts anderes als das Wnkelargument des Zählers mnus jenes des Nenners. Bem Zechnen st es ratsam, zuerst das totale Wnkelntervall festzulegen: Be welcher Phase begnnt de Übertragungsfunkton? Be welcher endet se? Danach werden de enzelnen Übertragungsfunktonen erster Ordnung engezechnet und gemäss hrem Verlauf addert. Für de Übertragungsfunktonen A und B (sehe oben) glt das folgende Schema: Der Phasengang der Übertragungsfunkton B ergbt sch, ndem wr ene Gerade m Intervall von 0 bs -90 durch de Knckfrequenz be 45 gemäss der oberen Abbldung enzechnen. Dasselbe glt für de Übertragungsfunkton A. Be hr muss man de obere Abbldung an der Abszsse spegeln. Se dreht von 0 nach +90. De Stegung der Gerade wrd postv! 3-dB-Grenzfrequenz Man bezechnet de Frequenzen ω be denen der H(jω ) auf den Wert 1/ abgesunken st bzw. auf den Wert angestegen st als 3-dB-Grenzfrequenzen. Stephan Senn

11 Nyqust-Darstellung De Nyqust-Darstellung stellt de Übertragungsfunkton H(jω) n der komplexen H-Ebene dar. Dese Darstellung egnet sch vorallem für Aussagen zur Stetgket ener Übertragungsfunkton. Polstellen können her schtbar gemacht werden. Des st vorallem für Schwngkrese (z.b. Oszllatoren) von grosser Bedeutung. Be anderen Übertragungsfunktonen möchte man solche oszllatorschen Effekte vermeden. Auch dafür st dese Dartstellung geegnet. Vorgehen De Übertragungsfunkton muss mathematsch n Real- und Imagnärtel zerlegt werden. De Ordnate beschrebt den Verlauf des Imagnärtels, während de Abszsse den Verlauf des Realtels beschrebt. De Frequenz ω dent als Parameter. { H ( jω) } x Re Abszsse y Im { H ( jω) } Ordnate Anschlessend muss überlegt werden, was für enen Verlauf de Funkton aufwest. Des ergbt mest kresförmge oder ellpsenförmge Bahnen. Des zegt das folgende Bespel enes Tefpassflters: Ausgangs- und Engangsmpedanz Her wrd das Klensgnalersatzschaltbld verwendet. Engangsmpedanz bestmmen Der Ausgangsstrom out wrd auf null gesetzt. R n v n n out 0 Stephan Senn

12 Ausgangsmpedanz bestmmen Der Engangsstrom n wrd auf null gesetzt. R out v out out n 0 Verstärkungsfaktoren Her wrd das Klensgnalersatzschaltbld verwendet. Stromübertragungsfaktor / Stromverstärkung De Ausgangsspannung v out wrd auf null gesetzt. V out n v out 0 Spannungsübertragungsfaktor / Spannungsverstärkung Der Engangsstrom out wrd auf null gesetzt. V u v v out n out 0 Lestungsübertragungsfaktor /Lestungsverstärkung V p P out P n V u V Prnzp der Zustandsvarablen 1 En Netzwerk bestze n lneare dynamsche Gleder (Kapaztäten und Induktvtäten). Dann gbt es genau n Zustandsvarablen, de das Netzwerk we folgt beschreben: x 1 x t x 1 A x B t De Matrx A beschrebt de Parameter der Zustandsvarablen x 1,x,usw.. Der Spaltenvektor B benhaltet konstante Gleder. Lösung enes Systems von nhomogenen DGLs 1.Ordnung: sehe Mathematsche Methoden 1 L und C snd ncht von der Zet abhängg. Stephan Senn

13 Lteraturangabe Dese Zusammenfassung benhaltet Blder und Quellen der Vorlesung Netzwerke und Schaltungen I von Prof. Fröhlch sowe der Vorlesung Netzwerke und Schaltungen II von Prof. Jäckel. Zudem enthält se Blder und Quellen des Taschenbuches Elektrotechnk und Elektronk, erschenen m Fachbuchverlag Lepzg. Inhaltsverzechns Entelung der Netzwerke... 1 Dgraph enes Netzwerks... 1 Krchhoff sches Stromgesetz (Krchhoff Current Law, KCL)... 1 Tellegen s Theorem... Krchhoff sches Spannungsgesetz (Krchhoff Voltage Law, KVL)... Egenschaften von lnearen und dynamschen Netzwerken... Tableau-Analyse... Klen- und Grossgnalanalyse... 3 Gesteuerte Quellen... 4 Graphsche Methode zur Bestmmung von v--kennlnen... 4 Analyse von Netzwerken mt berechswese lnearen Elementen... 5 Bedeutung der Lösungen von dynamschen Netzwerken... 5 Dynamscher Pfad... 5 Schwngkrese (Dynamsche Netzwerke. Ordnung)... 6 Phasorendarstellung... 7 Bode-Dagramm... 8 Nyqust-Darstellung Ausgangs- und Engangsmpedanz Verstärkungsfaktoren... 1 Prnzp der Zustandsvarablen... 1 Stephan Senn