Bachelorarbeit. Cayley s Formel und das Abzählen von Bäumen. Viktoria Piribauer. Wien, September 2013

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1 Bachelorarbet Cayley s Formel und das Abzählen von Bäumen Vktora Prbauer Wen, September 2013 Matrkelnummer: Studenrchtung: A Mathematk Betreuer: Mag. Dr. Bernhard Krön, Prvatdoz.

2 Inhaltsverzechns Inhaltsverzechns 1 Vorwort 2 2 Enletung 3 3 Bewes - Bjekton 6 4 Bewes - Lneare Algebra 9 5 Bewes - Rekurson 14 6 Bewes - Doppeltes Abzählen 17 1 Vorwort In deser wssenschaftlchen Arbet befasse ch mch mt Cayley s Formel für de Anzahl der bezechneten Bäume. Ich werde de Anzahl der Bäume für enen und für bs zu sechs Knoten abzählen und damt de Formel präsenteren. De weteren Kaptel snd verschedenen Bewesen deser Formel gewdmet. Ich bezehe mch hauptsächlch auf das Buch Das BUCH der Bewese [1] von Martn Agner und Günter M. Zegler, abgesehen von engen Defntonen, de mt entsprechenden Abkürzungen gekennzechnet snd. 2

3 2 Enletung 2 Enletung Defntonen Zwe Ecken x und x j enes Graphen G = (V, E) mt V = {x 0,x 1,...,x k } snd benachbart, wenn de Kante x x j n der Kantenmenge E enthalten st. Snd je zwe Ecken von G benachbart, so wrd G vollständg genannt. (Destel 2006, p. 3) En Graph G = (V, E ) wrd Telgraph von G genannt, wenn V V und E E glt. Enthält deser Telgraph alle Kanten x x j E mt x,x j V, so heßt er Untergraph. (Destel 2006, p. 3) En Graph heßt enfach, wenn kene Kanten, de ene Ecke mt sch selbst verbnden, und kene velfachen Kanten, de deselbe Eckenmenge haben, zugelassen snd. (Agner et al., p. 75) En Weg P st en ncht leerer Graph mt der Eckenmenge V = {x 0,x 1,...,x k } und der Kantenmenge E = {x 0 x 1,x 1 x 2,...,x k 1 x k } für paarwese verschedene x. De Ecken x 0 und x k snd de Endecken und werden von den restlchen nneren Knoten verbunden. (Destel 2006, p. 7) Wenn de Endecken enes Weges überenstmmen (x 0 = x k, k 3), so handelt es sch um enen Kres. (Destel 2006, p. 8) En Graph heßt zusammenhängender Graph, wenn für je zwe sener Ecken x und x j en Weg von x nach x j exstert. (Destel 2006, p. 11) En maxmaler zusammenhängender Telgraph enes Graphen G wrd Komponente von G genannt. (Destel 2006, p. 11) Be enem Wald handelt es sch um enen Graph, der kenen Kres enthält. (Destel 2006, p. 14) En Baum st en zusammenhängender Wald. (Destel 2006, p. 14) Bäume, de sch durch de Bezechnung der nneren Ecken unterscheden, werden bezechnete Bäume genannt. (Agner et al., p. 227) Ene besondere Ecke enes Baumes, de spezell ausgezechnet wrd, heßt Wurzel. (Destel 2006, p. 15) En Wurzelbaum st en Baum zusammen mt ener fest gewählten Wurzel. (Destel 2006, p. 15) Wurzelwald wrd en Wald zusammen mt der Wahl ener Wurzel n jedem Komponentenbaum genannt. (Agner et al., p. 231) En gerchteter Graph st en Paar (V, E) zusammen mt zwe Abbldungen nt : E V und ter : E V, de jeder Kante ene Anfangsecke nt(e) und ene Endecke ter(e) zuordnen. Man sagt, de Kante st von nt(e) nach ter(e) gerchtet. (Destel 2006, p. 30) 3

4 2 Enletung Vorüberlegungen Man betrachtet ene feste Eckenmenge N = {1, 2, 3,..., n}. T n steht für de Anzahl der bezechneten Bäume auf deser Menge. Nun folgt ene genauere Untersuchung der Fälle n=1 bs n=6. Es gbt nur enen Baum mt enem Knoten. Abbldung 1: Bäume mt enem Knoten Be zwe Knoten gbt es ebenfalls nur enen Baum. Abbldung 2: Bäume mt zwe Knoten Erstmals mehr Bäume kommen be dre Knoten vor. Abbldung 3: Bäume mt dre Knoten Be ver verschedenen Knoten exsteren ver ncht somorphe Baumtypen, mt jewels ver Möglchketen, de Knoten anzuordnen. Abbldung 4: Bäume mt ver Knoten Dre verschedene ncht somorphe Baumtypen gbt es be fünf Knoten. Der erste Typ lefert fünf Möglchketen, de durch de unterschedlchen Anordnungen der Wurzel entstehen. Der zwete Typ lefert = 60 verschedene Bäume und der drtte ebenfalls = 60 Möglchketen, und somt ergeben sch nsgesamt 125 Bäume. 4

5 2 Enletung Abbldung 5: Bäume mt fünf Knoten Im Fall von Bäumen mt sechs Knoten exsteren sechs verschedene ncht somorphe Typen von Bäumen. Bem Typ 1 gbt es durch de verschedene Wahl der Wurzel sechs Möglchketen. Bem zweten Typ entstehen 6! 3! = 120, bem drtten, verten und fünften Typ jewels 6! 2 = 360 Bäume. Bem Typ 6 gbt es 6! 2! 2! 2 = 90 möglche Anordnungen und dadurch nsgesamt 1296 Möglchketen. Abbldung 6: Bäume mt sechs Knoten Zusammenfassend ergbt sch dadurch: Des lässt berets Cayleys Resultat vermuten. T n Anzahl äquvalent zu T T T T T T Satz 1. Es gbt n n 2 verschedene bezechnete Bäume auf n Ecken. Es folgen nun ver verschedene Bewese aus unterschedlchen Telgebeten der Mathematk. 5

6 3 Bewes - Bjekton 3 Bewes - Bjekton Bewes von Satz 1. Man sucht ene bjektve Abbldung zwschen der Menge aller bezechneten Bäume auf n Ecken und ener anderen Menge, deren Mächtgket offenschlch n n 2 st. Herfür nmmt man de Menge aller geordneten Folgen (a 1,...,a n 2 ) mt 1 a n. Das Zel st es, jedem Baum mttels Bjekton ene Folge (a 1,...,a n 2 ) zuzuordnen. Man betrachtet bezechnete Bäume t auf N = {1, 2, 3,..., n} zusammen mt zwe ausgezechneten Ecken, dem lnken Ende und dem rechten Ende, welche auch zusammenfallen können. Es se T n = {(t;, )} dese neue Menge und durch jewels n Möglchketen für das lnke und rechte Ende, st zu zegen, dass T n = n 2 T n = n n glt. Als zwete Menge wählt man de Menge aller Abbldungen von N nach N, deren Mächtgket genau unserer gesuchten Größe n n entsprcht. De Rchtgket der Formel st somt gezegt, wenn wr ene Bjekton von N N auf T n angeben können. Ene belebge Abbldung f: N N st als gerchteter Graph G f darstellbar, ndem man Pfele von nach f() zechnet. Um des zu verdeutlchen, folgt en begletendes Bespel mt der Abbldung f = ( de als gerchteter Graph we folgt dargestellt wrd: ), Abbldung 7: gerchteter Graph G f Betrachtet man ene Komponente von G f, so fällt auf, dass genau ene Kante n jedem Knoten endet, da der Graph aus ener Selbstabbldung entstanden st. Es st erkennbar, dass de 6

7 3 Bewes - Bjekton Komponente glech vele Ecken we Kanten enthält und dadurch auch genau enen gerchteten Kres. De Verengung der Eckenmengen deser Krese aller Komponenten wrd mt M N bezechnet. Durch de Egenschaften des Kreses st somt ene Enschränkung von f gefunden, de Enschränkung von f auf M, be der es sch um ene Bjekton von M nach M handelt. Es st lecht zu sehen, dass M de endeutge maxmale Telmenge von N st, so dass dese Egenschaft erfüllt st. f M soll für M = {a,b,...,z} so geschreben werden, dass de Zahlen a,b,...,z n der ersten Zele n hrer natürlchen Ordnung auftreten und de zwete Zele entsprechend der Abbldung f mt Elementen von M ergänzt wrd. f ( ) a b... z M = f(a) f(b)... f(z) Daraus st dann f(a) als lnkes Ende und f(z) als rechtes Ende abzulesen. Um den Baum t, der der Abbldung f entsprechen soll, zu konstrueren, geht man folgendermaßen vor: Man zechnet f(a),..., f(z) n deser Rehenfolge als enen Weg von f(a) nach f(z). De übrgen Ecken werden entsprechend der Abbldung f ergänzt. Setzen wr also unser Bespel von vorhn fort. Wr erhalten M = {2,4,6,7,9,11,12} {3,8,15} {10} = {2,3,4,6,7,8,9,10,11,12,15}. Als Enschränkung unserer Abbldung ergbt sch f ( ) M = und schleßlch der her abgebldete Baum t. Abbldung 8: Baum t Nun folgt de Umkehrung deser Bjekton. Um aus enem gegebenen Baum de zugehörge Abbldung zu fnden, sucht man den endeutgen Weg P vom lnken zum rechten Ende. Betrachten wr den Baum t 2 aus Abbldung 9. Abbldung 9: Baum t 2 7

8 3 Bewes - Bjekton Somt kann man de Abbldung h M2 bestmmen, ndem man den endeutgen Weg vom lnken Ende zum rechten Ende n de untere Zele enfügt und de erste Zele durch Rehung der vorkommenden Zahlen ergänzt. Dadurch st auch de Menge M 2 endeutg bestmmt. h ( ) M2 =, M = {1,3,7,8} De fehlenden Korrespondenzen f () werden dann gemäß der endeutgen Wege von nach P ergänzt, um de Abbldung h zu bestmmen. ( ) h =

9 4 Bewes - Lneare Algebra 4 Bewes - Lneare Algebra Nun folgt en Bewes aus enem weteren Telgebet der Mathematk - der Lnearen Algebra. Bewes von Satz 1. Her basert der Grundgedanke auf folgender Idee: T n st als Anzahl der aufspannenden Bäume m vollständgen Graphen K n nterpreterbar. In Verallgemenerung dazu betrachtet man enen belebgen zusammenhängenden enfachen Graphen G auf V = {1,2,...,n}. t(g) steht für de Anzahl der aufspannenden Bäume und nsbesondere glt daher T n = t(k n ). Begletend zu desem Bewes werde ch de jewelgen Schrtte anhand des Bespels T 4 erläutern. Man betrachtet de Inzdenzmatrx B = (b e ) von G, deren Zelen durch de Eckenmenge V und de Spalten durch de Kantenmenge E bezechnet werden. De Enträge b e von B können de Werte 1 oder 0 annehmen, je nachdem ob, e oder / e st. Abbldung 10: vollständger Graph mt 4 Ecken De zugehörge Inzdenzmatrx B lautet: B = Da G zusammenhängend st und somt de Knoten mt mndestens n 1 Kanten verbunden snd, glt E n 1. Nun folgt n jeder Spalte das Ersetzen ener der beden Ensen durch -1, zufällg ausgewählt welche, glechbedeutend mt dem Wählen von Rchtungen für de Kanten von G. De dabe neu entstandene Matrx wrd mt C benannt. Dann st M := CC T ene symmetrsche (n n)-matrx mt den Graden d 1,d 2,...,d n auf der Hauptdagonale. C = M = C C T = Proposton 2. Es glt t(g) = det M für alle = 1,...,n, wobe M de Untermatrx von M bezechnet, de sch aus M durch Strechung der -ten Zele und der -ten Spalte ergbt. Um dese Proposton zu bewesen, verwendet man den Satz von Bnet-Cauchy: Satz 3 (ohne Bewes). Ist P ene (r s)-matrx und Q ene (s r)-matrx mt r s, so glt det(pq) = (detp Z )(detq Z ), Z wobe P Z de (r r)-untermatrx von P mt Spaltenmenge Z st und Q Z de (r r)-untermatrx von Q mt den entsprechenden Zelen Z. (Agner et al., p. 224) 9

10 4 Bewes - Lneare Algebra Bewes von Proposton 2. Wendet man nun Satz 3 auf M an und verenfacht, so ergbt das: detm = detn detn T = (detn) 2. N N N durchläuft dabe alle (n-1) (n-1)-untermatrzen von C\{Zele }. De Spalten jeder deser Matrzen entsprechen enem Untergraphen von G mt n 1 Kanten auf n Ecken. Es blebt zu zegen, dass { ±1 falls dese Kanten enen Baum aufspannen (1) detn = 0 sonst glt. Betrachten wr vorerst unser Bespel mt 4 Knoten, um des zu veranschaulchen. Als Bespel wählen wr =2 und strechen somt de zwete Zele bevor wr uns de verschedenen Möglchketen für de Matrx N ansehen. C \ {Zele 2} = M 22 = Es folgt ene Auflstung der 20 Möglchketen für N mt der jewelgen Determnate und dem zugehörgen Graphen. N 1 = detn 1 = 1 N 2 = detn 2 = 1 N 3 = N 4 = detn 3 = 0 detn 4 = 1 N 5 = detn 5 = 1 10

11 N 6 = N 7 = Bewes - Lneare Algebra detn 6 = 1 detn 7 = 1 N 8 = N 9 = N 10 = detn 8 = 1 detn 9 = 0 detn 10 = 1 N 11 = detn 11 = 1 N 12 = N 13 = detn 12 = 1 detn 13 = 0 N 14 = detn 14 = 1 N 15 = detn 15 = 1 N 16 = detn 16 = 1 11

12 4 Bewes - Lneare Algebra N 17 = detn 17 = 0 N 18 = detn 18 = 1 N 19 = detn 19 = 1 N 20 = detn 20 = 1 Daran st zu beobachten, dass Matrzen mt Determnante Null, we erwartet zu Graphen führen, de kene Bäume snd. Addert man nun entsprechend Satz 3, erhält man folgendes Ergebns: T 4 = 20 k=1 (detn k ) 2 = 16. Wendet man nun de obge Proposton an, so glt T 4 = detm 22 = det = 16, was natürlch zum selben Ergebns führt. Aber nun zur formalen Begründung von (1): Angenommen, de n 1 Kanten spannen kenen Baum auf. Dann exstert ene Komponente des Untergraphen, de de Ecke ncht enthält. De Zelen der Matrx N, de deser Komponente entsprechen, snd dadurch lnear abhängg und es glt det N = 0. Angenommen, de n 1 Kanten spannen enen Baum auf. Dann gbt es ene Ecke j 1 vom Grad 1 mt der nzdenten Kante e 1. Durch Entfernen von j 1 und e 1 erhält man enen Baum mt n 2 Kanten. Es gbt auch n desem Graphen ene Ecke j 2 vom Grad 1 und de zugehörge nzdente Kante e 2, de entfernt werden können. Deser Schrtt wrd wederholt, bs j 1, j 2,..., j n 1 und e 1,e 2,...,e n 1 festgelegt snd. Durch Permutaton der Zelen soll j k n de k-te Zele und durch Permutaton der 12

13 4 Bewes - Lneare Algebra Spalten soll e k n de k-te Spalte verschoben werden. Nach Konstrukton glt j k / e l für k < l. Be der durch Permutaton entstandenen Matrx N handelt es sch dadurch um ene untere Dreecksmatrx, mt allen Elementen der Hauptdagonale glech ±1. Daraus resultert detn = ±detn = ±1, was zu zegen war. Der Spezalfall G = K n führt zu M = n n n 1. Als letzter Schrtt st somt noch zu zegen, dass de Determnante deser Matrx glech n n 2 st. De oben abgebldete Matrx M hat Dmenson (n 1) (n 1). Durch Addton des ( 1) fachen der letzten Zele zu den jewels anderen Zelen ergbt sch n n 0 n 0 n n n n 1 Um dese Matrx n de Form ener oberen Dreecksmatrx zu bekommen, addert man jewels das ( 1 n )-fache der ersten n 2 Zelen zu der letzten Zele, und es ergbt sch de Matrx n n 0 n 0 n n n Da es sch um ene gerade Anzahl an Zelenumformungen handelt (2 (n 2)), verändert sch das Vorzechen der Determnante ncht. Wel de Determnante ener Dreecksmatrx als Produkt der Hauptdagonalenelemente berechnet wrd, ergbt sch für desen spezellen Fall enes vollständgen Graphen das Ergebns: detm = n n 2. 13

14 5 Bewes - Rekurson 5 Bewes - Rekurson Der folgende Bewes st ene Methode der abzählenden Kombnatork, be der ene Rekurson zu fnden st, aus welcher de explzte Formel durch Indukton abgeletet wrd. Bewes von Satz 1. Se A ene belebge k-elementge Eckenmenge. T n,k steht für de Anzahl der bezechneten Wälder auf N = {1,2,...,n}, de n der Menge A verwurzelt snd. Dese bestehen also aus k Bäumen, von denen jeder genau ene Ecke aus A enthalten muss. Offenschtlch st nur de Größe der Menge A für desen Zusammenhang wchtg, ncht aber de darn enthaltenen Elemente. Zusätzlch st auch klar, dass T n,1 unserer gesuchten Größe T n entsprcht. Betrachten wr dazu das Bespel T 4,2 = 8 für A = {1,4}. Abbldung 11: Bespel T 4,2 für A = {1,4} Abbldung 12 zegt solch enen Wald F, der n A = {1,2,...,k} verwurzelt st. Angenommen, de Ecke 1 habe genau Nachbarn. Abbldung 12: Wald F, der n {1,2,...,k} verwurzelt st Durch Entfernen der Ecke 1 erhält man enen neuen Wald F auf der Menge {2,...,n}, der nun aber n {2,...,k} {de Nachbarn von 1} verwurzelt st. Denn entfernt man de Ecke 1, so werden neue Nachbarn zur Wurzelmenge hnzugefügt werden. De Größe der Menge A ändert sch dabe von k zu k 1 +, de Anzahl der verfügbaren Ecken nmmt um 1 ab, womt sch für de Anzahl der Wälder T n 1,k 1+ ergbt. Umgekehrt hngegen kann der Wald F konstruert werden, ndem zuerst 0 festlegt wrd. Dann muss man de Nachbarn von Ecke 1 n {k+1,...,n} auswählen, wofür es ( n k) Möglchketen gbt. Schleßlch wrd der Wald F bestmmt. Damt st gezegt, dass für 1 k n de Rekurson (2) T n,k = n k =0 ( n k ) T n 1,k 1+ erfüllt st, wobe T 0,0 := 1 und T n,0 := 0 für n > 0 gesetzt werden, um T n,n = 1 scherzustellen. 14

15 5 Bewes - Rekurson Proposton 4. Es glt (3) T n,k = kn n k 1, und daher nsbesondere (4) T n,1 = T n = n n 2. Bewes. Der Bewes wrd durch Indukton und Verwendung von (2) und dem Bnomschen Lehrsatz geführt. Induktonsanfang: n = 1: T 1,1 = 1 = n = 2: Induktonsschrtt: T n,k = = = n k =0 n k =0 n k =0 n k =0 n k =0 n k =0 T 2,1 = 1 = T 2,2 = 1 = ( ) n k T n 1,k 1+ ( ) n k (k 1 + )(n 1) n 1 k ( n k ) ( ) n k (k 1 + (n k ))(n 1) n 1 k (n k ) n k ( ) n k (n 1 )(n 1) 1 = ( ) n k = (n 1)(n 1) 1 n k( ) n k (n 1) 1 =0 ( ) n k = (n 1) (1 n k n k( ) n k ) (n 1) 1 =1 = (n 1 + 1) n k n k( ) n 1 k n k (n 1) 1 =1 1 = n n k n k( n 1 k (n k) =1 1 ( ) n 1 k = n n k (n k) (n 1) (1 n 1 k ) n 1 k =0 = n n k (n k)(n 1 + 1) n 1 k = n n k n n k + kn n 1 k = kn n 1 k ) (n 1) 1 ( + 1) 15

16 5 Bewes - Rekurson Um zum Ende zu gelangen, blebt noch zu zegen, dass ( n k ( ) n k (n k)! (n k)(n k 1)! = =!(n k )! ( 1)!(n k )! = n k ) = n k (n k 1)! ( 1)!(n k 1 ( 1)! = n k ( n 1 k ) 1 glt: ( ) n 1 k 1 Mt bewesener Proposton st auch deser drtte Bewes zu Ende. 16

17 6 Bewes - Doppeltes Abzählen 6 Bewes - Doppeltes Abzählen Nun gelangen wr zum letzten Bewes, den ch vorstellen möchte, enem Bewes mthlfe von doppeltem Abzählen. Bewes von Satz 1. De Menge aller Wurzelwälder auf {1,2,...,n}, aus k Wurzelbäumen bestehend, wrd mt F n,k bezechnet. Somt st nsbesondere F n,1 de Menge aller Wurzelbäume. Sucht man den Zusammenhang mt der gefragten Größe T n, so st lecht zu erkennen, dass F n,1 = n T n glt, da es n jedem Baum n Möglchketen gbt, de Wurzel auszuwählen. Se nun F n,k F n,k en gerchteter Graph, n dem alle Kanten von der Wurzel wegzegen. En Wald F enthält enen anderen Wald F, wenn F den Wald F m Snne von gerchteten Graphen enthält. Wenn F en echter Untergraph von F st, so hat F wenger Komponenten als F. Abbldung 13 und Abbldung 14 sollen desen Sachverhalt verdeutlchen. De engekresten Knoten stehen dabe für de Wurzeln. Abbldung 13: Wurzelwald F 12,2 F 12,2 enthält F 12,3 Abbldung 14: Wurzelwald F 12,3 Ene Folge von Wäldern F 1,...,F k mt F F n, wrd verfenernde Kette genannt, wenn F 1 F 2... F k glt. Be F 1 handelt es sch dabe um enen aufspannenden Baum, de weteren Bäume der Folge erhält man durch sukzessves Weglassen enzelner Kanten, ene nach der anderen. Betrachtet man F k als festen Wald n F n,k, so gelten folgende Bezechnungen: N(F k ) für de Anzahl der Wurzelbäume, de F k enthalten, und N (F k ) für de Anzahl der verfenernden Ketten, de n F k enden. 17

18 6 Bewes - Doppeltes Abzählen Man zählt nun N (F k ) auf zwe verschedene Arten ab, enmal bem Baum F 1, dann wederum be F k begnnend. 1. Man wählt F 1 F n,1, so dass deser F k enthält. Um zu ener verfenernden Kette von F 1 bs F k zu kommen, können de k 1 Kanten von F 1 \ F k n belebger Rehenfolge entfernt werden. Durch (k 1)! möglche Rehenfolgen de Kanten zu entfernen und N(F k ) Möglchketen F 1 zu Begnn zu wählen, glt für de Anzahl der verfenernden Ketten (5) N (F k ) = N(F k ) (k 1)!. 2. Um wederum aus enem F k enen F k 1 zu erhalten, st das Hnzufügen ener gerchteten Kante von ener belebgen Ecke a zu ener der k 1 Wurzeln der anderen Telbäume, de de Ecke a ncht enthalten, notwendg. Betrachten wr noch enmal de Abbldungen 13 und 14. Herbe würde de Verbndung von Knoten 8 zu Knoten 5 bewrken, dass aus F 12,3 der um ene Komponente wenger enthaltende Wald F 12,2 wrd. Somt snd n verschedene Knoten zur Wahl, de mt ener der k 1 zu Verfügung stehenden Wurzeln verbunden werden soll, und somt ergeben sch nsgesamt n(k 1) Möglchketen dafür. Analog muss nun aus enem F k 1 en F k 2 erzeugt werden, ndem man von ener belebgen Ecke b ene gerchtete Kante zu ener der nun nur noch k 2 möglchen Wurzeln zeht. Mt derselben Begründung we vorhn ergeben sch dadurch n(k 2) Möglcketen. Fährt man auf dese Wese fort, bs man bem Ende der Kette, F 1, angelangt st, so erhält man (6) N (F k ) = n (k 1) n (k 2) n 1 = n k 1 (k 1)! Verglechen wr nun unsere beden Resultate aus (5) und (6), so st der Zusammenhang (7) N(F k ) = n k 1 f ür jedesf k F n,k erschtlch. Für n = k besteht F n nur aus den n solerten Ecken. Nachdem N(F k ) für de Anzahl der Wurzelbäume, de F k enthalten, steht, bezechnet N(F n ) somt de Anzahl aller Wurzelbäume (da alle Wurzelbäume alle solerten Ecken enthalten). Wr erhalten dadurch und somt auch Cayleys Formel. F n,1 = N(F n ) = n n 1 = n n n 2 18

19 Lteratur Lteratur [1] Agner, Martn / Zegler, Günter M.: Das BUCH der Bewese. Drtte Auflage. Sprnger- Verlag, Wen Hedelberg, 2010 [2] Destel, Renhard: Graphentheore. Drtte Auflage. Sprnger-Verlag, Wen Hedelberg,