Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung. Wahrscheinlichkeitsrechnung. Übersicht. Wahrscheinlichkeitsrechnung. bedinge Wahrscheinlichkeit

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1 Enführung n de bednge Wahrschenlchket Laplace-Wahrschenlchket p 0.56??? Zufallsexperment Randwahrschenlchket Überscht Was st Wahrschenlchket? Rechenregeln Der Multplkatonssatz Axomatsche Herletung Unabhänggket Satz von der totalen Wahrschenlchket De Axome von Kolomogoroff Bedngte Wahrschenlchket Theorem von Bayes Was st Wahrschenlchket... wahrschenlch wrd es morgen regnen höchstwahrschenlch komme ch morgen vorbe mt hoher Wahrschenlchket werde ch zum.vorstzenden gewählt... Quantfzerung, ob en Eregns entrtt Zufallsexperment

2 Was st Wahrschenlchket Bespel Herbert D. st begesterter Tschtennsspeler, und set nunmehr zehn Jahren spelt er für senen Veren n der Kreslga A. In desen zehn Jahren hat er nsgesamt 0-mal gegen senen Angstgegner Lothar G. gespelt und dabe 7-mal verloren. De Wahrschenlchket, dass er bem nächsten Aufenandertreffen gewnnen wrd, beträgt demzufolge 0.5 oder 5%. 4 Was st Wahrschenlchket Bespel De Wahrschenlchket, dass an enem Fretag m Standesamt der Stadt Bebelberg dre Brautpaare getraut werden, beträgt 0.0 oder 0%. Denn n den letzten fünf Jahren snd an den nsgesamt 50 Fretagen, an denen das Standesamt geöffnet war, an 50 Tagen ewels dre Brautpaare getraut worden. Bespel Legen n ener Urne dre rote und ver schwarze Kugeln, so wrd man mt ener Wahrschenlchket von /7 oder 4.86% ene rote Kugel zehen. 5 Was st Wahrschenlchket De Zuordnung ener Wahrschenlchket zu enem zufällgen Eregns stellt selbstverständlch ene Abstrakton dar, der wr unter folgenden Bedngungen ene Bedeutung bemessen wollen:. Es handelt sch um Vorgänge (Versuche), de belebg oft unter den glechen Bedngungen ablaufen (oder als belebg oft wederholbar gedacht werden können), so dass von ener relatven Häufgket gesprochen werden kann, mt der en bestmmtes Eregns n ener langen Sere von Versuchen entrtt. 6

3 Was st Wahrschenlchket. Stellt man nach edem deser Versuche de relatve Häufgket neu fest, mt der das Eregns bs dahn nsgesamt engetreten st, so ergbt sch edesmal en etwas anderer Wert; mt wachsender Anzahl der Versuche nähert sch edoch de relatve Häufgket enem bestmmten Zahlenwert. Dese Zahl heßt de Wahrschenlchket des zufällgen Eregnsses. 7 Axomatsche Herletung des Wahrschenlchketsbegrffes Anzahl der günstgen Fälle Anzahl der möglchen Fälle Jakob Bernoull erre Smon de Laplace Chancen be Glücksspelen Grundraum/Eregnsraum Ω Enelementge ( atomare ) Eregnsse: Elementareregnsse 8 Verengung zweer Eregnsse: A A Ω A A 9

4 Durchschntt zweer Eregnsse: A A Ω A A 0 Das Komplement zum Eregns A : A Ω A Zwe dsunkte Eregnsse A und A Ω A A 4

5 De Dfferenz der Eregnsse A und A : A A \ A Ω A Bespel Bem enfachen Würfelwurf snd als Ergebnsse de Zahlen,,, 4, 5, und 6 möglch. Der Grundraum Ω st damt Ω {,,,4,5,6}. De Elementareregnsse snd de Zahlen {},...,{6}. Dese Elementareregnsse snd dsunkt, denn es können ncht zwe Zahlen glechzetg auftreten. En möglches zusammengesetztes Eregns snd de geraden Zahlen ({,4,6}). Das herzu komplementäre Eregns snd de ungeraden Zahlen ({,,5}). De Dfferenz der beden Eregnsse gerade Zahl und {} st das Eregns {4,6}. 4 De Axome von Kolmogoroff Nchtnegatvtät: Für edes Eregns ( A ) 0 A,, L,, Normerthet: Für den Grundraum Ω glt: (Ω). glt: Addtvtät: Snd de Eregnsse A ( L,, ) paarwese dsunkt, so glt: ( ) ( Ω) U A A (Herbe bezechnet velen Eregnssen.) U de Verengung von abzählbar unendlch 5 5

6 Egenschaften von Wahrschenlchketen. Wahrschenlchketen snd nemals negatv, sondern können nur Werte zwschen Null und Ens (oder entsprechend 0 und 00 rozent) annehmen.. Der Grundraum Ω als das schere Eregns hat ene Wahrschenlchket von Ens. Dadurch st de Wahrschenlchketsfunkton normert.. Werden paarwese dsunkte (unverenbare) Eregnsse verengt und de Wahrschenlchket hervon betrachtet, so st des glech der Summe aller Enzelwahrschenlchketen und höchstens so groß we de Wahrschenlchket des Grundraumes Ω. 6 Bespel Würfelwurf Bem enfachen Würfelwurf beträgt de Wahrschenlchket, ene,,, 4, 5 oder 6 zu würfeln ewels. ( { }) ( { } ) ( { } ) ( { 4} ) ( { 5} ) ( { 6} ) 6 Für den Grundraum Ω {,,,4,5,6 } glt ( Ω) Für de dsunkten Elementareregnsse glt ({ } { } { } { 4} { 5} { 6} ) ({ } ) + ( { } ) + ( { } ) + ( { 4} ) + ( { 5} ) + ( { 6} ) De Kolmogoroffschen Axome snd damt erfüllt.. 7 Rechenregeln für Wahrschenlchketen Regel Snd de Eregnsse A und A dsunkt, so glt: ( A A ) ( A ) ( A ) + Regel Snd de Eregnsse A und A dsunkt, so glt: ( A A ) ( ) 0. Regel Für zwe belebge Eregnsse A und A glt: ( A A ) ( A ) + ( A ) ( A A ) 8 6

7 Regel 4 Für en belebges Eregns A glt: ( A A ) ( A ) + ( A ), Regel 5 Für en belebges Eregns A glt: Rechenregeln für Wahrschenlchketen ( A ) ( ) A Regel 6 Für zwe belebge Eregnsse A und A glt: ( \ ) ( A ) ( A A ) A A 9 Rechenregeln für Wahrschenlchketen Regel 7 Regeln von De Morgan Für zwe belebge Eregnsse A und A glt: ( A A ) ( A A ) ( A A ) ( A A ) 0 Bespel Würfelwurf We groß st de Wahrschenlchket bem Wurf enes faren Würfels, ene gerade Zahl zu erhalten? (En farer Würfel bestzt de Egenschaft, dass alle Zahlen mt glecher Wahrschenlchket, nämlch mt /6, geworfen werden!) ( Gerade Zahl) ( {,4,6} ) ( { } ) + ( { 4} ) + ( { 6} )

8 Bespel Urne In ener Urne befnden sch zwe rote und dre schwarze Kugeln. Darüber hnaus bestzen ene rote und ene schwarze Kugel en Loch. We groß st de Wahrschenlchket ene rote Kugel, ene rote Kugel oder ene Kugel mt Loch, ene rote Kugel ohne Loch ene schwarze Kugel mt Loch zu zehen? Bespel Urne ( rote Kugel) ( rote Kugel oder Kugel mt Loch ) ( rote Kugel) + ( Kugel mt Loch) ( rote Kugel mt Loch) ( rote Kugel ohne Loch ) ( rote Kugel) ( rote Kugel mt Loch) ( schwarze Kugel mt Loch) 0. Bedngte Wahrschenlchket und Unabhänggket Bespele Beenflussen sch de Ergebnsse bem doppelten Würfelwurf, d.h., beenflusst das Ergebns des ersten Wurfes das Ergebns des zweten Wurfes? Beenflusst de Schulbldung das ährlche Enkommen? Beenflusst de Körpergröße das Körpergewcht? 4 8

9 Zwe Eregnsse A und A aus dem Grundraum Ω heßen (stochastsch) unabhängg, falls glt: ( A A ) ( A ) ( A ) Unabhänggket De Eregnsse A,...,A m, < m n, heßen (stochastsch) unabhängg, falls ( A A L A ) ( A ) ( A ) L ( A ) k k für alle möglchen Telstchproben vom Umfang k aus den m ursprünglchen Eregnssen glt. 5 Bespel Würfelwurf Unabhänggket Bem doppelten Würfelwurf snd de beden Eregnsse A m.wurf ene 6 B m.wurf ene 6 unabhängg vonenander, denn es st ({ 6,6} ) ( { 6} ) ( { 6} ). 6 Bespel Würfelwurf Unabhänggket Bem enfachen Würfelwurf snd de beden Eregnsse A Zahl st durch zwe ganzzahlg telbar, B Zahl st durch fünf ganzzahlg telbar abhängg vonenander, denn es st 6 ( A) ( B) 0 ( ) ( A B). 7 9

10 Bedngte Wahrschenlchket ( A A ) st de bedngte Wahrschenlchket von A gegeben A (de bedngte Wahrschenlchket von A unter der Bedngung A ) und st defnert durch ( A A ) ( A A ) ( A ) 8 Bedngte Wahrschenlchket Snd A und A unabhängg, so st ( A A ) ( A A ) ( A ) ( A ) ( A ) ( A ) ( A ) 9 Bespel Würfelwurf De Wahrschenlchket, bem doppelten Würfelwurf als Augensumme den Wert zu erhalten, beträgt /6, denn dazu st es notwendg, zwemal de 6 zu erhalten. De Wahrschenlchket bem doppelten Würfelwurf als Augensumme den Wert zu erhalten unter der Bedngung, daß m.wurf schon enmal de 6 aufgetreten st, beträgt /6, denn nun st es nur noch notwendg, auch m zweten Wurf de 6 zu erhalten. 0 0

11 Der Multplkatonssatz ( A A ) ( A A ) ( A ) ( A A ) ( A A ) ( A ) ( A L A ) ( A ) ( A A ) ( A A A ) L ( A A L A ) m m m Bespel Jugendhem Dskockey Hubert K. legt m Jugendhem Klngeltown gerne de Beatles auf. Der Hemleter Henz-Georg A. macht hm aber zur Auflage, dass er be 5 gespelten latten nur achtmal de Beatles auflegen darf. We groß st de Wahrschenlchket, dass der Hemleter, wenn er zufällg be den ersten 5 Ledern de Dskothek dremal betrtt, edesmal de Beatles hört? Bespel Jugendhem Se A das Eregns, dass er zum.mal de Dskothek betrtt und de Beatles hört. De Eregnsse A und A seen analog defnert. Dann st B das Eregns, dass er be allen dre Besuchen de Beatles hört. Somt glt: ( B) ( A A A ) ( A ) ( A A ) ( A A A )

12 Der Satz von der totalen Wahrschenlchket Ω A A B A A 4 A 5 A 6 4 Der Satz von der totalen Wahrschenlchket n artton: U A A A L An Ω, n B A B A B L An B U A B ( ) ( ) ( ) ( ) n U n ( B) ( A B) ( A B) ( B A ) ( A ) n 5 Der Satz von der totalen Wahrschenlchket Bespel Tschtenns Der begesterte Tschtennsspeler Herbert D. gewnnt mt ener Wahrschenlchket von 0.8, wenn er am Abend vor dem Spel ken Ber trnkt. Er gewnnt nur mt ener Wahrschenlchket von 0., falls er am Vorabend Ber trnkt. Herbert D. trnkt an Abenden n der Woche Ber. Mt welcher Wahrschenlchket gewnnt er sen nächstes Spel? 6

13 Der Satz von der totalen Wahrschenlchket Bespel Tschtenns Se A Ber am Vorabend und A ken Ber am Vorabend sowe B Seg. Damt st ( B A ) 0. ( A ) 7 ( A ) 4 7 ( B A ) 0. 8 ( B) ( B A ) ( A ) + ( B A ) ( A ) Der Satz von der totalen Wahrschenlchket Bespel Freunde etra hat zur Zet dre Freunde (F, F, F ), mt denen se abwechselnd n de Dskothek geht. Se wrd von F an dre, von F und F ewels an zwe von seben Tagen begletet. Während se von F und F mt ener Wahrschenlchket von 0.6 mt dem Auto nach Hause gebracht wrd, beträgt dese Wahrschenlchket be F sogar 0.9. Mt welcher Wahrschenlchket wrd etra an enem x-belebgen Tag nach Hause gebracht? 8 Der Satz von der totalen Wahrschenlchket Bespel Freunde Se H wrd nach Hause gebracht, so ergbt sch ( F ) 7 ( F ) ( F ) 7 ( H F ) ( H F ).6, ( H F ) ( H ) ( H F ) ( F ) + ( H F ) ( F ) + ( H F ) ( F )

14 ( A B) Das Theorem von Bayes n U A A A L An ( A B) ( B) ( B A ) ( B) Ω, ( B A ) ( A ) n B A ( ) ( A ) 40 Bespel Tschtenns Das Theorem von Bayes Wollen wr be Herbert D. de Wahrschenlchket bestmmen, dass er am Vorabend Ber getrunken hat, wenn er gerade sen Spel gewonnen hat, so st ( A B) ( B A ) ( A ) ( B) 4 Das Theorem von Bayes Bespel Freunde Möchten wr bestmmen, mt welcher Wahrschenlchket Freund F etra nach Hause gebracht hat, so ergbt sch ( F H ) ( H F ) ( F ) ( H ) 4 4