z.b. Münzwurf: Kopf = 1 Zahl = 2 oder z.b. 2 Würfel: Merkmal = Summe der Augenzahlen, also hier: Bilde die Summe der Augenzahlen der beiden Würfel!

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1 Aufgabe : Vorbemerkung: Ene Zufallsvarable st ene endeutge Funkton bzw. ene Abbldungsvorschrft, de angbt, auf welche Art aus enem Elementareregns ene reelle Zahl gewonnen wrd. x 4 (, ) z.b. Münzwurf: Kopf Zahl oder z.b. Würfel: Merkmal Summe der Augenzahlen, also her: Blde de Summe der Augenzahlen der beden Würfel! dskrete Zufallsvarable: kann endlch vele verschedene Werte annehmen ( x ) stetge Zufallsvarable: kann unendlch vele verschedene Werte annehmen,... x k Erwartungswert E X x f x k ( ) ( ) z.b. möglche Eregnsse be enem Würfelwurf E {,, 3, 4,, 6} mt f ( x ) 6 Erwartungswert E( X ) x f ( x ) E( X ) x 3, 6 6 Varanz [ ] k VAR( X ) x E ( X ) f ( x ),97 Lösung der Aufgabe: a). Schrtt: Darstellung des Ergebnsraumes (Defntonsberech von X) möglche Eregnsse be zwe Würfeln Eregnsraum:

2 { (,) (,) (,3) (,4) (,) (,6) (,) (,) (,3) (,4) (,) (,6) (3,) (3,) (3,3) (3,4) (3,) (3,6) (4,) (4,) (4,3) (4,4) (4,) (4,6) (,) (,) (,3) (,4) (,) (,6) (6,) (6,) (6,3) (6,4) (6,) (6,6) } Elementareregnsse e. Schrtt: Bestmmung des Wertebereches von X Defnton des Zufallseregnsses A : Gleche Summe der Würfelaugen Eregnsraum: A { e X( e ) x } A A A 3 A 4 A A 6 A 7 A 8 A 9 A 0 A Festlegung des Wertebereches Z: Z{,3,...,,} 3. Schrtt: Bestmmung der Wahrschenlchket f ( x ) Entrttswahrschenlchketen von A : günstge_ Eregnsse P( A) ungünstge_ Eregnsse P( A ) { e X ( e ) x } e e Wahrschenlchketsfunkton f(x) ener dskreten Zufallsvarable

3 Ene allgemen angegebene Zuordnungsvorschrft, nach der edem Wert ener dskreten Zufallsvarablen ene entsprechende Wahrschenlchket zugeordnet wrd, heßt Wahrschenlchketsfunkton. f ( x ) p( X x ) mt f x ( ) ( ) 0 und f x f ( x) p( x ) P( A) f ( x ) p( x 3) P( A) 3 f ( x3) p( x 4) P( A3 ) 4 f ( x4 ) p( x ) P( A4 ) f ( x) p( x 6) P( A ) 6 f ( x6 ) p( x 7) P( A6) f ( x7 ) p( x 8) P( A7) 4 f ( x8) p( x 9) P( A8 ) 3 f ( x9 ) p( x 0) P( A9 ) f ( x0) p( x ) P( A0) f ( x) p( x ) P( A) Erwartungswert: k E( X) x f ( x ) E( X) E( X) 7 E(X) entsprcht dem Mttelwert der Vertelung. 4. Schrtt: Tabellarsche Darstellung und Arbetstabelle x f ( x ) F ( x ) x f ( x ) x E X ( ) [ ] x E( X) f ( x ) / / / - / 3 / 3/ 6/ -4 3/ 4 3/ 6/ / -3 7/ 4/ 0/ 0/ - 6/

4 6 / / 30/ - / 7 6/ / 4/ / 6/ 40/ / 9 4/ 30/ / 6/ 0 3/ 33/ 30/ 3 7/ / 3/ / 4 3/ / / / / S E( X) 7 0 VAR( X ), 833 Varanz: VAR( X ), 833 Darstellung der Wahrschenlchketsfunkton: Wahrschenlchketsrechnung 0,8 /6 0,6 0,4 / / 0, /9 /9 0,0 0,08 / / 0,06 /8 /8 0,04 0,0 / / 0, Vertelungsfunkton ener dskreten Zufallsvarablen: Als Vertelungsfunkton F x ( ) ener Zufallsvarablen X bezechnet man de Funkton, de de Wahrschenlchket dafür angbt, daß de Zufallsvarable X höchstens den Wert x annmmt, also beschrebt se de Wahrschenlchket, daß X klener glech ( ) x st.

5 F ( x ) p( x x ) f ( x ) (analog zur Summenhäufgketsfunkton) F(x) 0 (x<) / (x<3) 3/ (x<4) /6 (x<) 0/ (x<6) / (x<7) 7/ (x<8) 3/8 (x<9) /6 (x<0) / (x<) 3/ (x<) (x ) Vertelungsfunkton / 4/ 3/ / / 0 < x<3 x<4 x< x<6 x<7 x<8 x<9 x<0 x< x< Rehe 0 / / /6 /8 / 7/ 3/8 /6 / 3/

6 b) we hoch müßte der Ensatz mndestens sen? Der Ensatz müßte dem Erwartungswert entsprechen, damt de Bank ohne Gewnn und Verlust spelt, also k E( X) x f ( x ) 7

7 Aufgabe : Tabelle: x f ( x ) F ( x ) x f x ( ) x E X x E( X) f ( ) [ ] 8 3/4 3/ /4 7/4-4,67 6 9/4 6/ /4 / /4 4/4 8,33 S E( X) 6 0 VAR( X) 0 Zechnung der Vertelungsfunkton: Vertelungsfunkton / 4/ 3/ Rehe / / Aufgabe 3: Der Gewnn wrd der Enfachhet halber als Ennahmen - Ausgaben defnert. Für de Lösung snd also de Ennahmen der Verscherung den entsprechenden Ausgabeerwartungen gegenüberzustellen. Der Saldo st dann der Gewnn bzw. Verlust der Verscherung. De Ennahmen ergeben sch aus der Verscherungspräme:

8 E 40, DM De Ausgabeerwartung der Verscherung st der Auszahlungsbetrag der Verscherung für das multplzert mt der Sterbewahrschenlchket des Verscherungsnehmers, also E( ) , , 00DM Tod Berechnet man de zu erwartende Auszahlung als Erwartungswert der Zufallsvarablen X (Auszahlungsbetrag) mt x 0 m Überlebensfall und x m Sterbefall, so ergbt sch: E( X) x f ( x ) 0 0, , , 00 DM Der erwartete Gewnn beträgt also G 40,00DM - 40,00DM 0,00DM Aufgabe 4: Ene Dchtefunkton hat de Egenschaft, daß de Fläche unter hrer Kurve den Wert hat, also + f ( x) dx, deshalb muß gelten x f ( x ) dx k xdx k xdx k 9 8 k k k 8 k 8 Graphsche Darstellung der Dchtefunkton: f(x) 9

9 x De Vertelungsfunkton erhält man für x 9 als + x x v x F ( x) f v dv ( v) dv für x < F( x) ( x ) für x 9 6 für x > 9 6 ( ) ( x ) Graphsche Darstellung der Vertelungsfunkton: f(x)

10 x Medan der Funkton: Der Medan st der Wert, der de Vertelung n zwe gleche Hälften telt, also der x-wert, be dem de Vertelungsfunkton den Wert 0, hat. D.h. ( x ) F( x) 6 0, 6 8 x x 3 ( x ) x Med. 3 7, 8 Erwartungswert der Funkton: E( x) 9 x f ( x) dx 9 ( x x) dx 9 x² dx x³,,, Varanz der Funkton: VAR( x) 9 x² f ( x) dx E( x)² 9 x³ dx, x,,,,, 4 7 9² 8 7 9² ²

11 Aufgabe : De Wahrschenlchket, daß Papageen das Sprechen erlernen, st bnomalvertelt. De Bnomalvertelung zählt zu den dskreten Vertelungen. Se glt für zwewertge Zufallsgrößen, d.h., de Varablen haben genau zwe Realsatonsmöglchketen (sprechen/ncht sprechen). Desen dchotomen (zwegetelten) Varablen legen enander komplementäre Eregnsse zugrunde. Das günstge Eregns wrd mt der Wahrschenlchket p belegt, wobe 0 p st. Das komplementäre Eregns hat de Wahrschenlchket q. Da nur dese beden Realsatonsmöglchketen exsteren, telt sch de Gesamtwahrschenlchket auf n p und q p + q De Wahrschenlchket, be Durchführung ener Bernoull-Kette der Länge n genau k Treffer zu erzelen, st gegeben durch de Formel B n k p q,, k ( n k p) ( n k ) (Herletung der Formel auf S. 49) a) genau von Vögeln sollen sngen können n k ( n k ) B( ) p q n, k, p k, also ( ) ( ) ( p ) 3 günstge !,,,, ( )!! p ( ) günstge 0 0, 6 0, 6 0, 346 (vgl. mt dem Tabellenwert) Wolfgang A. kann mt ener Wahrschenlchket von 0,346 damt rechnen, daß zwe sener Vögel das Sprechen lernen. b) Wahrschenlchket, daß kener sprechen kann, ergbt sch als: 0, 4 0, 6 0, , ; ;, 0 0 B( ) c) Wahrschenlchket, daß wengstens ener begabt st. Wengstens ener bedeutet, daß,,3,4 oder sogar alle das Sprechen erlernen. Das Ergebns errechnet sch also aus der Addton der Enzelwahrschenlchketen für,,3,4 oder Sprecher, oder als B ( ; 0 ; 0, 4), dem scheren Eregns abzüglch der Wahrschenlchket dafür, das kener das Sprechen erlernt.

12 0 ( 0 0 4) B ; ;,,,,, Mt 9,4%ger Scherhet kann mndestens ener der Vögel sprechen. d) Berechnung des Erwartungswertes und der Varanz der Bnomalvertelung Erwartungswert: E x n p Varanz: VAR x n p q ( ) 0, 4 ( ) 0, 4 0, 6, Aufgabe 6: De Wahrschenlchket p, daß emand der den Laden betrtt etwas kauft, beträgt 0,. Es betreten n Kunden den Laden. a) Wahrschenlchket, daß kener kauft 0, 0, 8 0, , 3768 ; ;, 0 0 B( 0 0 ) b) Wahrschenlchket, daß oder 3 enen Anzug kaufen: p( ) B( ) oder 3 B 0 ( 3 0 ) ,, + 3,,, +,, ; ;, ; ;, De Wahrschenlchket beträgt,6%. c) Wahrschenlchket, daß wengstens ener enen Anzug kauft entsprcht entweder der Summe der Enzelwahrschenlchketen für,,3,4 und Käufer, oder -(Wahrschenlchket für kenen Kunden), also ( ) B ; ;,,,,, De Wahrschenlchket beträgt 67,3%. d) Wahrschenlchket, daß alle enen Anzug kaufen, beträgt 0, 0, 8 0, , 0003 ; ;, 0 B( 0 )

13 De Wahrschenlchket beträgt 0,03%. Erwartungswert und Varanz be n 0 Kunden: E ( x) n p, kaufen) Kunden (4 von 0 Kunden werden m enen Anzug VAR( x) n p q 0 0, 0, 8 3, Kunden.