Mathematik für Ökonomen Kompakter Einstieg für Bachelorstudierende Lösungen der Aufgaben aus Kapitel 12 Version 1.0 (11.

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1 Mathematk für Ökonomen Kompakter Ensteg für Bachelorstuderende Lösungen der Aufgaben aus Kaptel Verson.. September 5) E. Cramer, U. Kamps, M. Kater, M. Burkschat 5

2 Cramer, Kamps, Kater, Burkschat Lösungen zu Kaptel Lösung zu Aufgabe. Betrachte mt a,b,c. Dann glt für λ>: d.h. K st lnear homogen. K x,x ) = ax + bx + c x x, x,x, K λx,λx ) = aλx + bλx + c λ x x } {{ } = λ x x = aλx + bλx + cλ x x = λ ax + bx + c ) x x = λk x,x ), Lösung zu Aufgabe. Betrachte de CES-Produktonsfunkton f x,...,x n ) = α = α x β /β mt β>,β, und α,α,...,α n [,] mt n = α =. ) Für λ> glt:, x,...,x n >, /β f λx,...,λx n ) = α α λx ) β = /β = α λ β α x β = = α ) λ β /β α x β = /β = α λ α x β = = λ f x,...,x n ), d.h. de CES-Produktonsfunkton f st lnear homogen. /β ) Se gx,...,x n ) = α x α... xα n n, x,...,x n,. Verson.. September 5)

3 Lösungen zu Kaptel Cramer, Kamps, Kater, Burkschat de Cobb-Douglas-Produktonsfunkton. Dann st nachzuwesen, dass glt. Betrachte und lm f x,...,x n ) = gx,...,x n ), x,...,x n >, β expln f x,...,x n ))) = exp lnα ) + ) β ln = α x β explngx,...,x n ))) = exp lnα ) + α lnx ) + + α n lnx n )). Da de Funkton explnα ) + z) n z R stetg st, genügt es zu zegen, dass glt. Es folgt lm ) β β lm ) β β ln ln = = α x β = α lnx ) + + α n lnx n ) α x β ln = lm β ) = lm β = = = = lm β = lm β n= α x β ) β n= α x β = α lnx )x β n= α x β α lnx )lm n= α lm = α lnx ) = = α }{{} = α lnx ) = x β β ) x β β ) } {{ } =x = α lnx ))x β Verson.. September 5).3

4 Cramer, Kamps, Kater, Burkschat Lösungen zu Kaptel und damt de Behauptung. Herbe wurde be *) de Regel von l Hosptal für den Typ angewendet, denn es glt aufgrund der Stetgket der Logarthmusfunkton lm ln β = α x β = ln = ln α lm = = x β β ) α = ln) =. Be der Bestmmung der Abletung für den Zähler der rechten Sete der Glechung *) wrd dann noch verwendet, dass für de Abletung von x β nach β glt: x β ) = exp β lnx ))) = exp β lnx ))) lnx )) = lnx ))x β. Lösung zu Aufgabe.3 ) f x, y) = π 47 y +, f x x, y) =, y R, f y x, y) = π 47y + ) /π 47 y ln47) ) f x, y) = 3 e x + 47y, f x x, y) = 3 e x + 47y ) /3 e x ), f y x, y) = 3 e x + 47y ) /3 564y ) f x, y) = x + y 4 + 5, f x xx, y) = x + y 4 + 5), 4y 3 f y x, y) = x + y 4 + 5) v) f x, y) = e ex ) y, f xx, y) = e ex ) e x = e x+ex, f y x, y) = y v) f x, y) = x y, f x x, y) = yx y, f y x, y) = lnx))x y, x > v) f x, y) = lne) =, f x x, y) = f y x, y) =, x, y) R Lösung zu Aufgabe.4 Betrachte de CES-Produktonsfunkton f x,...,x n ) = α j= α j x β j /β, x,...,x n >,.4 Verson.. September 5)

5 Lösungen zu Kaptel Cramer, Kamps, Kater, Burkschat mt β>,β, und α,α,...,α n [,] mt n = α =. Es glt f x,...,x n ) = α ) x β j= = α ) β j= = α α x β α j x β j α j x β j j= β x j= β α β)x β ) α j x β j Daher folgt für de zugehörge partelle Elastztätsfunkton β. x ε f ;x x,...,x n ) = x f x,...,x n ) f x,...,x n ) α α x β nj= α j x β j = x = α x β = x β α nj= α j x β j= α α j x β j nj= α j x β j. j ) /β ) β α j x β j Lösung zu Aufgabe.5 ) Für de Cobb-Douglas-Produktonsfunkton f x,...,x n ) = α x α... xα n n, x,...,x n, glt f x,...,x n ) = α x α x... xα α x α x α xα n n. Daher folgt x f x,...,x n ) = α x α x... xα α x α x α xα n n ) = = = α x α... xα n n α = } {{ } = = f x,...,x n ). Verson.. September 5).5

6 Cramer, Kamps, Kater, Burkschat Lösungen zu Kaptel Also erfüllt de Cobb-Douglas-Produktonsfunkton f de Eulersche Glechung mt p =, da f lnear homogen st). ) Für de CES-Produktonsfunkton glt Daher folgt f x,...,x n ) = α = α x β /β f x,...,x n ) = α α x β x, x,...,x n >, j= α j x β j β. x = f x,...,x n ) = x α α x β = j= = α α j x β j j= β = α α j x β j j= = f x,...,x n ). β α j x β j = β α x β Also erfüllt de CES-Produktonsfunkton ebenfalls de Eulersche Glechung wederum mt p = ). Lösung zu Aufgabe.6 Für de homogene Funkton f vom Grad p glt ε f ;x x,...,x n ) = = = x x f x,...,x n ) f x =,...,x n ) f x,...,x n ) x f x,...,x n ) x = p. = } {{ } ) = pfx,...,x n ) Herbe wurde an der Stelle ) de Eulersche Glechung verwendet..6 Verson.. September 5)

7 Lösungen zu Kaptel Cramer, Kamps, Kater, Burkschat Lösung zu Aufgabe.7 ) Für de ersten partellen Abletungen glt x f x,y) = axa y b + ce cx+y), y f x,y) = bxa y b + ce cx+y) und für de zweten partellen Abletungen folgt xx f x,y) = aa )xa y b + c e cx+y), xy f x,y) = abxa y b + c e cx+y) = yy f x,y) = bb )xa y b + c e cx+y). ) Für de ersten partellen Abletungen glt yx f x,y), x f x,y,z) = xy + z )e x + x y + y z + z x)e x = x y + xy + y z + xz + z )e x, y f x,y,z) = x + yz)e x, z f x,y,z) = y + zx)e x und für de zweten partellen Abletungen folgt xx f x,y,z) = 4xy + y + z )e x + x y + xy + y z + xz + z )e x = x y + 4xy + y + y z + xz + z )e x, xy f x,y,z) = xex + x + yz)e x = x + x + yz)e x = yx f x,y,z), xz f x,y,z) = zex + y + zx)e x = y + xz + z)e x = zx f x,y,z), yy f x,y,z) = zex, Verson.. September 5).7

8 Cramer, Kamps, Kater, Burkschat Lösungen zu Kaptel yz f x,y,z) = yex = zz f x,y,z) = xex. Lösung zu Aufgabe.8 zy f x,y,z), ) De Funkton f Graph s. Abbldung.) lässt sch we folgt verenfachen f x, y) = x x y + 4xy 4xy 3 y3 + 6x + 5 = x + 6x 3 y3 y + 5, x, y) R. Heraus ergeben sch de ersten partellen Abletungen f x x, y) = x + 6 = x 3), f y x, y) = y 4y = yy + ), x, y) R. Es folgt f x x, y), f y x, y) ) =, ) x 3, yy + ) ) =, ) x = 3 und y {, }. Somt snd x, y ) = 3, ) und x, y ) = 3, ) de enzgen statonären Punkte von f. Erneutes Dfferenzeren lefert de zweten partellen Abletungen f xx x, y) =, f yy x, y) = 4y 4 = 4y + ), f xy x, y) =, x, y) R. Es folgt f xx x, y ) f yy x,y ) f xy x,y ) ) = ) 4) + ) = 8 <, f xx x, y ) f yy x,y ) f xy x,y ) ) = ) 4) + ) = 8 >, f xx x, y ) = <. ) ) ) Gemäß ) legt m statonären Punkt x, y ) = 3, ) kene Extremalstelle von f vor. Gemäß ) und ) bestzt de Funkton f m statonären Punkt x, y ) = 3, ) en lokales Maxmum mt zugehörgem Funktonswert f 3, ) = = 4 Vgl. jewels Cramer et al. 5), S. 7). ) Für den Punkt x 3, y 3 ) =, 3) erhält man aus ) f x x 3, y 3 ) = ) 3) = 6, f y x 3, y 3 ) = ) 3) 3 + ) = 6. De Rchtungsabletung von f n, 3) n Rchtung des Vektors z = 4 5, 3 5 ) st somt gegeben durch f x x 3, y 3 )z + f y x 3, y 3 )z = ) 3 5 = Verson.. September 5)

9 Lösungen zu Kaptel Cramer, Kamps, Kater, Burkschat 5 f x,y) 5 5 x 5 4 y Abbldung.: Graph der Funkton f aus Aufgabe.8 für x [ 5, ], y [ 5, 3]. Lösung zu Aufgabe.9 Extremwerte zu f x, y) = x + y 6x y + : f x x, y) = x 6 = x = 3, f y x,y) = y = y =. Also st x, y ) = 3, ) statonärer Punkt von f. Weterhn glt für de zweten partellen Abletungen: f xx x, y) =, f yy x, y) =, f xy x, y) =. Es glt also: f xx 3, ) f yy 3, ) f xy3, ) = 4 >. Da zusätzlch f xx 3, ) = >, folgt, dass f m Punkt 3, ) en lokales Mnmum mt Wert f 3, ) = ) hat. Extremwerte zu gx, y) = e x e) +y : g x x, y) = x e)e x e) +y = x = e, g y x, y) = ye x e) +y = y =, so dass x, y ) = e, ) enzger statonärer Punkt von g st. Weter st g xx x, y) = x e) + )e x e) +y, g yy x, y) = y + )e x e) +y, g x,y x, y) = 4yx e)e x e) +y. Also glt: g xx e, )g yy e, ) g xye, ) = e e = 4 >. Da zusätzlch g xx e, ) = >, hat g m Punkt x, y ) = e, ) en lokales Mnmum mt Wert ge, ) = ). Verson.. September 5).9

10 Cramer, Kamps, Kater, Burkschat Lösungen zu Kaptel Lösung zu Aufgabe. Betrachte de folgende Funkton x 3 gx; k,a,b) = k 3 ) x a + b) + abx, x R, wobe k, a, b > und 3a < b gelte. Dann ergbt sch für de erste und zwete Abletung nach x: g x; k,a,b) = k x a + b)x + ab ), g x; k,a,b) = k x a + b)). Insbesondere folgt dann durch Ensetzen von a bzw. b und Ausrechnen: ga; k,a,b) = k a 6 3b a), g a; k,a,b) =, g a; k,a,b) = ka b), gb; k,a,b) = k b 6 3a b), g b; k,a,b) =, g b; k,a,b) = kb a). Nach Voraussetzung glt a,b > und 3a < b. Daher folgt a < 3a < b,alsoa < b, und dann a < b < 3b, alsoa < 3b. Des lefert wederum nsgesamt ga; k,a,b) >, g a; k,a,b) =, g a; k,a,b) <, gb; k,a,b) <, g b; k,a,b) =, g b; k,a,b) >. Betrachte nun de Funkton f : R R defnert durch f x,y) = gx; k,a,b) gy; k,c,d), x,y R, wobe k,a,b,c,d > und 3a < b,3c < d gelte. Beachte, dass sch de obgen Ergebnsse für gx; k,a,b) n entsprechender Wese auf gy; k,c,d) übertragen lassen. Nun glt x f x,y) = g x; k,a,b) gy; k,c,d), und weterhn x f x,y) = g x; k,a,b) gy; k,c,d), xy f x,y) = g x; k,a,b) g y; k,c,d) = y f x,y) = gx; k,a,b) g y; k,c,d). ) Zunächst glt aufgrund der obgen Ergebnsse y f x,y) = gx; k,a,b) g y; k,c,d) yx f x,y), x f a,c) = g a; k,a,b) gc; k,c,d) =, } {{ } =. Verson.. September 5)

11 Lösungen zu Kaptel Cramer, Kamps, Kater, Burkschat sowe y f a,c) = ga; k,a,b) g c; k,c,d) =, } {{ } = x f b,d) = g b; k,a,b) gd; k,c,d) =, } {{ } = y f b,d) = gb; k,a,b) g d; k,c,d) =, } {{ } = d.h. a,c) und b,d) snd statonäre Punkte. Analog lässt sch nachwesen, dass a,d) und b,c) ebenfalls statonäre Punkte snd. Weterhn glt x f a,c) = g a; k,a,b) gc; k,c,d) <, } {{ }} {{ } < > xy f a,c) = g a; k,a,b) g c; k,c,d) =, y Insbesondere folgt dann f a,c) = ga; k,a,b) } {{ } > g c; k,c,d) <. } {{ } < D f a,c) = x f a,c) } {{ } y f a,c) xy f a,c) } {{ }} {{ } < < = Also folgt mt dem hnrechendem Krterum, dass a,c) ene lokale Extremalstelle st. Es handelt sch um ene lokale Maxmalstelle, da f a,c) <. Für den Punkt x b,d) lässt sch n ähnlcher Wese zegen, dass es sch um ene lokale Maxmalstelle handelt. Für den Punkt a,d) glt und damt x f a,d) = g a; k,a,b) gd; k,c,d) >, } {{ }} {{ } < < xy f a,d) = g a; k,a,b) g d; k,c,d) =, y f a,d) = ga; k,a,b) } {{ } > g d; k,c,d) > } {{ } > D f a,d) = x f a,d) } {{ } y f a,d) xy f a,d) } {{ }} {{ } > > = >. >. Verson.. September 5).

12 Cramer, Kamps, Kater, Burkschat Lösungen zu Kaptel Also folgt, dass a,d) ene lokale Mnmalstelle st, da x f a,d) >. Für den Punkt b,c) lässt sch n ähnlcher Wese zegen, dass es sch ebenfalls um ene lokale Mnmalstelle handelt. ) Für den Punkt, ) ergbt sch x f, ) = g ; k,a,b) g; k,c,d) =, } {{ } = y f, ) = g; k,a,b) g ; k,c,d) =, } {{ } = d.h., ) st en statonärer Punkt. Weterhn glt und daher folgt x f,) = g ; k,a,b) g; k,c,d) =, } {{ } = xy f,) = g ; k,a,b) } {{ } =kab g ; k,c,d) = k abcd >, } {{ } =kcd f,) = g; k,a,b) g ; k,c,d) =, y } {{ } = D f,) = x f,) } {{ } y f,) xy f,) } {{ }} {{ } = = > d.h.,) st kene lokale Extremalstelle von f. <, Lösung zu Aufgabe. ) Mttels Summen- und Faktorregel folgt: f x x, y) = x y, x, y) R, f y x, y) = y x +, x, y) R. ) Für de statonären Punkte von f ergbt sch daher: = f x x, y) = x y y = x I) = f y x, y) = y x + y = x II) Durch Glechsetzen von I) und II) resultert dann de Glechung x = x x =.. Verson.. September 5)

13 Lösungen zu Kaptel Cramer, Kamps, Kater, Burkschat Ensetzen n II) ergbt dann y = 3. Somt st, 3) enzger statonärer Punkt von f und damt de enzge möglche lokale Extremalstelle von f. ) De zweten partellen Abletungen von f erhält man aus ) mttels Summen- und Faktorregel: f xx x, y) = x f xx, y) = x x y ) =, x, y) R, f yy x, y) = y f yx, y) = y y x + ) =, x, y) R, f xy x, y) = x f yx, y) = x y x + ) =, x, y) R. Alternatv hätte f yx berechnet werden können: f yx x, y) = y f xx, y) = y x y ) = = f xyx, y), x, y) R. v) Nun blebt zu prüfen, ob der statonäre Punkt ene lokale Extremalstelle von f st s. Cramer et al. 5), S. 7). Wegen f xx, 3) f yy, 3) f xy, 3) ) = ) = > legt m Punkt, 3) ene lokale Extremalstelle von f vor. Aus f xx, 3) = > folgt, dass f m Punkt, 3) en lokales Mnmum mt zugehörgem Funktonswert f, 3) = ) + 3) ) 3) ) + 3) + 7 bestzt. Bemerkung: Da de Bedngungen = = 9 f xx x, y) f yy x, y) f xy x, y) ) = > und f xx x, y) = > für jeden Punkt x, y) R erfüllt snd, bestzt de Funkton f n, 3) sogar en globales Mnmum s. Cramer et al. 5), S. 78). De Funkton st konvex auf R. Der Funktonsgraph von f st n Abbldung. dargestellt. Verson.. September 5).3

14 Cramer, Kamps, Kater, Burkschat Lösungen zu Kaptel 6 f x,y) 4 4 x 4 y Abbldung.: Funktonsgraph von f aus Aufgabe.. Lösung zu Aufgabe. ) De Bestmmung der ersten partellen Abletungen von u erfolgt mttels Summenund Faktorregel: u p p, p ) = 5 4p p, p, p, ), u p p, p ) = 6 6p p, p, p, ). ) De statonären Punkte von u ergeben sch aus: = u p p, p ) = 5 4p p p = 5 p I) = u p p, p ) = 6 6p p p = 3 p II) Glechsetzen von I) und II) ergbt: 5 p = 3 p 5 3 p = 5 p = 9 Ensetzen von p = 9 n I) lefert p = 7. Somt st 9, 7) der enzge statonäre Punkt von u. ) De zweten partellen Abletungen von u erhält man mttels Summen- und Faktorregel. Für p, p, ) glt: u p p p, p ) = u p p, p ) = 5 4p p ) = 4, p p u p p p, p ) = u p p,p ) = 6 6p p ) = 6, p p.4 Verson.. September 5)

15 Lösungen zu Kaptel Cramer, Kamps, Kater, Burkschat u p p p, p ) = p u p p,p ) = Entsprechend folgt für p, p, ): u p p p, p ) = p u p p, p ) = p 6 6p p ) =. p 5 4p p ) =. v) De Überprüfung, ob der statonäre Punkt lokale Extremalstelle von u st, ergbt: u p p 9, 7)u p p 9, 7) u p p 9, 7) ) = 4) 6) ) = >, so dass m Punkt 9, 7) ene lokale Extremalstelle von u vorlegt. Weterhn glt: u p p 9, 7) = 4 <. Damt bestzt u m Punkt 9, 7) en lokales Maxmum mt zugehörgem Umsatz n Währungsenheten) u9, 7) = = 435. Im Punkt 9, 7) legt sogar en globales Maxmum der Funkton u vor, d.h. es glt: u9, 7) = max { up, p ) p, p [, ] }. Für alle p, p, ) glt nämlch u p p p, p ) = 4 < und u p p p, p )u p p p, p ) u p p p, p ) ) = >. Damt st de Umsatzfunkton u konkav auf [, ] [, ] s. Cramer et al. 5), S. 77). De zum Maxmalumsatz gehörenden abgesetzten Mengen snd: x 9, 7) = = 5, x 9, 7) = = 3. Der Funktonsgraph von u st n Abbldung. dargestellt. Bemerkung zu möglchen Extrema auf dem Rand des Defntonsberechs: We de Rechnung zegt, bestzt u m offenen Intervall, ) kene wetere lokale Extremalstelle, nsbesondere ken lokales Mnmum. We man aber anhand der graphschen Darstellung erkennen kann, bestzt u auf dem abgeschlossenen Intervall [, ] sogar en globales Mnmum m Randpunkt, ) mt zugehörgem Umsatz u, ) = Währungsenheten). Verson.. September 5).5

16 Cramer, Kamps, Kater, Burkschat Lösungen zu Kaptel 4 up, p) p 8 p 8 Abbldung.: Funktonsgraph von u aus Aufgabe.. Lösung zu Aufgabe.3 ) Gesucht snd globale Extrema der Funkton f : R R defnert durch f x,y) = lnx + y + ), x,y) R, unter der Nebenbedngung x + y =. Ensetzen von x = y n f lefert de neue Funkton f : R R mt f y) = f y,y) = ln y) + y + ) = lny y + ) = ln) + lny y + ). Wegen < y) + y + = y y + ) glt y y + > für alle y R. Daher folgt für de Abletung von f : f y) = y y y + = y = y =. Also st y = en Kanddat für ene Extremalstelle. Wegen f y) = y y y + >, y >, <, y <, st f streng monoton fallend m Intervall, ) und streng monoton wachsend m Intervall, ). Also handelt es sch be y = um ene globale Mnmalstelle von.6 Verson.. September 5)

17 Lösungen zu Kaptel Cramer, Kamps, Kater, Burkschat f. Daraus folgt, dass, ) =, ) ene globale Mnmalstelle von f unter der Nebenbedngung x + y = st. De Funkton f hat also genau en globales Extremum unter der Nebenbedngung und dabe handelt es sch um en globales Mnmum, welches durch f, ) = ln 3 ) gegeben st. ) Gesucht snd globale Extrema der Funkton f : R R defnert durch f x,y) = lnx + y + ), x,y) R, unter der Nebenbedngung x + y =. Ensetzen von y = x n f lefert de neue Funkton f : R R mt f x) = f x, x ) = lnx + x ) + ) = lnx 4 x + ). Es glt x 4 x + = x + x ) + > für alle x R. Daher folgt für de Abletung von f : f x) = 4x3 x x 4 x + = 4x3 x = xx ) = x = oder x = { x },,. Also snd x =, x = und x = Kanddaten für Extremalstellen. Wegen und f ) = <, f ) < < < < < < = 8 9 >, f ) = 8 9 <, f ) = >, st f streng monoton fallend n den Intervallen, ) und, ) sowe streng monoton wachsend n den Intervallen,) und, ). Also snd x = und x = lokale Mnmalstellen und x = st ene lokale Maxmalstelle. Es glt weterhn lm f x) = lm x lm x lnx 4 x + ) =, x f x) = lm ln x) 4 x) + ) = lm lnx 4 x + ) =. x x Verson.. September 5).7

18 Cramer, Kamps, Kater, Burkschat Lösungen zu Kaptel Also st x = kene globale Maxmalstelle von f. Weterhn glt f ) = ln ) 4 ) ) 4 ) + = ln + = f ) f st sogar ene gerade Funkton). Also ergbt sch aus dem Monotoneverhalten von f, dass x = und x = globale Mnmalstellen snd. Daraus folgt, dass, ) ) =, ) und, ) ) =, ) globale Mnmalstellen von f unter der Nebenbedngung x +y = snd. De Funkton f hat also zwe globale Extrema unter der Nebenbedngung. Es handelt sch dabe um globale Mnma und der zugehörge Mnmalwert st gegeben durch f, ) = ln 7 4 ) = f, ). Bemerkung: De Extremalstellen n ) und ) können alternatv auch durch de Betrachtung von hx,y) = x + y +, x,y) R, unter der jewelgen Nebenbedngung bestmmt werden. Da der Logarthmus ln ene streng monoton wachsende Funkton st, haben hx,y) und lnhx,y)),x,y) R, de glechen Extremalstellen aber ncht de glechen Extremwerte). Lösung zu Aufgabe.4 Auflösen der Nebenbedngungen nach x bzw. z ergbt x = 4 + y, z = + 3y. Ensetzen n f lefert de Funkton g : R R mt gy) = f 4 + y, y, + 3y) = exp { 4 + 3y) + 3 y) } = exp { 8y 3y 7 }..8 Verson.. September 5)

19 Lösungen zu Kaptel Cramer, Kamps, Kater, Burkschat,5 9 gy),5 9, 9,75 9,5 9,5 9 3 y gy) lässt sch offenbar n der Form e py) mt py) = 8y 3y 7 schreben, d.h. g st ene streng monoton wachsende Funkton von p. Damt haben g und p deselben Extremalstellen, so dass z.b. ene Maxmalstelle von p ene Maxmalstelle von g st. Ableten von p ergbt p y) = 6y 3 sowe p y) = 6. Damt st p ene strkt konkave Funkton. Folglch st y = 3 6 = 5 8 =,875 ene globale Maxmalstelle von p und damt auch von g. Aus 8, 37 ) 8 als globale Maxmalstelle von f. den Nebenbedngungen ergbt sch dann 4, 5 Lösung zu Aufgabe.5 De Nebenbedngung mplzert, dass alle zulässgen Wertepaare x,y) de Bedngung x, y [, ] erfüllen. Genauer legen de Paare x, y) auf der Kreslne n der Ebene. y x Ene Betrachtung der Funkton f zegt, dass dese von x nur über den Term x abhängt. Daher kann de Glechung x = y n f engesetzt werden und lefert de gebrochen ratonale Funkton g : R R mt gy) = ln3) y + y + y. Verson.. September 5).9

20 Cramer, Kamps, Kater, Burkschat Lösungen zu Kaptel gy),5,,5 6 4 y y y,5,,5 Ableten von g ergbt mt der Quotentenregel g y) = ln3) y) + y ) y + y )y + y ) = ln3) y + y + y ). Nullsetzen des Zählers ergbt de quadratsche Glechung y + y =, deren Lösungen z.b. mttels ener quadratschen Ergänzung) gegeben snd durch y =,44, y =,44. Für das Vorzechen von g y) glt mt der Stetgket von g : Somt st g y y y... {{}} {{ }}{{... + da g )=ln3)> g 3)= ln3) 5 < streng monoton fallend n, y ), streng monoton wachsend n y, y ), streng monoton fallend n y, ). g )= ln3)< Also legen an der Stelle y = en globales Mnmum und an der Stelle y = en globales Maxmum von g. Setzt man de gefundenen Werte y, y n de Nebenbedngung x + y = en, so erhält man de beden Glechungen x = y = ) = + ) <,. Verson.. September 5)

21 Lösungen zu Kaptel Cramer, Kamps, Kater, Burkschat x = y = ) = ) >. De erste Glechung hat kene reelle Lösung Des seht man auch daran, dass y [, ] glt). Daher st nur noch de zwete Glechung zu betrachten. Auflösen nach x ergbt de Lösungen x = ),98, x = ),98. De Funkton f hat daher unter der Nebenbedngung x +y = zwe globale Mnmalstellen an den Stellen ), ), ), ). Lösung zu Aufgabe.6 ) f x, y) = 3x + 4y + 6xy, gx, y) = x + y 4, f x x, y) = 6x + 6y, g x x, y) =, f y x, y) = 6x + 8y, g y x, y) =. Statonäre Punkte x, y) snd Lösungen des Glechungssystems 6x + 6y + λ = 6x + 8y + λ = x + y 4 = R x + y + λ = 6x + 4y = Dazu: 6x + 8y + λ = x + 4y = 8 6x + 4y = 4x = 8 Daraus erhält man x = und y = 3, d.h., 3) st statonärer Punkt. ) f x, y) = 3x+y+5, gx, y) = x +y, f x x, y) = 3, g x x, y) = x, f y x, y) =, g y x, y) = 4y. En statonärer Punkt st Lösung des folgenden Glechungssystems: 3 + x λ = x = 3 Es st λ, denn λ = würde zu λ + 4y λ = R y = enem Wderspruch führen.) λ x + y = R 9 4λ + λ = d.h. = λ = 4λ 4 λ = für λ = Statonäre Punkte: oder λ =. Des ergbt : x = 3, y =, bzw. für λ = : x = 3, y =. 3, ), 3, ). Verson.. September 5).

22 Cramer, Kamps, Kater, Burkschat Lösungen zu Kaptel Lösung zu Aufgabe.7 Mt gx, y) = x +y sndg x x, y) = x, g y x, y) = 4y; weterhn glt f x x, y) = x+, f y x, y) = 4y + 4. De Lagrange-Funkton st gegeben durch Lx, y,λ) = f x, y) + λgx, y) = x + x + y + 4y + λx + y ) mt partellen Abletungen: Lx, y,λ) = x + + λx x Lx, y,λ) = 4y λy y λ Lx, y,λ) = x + y x, y,λ) st en statonärer Punkt von L bzw. x, y) st en statonärer Punkt von f unter der Nebenbedngung gx, y) =, falls x + + λx = 4y λy = x + y = xλ + ) + = yλ + ) + = x + y = I) II) III) Aus I) folgt x = λ+) Es st λ, denn λ = lefert enen Wderspruch n I)). Zusammen mt der Glechung y = λ+ aus II) erhält man durch Ensetzen n III): 4λ + ) + λ + ) = λ + ) = 9 4 λ = 5 oder λ =. λ = 5 führt auf x = = 5 +) 3 und y = λ+ = 3 ; λ = führt auf x = 3 und y = 3. Damt snd 3, 3, ) 5 und 3, 3, ) statonäre Punkte von L bzw. 3, ) 3 und 3, ) 3 statonäre Punkte von f unter der Nebenbedngung gx, y) =. Lösung zu Aufgabe.8 ) Für das gesuchte Integral glt: R = f x, y)dx,y) = [ ] xy + y 3 dx = x + 3y ) dy) dx [ x x + )dx = + x ] = 3. Verson.. September 5)

23 Lösungen zu Kaptel Cramer, Kamps, Kater, Burkschat ) Zunächst st f x, y) = xy x y + = x )y ), x, y [, ]. De Funkton f st also als Produkt zweer Funktonen mt getrennten Varablen darstellbar, und es glt: R f x, y)dx,y) = ) x )dx ) y )dy ) ) x ) = y ) = 4. ) Zur Berechnung des Doppelntegrals wrd zunächst de Integraton nach der Varablen x ausgeführt: ) xy e x dxdy = xy e x dx dy Wegen = part. = Int. y = y y [ x }{{} vx) }{{} e x ux) e x }{{} u x) x }{{} vx) e [ e x] x= x= dx = y dy = 3 y3 y= = y= 3. ) dy ] x= x= ) dy = }{{} e x ux) }{{} v x) ) dx dy y e e + }{{} e ) dy = f x, y) = xy e x für x [, ], y [, ], gbt der berechnete Wert des Doppelntegrals auch den Volumennhalt des Volumens zwschen dem Graphen von f und der x/y Ebene über dem zwedmensonalen) Intervall [, ),, )] an. Lösung zu Aufgabe.9 Betrachtet man de stetge Funkton f zunächst als ene Funkton g y, de nur von der Varablen x abhängt, also g y x) = f x, y) = x + y + xy) e x+y+xy), x, y) R =, ), dann st wegen R f x, y) dx dy = g y x) dx dy Verson.. September 5).3

24 Cramer, Kamps, Kater, Burkschat Lösungen zu Kaptel das nnere Integral zu bestmmen. Für b > glt nun g y x) dx b b g y x) dx = [ x + y + xy) = b + y + by + y )] b + y e x+y+xy) + e b+y+by) + b y + y e y + e y b + y) mt e x+y) dx = + y e x+y) b = + y e b+y) + + y. Wegen + y e x+y+xy) dx e x+y) dx lm b + y + by) b + y + by b e b+y+by) = lm b e b+y+by l Hosptal = lm b + y + y) e b+y+by = und lm b e b+y) = erhält man Also ergbt sch b g y x) dx = lm g y x) dx = b R = y + y e y + + y e y = e y, y >. f x,y) dx dy = g y x) dx dy b e y dy = lm e y dy = lm e b + ) =. b b Bemerkung In der Statstk kann de Funkton f als Dchtefunkton ener spezellen bvaraten Gumbel-Exponentalvertelung nterpretert werden. De Berechnung des Integrals wrd etwas überschtlcher, wenn f n anderer Form dargestellt und de Substtutonsmethode angewendet wrd. Mt f x, y) = x + ) y + ) ) e x+)y+)+ st.4 Verson.. September 5)

25 Lösungen zu Kaptel Cramer, Kamps, Kater, Burkschat Wegen R f x, y) dx dy = e = e y xy ) e xy dx dy x e xy dx e xy dx dy. b x e xy dx = x b y e xy b + = b y e by + y e y + y y e xy dx [ y e xy ] b = b y e by + y e y y e by + y e y, und st dann b b lm x e xy dx = b y e y + ) = y + y y e y, e xy dx s.o. = y e by + b y e y, lm e xy dx = b y e y R f x, y) dx dy = e = e y + e y ) y y e y dy b e y dy = e lm e y dy b = e lm b e b + e ) =. Lösung zu Aufgabe. Betrachte de Gesamtkostenfunkton f x, x ) = x + x x + 4x + c + d mt c, d >. Gesucht st ene Mnmalstelle der Kostenfunkton unter der Nebenbedngung x + x =. Mttels der Varablensubsttuton x = x lässt sch das Problem Verson.. September 5).5

26 Cramer, Kamps, Kater, Burkschat Lösungen zu Kaptel zurückführen auf de Suche nach ener Mnmalstelle der Funkton f x ) = f x, x ) = x ) + x x ) + 4x + c + d = 3 x 95x c + d. Für de erste Abletung von f glt: f x ) = 3x 95. Wegen f x ) = 3x 95 = x = 65 st x = 65 der enzge Kanddat für ene Extremalstelle. Wegen f x ) = 3x 95 <, x < 65, >, x > 65, st f streng monoton fallend auf, 65) und streng monoton wachsend auf 65, ), d.h. be x = 65 legt ene globale Mnmalstelle vor. Dann folgt, dass de Funkton f unter der Nebenbedngung x + x = an der Stelle 65, 65) = 35, 65) en globales Mnmum bestzt. Lösung zu Aufgabe. ) Extremalstellen der Funkton aus.6 ): Für de ersten partellen Abletungen von glt f x, y) = 3x + 4y + 6xy f x, y) = 6x + 6y, x f x, y) = 8y + 6x. y Statonäre Punkte der Funkton f ergeben sch daher als Lösung der Glechungen f x, y) = 6x + 6y =, x f x, y) = 8y + 6x =. y De erste Glechung lefert x = y. Ensetzen n de zwete Glechung ergbt = 8y + 6 y) = y. Daraus folgt y = und damt auch x =. Also st,) der enzge statonäre Punkt der Funkton f. Für de zweten Abletungen von f folgt x f x, y) = 6, f x, y) = 6 = xy yx f x, y), f x, y) = 8. y.6 Verson.. September 5)

27 Lösungen zu Kaptel Cramer, Kamps, Kater, Burkschat Wegen D f x,y) = f x, y) f x, y) x y ) f x, y) = = > xy für alle x, y) R und f x, y) = 6 > x für alle x, y) R st, ) ene globale Mnmalstelle von f. ) Extremalstellen der Funkton aus.6 ): Für de ersten partellen Abletungen von glt f x,y) = 3x + y + 5 f x, y) = 3, x f x, y) =. y Also folgt ) x f x, y), f x, y), ) y für alle x, y) R,d.h. f bestzt kene statonären Punkte. Somt hat f auch kene lokalen und globalen Extremalstellen. ) Extremalstellen der Funkton aus.7: Für de ersten partellen Abletungen von glt f x, y) = xx + ) + yy + ) = x + x + y + 4y f x, y) = x +, x f x, y) = 4y + 4. y Statonäre Punkte der Funkton f ergeben sch daher als Lösung der Glechungen f x, y) = x + =, x f x, y) = 4y + 4 =. y De erste Glechung lefert x = und de zwete Glechung y =. Also st, ) der enzge statonäre Punkt der Funkton f. Für de zweten Abletungen von f folgt x f x, y) =, f x, y) = = xy yx f x, y), f x, y) = 4. y Verson.. September 5).7

28 Cramer, Kamps, Kater, Burkschat Lösungen zu Kaptel Wegen D f x, y) = f x, y) f x, y) x y ) f x, y) = 4 = 8 > xy für alle x, y) R und f x, y) = > x für alle x, y) R st, ) ene globale Mnmalstelle von f. Lösung zu Aufgabe. Es st de Gewnnfunkton G :[5,5] R defnert durch Gx, x ) = 6x 4x + 6x x unter den Nebenbedngung 3x + 6x = 96 zu maxmeren. Lösung mttels Varablensubsttuton: Mttels der Varablensubsttuton x = 6 x = f x ) lässt sch das Problem zurückführen auf de Suche nach ener Mnmalstelle der Funkton Für de erste Abletung von G glt: Gx) = Gx, f x)) = 6x 4 6 ) x + 6x 6 ) x = x + 48x 4. G x) = 4x Wegen G x) = 4x + 48 = x = st x = en Kanddat für ene Extremalstelle n [5,5]. Aus G x) = 4x + 48 >, x <, <, x >, folgt, dass G streng monoton wachsend auf [5,) und streng monoton fallend auf,5] st, d.h. be x = legt ene globale Maxmalstelle vor. Damt bestzt de Funkton G unter der Nebenbedngung 3x + 6x = 96 an der Stelle, f )) =,) en globales Maxmum s. Abbldung.3)..8 Verson.. September 5)

29 Lösungen zu Kaptel Cramer, Kamps, Kater, Burkschat Ansatz mttels Lagrange-Methode: Betrachte de zugehörge Lagrange-Funkton Lx, x ; λ) = 6x 4x + 6x x + λ3x + 6x 96). Für deren partelle Abletungen glt Lx, x ; λ) = x + 6x + 3λ =! λ = 4x 6 x 3 x, Lx, x ; λ) = 8x + 6x + 6λ =! λ = 3 x 3 x x, λ Lx, x ; λ) = 3x + 6x 96 =!. De letzte Glechung st äquvalent zu x = 3 x. Ensetzen n de Glechungen für λ lefert dann λ = 43 x ) 6 3 x = x, λ = x ) x = x, und des wederum ergbt x = x 8 = 8x x =. Dann folgt x =,λ = 6 3. Weterhn glt Für λ = 6 3 glt nun x Lx, x ; λ) =, x x Lx, x ; λ) = 6, x Lx, x ; λ) = 8. D L x, x λ ) = x Lx, x ; λ ) x Lx, x ; λ ) Lx, x ; λ ) x x = ) 8) 6 = 58 <, d.h. das Krterum für Extremalstellen unter Nebenbedngungen st ncht anwendbar. Es kann daher kene Entschedung getroffen werden, ob der Punkt, ) ene Extremalstelle st. ) Verson.. September 5).9

30 Cramer, Kamps, Kater, Burkschat Lösungen zu Kaptel f x,y) 6 8 x y 4 Abbldung.3: Graph der Funkton G aus Aufgabe. für x, x [5, 5] und Funktonswerte unter der Nebenbedngung 3x + 6x = 96. Lösung zu Aufgabe.3 ) De Abletungen erster Ordnung snd gegeben durch f x x, y) = x 8 y, f y x, y) = x + y, x >, y >. Ene Prüfung der notwendgen Bedngung lefert Weterhn glt nun f x x, y) = und f y x, y) = x = 8 + y und x = y x = 8 + y und 8 + y = y. y y 8 = y ) = 8 + y = + 9 oder y = 9 y = 4 oder y =. Da negatve Rohstoffprese ausgeschlossen snd, glt f x x, y) = und f y x, y) = y = 4 und x = 8. De hnrechende Bedngung muss daher ledglch für den Punkt 8, 4) überprüft werden. Dazu werden zunächst de Abletungen zweter Ordnung bestmmt: f xx x, y) =, f yy x, y) = y, f xy x, y) =, x >, y >. Nun wrd de hnrechende Bedngung für 8, 4) geprüft: f xx 8, 4) f yy 8, 4) f xy 8, 4)) = 8 ) = > und f xx 8,4) = >,.3 Verson.. September 5)

31 Lösungen zu Kaptel Cramer, Kamps, Kater, Burkschat d.h. 8, 4) st en lokales Mnmum der Kostenfunkton. De zugehörgen Kosten snd f 8,4) = ) + 64 =. ) De Lagrange-Funkton zu desem Problem lautet Lx, y,λ) = f x,y) λx y ) = x 8x xy + 3 y3 ) +64+λx y ). Zur Anwendung des Lagrange-Verfahrens werden de partellen Abletungen erster Ordnung benötgt. Man erhält für x >, y >,λ R L x x, y,λ) = x 8 y + λ, L y x, y,λ) = x + y λ, L λ x, y,λ) = x y. Nun wrd folgendes Glechungssystem betrachtet x 8 y + λ = und x + y λ = und x y =. Setzt man de drtte Glechung umgeformt zu x = y + n de erste en, so erhält man y λ =, was äquvalent st zu λ = y. Setzt man dese beden Glechungen n de zwete en, ergbt sch y + y y + =. Dese Glechung lässt sch durch quadratsche Ergänzung lösen y 3 y = y 3 4 ) = = 69 6 y = oder y = y = 4 oder y = 4. Da y > vorausgesetzt wrd, kommt nur y = 4 n Frage. Des mplzert x = 6 = 8. Der enzge möglche Extremalpunkt der Kostenfunkton unter der gegebenen Nebenbedngung sowe postven Rohstoffpresen st daher der Punkt 8, 4). Lösung zu Aufgabe.4 ) Zur Bestmmung der Rchtungsabletung berechnet man zunächst den Gradenten grad f x,y) = e x+y e x, e x+y ), x,y) R. Daraus folgt grad f ln), ln3)) = e ln)+ln3) e ln), e ln)+ln3) ) = 6, 5) =, 5). Verson.. September 5).3

32 Cramer, Kamps, Kater, Burkschat Lösungen zu Kaptel f x,y) 5 x 5 5 y 5 Abbldung.4: Graph der Funkton f aus Aufgabe.3 für x [, 5], y [, 8] und Funktonswerte unter der Nebenbedngung x = y +. De Rchtungsabletung n Rchtung von v = v,v ) =, ) st gegeben durch f x ln), ln3)) v + f y ln), ln3)) v = 5 = 5) =. ) Notwendge Bedngung: f x x,y) = und f y x,y) = e x+y e x = und e x+y = x + y = x und x + y = x = und y =. Hnrechende Bedngung: Mt f xx x, y) = e x+y + e x, f yy x, y) = e x+y und f xy x, y) = e x+y folgt f xx, ) f yy, ) f xy, )) = = > und f xx, ) = >. Somt hat f an der Stelle, ) en lokales Mnmum. Bemerkung Im Punkt, ) legt sogar en globales Mnmum der Funkton f. Es kann nämlch gezegt werden, dass f xx x, y) > und f xx x, y) f yy x, y) f xy x, y)) > fürjedes x, y) R glt s. Cramer et al. 5), S. 78). ) Auflösen der Nebenbedngung nach y lefert y = x. Setzt man des n f en, erhält man f x) = f x, x) = e x+ x + e x x) = e x + x + e, x R..3 Verson.. September 5)

33 Lösungen zu Kaptel Cramer, Kamps, Kater, Burkschat Für dese Funkton ener Varablen überprüft man de notwendge und hnrechende Bedngung: f x) = e x + = e x = x = f x) = e x, x RR f ) = > Also hat f en lokales Mnmum n x =. Folglch hat f unter der Nebenbedngung y = x en lokales Mnmum n x, y) =, ). Unter Verwendung des Lagrange-Ansatzes ergbt sch folgender Lösungsweg: Se gx, y) = x + y, x, y) R. De Lagrange-Funkton st gegeben durch Lx, y,λ) = f x, y) + λgx, y) = e x+y + e x y + λx + y ), x, y,λ) R 3. De zugehörgen partellen Abletungen erster Ordnung snd Betrachte daher das Glechungssystem L x x, y,λ) = e x+y e x + λ, L y x, y,λ) = e x+y + λ, L λ x, y,λ) = x + y. e x+y e x + λ =, e x+y + λ =, x + y =. I) II) III) Indem Glechung II) von Glechung I) subtrahert wrd, ergbt sch e x + = e x = x =. Ensetzen n Glechung III) lefert dann y =. Aus Glechung I) oder II)) folgt schleßlch λ = e. Insbesondere st,) der enzge Kanddat für ene Extremalstelle der Funkton f unter der gegebenen Nebenbedngung. Weterhn glt für de partellen Abletungen zweter Ordnung: L xx x, y,λ) = e x+y + e x, L xy x, y,λ) = e x+y, L yy x, y,λ) = e x+y. Daher folgt für x, y,λ) R 3 : Insbesondere glt L xx x, y,λ) = e x+y + e x >, D L x, y λ) = L xx x, y,λ)l yy x, y,λ) L xy x, y,λ) ) = e x+y + e x) e x+y e x+y) = e y >. L xx,, e ) = e + >, D L, e ) = e > Verson.. September 5).33

34 Cramer, Kamps, Kater, Burkschat Lösungen zu Kaptel 4 f x,y),5 x,5 y 3 Abbldung.5: Graph der Funkton f aus Aufgabe.4 für x [, ], y [, 3] und Funktonswerte unter der Nebenbedngung x + y =. und damt legt n, ) en lokales Mnmum der Funkton f unter der Nebenbedngung. Bemerkung Im Punkt, ) legt sogar en globales Mnmum der Funkton f unter der Nebenbedngung. Mttels Varablensubsttuton kann des bespelswese unter Verwendung des Vorzechenverhaltens der Abletung f gezegt werden. Im Fall der Lagrange-Methode folgt de Aussage aus der Tatsache, dass L xx x, y,λ) > und D L x, y λ) > fürλ = e und jedes x, y) R glt s. Cramer et al. 5), S. 88). Lösung zu Aufgabe.5 ) Notwendge Bedngung: grad f x, y) = { x + 3 y = 4y x = { 7y = 3 4y = x { y = 3 7 x = 7 Somt st x, y ) = 7, 3 7 ) der enzge statonäre Punkt von f. Hnrechende Bedngung: Mt f xx x, y) =, f yy x, y) = 4 und f xy x, y) = folgt f xx x, y ) f yy x, y ) f xy x, y )) = 4 ) = 7 >. Folglch hat f n 7, 3 7 ) en lokales Extremum. Wegen f xxx, y ) = > st des en lokales Mnmum..34 Verson.. September 5)

35 Lösungen zu Kaptel Cramer, Kamps, Kater, Burkschat Funktonswert: f 7, 3 7 ) = = = 6 49 = 8 7 Bemerkung Im Punkt 7, 3 7 ) legt sogar en globales Mnmum der Funkton f. Es glt nämlch f xx x, y) > und f xx x, y) f yy x, y) f xy x, y)) > fürjedes x, y) R s. Cramer et al. 5), S. 78). ) mt Lagrange-Verfahren: Lagrange-Funkton: Lx, y,λ) = x + y + 3x xy + λx + y 4) L x x, y,λ) = x + 3 y + λ = I) y = x + λ + 3 L y x, y,λ) = 4y x + λ = II) λ = x 4y L λ x, y,λ) = x + y 4 = III) x = y Ensetzen von III) n II) lefert: II ) λ = y 4y = 9 y. Ensetzen von III) und II ) n I) lefert: y = y) + 9 y) + 3 = 4 y + 4 9y + 3 = y. Löst man des nach y auf, so erhält man y =. Des wederum führt durch Auswerten von III) zu x = = 3 sowe durch Auswerten von II )zu λ = 9 = 5. Der enzge statonäre Punkt von f unter der Nebenbedngung st folglch 3, ). mt Varablensubsttuton: f x) = x + 4 x) + 3x x4 x) = x 33x + 3, x R f x) = x 33 = x = 33 = 3 f hat somt enen statonären Punkt n x = 3. Setzt man des n de Nebenbedngung en, erhält man y = 4 3 =. Der enzge statonäre Punkt von f unter der Nebenbedngung st somt 3, ). Wegen f x) = >, x R, st des en lokales Mnmum. Bemerkung Im Punkt 3, ) legt sogar en globales Mnmum der Funkton f unter der Nebenbedngung. Mttels Varablensubsttuton kann des bespelswese unter Verwendung des Vorzechenverhaltens der Abletung f gezegt werden. Im Fall der Lagrange-Methode lässt sch nachwesen, dass L xx x, y,λ) > und L xx x, y,λ)l yy x, y,λ) L xy x, y,λ) ) > fürλ = 5 und jedes x, y) R glt s. Cramer et al. 5), S. 88). Verson.. September 5).35

36 Cramer, Kamps, Kater, Burkschat Lösungen zu Kaptel f x,y) x y Abbldung.6: Graph der Funkton f aus Aufgabe.5 für x [, ], y [ 6, 4] und Funktonswerte unter der Nebenbedngung x + y = 4. Das globale Mnmum st als orangefarbener, das globale Mnmum unter der Nebenbedngung als roter Punkt markert. Lteraturverzechns Cramer, E., Kamps, U., Kater, M. und Burkschat, M. 5). Mathematk für Ökonomen En kompakter Ensteg für Bachelorstuderende. de Gruyter Oldenbourg, Berln..36 Verson.. September 5)