Zufallsvariable, Wahrscheinlichkeitsverteilungen und Erwartungswert

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1 R. Brnkmann Sete..8 Zufallsvarable, Wahrschenlchketsvertelungen und Erwartungswert Enführungsbespel: Zwe Würfel (en blauer und en grüner) werden 4 mal zusammen geworfen. De Häufgketen für de enzelnen Ergebnsse werden n ener Tabelle aufgelstet. Jedem der Zahlenpaare ( )... ( ) kann deren Augensumme zugeordnet werden. De relatven Häufgketen der Augensummen sollen mt der Wahrschenlchket hres Auftretens verglchen werden. Deser Sachverhalt soll n ener Tabelle und n enem Säulendagramm dargestellt werden. grüner Würfel blauer Würfel Tabelle: Augen summe zugehörges Ergebns abs. H rel. h P( X) ( ),7,8 ( );( ) 4,, 4 ( );( );( ),7,8 4 ( 4 );( );( );( 4 ) 4,, ( );( 4 );( );( 4 );( ) 4,,9 7 ( );( );( 4 );( 4 );( );( ) 8,4,7 8 ( ; ;4 4; ; ) ( ) ( ) ( ) ( ),7,9 9 4 ( );( 4 );( 4 );( ),, ( 4 );( );( 4) 8,9,8 ( );( ),, ( ) 8,,8 Erstellt von R. Brnkmann p9_w_rechnung_.doc 7.8. :4 Sete von 9

2 R. Brnkmann Sete..8 Säulendagramm h, bzw p,8,,4,,,8,,4, Augensumme be Würfeln rel. Häufgket Wahrschenlchket De relatven Häufgketen für de enzelnen Augensummen wechen m Allgemenen ncht sehr stark von den berechneten Wahrschenlchketen ab. oraussetzung st natürlch ene entsprechend hohe Anzahl von ersuchen. De Zufallsvarable Werden zwe Würfel glechzetg geworfen, so st de Ergebnsmenge: E = {( );( );( );...;( ) } Ordnet man jedem Ergebns de Augensumme zu, dann erhalten wr ene Zufallsvarable n der Form: X = 4 X = 9 (( ) ) = X( ( ) ) ( ) ( ) {( ) ( ) ( )} ( ) X = 4 steht für das Ergebns: Augensumme glech 4, also für ; ; { } X = steht für das Ergebns: Augensumme glech, also für Zufallsvarable Unter ener Zufallsvarablen X enes Zufallsexpermentes versteht man ene Funkton, de jedem Ergebns e der Ergebnsmenge E deses Expermentes ene Zahl zuordnet. ( ) X:e X e n Analoge zur Funkton f mt f : x f(x) Wertetabelle ener Zufallsvarablen für den Wurf zweer Würfel, deren Augenzahl addert wrd. Ergebns ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )... ( ) ( ) ( ) X( e ) = x Erstellt von R. Brnkmann p9_w_rechnung_.doc 7.8. :4 Sete von 9

3 R. Brnkmann Sete..8 Wahrschenlchketsvertelung Wrd bem werfen mt zwe Würfeln jedem Ergebns de Augensumme zugeordnet, so entsteht de Zufallsvarable X. Ordnet man nun jedem Wert deser Zufallsvarablen hre Wahrschenlchket zu, so entsteht ene Wahrschenlchketsvertelung (Wahrschenlchketsfunkton). De Wahrschenlchketsvertelung oder ertelung der Zufallsgröße kann man durch ene Tabelle und en Hstogramm darstellen. Tabelle: x P( X = x ) Hstogramm P(X=x),8,,4,,,8,,4, Augensumme Unter ener Wahrschenlchketsvertelung (Wahrschenlchketsfunkton) f der Zufallsvarablen X versteht man de Funkton f mt Wahrschenlchkets- vertelung f : x P( X = x ) Der Funktonswert f ( x) = P( X = ) dass X den Wert x annmmt. x gbt de Wahrschenlchket dafür an, Erstellt von R. Brnkmann p9_w_rechnung_.doc 7.8. :4 Sete von 9

4 R. Brnkmann Sete 4..8 Funktonsdarstellung zum Bespel werfen zweer Würfel, deren Augensumme gebldet wrd. e x P( X = x ) ( ) ( ) / / ( ) / E X P( X = x ) Erwartungswert ener Wahrschenlchketsvertelung Mt Hlfe der Wahrschenlchket möchte man z. B. be lücksspelen Aussagen über den zu erwartenden ewnn bzw. erlust machen. Es stellt sch de Frage: Welchen ewnn pro Spel kann man be häufger Durchführung erwarten? Erstellt von R. Brnkmann p9_w_rechnung_.doc 7.8. :4 Sete 4 von 9

5 R. Brnkmann Sete..8 Zur eranschaulchung betrachten wr weder de Augensumme der zwe Würfel. Man könnte en lücksspel daraus machen, ndem man folgende Regel aufstellt: Regel: De n enem Wurf errechte Augensumme wrd n ausgezahlt. Der Betreber des Spels muss sch natürlch edanken darüber machen, we hoch der Ensatz pro Spel sen muss, damt er kenen erlust erledet. Dazu muss er wssen, welchen Betrag er m Mttel pro Spel be sehr velen Spelen auszuzahlen hat. So hoch muss auch mndestens der Ensatz en. Ähnlch we be der Mttelwertbldung aus ener Häufgketsvertelung n der beschrebenden Statstk kann man durch Multplkaton der Auszahlungsbeträge mt hren Wahrschenlchketen enen Wert blden. Desen Wert nennen wr Erwartungswert. Für unser Bespel bedeutet der Wert 7, dass be ener hohen Anzahl von Spelen m Mttel 7 pro Spel auszuzahlen snd. ( = ) ( = ) x P X x x P X x = = 4 4 = 4 4 = = = = = = = = Erwartungswert E( X) = 7 Der Betreber des Spels muss also mndestens enen Ensatz von 7 pro Spel verlangen, damt er kenen erlust erledet. De Auszahlungsbeträge oder auch Ausspelungen entsprechen der Zufallsvarablen X mt den Werten:,, 4,,, 7, 8, 9,,, Nun betrachten wr das Spel aus der Scht enes Spelers, der pro Spel 7 Ensatz zahlen muss. Für hn berechnet sch der ewnn aus: ewnn = Ausspelung Ensatz. Der ewnn entsprcht nun ener Zufallsvarablen, de wr Y nennen, also Y mt den Werten: -, -4, -, -, -,,,,, 4, Damt lässt sch nun der Erwartungswert für den ewnn ermtteln. 4 4 E( Y) = = Der Erwartungswert für enen ewnn st. Das bedeutet, auf lange Scht gewnnt der Speler nchts. Aber er verlert auch nchts. De Chancen snd ausgeglchen. Erstellt von R. Brnkmann p9_w_rechnung_.doc 7.8. :4 Sete von 9

6 R. Brnkmann Sete..8 Erwartungswert von X Merke: Hat ene Zufallsvarable X de Werte x ;x ;...;x dann heßt: ( ) = ( = ) + ( = ) + + n ( = n) = ( = x ) E X x P X x x P X x... x P X x x P X Erwartungswert von X Ist E(X) >, so nennt man das Spel günstg für den Speler. Ist E(X) =, so nennt man das Spel far. Ist E(X) <, so nennt man das Spel ungünstg (unfar) für den Speler. n n = Zuordnung endeutg, erwartungswert, mttelwert machen!!!!!! Bemerkungen zum Erwartungswert: Der Erwartungswert st der zu erwartende Mttelwert von X n ener Rehe von Zufallsversuchen. Während sch der Mttelwert ene röße aus der beschrebenden Statstk auf de ergangenhet bezeht, also auf Werte, de n ener Stchprobe tatsächlch aufgetreten snd, beschrebt der Erwartungswert ene röße, de sch auf de Zukunft bezeht, also auf ene röße, mt der auf lange Scht zu rechnen st. ( ) ( = ) Statt E X schrebt man auch μx oder kürzer μ. Statt P X x schrebt man auch p. We bem Mttelwert gehört auch der Erwartungswert n velen Fällen ncht zu den Werten de de Zufallsvarable X annehmen kann. Bespel: Auf dem Schulhof enes Berufskollegs fndet trotz erbotes hn und weder en nteressantes lücksspel statt. Spelregeln: Der Ensatz pro Spel beträgt. Der Speler setzt zuerst ene der Zahlen,,,...,. Anschleßend wrft er dremal mt enem Würfel. Fällt de gesetzte Zahl ncht, st der Ensatz verloren. Fällt de gesetzte Zahl enmal, so erhält er senen Ensatz zurück. Fällt de gesetzte Zahl zwemal, so erhält er den doppelten Ensatz. Fällt de gesetzte Zahl dremal, so erhält er den drefachen Ensatz. De wohl wchtgste Frage, de sch be desem Spel stellt, st de Frage nach den ewnnausschten. Des möchten alle Schüler und Schülernnen wssen, und zwar de, de spelen und de, de de Bank haben. Dese Frage lässt sch mt Hlfe der Wahrschenlchketsrechnung beantworten. De Zufallsvarable X st der Nettogewnn, das st der an den Speler auszuzahlende Betrag abzüglch des Ensatzes von. Erstellt von R. Brnkmann p9_w_rechnung_.doc 7.8. :4 Sete von 9

7 R. Brnkmann Sete 7..8 Mt Hlfe des drestufgen Baumdagramms und der Pfadregel errechnet man de Wahrschenlchket für enen ewnn bzw. enen erlust. Es glt: = ewnn, = erlust. ( = ) x P X x,787 4,47,94,4 / / / / / / / / / / / / / / ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Zur Berechnung der ewnnausschten multplzert man de Werte der Zufallsvarablen mt hren zugehörgen Wahrschenlchketen und addert de Ergebnsse: x P( X = x) x P( X = x) De errechnete Zahl von sagt aus, dass langfrstg, also be velen = Wederholungen des Spels en erlust von Euro pro Spel für den Speler zu erwarten st. 7 = Desen Betrag kassert natürlch de Bank. Man bezechnet das Spel aus desem = rund auch als unfar, da langfrstg ewnn und erlust ncht ausgeglchen 4 werden. 4 = ewnn und erlust wären be enem Mttelwert = Mttelwert von ausgeglchen. Das wäre dann en fares Spel. Das könnte man z.b. durch ene ewnnerhöhung errechen. Erstellt von R. Brnkmann p9_w_rechnung_.doc 7.8. :4 Sete 7 von 9

8 R. Brnkmann Sete 8..8 Übung: Der Erwartungswert, be dem oben vorgestellten Würfelspel war E(X) = -. Das Spel st also unfar. We hoch müsste der Ensatz für en Spel sen, damt man das Spel als far bezechnen könnte? De Auszahlungen bleben vom Betrag her glech: Fällt de gesetzte Zahl ncht, st de Auszahlung. Fällt de gesetzte Zahl enmal, so st de Auszahlung. Fällt de gesetzte Zahl zwemal, so st de Auszahlung 4. Fällt de gesetzte Zahl dremal, so st de Auszahlung. Lösung: Far st das Spel dann, wenn auf lange Scht genau sovel ausgespelt wrd, we engenommen wrd. Dazu berechnen wr den Erwartungswert der Auszahlungen. E(X) = bedeutet, dass über lange Scht m Mttel pro Spel ausgezahlt wrd. Be enem Ensatz von ebenfalls pro Spel, st das Spel far. ( = ) ( = ) x P X x x P X x = 7 = 4 = = Erwartungswert E( X) = Übung: Jedes Los gewnnt! Be der Ab - Abschlussfeer muss jeder der Telnehmer en Los kaufen. Der. Pres hat enen Wert von, der. von und der. von. Jeder, der kenen deser ewnne bekommt, erhält enen Trostpres n Höhe von. We teuer müsste en Los sen, damt Ennahmen und Ausgaben überen stmmen? Jedes Los wrd für verkauft. Der Erlös geht ans Fredensdorf. We groß st der Erlös? überprüfen zehen ohne zurücklegen Lösung: Der Erwartungswert wrd x P X = x x P X = x berechnet: E(X) =,4 bedeutet, dass jedes Los, kosten muss, damt de Ausgaben gedeckt werden. Be enem Lospres von und verkauften losen entsteht en ewnn von (,4) = 8 Deser Betrag geht ans Fredensdorf. ( ) ( ) Erwartungswert E( X) =,4 Erstellt von R. Brnkmann p9_w_rechnung_.doc 7.8. :4 Sete 8 von 9

9 R. Brnkmann Sete 9..8 Übung: Ene Urne enthält ene rote, ene schwarze und ene grüne Kugel. Es wrd solange ohne zurücklegen ene Kugel gezogen, bs ene grüne Kugel erschent. Wrd de grüne Kugel m. Zug gezogen, so st de Ausspelung. Wrd de grüne Kugel m. Zug gezogen, so st de Ausspelung. Wrd de grüne Kugel m. Zug gezogen, so st de Ausspelung We hoch muss der Ensatz sen, damt es sch um en fares Spel handelt? Lösung: Mt Hlfe des drestufgen Baumdagramms und der Pfadregel errechnet man de Wahrschenlchketen dafür ene grüne Kugel zu zehen. / Ausspelung Zug Ergebnsse P X / / ( g) / / ( sg );( rg) + = / / ( srg );( rsg) + = E( X) = + + =. Zug. Zug. Zug Der Erwartungswert der Ausspelung st E(X) =. Wenn es sch um en fares Spel handeln soll, muss der Ensatz ebenfalls betragen. Erstellt von R. Brnkmann p9_w_rechnung_.doc 7.8. :4 Sete 9 von 9