18. Vorlesung Sommersemester

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1 8. Vorlesung Sommersemester Der Drehmpuls des starren Körpers Der Drehmpuls des starren Körpers st etwas komplzerter. Wenn weder de Wnkelgeschwndgket um de feste Rotatonsachse st, so wrd mt Hlfe des doppelten Vektorproduktes N L = m r ( r ) = m r v = = N [ m r ] m ( r ) r. () = Das aufregende Neue dabe st, dass und L ncht parallel sen brauchen. Sehen wr dazu en enfaches Bespel an, enen starren Körper aus dre Telchen: se = e z n z-rchtung und de dre Telchen, jedes von hnen mt Masse m, an den Orten r = 0, r = e x und r 3 = e z. In obgen Ausdruck engesetzt gbt das enfach L = m, () d. h. de Rchtung von L st n desem Fall mmer noch parallel zu. Wenn wr aber das Telchen etwas schräg verscheben an de Stelle r = ( e x + e z ), wobe r = blebt, so st L = [ m m e z ( e x + e z )] ( e x + e z ) = m m e x (3) also ncht parallel zu! Interessant st, dass be der Rotaton um de z-achse de Poston des Telchens ebenfalls rotert; damt rotert aber auch der. Betrag zum Drehmpuls. Das bedeutet: es muss en Drehmoment wrken, das dazu dent, de Rotaton um de z-achse zu erhalten. En starrer Körper muss also. a. durch Lagerkräfte gezwungen werden, de Rotatonsachse enzuhalten. Ene Ausnahme st der Fall axalsymmetrscher oder spegelsymmetrscher Körper: dann gbt es m zweten Term von () mmer zwe bezüglch der Drehachse gespegelte Punkte, deren Beträge sch aufheben. De Komponente von L n Rchtung von Auch wenn der Drehmpuls selbst damt ncht voll beschreben wrd, kann man doch über de Komponente n Rchtung der Drehachse enge Aussagen machen. Wr betrachten also dese Komponente L = L N = m (r = ( r ) ) (4)

2 Hern st N m (r ( r ) ) N = m r = J, (5) = so dass man enfach erhält L = J, (6) es geht also nur der senkrechte Abstand zur Drehachse r en, so dass das Träghetsmoment engesetzt werden konnte. 3 Bewegungsglechung für den Drehmpuls De Zetabletung des Drehmpulses wrd zu = d L dt = d dt (m r v ) = r F = M = M. (7) Hern snd de äußeren Kräfte gement (de Kräfte zwschen den Bestandtelen des starren Körpers ändern äußern sch als Zwangskräfte nur darn, dass de Lage der Telchen n hm erhalten blebt). De Komponente Rchtung st nun M = M = ( r F ) = ( r ) F = v F = r e φ F (8) Her wurde benutzt, dass be der Kresbewegung de Geschndgket enes Telchens über v = r = ρ e φ gegeben st (Kresbewegung n ebenen Polarkoordnaten). Dabe st φ der Wnkel um de Drehachse und ρ der Abstand zu hr. Damt wrd M = r e φ F = L = J = J φ. (9) Man beachte, dass J konstant st, da es sch be der Drehung um de zugehörge Achse ncht ändert: de senkrechten Abstände zur Drehachse bleben ja konstant. 4 Das physkalsche Pendel Das mathematsche Pendel enthält ene Punktmasse, de durch enen masselosen faden aufgehängt st. In der Realtät besteht en Pendel aus ener Vertelung von Masse, de man eher durch de Rotaton enes starren Körpers um ene feste Achse beschreben kann. Se das physkalsche Pendel so fxert, dass es um de z-achse rotert. De x-achse wese nach unten, so dass de Schwerkraft auf Massenpunkt m als F = (m g, 0, 0) (0) angegeben werden kann. De Komponente des Drehmomentes n z-rchtung st dann und das gesamte Drehmoment wrd zu M = m gy () M = M = g m y = MgR y ()

3 mt R y der y-komponente des Schwerpunktes. Nun glt de Bewegungsglechung und außerdem J φ = M (3) R y = R sn φ (4) mt φ dem Wnkel zwschen der Poston des Schwerpunktes und der y-achse, so dass de Bewegungsglechung schleßlch zu wrd. Im Fall des mathematschen Pendels war J φ = MgR snφ (5) φ = g sn φ (6) l so dass es ene enfache Korrespondenz gbt: Physkalsches Pendel: l J MR. Hern st zu beachten, dass J das Träghetsmoment um de festen Drehachse st, de. a. ncht durch den Schwerpunkt geht. Für en Punkttelchen st R = l, M = m, J = ml und man bekommt das alte Ergebns zurück, we es sen muss. J MR = ml = l (7) ml 5 Der Satz von Stener Es blebt de Frage, ob de Träghetsmomente für jede Drehachse neu berechnet werden müssen, oder ob en Zusammenhang besteht. Desen gbt es tatsächlch. Man betrachte zwe Drehachse, o. B. d. A. n z-rchtung gewählt, mt Absstand S Zur Berechnung der Träghetsmomente brauchen wr de senkrechten Abstände der Massenpunkte von der Achse; de Koordnaten werden für Achse x, y und für Achse x, y genannt. Dann st für Achse : J = ( m x + y ) (8) und für Achse : J = m (x + y ) (9) Wenn wr de relatve Verschebung der beden Achsen gegenenander mt S x und S y bezechnen (S x + S y = S ), so wrd Achse : J = m (x + y ) = m ( (x S x ) + (y S y ) ) (0) und mt Ausmultplzeren J = m (x + y ) + m (S x + S y) m (x S x + y S y ) = J + MS () falls Achse durch den Schwerpunkt läuft, da n desem Fall R x = m x M = 0 () 3

4 gelten muss. Damt st der satz von Stener abgeletet: Wenn en Körper um ene Achse rotert, de ncht durch den Schwerpunkt geht, dann st das Träghetsmoment J = J s + MS, (3) wobe J s das Träghetsmoment um de dazu parallele Achse durch den Schwerpunkt und S der Abstand der Achsen st. 6 Bespel: Zylnder Das Träghetsmoment um de Symmetreachse st J s = MR (4) und damt wrd das um ene Achse auf dem Zylndermantel, de parallel zur Symmetreachse st, zu 7 Rollende Bewegung J = MR + MR = 3 MR (5) En nteressantes Anwendungbespel st de Bewegung enes Zylnders, der ohne Schlupf ene schefe Ebene hnunterrollt. Wenn man de Bewegung als Drehung um sene Zentralachse betrachtet, dann würde dabe der Schwerpunkt des Zylnders n Ruhe bleben, so dass man noch ene zusätzlche Bewegung über den Vektor s(t) bekommt, der de Poston des Zylnders nklusve hrer Bewegungsrchtung beschrebt. En Zylnder mt Radus R rollt ene schefe Ebene hnunter. In deser Darstellung wrd de Bewegung als Rotaton um sene Achse plus ene Translaton mt der Geschwndgket s dargestellt. De Geschwndgket enes Bestandtels m des Körpers st v = r + s, (6) 4

5 wobe de Ortsvektoren als Ursprung den Schwerpunkt haben sollen (durch den de Achse des Zylnders geht). De knetsche Energe wrd damt zu ( r + s ) T = m = m = ( J + Mṡ ). [ ( r ) + s ( r ) + ṡ ] (7) Dabe verschwand der Mschterm, wel n enem Koordnatensystem mt dem Ursprung m Schwerpunkt glt m r = M R = 0. Der erste Term dagegen st genau de Rotatonsenerge mt dem Träghetsmoment berechnet um de Achse des Zylnders, welches früher schon als J = MR / berechnet wurde. Da der Zylnder ohne Schlupf rollen soll, muss ṡ = R sen, so dass man T durch de generalserte Geschwndgket ausdrücken kann: T = 3 4 Mṡ. (8) Dasselbe Ergebns lässt sch auch enfacher errechen, wenn man berückschtgt, dass deselbe Geschwndgketsvertelung auch be Rotaton um de Achse, auf der der Zylnder nstantan rollt, erhalten wrd. Alternatv kann man de Kontaktachse mt der schefen Ebene als Drehachse betrachten. In desem Fall wrd de Translaton mt beschreben. De lokale Geschwndgket m Zylnder st, wenn wr den Ursprung der Koordnaten bebehalten, gegeben durch v = ( r + r 0 ) (9) Der Ausdruck r 0 hat aber de Rchtung von s und als Betrag (ṡ/r)r, ergbt also genau de Translatonsbewegung. De Geschwndgketen der Bestandtele des Zylnders snd also deselben we vorher. Allerdngs können wr n desem Fall de knetsche Energe sofort hnschreben: das Träghetmoment st nach dem Satz von Stener jetzt J = MR + MR = 3 MR (30) 5

6 und damt st we oben T = 3 4 MR = 3 4 Mṡ. (3) Dese enfachere Abletung beruht darauf, dass das nstantane Geschwndgketsfeld n beden Fällen dentsch st, und nur davon hängt de knetsche Energe ab. De wrklche Bewegung m zweten Fall würde ja den Zylnder um de Kontaktachse n de schefe Ebene hnen roteren lassen. Man beachte das verschedene Verhalten der Drehachsen: m ersten Fall blebt se de Symmetreachse des Zylnders, bewegt sch aber mt der Geschwndgket s, während se m zweten Fall an derselben Stelle blebt, aber sch auf der Oberfläche des Zylnders bewegt. De potentelle Energe st (wenn man de x-koordnate nach oben wählt V = m gx = MgR x = Mg(l s)sn α, (3) wobe l de Gesamtlänge der schefen Ebene und R x de x-komponente des Schwerpunktes bezechnet. Damt haben wr de Lagrangefunkton und damt de Bewegungsglechung L = 3 4 Mṡ Mg(l s)sn α (33) s = g snα. (34) 3 Im Verglech: für en Punkttelchen wäre de Rotatonsenerge Null, also de knetsche Energe T = Mṡ / und de Bewegungsglechung wrd dann zu s = g sn α. (35) Der Zylnder beschleungt also um den Faktor /3 langsamer, wel en Tel der potentellen Energe n de Rotatonsenerge gesteckt wrd. 6