f s, x(s) ds max f s, x(s) f s, y(s) ds exp L s t0 L t t 0 ) ds

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1 8 1 Fxpunktsätze 2. Nach Defnton von M glt xt p 0 X b für alle t [t 0 c, t 0 + c], d.h. xt Q für alle t [t 0 c, t 0 + c]. Also lefern und de Egenschaften des Integrals cf. Folgerung??.?? T p0 x p 0 0 = max t [t 0 c,t 0+c] max t [t 0 c,t 0+c] t t t 0 X f s, xs ds t 0 K ds ck b, aufgrund der Defnton von c. Also bldet der Operator T p0 de Menge M n sch selbst ab, d.h. T p0 : M M. 3. Für x, y M glt aufgrund von und der Defnton der Norm 1 : T p0 x T p0 y 1 = max exp L t t 0 t t [t 0 c,t 0+c] t 0 X f s, xs f s, ys ds t max L xs ys X exp L s t0 exp L s t 0 t t 0 exp L t t 0 ds t L x y 1 max t t 0 exp L s t0 L t t 0 ds = x y 1 max 1 exp L t t0 t k x y 1, wobe das letzte Integral separat für t t 0 und t t 0 berechnet wurde und de Defnton von k = 1 exp Lc < 1 benutzt wurde. Somt st der Operator T p0 k kontraktv auf M n C[t 0 c, t 0 + c]; X, 1. Nach Satz 1.5 folgt dann, dass genau en x M exstert mt x = T p0 x; somt st Tel des Satzes bewesen. De Behauptungen der Folgerung 1.19 folgen unmttelbar aus 1.9. Insbesondere glt: x n x 1 kn 1 k x 0 x n, da k < 1. Somt erhalten wr de glechmäßge Konvergenz x n x, n, da 1 äquvalent st zu 0 und Konvergenz bezüglch der Maxmumsnorm glechmäßge Konvergenz bedeutet. Damt st auch Behauptung bewesen.

2 1.2 De Fxpunktsätze von Brouwer und Schauder 9 Zum Bewes von gehen wr analog we n vor, wobe wr das Intervall [t 0 c, t 0 + c] durch das klenere Intervall [t 0 d, t 0 + d] ersetzen, d.h. wr arbeten mt dem Raum C[t 0 d, t 0 + d]; X, 1 und betrachten für x C[t 0 d, t 0 + d]; X und p X den Operator T p, defnert durch t T p x := p + t 0 f s, xs ds, auf der Menge M = {g C[t 0 d, t 0 + d]; X g p0 0 b}. We n erhalten wr dann, dass für p n ener klenen Umgebung von p 0 ene endeutge Lösung x p von T p x p = x p exstert. Für p n p 0 n erhalten wr aufgrund der Defnton der Operatoren T p0 bzw. T pn, dass für alle x C[t 0 d, t 0 + d]; X glt: T pn x T p0 x 0 = p n p 0 X 0 n. Aufgrund der Äquvalenz der Normen 1 and 0, sowe nach Folgerung 1.12 glt dann x pn x p0 1 0, n, und somt auch de glechmäßge Konvergenz x pn x p0, n. Damt snd der Satz und de Folgerung bewesen. 1.2 De Fxpunktsätze von Brouwer und Schauder Im Banachschen Fxpunktsatz werden nur gernge Anforderungen an den zugrundelegenden Raum gestellt, nämlch en vollständger, metrscher Raum st ausrechend, aber es werden relatv starke Anforderungen an den Operator k Kontraktvtät gestellt. In den Sätzen von Brouwer m R n und Schauder n unendlch dmensonalen Räumen werden nur gernge Anforderungen an de Operatoren gestellt, dafür werden aber stärkere Anforderungen an den zugrundelegenden Raum gestellt. Bede benutzen en Analogon des folgenden teflegenden topologschen Resultats: Se B 1 0 der abgeschlossene Enhetskres m R 2. Es gbt kene stetge Abbldung Retrakton R: B 1 0 B 1 0 so, dass für alle Randpunkte x B 1 0 glt: Rx = x.

3 10 1 Fxpunktsätze Man kann sch z.b. vorstellen, man versuchte, ene Gummmembran, de den ganzen Kres bedeckt, an den Rand zu zehen; se muß auf jeden Fall zerreßen. Deses Resultat st anschaulch klar, aber keneswegs trval! Wenn man das obge Resultat als gegeben hnnmmt, kann man sch ntutv klarmachen: Ene stetge Abbldung A: B 1 0 B 1 0 bestzt enen Fxpunkt, d.h. es extert en x B 1 0 mt Ax = x. Bewes: Nehmen wr an, dass für alle x B 10 gelte Ax x. Rx x Ax Abb. 1 Mthlfe des Bldes cf. Bewes von Satz 2.17 seht man sofort, dass es dann ene stetge Retrakton R: B 1 0 B 1 0 mt Rx = x für alle x B 1 0 gbt. Des st aber en Wderspruch zu obger Aussage. De analoge Aussage st n R enfach zu bewesen. 2.1 Lemma. Se f : [a, b] [a, b] stetg. Dann bestzt f n [a, b] enen Fxpunkt. Bewes. Wr setzen gx = fx x. Da f das Intervall [a, b] auf sch selbst abbldet, glt: was übertragen auf g bedeutet: fa a, und fb b, ga = fa a 0, und gb = fb b 0. Aus dem Zwschenwertsatz folgt dann, dass en x 0 exstert mt also st x 0 der gesuchte Fxpunkt. gx 0 = 0 = fx 0 x 0,

4 1.2.1 Der Satz von Brouwer 1.2 De Fxpunktsätze von Brouwer und Schauder 11 Es gbt vele verschedene Möglchketen den Satz von Brouwer zu bewesen. Durch enen kurzen Ausflug n de Varatonsrechnung erhält man enen enfachen analytschen Bewes. De Varatonsrechnung beschäftgt sch mt der Untersuchung, nsbesondere dem Auffnden von Mnma, von Energefunktonalen I der Form Iw := L wx, wx, x dx, 2.2 wobe 1 Ω en glattes Gebet des R n st und Ω L : R m n R m Ω R ene gegebene glatte Funkton st. Man nennt L de Lagrangefunkton des Energefunktonals I. Wr werden m folgenden de Bezechnung L = LP, z, x = Lp 1 1,..., p m n, z 1,..., z m, x 1,..., x n für Matrzen 2 P = p j Rm n, Vektoren z = z R m und Punkte x = x j Ω benutzen. Se g : Ω R m ene gegebene glatte Funkton. Man betrachtet 2.2 für glatte Funktonen w : Ω R n R m, w = w 1,..., w m, de auf dem Rand Ω mt der Funkton g überenstmmen, d.h. w = g auf Ω. 2.3 Se nun u = u 1,..., u m en glattes Mnmum von 2.2 unter allen glatten Funktonen de 2.3 erfüllen. Dann st u notwendgerwese de Lösung enes Systems von partellen Dfferentalglechungen, den sogenannten Euler Lagrange Glechungen. Um des zu bewesen, betrachten wr für v = v 1,..., v m C 0 Ω de reellwertge Funkton τ := Iu + τ v, τ R. Da auch u + τv de Randbedngungen 2.3 erfüllt und u en Mnmum st, muß m Punkt 0 en Mnmum haben, d.h. 0 = 0. De Abletung τ, de man erste Varaton nennt, kann man explzt berechnen. Es glt 1 Der Gradent ener vektorwertgen Funkton w : R n R m st gegeben durch w = jw,...,m. j=1,...,n 2 Obere Indzes bezechnen n desem Abschntt Zelenndzes. Desweteren benutzen wr für de partellen Abletungen der Lagrangefunkton L nach den enzelnen Komponenten der Matrzen bzw. Vektoren de Notaton D P L = L p 1 1,..., L p m n bzw. D zl = L z 1,..., L z m.

5 12 1 Fxpunktsätze τ = L u + τ v, u + τv, x dx 2.4 und somt Ω τ = Ω + Ω L p k u + τ v, u + τv, x v k L z k u + τ v, u + τv, x v k dx. Aus 0 = 0 erhalten wr 0 = L p k u, u, x v k + L z k u, u, x v k dx. Da dese Identtät für alle v C 0 Ω glt, erhalten wr nach parteller Integraton, dass en Mnmum u des Energefunktonals I folgendes nchtlneare System von partellen Dfferentalglechungen Lp k u, u, x +L z k u, u, x = 0, n Ω, k = 1,..., m, 2.5 u = g, auf Ω, 2.6 erfüllen muss. Das System 2.5 nennt man de dem Energefunktonals I zugehörgen Euler Lagrange Glechungen. Überraschenderwese st es nteressant solche Lagrangefunktonen L zu betrachten für de alle glatten Funktonen, ene Lösung von 2.5 snd. 2.7 Defnton. De Funkton L heßt Null Lagrangefunkton, wenn de zugehörge Euler Lagrange Glechungen 2.5 für alle glatten Funktonen erfüllt st. Null Lagrangefunktonen spelen ene entschedende Rolle n der nchtlnearen Elastztätstheore und be der Charakterserung von schwach folgenstetgen Energefunktonalen I für Lagrangefunktonen der Form L u. Für unsere Zwecke besteht de Bedeutung von Null Lagrangefunktonen darn, dass der Wert des zugehörgen Energefunktonal Iw nur von den Randwerten der Funkton w abhängt. 2.8 Satz. Se L ene Null Lagrangefunkton und seen u, ũ zwe Funktonen aus C 2 Ω mt Dann glt u = ũ auf Ω. 2.9 Iu = Iũ. 2.10

6 1.2 De Fxpunktsätze von Brouwer und Schauder 13 Bewes. Wr defneren j : [0, 1] R durch und erhalten für τ [0, 1] j τ = = Ω + jτ := I τu + 1 τũ, L p k τ u + 1 τ ũ, τu + 1 τũ, x u k ũ k L z k τ u + 1 τ ũ, τu + 1 τũ, x u k ũ k dx Ω Lp k τ u + 1 τ ũ, τu + 1 τũ, x + L z k τ u + 1 τ ũ, τu + 1 τũ, x u k ũ k dx = 0, wobe wr m ersten Integral partell ntegrert haben, sowe 2.9 und den Fakt, dass τ u + 1 τũ ene Lösung der Euler Lagrange Glechungen st, benutzt haben. Somt st j auf [0, 1] konstant und 2.10 folgt sofort. Wr benötgen noch folgenden Begrff. Se A R n n ene Matrx. Mt cof A bezechnen wr de Kofaktormatrx, deren k, ter Entrag aus der Determnante der n 1 n 1 Matrx A k besteht, de man durch Strechen der k ten Zele und der ten Spalte erhält, d.h. cof A k := 1 +k det A k Lemma. Se u : R n R n ene glatte Funkton. Dann glt cof u k = 0, k = 1,..., n Bewes. glt: Aus der lnearen Algebra wssen wr, dass für Matrzen P R n n det P I = P cof P, d.h. wr haben für, j = 1,..., n det Pδ j = p k cof P k j Daraus folgt für r, s = 1,..., n man wähle j = = s und nutze de Defnton

7 14 1 Fxpunktsätze von cof P det P p r s = δ kr cof P k s + p k s = cof P r s. cof P k s p r s 2.14 Wenn man P = u n 2.13 ensetzt, nach x j dfferenzert und dann das Ergebns über j = 1,..., n aufsummert, erhält man unter Benutzung von 2.14 für = 1,..., n j,r,s=1 δ j cof u r s j s u r = Des kann man aber auch als k,j=1 j u k cof u k j + u k j cof u k j. n u k j cof u k j = 0, = 1,..., n, 2.15 j=1 schreben, d.h. der Vektor j=1 j cof u k j,...,n st ene Lösung des lnearen Glechungssystems A y = 0, mt A = u. In enem Punkt x 0 R n, für den det ux 0 0 glt, erhalten wr sofort j=1 j cof ux0 k j = 0, k = 1,..., n. Falls allerdngs n enem Punkt x 0 R n glt det ux 0 = 0, wählen wr ε 0 > 0 so, dass für alle 0 < ε ε 0 glt 3 : det ux 0 +ε I 0, und führen de obgen Rechnungen für ũ := u+εx aus. Am Ende führen wr den Grenzübergang ε 0 durch und de Behauptung folgt Satz Landers 1942, Ball De Determnante st ene Null Lagrangefunkton. Bewes. LP = det P, P R n n, Wr müssen zegen, dass für jede glatte Funkton u : Ω R n glt: Lp k u = 0, k = 1,..., n. Aus 2.14 wssen wr 3 Des st n der Tat möglch, da det ux 0 + ε I en Polynom n ε st und also nur endlch vele Nullstellen haben kann.

8 1.2 De Fxpunktsätze von Brouwer und Schauder 15 L p k u = cof u k,, k = 1,..., n und somt st de Behauptung nchts anderes als Lemma Man kann zegen, dass L u genau dann ene Null Lagrangefunkton st, wenn es Konstanten a, d R und Matrzen B = b j, C = c j Rn n gbt so, dass LP = a + b jp j +,j=1 c jcof P j + d det P.,j=1 Darüber hnaus kann man zegen, dass Energefunktonale I für solche Lagrangefunktonen schwach folgenstetg n entsprechenden Funktonenräumen snd. En konkretes Bespel für ene Null Lagrangefunkton st LP = trp 2 trp 2. Nun können wr den Brouwerschen Fxpunktsatz bewesen Satz Brouwer, Jede stetge Abbldung A ener abgeschlossenen Kugel des R n n sch selbst bestzt enen Fxpunkt. Bewes. Wr betrachten o.b.d.a de abgeschlossene n dmensonale Enhetskugel B = B Als erstes zegen wr, dass es kene glatte Funkton gbt so, dass für alle x B glt w : B B 2.18 wx = x Nehmen wr an, ene solche Funkton w würde exsteren. Se w de dentsche Funkton auf B, d.h. wx = x für alle x B. Dann glt wx = wx für alle Randpunkte x Ω. Da de Determnante ene Null Lagrangefunkton st Satz 2.16, lefert Satz 2.8 det w dx = det w dx = volb 0, 2.20 B B da det w = 1. Aus 2.18 folgt, dass für alle x B glt: wx 2 1, und somt erhalten wr durch Dfferentaton w w = Da w = 1 glt, besagt 2.21, dass 0 en Egenwert von wx für alle x B st. Somt haben wr det wx = 0 für alle x B, was en Wderspruch zu 2.20 st. Damt st de Behauptung bewesen.

9 16 1 Fxpunktsätze 2. Als nächstes zegen wr, dass es kene stetge Funkton w gbt, de 2.18, 2.19 erfüllt. Falls w ene solche Funkton wäre, setzen wr w durch wx = x, x R n \ B, auf ganz R n fort. Des und 2.18 mplzert, dass für alle x R n glt: wx 1, nsbesondere wx 0. Se nun ε > 0 so gewählt, dass für w 1 := J ε w mmer noch glt: w 1 x 0, x R n. Herbe st J ε der Glättungsoperator cf. Appendx????. En solches ε > 0 exstert, da für x R n \ B 2 0 und ε > 0 klen genug glt: w 1 x = J ε y x y dy = x, 2.22 B ε0 wobe wr benutzt haben, dass B ε0 J ε y dy = 1, sowe dass J ε y ene radale symmetrsche Funkton st und y ene antsymmetrsche Funkton st. Weterhn folgt aus den Egenschaften des Glättungsoperator J ε cf. Appendx???? dass auf B 2 0 glt: J ε w w, ε 0. Heraus und aus 2.22 folgt, dass für en genügend klenes ε > 0 und alle x R n glt: w 1 x 1/2, nsbesondere w 1 x 0. Dann würde aber de glatte Funkton w 2 x = 2w 1 w , 2.19 mt B = B 2 0 erfüllen, was nach 1. ncht möglch st. 3. Se nun A : B B ene stetge Funkton, de kenen Fxpunkt bestzt. Wr defneren w : B B dadurch, dass wx der Punkt auf dem Rand B st, der von dem Strahl, der aus Ax startet und durch x geht, getroffen wrd cf. Abb. 1. Dese Funkton st wohl defnert, da nach Voraussetzung Ax x für alle x B glt. Offenschtlch st w stetg und erfüllt 2.18, Des st en Wderspruch zu 2. und der Satz st bewesen Folgerung. Jede stetge Abbldung ener zu ener abgeschlossenen Kugel B R n homöomorphen Menge M n sch selbst bestzt enen Fxpunkt. Bewes. Se T: M M stetg und h: B M en Homöomorphsmus, d.h. h und h 1 snd stetg, enendeutg und surjektv. De durch A := h 1 T h: B B defnerte Abbldung st stetg. Somt folgt nach dem Satz von Brouwer de Exstenz enes Fxpunktes x 0 von A, d.h. A x 0 = x 0. Des bedeutet aber, dass h 1 Th x 0 = x 0 glt. Durch Anwendung von h auf beden Seten deser Glechung erhalten wr

10 1.2 De Fxpunktsätze von Brouwer und Schauder 17 Thx 0 = hx 0, d.h. hx 0 st der gesuchte Fxpunkt von T. Bespele von zu abgeschlossenen Kugeln homöomorphen Mengen snd nchtleere, konvexe, kompakte Mengen m R n, sowe nchtleere, kompakte, enfach zusammenhängende Mengen m R n. Nchtlneare Glechungssysteme Als erste Anwendung des Brouwerschen Fxpunktsatzes betrachten wr nun folgendes System von nchtlnearen Glechungen g x = 0, x R n, = 1,..., n, 2.24 wobe g : R n R, = 1,..., n, stetge, nchtlneare Funktonen snd, de folgender Bedngung genügen: R > 0 : g x x 0 x mt x = R Lemma. Seen g : R n R, = 1,..., n, stetge Funktonen, de der Bedngung 2.25 genügen. Dann exstert ene Lösung x 0 von 2.24 mt x 0 R. Bewes. Wr führen enen Wderspruchsbewes und nehmen an, dass das System 2.24 kene Lösung n B R 0 habe. Für g := g 1,..., g n defneren wr f x := R g x gx, = 1,..., n. Da gx > 0 für alle x B R 0 glt, st f = f 1,..., f n wohldefnert, stetg und bldet de abgeschlossene Kugel B R 0 n sch selbst ab. Somt folgt mt dem Satz von Brouwer de Exstenz enes Fxpunktes x von f n B R 0, d.h. x = fx. Daraus ergbt sch x = R, denn x = fx = R gx gx = R. Damt glt nach Bedngung g x x = f x x = x 2 gx R gx R = R gx < 0. Somt erhalten wr enen Wderspruch, also muss es ene Lösung von 2.24 n B R 0 geben.

11 18 1 Fxpunktsätze Wr wollen nun zegen, dass auch nchtlneare Unglechungen mthlfe des Brouwerschen Fxpunktsatzes behandelt werden können. Deses Problem trtt später be der Untersuchung von maxmal monotonen Operatoren auf Lemma Debrunner, Flor Se X en Banachraum mt Dualraum X und se K X ene konvexe, kompakte und nchtleere Telmenge von X. Ferner se M K X ene monotone Telmenge, d.h. für alle v, f, w, g M glt: f g, v w X Dann exstert für alle stetgen Operatoren T : K X X ene Lösung u K von f T u, v u X 0, v, f M Wr wollen de Aussage des Lemmas am Bespel X = R = X llustreren. Se K = [a, b] und ϕ: [a, b] R ene monoton wachsende Funkton. Der Graph von ϕ M = Gϕ := { x, ϕx R 2 x [a, b] } st ene monotone Menge, denn für alle x, y [a, b] glt: ϕx ϕy x y 0. Das Lemma 2.27 besagt dann, dass für alle stetgen Funktonen T : [a, b] R ene Lösung u [a, b] von ϕx T u x u 0, x [a, b] exstert. In Abhänggket von den konkreten Funktonen ϕ und T st de Lösung entweder ener der Randpunkte des Intervalls [a, b] oder en Schnttpunkt der beden Graphen. Als konkretes Bespel kann man betrachten: ϕx = x + 2, T x = x 2 und [a, b] = [ 3, 0] bzw. [a, b] = [0, 3] bzw. [a, b] = [0.5, 1.5] bzw. [a, b] = [ 6, 3]. Bewes Lemma Angenommen, 2.29 habe kene Lösung. Wr defneren für v X und f X Uv, f := {u K f T u, v u X < 0}. De Menge Uv, f st offen, denn für gegebene v X und f X st de Abbldung u f T u, v u X stetg. Das Problem 2.29 hat nach Annahme kene Lösung und somt glt: K Uv, f. v,f M Da de Menge K kompakt st, exstert ene endlche Überdeckung, d.h. es exsteren v, f M, = 1,..., m, so dass

12 1.2 De Fxpunktsätze von Brouwer und Schauder 19 K m Uv, f. Zu deser Überdeckung gbt es ene Zerlegung der Ens, d.h. es exsteren stetge Abbldungen β : K R, 0 β x 1, mt supp β Uv, f so, dass für alle u K glt: β u = Se nun K 1 de abgeschlossene, konvexe Hülle der v, = 1,..., m, d.h. K 1 = cov 1,..., v m. Für u K 1 defneren wr pu := qu := β u v, β u f. De Abbldung p: K 1 K 1 st stetg, dm K 1 <, und K 1 st homöomorph zu ener abgeschlossenen Kugel. Nach Folgerung 2.23 folgt damt de Exstenz enes Fxpunktes, d.h. Wr setzen für, j = 1,..., m Dann glt: u K 1 mt pu = u. j := f T u, v j u X. j + j = f T u, v j u X + f j T u, v u X = f T u, v u X f T u, v X + f T u, v j X + f j T u, v j u X f j T u, v j X + f j T u, v X 2.31 = + jj f f j, v v j X + jj, wobe m letzten Schrtt benutzt wurde, dass v, f M und M monoton st cf Wegen pu = u, wegen der Defnton von p und q, und wegen der Egenschaft 2.30 der Zerlegung der Ens glt:

13 20 1 Fxpunktsätze 0 = qu T u, pu u X m = β u f T u, β j u v j u = β u β j u j =,j=1 β u β j u 1 2 j + j,j=1 j=1 X β u β j u jj,,j= wobe auch de Symmetre der Matrx mt den Enträgen β u β j u und 2.31 benutzt wurden. Falls für rgendwelche, j glt: β u β j u > 0, folgt aufgrund der Egenschaften der Zerlegung der Ens: u Uv, f Uv j, f j. Nach Konstrukton von Uv, f muss dann gelten: < 0 und jj < 0, und es ergbt sch aus 2.32 der Wderspruch 0 < 0. Also erhalten wr β u = 0 = 1,..., m. Da aber u K 1 K, gbt es aufgrund der Egenschaften der Zerlegung der Ens enen Index 0 mt β 0 u > 0. Des st en Wderspruch, also exstert ene Lösung des Problems Kompakte Operatoren Wenn wr den Satz von Brouwer auf unendlch dmensonale Banachräume X übertragen wollen, erkennen wr folgendes Problem: De abgeschlossene Enhetskugel B 1 0 st n X ncht kompakt, was m R n glt und m Bewes des Satzes von Brouwer ene wchtge Rolle gespelt hat. Das folgende Gegenbespel zegt, dass selbst n separablen Hlberträumen de Analoge von Satz 2.17 ncht glt Satz Kakutan, Se H en unendlch dmensonaler separabler Hlbertraum. Dann gbt es ene stetge Abbldung f : H H, de de abgeschlossene Enhetskugel n sch selbst abbldet und kenen Fxpunkt bestzt.