Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung

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1 Kaptel 1 Grundlagen der Wahrschenlchketsrechnung 1.1 Kombnatork Addtonsprnzp (Summenregel). Es se A = A 1 A 2 A n, wo A ( = 1, 2,..., n) paarwese dsjunkte endlche Mengen snd. Dann st A = A 1 + A A n. Multplkatonsprnzp (Produktregel). Wählt man je en Element aus den Mengen A 1, A 2,..., A n so aus, daÿ de Auswahl der enzelnen Elemente enander ncht beenuÿt, dann st bem Auswahl de Anzahl aller möglchen n-tupel A 1 A 2... A n. Denton Jede möglche Anordnung von n verschedenen Elementen, n der alle Elemente verwendet werden, heÿt Permutaton deser Elemente. Satz De Anzahl aller Permutatonen von n verschedenen Elementen st n!. Denton Es gebe k verschedene Gruppen von nsgesamt n Elementen so, daÿ n der -ten Gruppe ( = 1, 2,..., k) n ununterschedbare Elemente snd, n 1 + n n k n. Jede möglche Anordnung von solchen n Elementen, n der alle Elemente verwendet werden, heÿt Permutaton mt Wederholung. Satz De Anzahl aller Permutatonen mt Wederholung von n Elementen st n! n 1! n 2!... n k!. Denton Ene Auswahl von k Elementen aus n verschedenen Elementen heÿt 1. ene Varaton von n Elementen zur Klasse k, wenn de Auswahl mt Beachtung der Rehenfolge der Elemente so erfolgt, daÿ en Element nur höchstens enmal ausgewählt werden kann. 1

2 2. ene Varaton mt Wederholung von n Elementen zur Klasse k, wenn de Auswahl mt Beachtung der Rehenfolge der Elemente so erfolgt, daÿ en Element mehrmals ausgewählt werden kann. 3. ene Kombnaton von n Elementen zur Klasse k, wenn de Auswahl ohne Beachtung der Rehenfolge der Elemente so erfolgt, daÿ en Element nur höchstens enmal ausgewählt werden kann. 4. ene Kombnaton mt Wederholung von n Elementen zur Klasse k, wenn de Auswahl ohne Beachtung der Rehenfolge der Elemente so erfolgt, daÿ en Element mehrmals ausgewählt werden kann. Satz De Anzahl aller 1. Varatonen von n Elementen zur Klasse k st n! (n k)!, 2. Varatonen mt Wederholung von n Elementen zur Klasse k st n k, 3. Kombnatonen von n Elementen zur Klasse k st ( n k), 4. Kombnatonen mt Wederholung von n Elementen zur Klasse k st ( n+k 1 k Der häug benötgte Ausdruck ( n k) wrd als Bnomalkoezent bezechnet und mt der Formel ( ) n n! = k k! (n k)! berechnet (n N, k N, n k). Satz (Bnomscher Lehrsatz) Es seen n ene postve ganze Zahl und a, b reelle Zahlen. Es st ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n (a+b) n = a n b 0 + a n 1 b 1 + a n 2 b a 0 b n = n n =0 ). ( ) n a n b. Satz Das Pascal-Dreeck enthält den Bnomalkoezenten ( n k) an der k-ten Stelle der n-ten Zele, wo 0 k n; k, n N. Satz Im Pascal-Dreeck st ( ( n 0) = 1 und n n) = 1, d.h. jede Zele begnnt und endet mt der 1; ( ) ( n k = n n k), d.h. das Pascal-Dreeck st symmetrsch; ( ) ( n k = n 1 ) ( k 1 + n 1 ) k st de Bldungsregel der nneren Elemente des Pascal- Dreecks; n =0 ( n ) = ( n 0) + ( n 1) + + ( n n) = 2 n, d.h. de Summe der Elemente n der n-ten Zele des Pascal-Dreecks beträgt 2 n. 2

3 1.2 Algebra der Eregnsse De Menge aller Ergebnsse enes Zufallsvorgangs (oder Zufallsexpermentes) heÿt Eregnsraum (Ω), dessen Elemente de sog. Elementareregnsse snd. En Eregns st als ene Telmenge von Ω denert. De Menge Ω wrd auch als das schere Eregns bezechnet. De leere Menge nennt man das unmöglche Eregns Operatonen mt Eregnssen Denton Das Eregns A zeht das Eregns B nach sch, wenn B mmer entrt falls Trt das Eregns B mmer en falls das Eregns A entrt, so sagt man: A zeht B nach sch. Bezechnung: A B. Denton Zwe Eregnsse snd glech, falls jede der zwe de andere nach sch zeht. Denton Zu jedem Eregns A gbt es en entgegengesetztes Eregns A (Gegeneregns), das genau dann entrtt, wenn A ncht entrtt. Denton De Summe der Eregnsse A, B Ω st das Eregns A + B, das genau dann entrtt, wenn mndestens ens der zwe Eregnsse A und B entrtt. Denton Das Produkt der Eregnsse A, B Ω st das Eregns A B (Verbund-Eregnss), das genau dann entrtt, wenn de zwe Eregnsse A und B glechzetg entreten. Denton Man nennt A, B Ω unverenbare Eregnsse, wenn A B =, d.h. se können glechzetg ncht entreten. Denton Ist kenes der Eregnsse A 1, A 2,... das unmöglche Eregns, snd se paarwese unverenbar und st hre Summe das schere Eregns, so nennt man A 1, A 2,... en vollständges Eregnssystem. 1.3 Begr der Wahrschenlchket De Wahrschenlchket enes Eregnsses A st ene Zahl P (A), de zu A so zugeordnet wrd, daÿ dese Zuordnung de folgenden dre Kolmogorow-Axome erfüllt: 1. 0 P (A) 1, d.h. Für jedes Eregns A st de Wahrschenlchket ene reelle Zahl zwschen 0 und 1, 2. P (Ω) = 1, d.h. das schere Eregns hat de Wahrschenlchket De Wahrschenlchket ener Summe abzählbar veler, paarwese unverenbarer Eregnsse entsprcht der Summe der Wahrschenlchketen der enzelnen Eregnsse, d.h. P (A 1 + A ) = P (A 1 ) + P (A 2 )

4 Satz De Wahrschenlchket des unmöglchen Eregnsses glecht 0. Bewes.Das Eregns A und das unmöglche Eregns snd unverenbar (AØ = Ø), weter st A + Ø = A. Deshalb st woraus folgt P (Ø) = 0. P (A) = P (A + Ø) = P (A) + P (Ø), Satz De Wahrschenlchket des Gegeneregnsses st P (A) = 1 P (A). Bewes.Von A + A = Ω und AA = Ø folgt 1 = P (Ω) = P (A + A) = P (A) + P (A), woraus P (A) ausgedrückt werden kann. Satz (Monotonesatz) Wenn A B, dann P (A) P (B). Satz P (A + B) = P (A) + P (B) P (AB). Es se Ω = {ω 1, ω 2,... }. Bezechne p de Wahrschenlchket des -ten Elementareregnsses, d.h. p = P (ω ). Das drtte Axom ergbt: p = p 1 + p 2 + = 1. De Wahrschenlchketen p 1, p 2,... nennt man de Wahrschenlchketsvertelung des Eregnsraums Ω. 1.4 Klasssche (kombnatorsche) Wahrschenlchket Snd m Eregnsraum Ω nur endlch vele (n N + ) Elementareregnsse, de mt der glechen Wahrschenlchket entreten, so folgen aus p 1 + p p n = 1 de Glechungen p 1 = p 2 = = p n = 1 n. Als Konsequenz folgt, dass für Eregnsse A Ω, de sch aus k (0 k n) Elementareregnssen zusammensetzen, de entsprechend velfache Wahrschenlchket glt, d.h. P (A) = k 1 n = k n. De Wahrschenlchket enes Eregnsses glech der Zahl der für deses Eregns günstgen Ergebnsse, dvdert durch de Zahl der nsgesamt möglchen Ergebnsse: P (A) = k n = Anzahl der günstgen Ergebnsse Anzahl der nsgesamt möglchen Ergebnsse. Se de Anzahl ener Populaton N. In deser Populaton snd K Exemplare mt enem Merkmal gekennzechnet. Mt welcher Wahrschenlchket benden 4

5 sch k gekennzechnete Exemplare n ener Stchprobe von n Exemplaren? Bezechnet man deses Eregns n der Frage mt A n k, so bekommt man de folgenden Formel. Stchprobe mt Zurücklegen: ( n P v (A n k) = k) K k (N K) n k ( ) ( ) k ( n K N n = 1 K ) n k. (1.1) k N N Führt man de Bezechnung p = K N für de Wahrschenlchket der Auswahl enes enzgen gekennzechneten Exemplares aus der Populaton en, so gelangt man zur Formel ( ) n P v (A n k) = p k (1 p) n k. (1.2) k Stchprobe ohne Zurücklegen: ( K )( N K ) P vn (A n k n k k) = ( N. (1.3) n) 1.5 Geometrsche Wahrschenlchket Ist de Ergebnsmenge überabzählbar, so kann Ω mt ener Telmenge der Geraden, der Ebene oder des Raums so dentzert werden. Ist A Ω, so kann de Wahrschenlchket von A als Quotent der geometrschen Maÿe von A und Ω gedeutet werden. 1.6 Bedngte Wahrschenlchket, Unabhänggket Unter ener bedngten Wahrschenlchket versteht man de Wahrschenlchket für das Entreten enes Eregnsses A unter der Voraussetzung, dass das Entreten enes anderen Eregnsses B berets bekannt st. Natürlch muss B entreten können, es darf also ncht das unmöglche Eregns sen. Man schrebt dann P (A B) für Wahrschenlchket von A unter der Voraussetzung B, kurz P von A, vorausgesetzt B. Denton De bedngte Wahrschenlchket des Eregnsses A unter der Voraussetzung von B st P (A B) = P (AB) P (B), (1.4) wenn P (B) 0 st. De Wahrschenlchket hervon berechnet sch zur gemensamen Wahrschenlchket oder Verbundwahrschenlchket mt P (AB) = P (A B) P (B) Satz (Gesetz der totalen Wahrschenlchket) Blden de Eregnsse A 1, A 2,... en vollständges Eregnssystem so, daÿ P (A ) > 0 ( = 1, 2,...), und st B en belebges Eregns, dann st P (B) = P (B A ) P (A ). (1.5) 5

6 Bewes.De Summe der Eregnsse A 1, A 2,... st Ω. Man hat ( ( )) ( ) P (B) = P (BΩ) = P B A = P BA = P (BA ) = = P (B A ) P (A ), denn (BA )(BA j ) = BA A j = BØ = Ø ( j). Satz (Satz von Bayes) Blden de Eregnsse A 1, A 2,... en vollständges Eregnssystem so, daÿ P (A ) > 0 ( = 1, 2,...), und st B en belebges Eregns mt postver Wahrschenlchket, dann st Bewes. P (A k B) = P (B A k) P (A k ), (k = 1, 2,... ). (1.6) P (B A ) P (A ) P (A k B) = P (A kb) P (B) = P (BA k) P (B) = P (B A k) P (A k ) P (B A ) P (A ), wo m Nenner das Gesetz der totalen Wahrschenlchket benutzt wurde. Denton De zwe Eregnsse A und B snd unabhängg, wenn glt P (AB) = P (A) P (B). (d.h. Be unabhänggen Eregnssen kann man de Wahrschenlchketen multplzeren.) 1.7 Zufallsvarablen und deren Egenschaften Denton De Funkton η : Ω R heÿt Zufallsvarable. De Zufallsvarable η ordnet also zu den Elementen des Eregnsraums reelle Zahlen zu. Denton De Vertelungsfunkton ener Zufallsvarablen st de Funkton F : R R, F (x) = P (η < x). Satz De Vertelungsfunkton F ener Zufallsvarablen η st monoton stegend, d.h. für jede a b st F (a) F (b), weter gelten lm F (x) = 0 und lm F (x) = 1. x x Mt Hlfe der Vertelungsfunkton kann man de folgende Wahrschenlchket berechnen: P (a η < b) = P (η < b) P (η < a) = F (b) F (a). 6

7 Denton De Zufallsvarable η heÿt ene dskrete Zufallsvarable, wenn hr Wertevorrat endlch oder ene unendlche Folge st. Seen x 1, x 2,... de möglchen Werte von η. De Eregnsse {η = x } snd paarwese unverenbar, deshalb st P (a η < b) = P (η = x ), wo x [a, b). Mt Hlfe der Wahrschenlchketen P (η = x ) läÿt sch also de Wahrschenlchket enes belebgen Eregnsses berechnen. Darüber hnaus st P (η = x ) = 1. De Wahrschenlchketen P (η = x ) nennt man de Vertelung der Zufallsvarable η. Denton De Zufallsvarable η heÿt ene stetge Zufallsvarable, wenn hre Vertelungsfunkton stetg st. Denton De Abletung F (x) = f(x) der Vertelungsfunkton F der Zufallsvarable η heÿt de Dchtefunkton (oder Dchte) der Zufallsvarable. Satz De Dchtefunkton ener stetgen Zufallsvarable hat de folgenden Egenschaften. f(x) 0, f(x) dx = 1. De Wahrschenlchket P (a η < b) = F (b) F (a) st genau das bestmmte Integral der Dchtefunkton über dem Intervall [a, b]: P (a η < b) = b a f(x) dx. Denton De Zufallsvarablen η und ξ heÿen unabhängg, wenn für belebge reelle Zahlen x, y de Eregnsse {η < x} und {ξ < y} unabhängg snd. Denton De reelle Zahl x p, E(η) = x f(x) dx, falls η dskret falls η stetg, heÿt der Erwartungswert von η, falls de obgen Werte überhaupt exsteren. Satz Nmmt de Zufallsvarable η nur den konstanten Wert A an, dann st E(η) = A. Bewes.De Zufallsvarable η st dskret, denn se nmmt nur den enen Wert A an, und zwar dann mt der Wahrschenlchket p = 1. So folgt E(η) = A 1 = A. Satz Ist E(η) der Erwartungswert der Zufallsvarable η, so hat de Zufallsvarable Aη + B (A, B R) auch enen Erwartungswert, und zwar E(Aη + B) = A E(η) + B. 7

8 Bewes.Nmmt η de möglchen Werte x mt den Wahrschenlchketen p an, so nmmt de Zufallsvarable Aη + B de möglchen Werte Ax + B mt den entsprechenden Wahrschenlchketen p an. E(Aη+B) = (Ax +B)p = Ax p + Bp = A x p +B p = A E(η)+B. Satz Exsteren de Erwartungswerte E(η) und E(ξ), so exstert auch E(η + ξ), und zwar E(η + ξ) = E(η) + E(ξ). Satz Snd η und ξ solche unabhängge Zufallsvarablen, de de Erwartungswerte E(η) und E(ξ) haben, dann exstert E(ηξ) ebenfalls, und zwar st E(ηξ) = E(η) E(ξ). Denton De Varanz ener Zufallsvarable η st der Wert D 2 (η) = E((η E(η)) 2 ) = E((η µ η ) 2 ), falls er exstert. Denton De Quadratwurzel D(η) = D 2 (η) der Varanz heÿt Standardabwechung. Satz Bestzt de Zufallsvarable η ene Varanz, so st Bewes. D 2 (η) = E(η 2 ) E 2 (η). D 2 (η) = E((η µ η ) 2 ) = E(η 2 2µ η η+µ 2 η) = E(η 2 ) 2µ η E(η)+E(µ 2 η) = E(η 2 ) µ 2 η. Korollar. De Varanz ener dskreten Zufallsvarable η läÿt sch berechnen als D 2 (η) = x 2 p µ 2 η. De Varanz ener stetgen Zufallsvarable η läÿt sch berechnen als D 2 (η) = x 2 f(x)dx µ 2 η. Satz Nmmt de Zufallsvarable η nur den konstanten Wert A an, dann st D 2 (η) = 0. Bewes. D 2 (η) = E(η 2 ) E 2 (η) = E(A 2 ) E 2 (A) = A 2 A 2 = 0. Satz Ist σ 2 η de Varanz der Zufallsvarable η und st A R, dann exstert σ 2 η+a und σ2 η+a = σ2 η, σ 2 Aη und σ2 Aη = A2 σ 2 η. 8

9 Bewes. σ 2 η+a = D 2 (η + A) = E((η + A) 2 ) E 2 (η + A) = = E(η 2 + 2Aη + A 2 ) (E(η) + E(A)) 2 = = E(η 2 ) + 2AE(η) + E(A 2 ) E 2 (η) 2E(A)E(η) E 2 (A) = = E(η 2 ) E 2 (η) = D 2 (η) = σ 2 η. σ 2 Aη = D2 (Aη) = E((Aη) 2 ) E 2 (Aη) = A 2 E(η 2 ) A 2 E 2 (η) = A 2 D 2 (η) = A 2 σ 2 η. Denton De Kovaranz zweer Zufallsvarablen η und ξ st der Wert COV(η, ξ) = E(ηξ) E(η)E(ξ), falls er exstert. Satz Wenn de Varanz σ 2 η und σ 2 ξ exsteren, dann exstert σ2 η+ξ ebenfalls, und man hat den Zusammenhang σ 2 η+ξ = σ 2 η + σ 2 ξ + 2 COV(η, ξ). Bewes. D 2 (η + ξ) = E((η + ξ) 2 ) E 2 (η + ξ) = E(η 2 + 2ηξ + ξ 2 ) (E(η) + E(ξ)) 2 = = E(η 2 ) E 2 (η) + E(ξ 2 ) E 2 (ξ) + 2E(ηξ) 2E(η)E(ξ) = = D 2 (η) + D 2 (ξ) + 2(E(ηξ) E(η)E(ξ)). Satz COV(η, ξ) = E((η µ η )(ξ µ ξ )). Bewes. E((η µ η )(ξ µ ξ )) = E(ηξ ηµ ξ ξµ η + µ η µ ξ ) = E(ηξ) µ ξ E(η) µ η E(ξ) + µ η µ ξ = E(ηξ) E(η)E(ξ). Satz Hat de Zufallsvarable η den Erwartungswert µ η und de Standardabwechung σ η, so hat de standardserte Zufallsvarable ξ = η µη σ η µ ξ = 0, σ ξ = 1. Bewes. µ ξ = E(ξ) = E( η µη σ η ) = 1 σ η E(η µ η ) = 1 σ η E(η) 1 σ η µ η = µη σ η µη σ η = 0. σξ 2 = D2 (ξ) = D 2 ( η µη σ η ) = 1 σ D 2 (η µ η 2 η ) = 1 σ D 2 (η) = σ2 η η 2 ση 2 = 1. De Transformaton ener Zufallsvarable η n de standardserte Zufallsvarable ξ = η µη σ η bezechnet man als Standardserung der Zufallsvarable η. 9

10 1.8 Wahrschenlchketsvertelungen Dskrete Wahrschenlchketsvertelungen 1. Vertelung der Indkatorvarable. κ A : { 0 1 q p E(κ A ) = 0 q + 1 p = p, D 2 (κ A ) = 0 2 q p p 2 = p(1 p) = pq. 2. Bnomalvertelung. Ene dskrete Zufallsvarable η heÿt bnomalvertelt mt den Parametern n und p, wenn hre Werte de natürlchen Zahlen 0, 1,..., n snd, de se mt den Wahrschenlchketen p k = P (η = k) = ( n k ) p k (1 p) n k = ( n k }. ) p k q n k, (k = 0, 1,..., n) annmmt. Nehmen wr an, daÿ das Eregns A mt der Wahrschenlchket p (Treerwahrschenlchket) entrt. Führen wr das Zufallsexperment n-mal (Anzahl der Versuche) durch. Bezechne η de Häugket des Entreens des Eregnsses A. De Wahrschenlchket, daÿ A genau k-mal entrt, glecht ( ) n k p k q n k (sehe SZehen mt Zurücklegen"). Erwartungswert und Varanz ener bnomalvertelten Zufallsvarable η snd E(η) = E(κ κ n ) = E(κ 1 ) E(κ n ) = n p, D 2 (η) = D 2 (κ κ n ) = D 2 (κ 1 ) D 2 (κ n ) = n pq, wo de dentschen Enzelprozesse mt den Zufallsvarablen κ paarwese unabhängg snd. 3. Posson-Vertelung. Ene dskrete Zufallsvarable η heÿt possonvertelt mt dem Parameter λ, wenn hr Wertevorrat de Menge der natürlchen Zahlen st, de se mt den Wahrschenlchketen p k = P (η = k) = λk k! e λ, (k N) anmmt. Dese Zahlen blden wrklch ene Vertelung, denn P (η = k) = k=0 k=0 λ k k! e λ = e λ k=0 λ k k! = e λ e λ = 1. Erwartungswert und Varanz ener possonvertelten Zufallsvarable η snd E(η) = λ, D 2 (η) = λ. Der Posson-Vertelung folgt m Allgemenen de Anzahl der n enem (zetlchen bzw. räumlchen) Intervall plötzlch entreenden Geschehnsse. 10

11 1.8.2 Stetge Wahrschenlchketsvertelungen l. Normalvertelung. Ene stetge Zufallsvarable η heÿt normalvertelt mt den Parametern µ und σ (σ > 0), wenn hre Dchtefunkton st: f(x) = 1 σ 2π e 1 2 (x µ)2 σ 2. Erwartungswert und Varanz snd E(η) = µ und D 2 (η) = σ 2, womt man ene anschaulche Rolle den Parametern der Normalvertelung zuordnen kann. Häug verwendet man das Symbol η = N(µ, σ). De Normalvertelung z = N(0, 1) heÿt Standardnormalvertelung, denn se kann von ener belebgen Normalvertelung η = N(µ, σ) mt Standardserung gewonnen werden, d.h. z = η µ σ. De Dchtefunkton bzw. de Vertelungsfunkton der Standardnormalvertelung bezechnet man mt φ(x) bzw. mt Φ(x). 2. Exponentalvertelung. Ene stetge Zufallsvarable η heÿt exponentalvertelt mt dem Parameter µ R +, wenn hre Dchtefunkton st: { µe f(x) = µx, falls x > 0; 0, anderenfalls. Dese Funkton denert tatsächlch ene Dchtefunkton, denn f(x) dx = 0 = µ lm x De Vertelungsfunkton st F (x) = 0 dx + 0 ( 1µ e µx ) µ [ µe µx dx = 0 + µ 1 ] µ e µx 0 { 1 e µx, falls x > 0; 0, anderenfalls. ( 1 ) = 0 ( 1) = 1. µ Erwartungswert bzw. Standardabwechung snd E(η) = 1 µ bzw. D(η) = 1 µ. 1.9 Speltheore Matrxspele mt enem Sattelpunkt n renen Strategen Es se A k n = [a j ] ( = 1,..., k,j = 1,..., n) de Auszahlungsmatrx (de Spelmatrx) enes Zwepersonen-Nullsummenspels. Falls der Zelenspeler spelt, muÿ er mt dem schlmmsten Fall, enem Nutzen von α := mn j a j rechnen. Der Zelenspeler wrd nun dejenge Stratege spelen, de hm en maxmales α schert, d.h. senen Maxmn-Wert errecht α := max α = max mn a j. j = 11

12 Falls der Spaltenspeler j spelt, muÿ er mt dem schlmmsten Fall, enem Verlust von β j := max a j rechnen. Der Spaltenspeler wrd nun dejenge Stratege spelen, de hm enen mnmalen Verlust β j schert, d.h. senen Mnmax-Wert errecht hngegen β := mn j β j = mn j max a j. Ist α = β(=: v), so bestzt das Spel enen Sattelpunkt n renen Strategen (Paar aus Maxmn- und Mnmax-Strategen); v wrd als Spelwert bezechnet. mn j a j a k für jedes k max mn a j max a k für jedes k j max mn j a j mn α β k max a k Denton Das Paar ( 0, j 0 )) heÿt en Sattelpunkt n renen Strategen m Zwepersonen-Nullsummenspel mt der Auszahlungsmatrx A k n = [a j ], falls a 0j 0 n sener egenen Zele mnmal und glechzetg n sener Spalte maxmal st, d.h. a j0 a 0j 0 a 0j für alle,j ( = 1,..., k,j = 1,..., n). v = a 0j 0 wrd als Spelwert bezechnet. Ncht jedes Matrxspel bestzt enen Spelwert be ener Spelwese n renen Strategen. Satz Das Paar ( 0, j 0 )) st en Sattelpunkt n renen Strategen m Zwepersonen- Nullsummenspel mt der Auszahlungsmatrx A k n = [a j ] genau dann, wenn max mn j a j = a 0j 0 = mn j max a j. Satz Hat en Zwepersonen-Nullsummenspel mehrere Sattelpunkte n renen Strategen, dann snd dese Sattelpunkte mtenander glechwertg Allgemene Untersuchung von 2 2 Matrxspelen Betrachten wr de 2 2 Auszahlungsmatrx [ ] a11 a A = 12 a 21 a 22 enes solchen Zwepersonen-Nullsummenspels, das ken Sattelpunkt n renen Strategen hat. Wählt der Zelenspeler de erste Zele mt Wahrschenlchket p, und wählt der Spaltenspeler unahängg vom Zelenspeler de erste Spalte mt Wahrschenlchket q, so st der erwartete Nutzen des Zelenspelers E(p, q) = a 11 pq + a 12 p(1 q) + a 21 (1 p)q + a 22 (1 p)(1 q). 12

13 En Glechgewcht ergbt sch, falls es solche gemschte Strategen der zwe Speler mt den jewelgen Wahrschenlchketen p 0 und q 0 gbt, daÿ der Zusammenhang E(p, q 0 ) E(p 0, q 0 ) E(p 0, q) für belebge 0 p 1 und 0 q 1 besteht. Denton Das Zahlenpaar (p 0, q 0 ) heÿt en Sattelpunkt n gemschten Strategen m Zwepersonen-Nullsummenspel mt der Auszahlungsmatrx A, falls E(p, q 0 ) E(p 0, q 0 ) E(p 0, q) st für belebge Wahrschenlchketen 0 p 1 und 0 q 1. v = E(p 0, q 0 ) wrd als Spelwert bezechnet. Das Spel heÿt gerecht falls v = 0. Satz (Fundamentalsatz der Speltheore, János Neumann) Jedes Matrxspel bestzt enen Sattelpunkt n gemschten Strategen Algebrasche Lösungsmethode Satz Gbt es kenen Sattelpunkt n renen Strategen m Zwepersonen- Nullsummenspel mt der 2 2 Auszahlungsmatrx A, so st A = a 11 + a 22 a 12 a Satz Gbt es kenen Sattelpunkt n renen Strategen m Zwepersonen- Nullsummenspel mt der 2 2 Auszahlungsmatrx A, so snd p 0 = C A = a 22 a 21 A Geometrsche Methode Sehe ungarsches Skrpt..., q 0 = B A = a 22 a 12 AD BC, v = A A = a 11a 22 a 12 a 21. A 13

14 Kaptel 2 Lneare Algebra 2.1 Matrzen Denton De Matrzen n R n 1 nennt man Spaltenvektoren. De Menge R n 1 wrd enfacher als R n bezechnet. Denton De Summe der zwe Matrzen A k n = [a j ] k n und B k n = [b j ] k n st dejenge Matrx C k n = [c j ] k n, deren Komponente c j = a j + b j ( = 1,..., k,j = 1,..., n) snd. Man bezechnet C = A + B. Es können also nur Matrzen mt der glechen Anzahl an Zelen und der glechen Anzahl an Spalten addert werden. De Summe zweer k n-matrzen berechnet sch, ndem man jewels de Enträge der beden Matrzen addert. Denton Das Produkt der Matrx A k n = [a j ] k n mt der reellen Zahl α st dejenge Matrx C k n = [c j ] k n, deren Komponente c j = αa j ( = 1,..., k,j = 1,..., n) snd. Man bezechnet C = αa. Ene Matrx wrd mt enem Skalar (also: Zahl) multplzert, ndem alle Enträge der Matrx mt dem Skalar multplzert werden. Dese Skalarmultplkaton darf ncht mt dem Skalarprodukt verwechselt werden. Denton Das Produkt der zwe Matrzen A k m = [a j ] k m und B m n = [b j ] m n st dejenge Matrx C k n = [c j ] k n, deren Komponente c j = a 1 b 1j + a 2 b 2j + + a m b mj = m a l b lj l=1 ( = 1,..., k,j = 1,..., n) snd. Man bezechnet C = AB. Zwe Matrzen werden multplzert, ndem de Produktsummenformel, ähnlch dem Skalarprodukt, auf Paare aus enem Zelenvektor der ersten und enem Spaltenvektor der zweten Matrx angewandt wrd (Zelen-Spalten-Multplkaton). Denton Ene quadratsche Matrx st ene Matrx, be der de Anzahl der Zelen mt der Anzahl der Spalten überenstmmt. 14

15 In der lnearen Algebra st ene Dagonale ener quadratschen Matrx ene Lne, de schräg durch das Koezentenschema geht. De Hauptdagonale verläuft von oben lnks nach unten rechts, enthält also de Elemente a, = 1,..., n. De Nebendagonale von oben rechts nach unten lnks. Als Dagonalmatrx bezechnet man ene quadratsche Matrx, be der alle Elemente auÿerhalb der Hauptdagonale Null snd. De Enhetsmatrx (oder Identtätsmatrx) E st ene quadratsche Matrx, deren Hauptdagonale nur aus Ensen besteht, alle anderen Komponente snd 0. De Spalten der Enhetsmatrx snd Enhetsvektoren. Denton De Matrx A R n n heÿt ene reguläre (oder: nverterbare, nchtsnguläre) Matrx falls zu A ene andere Matrx A 1 exstert, so daÿ AA 1 = E glt. Man bezechnet de Matrx A 1 als nverse Matrx (oder enfach kurz Inverse) zu A. Satz De Matrzenmultplkaton n der Menge R n n st nchtkommutatv; st assozatv. De Matrxmultplkaton st bezüglch der Matrxaddton dstrbutv. Es gbt ene Enhetsmatrx E mt der Egenschaft, daÿ AE = EA = A für jede Matrx A glt. Ncht jede Matrx A hat ene Inverse A 1, wofür A 1 A = AA 1 = E glt. Denton Unter der transponerten Matrx (oder enfach Transponerte) von A n R k n versteht man dejenge Matrx A T R n k, deren Komponente n der -ten Zele und j-ten Spalte mt der Komponente von A n der j-ten Zele und -ten Spalte für belebge = 1,..., n,j = 1,..., k überenstmmt. De Matrx A wrd sozusagen an hrer Hauptdagonale gespegelt. De Zelen von A snd de Spalten von A T und umekehrt: de Zelen von A T snd de Spalten von A. Ene Matrx A heÿt symmetrsch, wenn se glech hrer transponerten Matrx st: A = A T. Man hat de folgenden Regel: ( A T ) T = A, (A + B) T = A T + B T, (αa) T = αa T, (AB) T = B T A T, für Matrzen, wofür de Operatonen n den Formeln snvoll snd. Hat man zwe Spaltenvektoren a, b R n, dann st das Matrxprodukt ab ncht denert, aber de beden Produkte a T b und ab T exsteren. Das erste Produkt (kanonsche Skalarprodukt) st ene 1 1-Matrx: a T b = a 1 b a n b n, das zwete Produkt (dyadsche Produkt oder Tensorprodukt) ab T st ene Matrx n R n n 2.2 Determnanten Denton De Determnante ener quadratschen Matrx A R n n st de Zahl det(a) = ( 1) I(1,...,n) a 11 a 22 a nn, 1,..., n 15

16 wo de Summe über alle Permutatonen 1,..., n der Zahlen 1,..., n berechnet wrd, und I( 1,..., n ) bezechnet, we vele Vertauschungen nötg waren, um de jewelge Permutaton 1,..., n von 1,..., n zu erzeugen. Das Vorzechen der Permutaton 1,..., n st de Zahl ( 1) I(1,...,n). Se st +1, falls 1,..., n ene gerade Permutaton st und 1, falls se ungerade st. Ob ene Permutaton gerade oder ungerade st, erkennt man daran, we vele Vertauschungen nötg waren, um de jewelge Permutaton zu erzeugen (gerade oder ungerade Anzahl). Satz Addert man en Velfaches ener Zele (oder Spalte) zu ener anderen Zele (oder Spalte) n ener Matrx, so blebt de Determnante deser Matrx unverändert. Denton Zu jeder Komponente a j (, j = 1,..., n) ener quadratschen Matrx A = [a j ] R n n gehört ene Untermatrx A j vom Format (n 1) (n 1), de so gebldet wrd, ndem man de -te Zele und j-te Spalte der ursprünglchen Matrx herausstrecht. De Determnante det(a j ) heÿt Unterdetermnante zur Komponente a j. Verseht man de Unterdetermnante mt dem Vorzechen ( 1) +j, so bekommt man de Adjunkte det ± (A j ) = ( 1) +j det(a j ). Satz (Laplacescher Entwcklungssatz) Es se A = [a j ] R n n ene belebge quadratsche Matrx und 1 k n festgelegt. Es snd det(a) = a k1 det ± (A k1 ) + a k2 det ± (A k2 ) + + a kn det ± (A kn ), det(a) = a 1k det ± (A 1k ) + a 2k det ± (A 2k ) + + a nk det ± (A nk ). Mt dem laplaceschen Entwcklungssatz kann man de Determnante ener n n- Matrx nach ener Zele oder Spalte entwckeln. Denton De zur Matrx A R n n adjungerte Matrx st Transponerte derjengen Matrx C R n n, de aus den Komponenten c j = det ± (A j ) besteht. Man bezechnet adj(a) = C T. Satz Ist det(a) 0, so glt A 1 = 1 det(a) adj(a). 2.3 Vektorraum der n-tupel aus reellen Zahlen Denton Seen λ 1,..., λ k R. Der Spaltenvektor λ 1 x λ k x k R n heÿt ene Lnearkombnaton der Spaltenvektoren x 1,..., x k R n. Ene Lnearkombnaton enger Spaltenvektoren st ene Summe von belebgen Velfachen deser Spaltenvektoren. Ene Lnearkombnaton heÿt trval, falls λ 1 = = λ k = 0. De trvale Lnearkombnaton erzeugt den Nullvektor. 16

17 2.4 Lneare Unabhänggket, Generatorsystem Denton De Famle der festgelegten Spaltenvektoren x 1,..., x k R n heÿt lnear unabhängg, falls sch der Nullvektor nur durch ene Lnearkombnaton der Vektoren erzeugen lässt, n der alle Koezenten der Kombnaton auf den Wert Null gesetzt werden, d.h. α 1 x α k x k = 0 α 1 = = α k = 0. Denton De Famle der festgelegten Spaltenvektoren x 1,..., x k R n heÿt lnear abhängg, falls sch der Nullvektor durch ene Lnearkombnaton der Vektoren erzeugen lässt, worn ncht jeder Koezent der Kombnaton auf den Wert Null gesetzt wrd. Man sollte m Fall lnearer Abhänggket vor Augen halten, daÿ es n der Denton ncht verlangt wrd, daÿ jeder Koezent der Kombnaton unglech Null sen muÿ. Satz Enthält ene Famle von Spaltenvektoren den Nullvektor, so st se lnear abhängg Bewes.Se 0, x 2,..., x k R n ene Famle von Spaltenvektoren. De Lnearkombnaton 0 = x x k erzeugt den Nullvektor und genügt auch der Denton der lnearen Abhänggket. Satz Ene Famle von Spaltenvektoren st lnear abhängg genau dann, wenn sch mndestens ener der betelgten Spaltenvektoren durch de anderen mt ener Lnearkombnaton darstellen lässt. Denton De Famle der festgelegten Spaltenvektoren x 1,..., x k R n heÿt en Erzeugendensystem, falls man zu enem belebgen Spaltenvektor x R n entsprechende Koezenten λ 1,..., λ k R ndet, so daÿ x = λ 1 x λ k x k, d.h en belebger Spaltenvektor st darstellbar als ene Lnearkombnaton der festgelegten Spaltenvektoren. 2.5 Bass, Koordnaten Denton De Famle von Vektoren x 1,..., x k bldet ene Bass von R n, falls se lnear unabhängg und glechzetg en Erzeugendensystem st. De Vektoren x 1,..., x k n der Denton nennt man Bassvektoren. Satz Jede Bass von R n besteht aus n Vektoren. Satz Es se x 1,..., x n R n. 17

18 Snd x 1,..., x n lnear unabhängg, so blden se ene Bass von R n. Blden x 1,..., x n en Erzeugendensystem, so blden se ene Bass von R n. Satz Blden de Spaltenvektoren x 1,..., x n ene Bass von R n, so läÿt sch en jeder Spaltenvektor x R n endeutg als ene Lnearkombnaton der Bassvektoren darstellen. Bewes.Sehe ung. Skrpt... Denton Seen x 1,..., x n Bassvektoren n R n und x R n en belebger Vektor. De Koezenten α 1,..., α n, de n der endeutgen Darstellung x = α 1 x α n x n als Lnearkombnaton aus der Bass auftreten, nennt man de Koordnaten des Vektors bezüglch der Bass x 1,..., x n. 2.6 Basstransformaton Der Übergang von ener gegebenen Bass zu ener neuen Bass heÿt Basstransformaton (Basswechsel). De neue Bass muss sch wengstens um enen Vektor von der alten Bass unterscheden. Dadurch ändern sch m Allgemenen de Koordnaten der Vektoren. De elementare Basstransformaton st en tabellarsches Rechenverfahren. Satz (Elementare Basstransformaton) Blden de Spaltenvektoren b 1,..., b,..., b n ene Bass von R n und seen de Vektoren a R n und x R n n deser Bass als Lnearkombnaton dargestellt: a = α 1 b α b + + α n b n, x = β 1 b β b + + β n b n. Ist α 0, so blden de Vektoren b 1,..., b 1, a, b +1,..., b n ebenfalls ene Bass. Benutzt man de Bezechnung δ = β α, so st n deser Bass x = (β 1 δα 1 )b 1 + +(β 1 δα 1 )b 1 +δa+(β +1 δα +1 )b (β n δα n )b n. Bewes.Sehe ung. Skrpt... Be der Durchführung ener elementaren Basstransformaton wrd also en geegneter Bassvektor b durch enen anderen Vektor a austauscht. Im ersten Schrtt wrd en Zentralelement (z-element) α 0 aus den Koordnaten des enzutauschenden Vektors a bestmmt. (De Spalte bzw. de Zele, n der das z-element steht, wrd üblcherwese Austauschspalte bzw. Austauschzele genannt.) Bem Tausch werden de älten"koordnaten enes belebgen anderen Vektors x nach der Formel des Satzes verändert. 18

19 2.7 Rang von Matrzen Der Rang der Menge ener endlchen Anzahl von Vektoren st denert als de maxmale Anzahl der lnear unabhänggen Vektoren n der Vektormenge. Denton Der Rang r(a) ener Matrx A R k n glecht dem Rang der Menge hrer Spaltenvektoren. 2.8 Lneare Glechungsysteme Seen de reellen Zahlen a j und b, ( = 1,..., k, j = 1,..., n) gegeben. a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2. a k1 x 1 + a k2 x a kn x n = b k heÿt lneares Glechungssystem. x 1, x 2,..., x n snd de Unbekannten (oder Varablen). De Zahlen a j, b, ( = 1,..., k, j = 1,..., n) nennt man Koezenten. Wenn man für de Unbekannten x 1, x 2,..., x n de reellen Zahlen t 1, t 2,..., t n ensetzt und man k Glechungen bekommt, dann nennt man ene Lösung des Glechungssystems. Führt man de Spaltenvektoren a 11 a 12 a 21 a 1 =, a a 22 2 =. a k1 { x 1 = t 1, x 2 = t 2,..., x n = t n }. a k2,..., a n = a 1n a 2n. a kn en, so nmmt das Glechungssystem de folgende Form an: a 1 x 1 + a 2 x a n x n = b. b 1, b = b 2. So bedeutet de Lösung enes Glechungssystems das Fnden aller Lnearkombnatonen der gegebenen Vektoren a 1,..., a n, de den Vektor b ergeben. Führt man den Koezentenmatrx a 11 a a 1n a 21 a a 2n A = a k1 a k2... a kn en, so nmmt das Glechungssystem de folgende Form an: Ax = b, wo x = [x 1, x 2,..., x n ] der Vektor der Unbekannten st. De dre obgen Formen enes Glechungssystems snd mtenander äquvalent. Ist b = 0, so nennt man das Glechungssystem homogen. Oenschtlch st x = 0 ene Lösung enes belebgen homogenen Glechungssystems. Ist b 0, so nennt man das Glechungssystem nhomogen. b k 19

20 2.8.1 Lösbarket von lnearen Glechungsystemen Wrd an de Koezentenmatrx A enes Glechungssystems ene zusätzlche Spalte mt der rechten Sete b angefügt, so entsteht de erweterte Koezentenmatrx a 11 a a 1n b 1 A b = [ A b ] a 21 a a 2n b 2 = a k1 a k2... a kn b k Satz Das lneare Glechungssystem Ax = b st genau dann lösbar, wenn der Rang der Koezentenmatrx A glech dem Rang der erweterten Koezentenmatrx A b st, d.h. r(a) = r(a b ) Anzahl der Lösungen von lnearen Glechungsystemen Satz Se n de Anzahl der Unbekannten des lnearen Glechungssystems Ax = b. Ist das Glechungssystem lösbar (d.h. r(a) = r(a b )), dann hat es be r(a) = n genau ene Lösung, also de Lösung st endeutg; be r(a) < n unendlch vele Lösungen, de sch mt s = n r(a) Stück fre wählbaren Parametern charakterseren lassen Beschrebung der Lösungen von lnearen Glechungssystemen Sehe ung Skrpt Lösungsmethoden von lnearen Glechungssystemen Lösung durch elementare Basstransformaton Wr betrachten das lneare Glechungssystem n der Form x 1 a 1 + x 2 a x n a n = b, wo a 1,..., a n, b R k st. Das Fnden ener Lösung entsprcht dem Fnden ener Lnearkombnaton der Vektoren a 1,..., a n, de den Vektor b ergbt. Dazu tauschen wr mt Hlfe der elementaren Basstransformaton sovele a Vektoren we nur möglch von a 1,..., a n n de Standardbass e 1,..., e k von R k en. De Koordnaten des Vektors b ändern sch während des Entauschvorgangs ständg. Am Ende des Entauschvorgangs werden de Lösungen bestmmt. Sehe ung. Skrpt für ene engehendere Beschrebung. 20

21 De Cramer'sche Regel Ausgangspunkt für de Cramer'sche Regel st stets en lneares Glechungssystem Ax = b mt genausovelen Glechungen we Unbekannten, d.h. de Koezentenmatrx A st quadratsch. Solch en Glechungssystem st genau dann endeutg lösbar, wenn de Determnante der Koezentenmatrx von Null verscheden st. Se D de Determnante derjengen Matrx, de aus der Koezentenmatrx A entsteht, ndem man de -te Spalte durch den Spaltenvektor b der rechten Sete des Glechungssystems ersetzt. Satz (Cramer'sche Regel) Ist D = det(a) 0 für das Glechungssystem Ax = b mt A R n n, so st es endeutg lösbar, und de Lösung st { x 1 = D 1 D, x 2 = D 2 D,..., x n = D } n. D 2.9 De Inverse ener Matrx Satz De Matrx A R n n hat genau dann ene Inverse, wenn r(a) = n. Bewes.Sehe ung. Skrpt. Satz De Matrx A R n n st genau dann nverterbar,wenn det(a) 0. 21

22 Kaptel 3 Lneare Optmerung (oder: Lneare Programmerung) 3.1 De graphsche Methode Sehe ung. Skrpt. 3.2 Smplex-Verfahren Seen a j R, b R, c j R ( = 1, 2,..., k; j = 1, 2,..., n) belebg festgelegte Zahlen. Betrachten wr das Unglechungssystem a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n b 2,. a k1 x 1 + a k2 x a kn x n b k das enen endlchen Berech (oder de leere Menge) m Vektorraum der n-dmensonalen Spaltenvektoren bestmmt. Ene kürzere Schrebwese st Ax b, wo A = [a j ] bzw. b = [b 1, b 2,..., b k ] de Koezentenmatrx bzw. der Vektor auf der rechten Sete snd. Der Vektor x = [x 1, x 2,..., x n ] benhaltet de Unbekannten. Ene zulässge Lösung des Unglechungssystems Ax b st en Vektor x mt nchtnegatven Enträgen, der de lnearen Bedngungen (Unglechungen) erfüllt. Das Zel st, unter allen zulässgen Vektoren x enen zu nden, der das Skalarprodukt f(x) = c x = c 1 x 1 + c 2 x c n x n maxmert, wo c = [c 1,..., c n ] R n en festgelegter Vektor st. Ist noch zusätzlch b 0, so sprcht man über ene LP-Aufgabe n Normalform. 22