Konkave und Konvexe Funktionen

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1 Konkave und Konvexe Funktonen Auch wenn es n der Wrtschaftstheore mest ncht möglch st, de Form enes funktonalen Zusammenhangs explzt anzugeben, so kann man doch n velen Stuatonen de Klasse der n Frage kommenden Funktonen mt plausblen Argumenten erheblch enschränken. Konkave und konvexe Funktonen und hre Egenschaften spelen n desem Zusammenhang ene große Rolle. De Jensensche Unglechung wrd z.b. n der Theore der Entschedungsbldung unter Unscherhet verwendet. Ene Funkton heßt konkav konvex auf enem Intervall I, wenn de Sekante durch je zwe Punkte P und P 2 des Graphen unterhalb oberhalb des Graphen legt. konkave Funkton konvexe Funkton fx 2 P 2 fx Lx fx P x x 2 Abbldung : Konkave lnks und konvexe rechts Funkton.

2 De Glechung der Sekante Lx vgl. Abbldung st Lx = fx + fx 2 fx x x x 2 x = x x fx + x x fx 2 = x 2 x fx + x x fx 2. Damt ergbt sch folgende Defnton von Konkavtät analog für Konvextät: Def.: Ene Funkton f heßt konkav auf enem Intervall I, wenn für jedes Trpel x, x, x 2 I mt x < x < x 2 glt fx x 2 x fx + x x fx 2. Jedes x mt x < x < x 2 kann geschreben werden als x = λx + λx 2 für en spezelles λ 0, ; dann st n x 2 x x 2 x = λ und x x x 2 x Defnton auch we folgt gefasst werden kann: = λ, so dass de obge f st konkav auf I, wenn für jedes Punktepaar x, x 2 I mt x x 2 und jede Zahl λ 0, glt Glt statt n 2 de Relaton >, so heßt f streng konkav,, so heßt f konvex, <, so heßt f streng konvex. fλx + λx 2 λfx + λfx 2. 2 Konkavtät/Konvextät und zwete Abletung: Funkton f se zwemal dfferenzerbar auf dem Intervall I. Dann glt: f st genau dann konkav auf I, wenn f x 0 für alle x I de erste Abletung f st dann monoton fallend, 2

3 f st genau dann konvex auf I, wenn f x 0 für alle x I de erste Abletung f st dann monoton wachsend, Glt f x < 0 bzw. f x > 0 für alle x I, so st f streng konkav bzw. streng konvex. Bedngung st hnrechend, aber ncht notwendg für strenge Konkavtät/Konvextät. So st etwa fx = x 4 strkt konvex auf ganz R, aber f 0 = 0. Bespele:. fx = e x, f x = e x > 0, also st de Exponentalfunkton streng konvex auf R. 2. fx = ln x, x > 0, f x = < 0, also st ln x streng konkav auf R x Potenzfunkton fx = x α, x > 0. 3 Wegen f x = αx α und f x = αα x α 2 st fx = x α streng konvex für α < 0 und α > und streng konkav für 0 < α <. Konkavtät/Konvextät und globale Maxma/Mnma: En lokales Mnmum Maxmum ener konvexen konkaven Funkton st auch en globales Mnmum Maxmum. Das heßt, st f ene konvexe konkave Funkton auf enem Intervall I und st x 0 en statonärer Punkt von f n I, so mnmert maxmert x 0 de Funkton f auf I. Ene strkt konvexe konkave Funkton hat höchstens en globales Mnmum Maxmum. Bespel: fx = e x x. f x = e x. Statonäre Stelle st x 0 =. Wegen f x = e x > 0 st de Funkton streng konvex, daher mnmert x 0 = de Funkton global sehe Abbldung 2. Wendepunkte: In x 0 legt en Wendepunkt von f vor, wenn n x 0 de Funkton von ener konkaven Funkton n ene konvexe Funkton übergeht oder umgekehrt. Das st der Fall, wenn f x 0 = 0 und f an der Stelle x 0 das Vorzechen wechselt. Bespel: sehe Abbldung 3 fx = 2 x3 3 2 x2 = 2 x2 x

4 4.5 fx = e x x fx x Abbldung 2: Funkton fx = e x x. Es st fx = 0 für x = 0 und x = 3, und fx 0 für x 3 und fx > 0 für x > 3. f x = 3 2 x2 3x = 3 xx f x = 0 für x = 0 und x = 2, f > 0 für x < 0, f < 0 für 0 < x < 2 und f > 0 für x > 2, also hat f n 0 en lokales Maxmum und n 2 en lokales Mnmum. f x = 3x. 6 f x = 0 für x =, und f < 0 für x < f konkav für x < und f > 0 für x > f konvex für x >, also hat f n enen Wendepunkt. De Bedngung f = 0 st ene notwendge, aber kene hnrechende Bedngung für enen Wendepunkt, we das Bespel fx = x 4 zegt. 4

5 .5 fx = 0.5*x 2 *x fx x Abbldung 3: Funkton fx = 2 x3 3 2 x2 = 2 x2 x 3. De Jensensche Unglechung st ene Verallgemenerung von 2. Unglechung von Jensen: Se f : I R konkav. Snd λ,..., λ n postve Zahlen mt λ + λ λ n = =, 7 so glt für alle x, x 2,..., x n I: fλ x +λ 2 x 2 + +λ n x n = f x λ fx +λ 2 fx 2 + +λ n fx n = fx. Ist f streng konkav, so glt Glechhet n 8 nur, wenn x = x 2 = = x n. Für konvexe f glt 8 mt umgekehrtem Vorzechen. 8 Der Bewes kann mttels vollständger Indukton geführt werden. Für n = 2 entsprcht 8 gerade der Defnton der Konkavtät. Für den Schluss von n auf n + setzt man λ := λ + λ λ n = 5, 9

6 und Dann st und x := λ λ x + λ 2 λ x λ n λ x n = λ x = λ x. 0 x, λ + λ n+ = λ + λ λ n+ =, 2 und ebenfalls λ λ + λ 2 λ + + λ n λ Es folgt nun aus 2 und der Induktonsannahme 8 glt für n n+ f x = f x + λ n+ x n+ = f λ =. 3 λ x + λ n+ x n+ 4 5 = fλx + λ n+ x n+ 6 2 und 2 λfx + λ n+ fx n+ 7 = λf λ x + λ n+ fx n+. 8 Wegen 3 und der Induktonsannahme 8 glt für n st nun n 8 f λ x λ fx. 9 Damt ergbt sch schleßlch f n+ x = λf λ n+ λ x + λ n+ fx n+ 20 λ fx + λ n+ fx n+ 2 fx, 22 6

7 womt 8 für n + und somt für alle n bewesen st. Anwendung: Unglechung zwschen dem arthmetschen und dem geometrschen Mttel Für belebge postve Zahlen x, x 2,..., x n st das arthmetsche Mttel x A = x + x x n n = n x, 23 und das geometrsche Mttel x G = x x 2 x n /n = n n x. 24 Der Logarthmus st wegen ln x = /x 2 < 0 streng konkav, also glt, mt fx = lnx und λ = λ 2 = = λ n = n lnx A = ln n x n n 8, lnx = lnx /n n = ln n x = lnx G, also allgemen durch Anwendung der Exponentalfunkton x A = x n n x = x G, 25 n und Glechhet glt nur für x = x 2 = = x n. Betrachten wr als Bespel folgende Stuaton: Wr wollen en Kaptel von K 0 = Euro für 0 Jahre anlegen. Zur Wahl stehen als erste Anlagemöglchket en Wertpaper mt konstanter Jahresrendte von r = 5% und als zwete Möglchket ene Anlage mt Jahresrendten r, r 2,..., r 0 we n Tabelle. Da r A = 0 r = = 5, 26 wesen bede Anlagen ene gleche Durschschnttsrendte auf. Welche Anlage st vorzuzehen? 7

8 Tabelle : Jahresrendten der zweten Anlagemöglchket Jahr Rendte r n % durch Das Kaptal nach zehn Jahren st für de erste bzw. zwete Anlagemöglchket gegeben K 0, = K 0 + r A 0, bzw. K 0,2 = K r. 27 Des ergbt ungefähr K 0, = Euro für de erste und K 0,2 = Euro für de zwete Anlagemöglchket, de Dfferenz beträgt etwa Euro. 25 Solange de Jahresrendten ncht konstant snd, st allgemen für n Peroden wegen n n n + r < n + r < + r n. + r A = + r A Es st also be glecher Durchschnttsrendte de Anlage mt der festen konstanten Rendte vorzuzehen. Etwas allgemener wenn auch wenger präzse lässt sch sagen, dass be glecher arthmetscher Durchschnttsrendte dejenge Anlageform vorzuzehen st, de ene gerngere Volatltät aufwest m Bespel st de erste Anlage überhaupt ncht volatl. Je höher also de Volatltät be gegebener Durchschnttsrendte als arthmetsches Mttel der Enperodenrendten, desto gernger de Mehrperodenrendte. Lteratur: Sydsaeter/Hammond, Kaptel 8; Köngsberger, Kaptel 9. Das enfachste Bespel für desen Zusammenhang st ene Investton von Euro über zwe Peroden, de n der ersten Perode ene Rendte von 0% erzelt und n der zweten Perode ene Rendte von 0%, de Durschnttsrednte st Null. Nach der ersten Perode beträgt das Kaptal 0 Euro, nach der zweten Perode 99 Euro, also wurde nsgesamt en Verlust realsert, trotz ener durchschnttlchen Rendte von Null. 8

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