Allgemeine Formulierung der Punktmechanik

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1 Kaptel 3 Allgemene Formulerung der Punktmechank Axom 2.2 besagt, daß der zetlche Bewegungsablauf enes Massenpunktes berechnet werden kann, wenn de Kräfte, welche auf den Massenpunkt wrken, vorgegeben snd. Es st nun möglch, daß de Kräfte gar ncht explzt bekannt snd, sondern als geometrsche Bedngungen vorlegen, welche de Bewegung enschränken. Man sprcht von Zwangsbedngungen bzw. Zwangskräften. En Bespel st etwa de Fallbewegung enes Massenpunktes entlang ener schefen Ebene. De Dskusson von Bewegungsglechungen mt Enschränkungen allgemener Art geht auf Lagrange zurück. Bewegungsglechungen, welche Zwangskräfte explzt enbnden, werden Lagrange-Glechungen erster Art genannt. In den Lagrange-Glechungen zweter Art wrd ene bestmmte Klasse von enschränkenden Bedngungen durch ene optmale Wahl des Koordnatensystems drekt enbezogen. 3.1 De Lagrange-Glechungen erster Art Es bewege sch en Massenpunkt unter dem Enfluß der Schwerkraft auf ener belebgen Fläche A m Raum, we n Abb. 3.1a dargestellt. (De Rebung wrd dabe vernachlässgt.) Damt de Bewegung auch wrklch auf deser Fläche stattfndet, müssen folgende Anfangsbedngungen vorlegen: zum Anfangszetpunkt t 0 befand sch der Massenpunkt auf der Fläche [r(0) r 0 A] und hatte ene Anfangsgeschwndgket v 0, welche n der Tangentalebene an de Fläche m Punkt r 0 legt. De Schwerkraft F mg kann dann ncht de enzge Kraft sen, de auf den Massenpunkt enwrkt. Wäre des der Fall, so würde, je nach Anfangsbedngung, ene Wurfparabel oder ene geradlnge, glechförmg beschleungte Bewegung des Massenpunktes vorlegen. Es 45

2 x 3 Z x 2 F mg F F (a) x 1 (b) Abbldung 3.1: Zur Bewegung enes Massenpunktes mt Zwangsbedngungen. treten also Kräfte auf, welche de Unterlage auf de Masse ausübt, de aber ncht bekannt snd. Man kann aber über ene enfache Überlegung zu desen zusätzlchen Kräften gelangen: wr zerlegen de Schwerkraft F, we n Abb. 3.1b n jedem Punkt der Fläche n ene Komponente tangental an de Fläche (F ) und n ene Komponente senkrecht dazu (F ). De Komponente (F ) regulert offenschtlch de Bewegung entlang der Fläche. Da aber kene Verschebung der Masse n Normalenrchtung auftrtt, muß de Komponente der Schwerkraft n dese Rchtung (F ) durch ene Zwangskraft Z kompensert werden. De Zwangskraft zechnet sch also dadurch aus, daß se senkrecht zur momentanen Bewegungsrchtung steht, daß also Zdr 0 (3.1) glt. De Zwangsbedngung selbst st aber ene geometrsche Bedngung, de Enschränkung der Bewegung m R 3 auf ene Fläche, oder gar nur auf ene Raumkurve. Es wrd also Randbedngungen der Form g(r, t) 0 g 1 (r, t) 0, (Fläche) g 2 (r, t) 0 (Raumkurve) (3.2) geben. Glechung (3.1) sagt nun aus, daß Z senkrecht auf de Fläche g(r) 0 steht. (Wr betrachten zunächst nur statonäre Zwangsbedngungen.) Wr bestmmen nun das totale Dfferental von g(r) 0 n R 3 dg g x dx ( g)dr 0. (3.3) 46

3 Somt steht der Gradentenvektor grad g g senkrecht auf dr und damt muß Z proportonal gradg(r) sen: g(r) 0 Z gradg(r) Z λ gradg(r), (3.4) mt λ dem (noch unbekannten) Lagrange-Multplkator. Damt ergbt sch de Bewegungsglechung m r F + λ gradg(r), g(r) 0 (3.5) für de Bewegung entlang der Fläche. Des läßt sch unmttelbar auf den Fall der Bewegung entlang ener Raumkurve erwetern. Wr erhalten dann mt m r F + 2 λ α grad g α (r), g α (r) 0 (3.6) α1 de Lagrange-Glechung erster Art. De Kraft F wrd dabe als gegeben erachtet. Es handelt sch her um 5 Glechungen, 3 Dfferentalglechungen zweter Ordnung und zwe algebrasche Glechungen zur Bestmmung der fünf Unbekannten x (t), 1, 2, 3 und λ α (t), α 1, 2. (Das Argument t wurde λ α angefügt, da ja grundsätzlch de Randbedngungen g α auch explzte Funktonen der Zet sen können, we noch zu dskuteren sen wrd.) Zusammen mt den Anfangsbedngungen rechen dese Glechungen aus um alle unbekannten Funktonen bestmmen zu können. De Angabe von dre Zwangsbedngungen st snnlos, da dann de Bewegung auf enen Punkt m Raum, also den Stllstand, engeschränkt wäre Klassfkaton der Zwangsbedngungen Wr geben nun de Zwangsbedngung ganz allgemen als g(r, t) 0 vor, und damt ergbt sch für das totale Dfferental: dg g dx + g 0. (3.7) x t Defnton 3.1 Snd de Koeffzentenfunktonen a (r, t) ener allgemenen Dfferentalform a (r, t)dx + a 0 (r, t) 0 (3.8) de partellen Abletungen ener Funkton f(r, t) nach den jewelgen Varablen, so bezechnet man de Zwangsbedngung als holonom. 47

4 Defnton 3.2 Ist a 0 f/ t 0, de Zwangsbedngung also statonär, so sprcht man von skleronomen (starren) Zwangsbedngungen. Ist hngegen a 0 0, so sprcht man von rheonomen (fleßenden) Zwangsbedngungen. Aufgrund deser Defntonen, snd de m vorhergehenden Abschntt behandelten Zwangsbedngungen skleronom-holonom. Untersucht man rheonome Zwangsbedngungen, so stellt sch de Frage nach dem Ansatz für de Zwangskräfte. Her gbt de Erfahrung (das Experment) de Antwort: auch m rheonomen Fall stehen de Zwangskräfte zu jedem Zetpunkt senkrecht auf de vorgegebenen geometrschen Geblde. Es glt daher auch n desem Fall Glechung (3.6), nun aber n der verallgemenerten Form 2 m r F + λ α (t) gradg α (r, t), g α (r, t) 0. (3.9) g( t) r( t) r( t+) α1 Wr können nun noch zegen, daß de Zwangskräfte am Massenpunkt, g( t+) welcher sch auf ener zetlch veränderlchen Fläche/Kurve bewegt, Arbet lesten. Wr betrachten dazu enen Massenpunkt, dessen Poston zum Zetpunkt t auf der Fläche g(t) durch dr den Vektor r(t) markert wrd. Im Zetntervall bewegt sch der Massenpunkt auf der Fläche, dese bewegt sch jedoch ebenfalls. De Poston auf der Fläche g(t + ) zum Zetpunkt t + kann man dann durch den Vektor r(t) + dr beschreben. De Zwangsbedngungen (3.7) entsprechen aber der Aussage g(r, t)dr g(r, t), (3.10) t und des besagt, daß de am Massenpunkt von den Zwangskräften [proportonal zu g(r, t)] gelestete (nfntesmale) Arbet unglech Null st. Defnton 3.3 Zwangsbedngungen, welche ncht enem totalen Dfferental entsprechen, bezechnet man als ncht holonom. Solche Zwangsbedngungen entstehen, wenn Geschwndgketen und Koordnaten n rgendener Wese verknüpft werden Erhaltungsgrößen Möglche Aussagen über Erhaltungsgrößen snd nur engeschränkt möglch, da de Zwangskräfte mest unbekannt snd und de Zwangsbedngungen oft Symmetren verletzen, welche den Erhaltungssätzen zugrunde legen. 48

5 Es gelte nun für enen Massepunkt d (mṙ) F + Z, (3.11) und dl d (mr ṙ) r (F + Z). (3.12) Be Verschwnden der rechten Sete führen (3.11) und (3.12) zur Impuls- und Drehmpulserhaltung. Wr wollen nun de Energeerhaltung dskuteren. Wr verwenden (2.38) ( ) d 1 2 mṙ2 d T und setzen konservatve Kräfte F voraus: Fṙ U(r)ṙ U x x t d U. Dann ergbt (3.6) für skleronom-holonome Zwangsbedngungen d 2 (T + U) λ α g α (r)ṙ, g α (r) 0. α1 Es muß aber auch de totale Zetabletung der Zwangsbedngungen dg α (r, t) verschwnden, und des ergbt: g α (r, t) x x t + g α(r, t) t g α (r, t)ṙ + g α(r, t) t d 2 (T + U) g α λ α t. Für skleronome-holonome Zwangsbedngungen st aber aufgrund der Defnton 3.2 g α / t 0 und es st daher α1 0 T + U konst. (3.13) 49

6 3.2 Das d Alembertsche Prnzp De bsher durchgeführten Überlegungen können ncht n enfacher Wese auf de Dskusson von Systemen von Massenpunkten übertragen werden. Wr wollen daher m Folgenden enen anderen Ansatz dskuteren Formulerung für enen Massenpunkt Wr gehen von der Newtonschen Bewegungsglechung (2.23) aus und nterpreteren se n der Form: Der Träghetswderstand (m r) und de engeprägte Kraft F snd m Glechgewcht. (Ene wrklche und ene fktve Kraft snd also m Glechgewcht.) Defnton 3.4 De möglche, aber nur gedachte nfntesmale Verschebung δr e δx mt δt 0, (3.14) welche nstantan st, wrd vrtuelle Verschebung genannt. Se unterschedet sch von der wrklchen Verschebung dr, für welche das nfntesmale Zetntervall stets 0 st. Man kann dann de Glechgewchtsbedngung (2.23) auch n der Form schreben. Es folgt: δa (m r F) δr 0 (3.15) De vrtuelle Arbet δa, de man an dem System m formalen Glechgewcht be ener vrtuellen Verschebung verrchtet, st glech Null. Des st das d Alembertsche Prnzp oder das Prnzp der vrtuellen Arbet n sener enfachsten Form. Wr sehen also, daß des nchts anderes als ene Neuformulerung von Axom 2.2 st. (Man kann aber auch formuleren, daß wegen der Belebgket von δr das d Alembertsche Prnzp nur gültg st, wenn de Newtonschen Bewegungsglechungen gelten.) Wr wollen deses Ergebns auf mechansche Systeme mt Zwangsbedngungen ausdehnen. Für holonome Randbedngungen glt (3.7), für vrtuelle Verschebungen hngegen nur g(r, t) x δx g(r, t)δr 0, (3.16) 50

7 da ja δt 0 st. Nach (3.16) snd de Komponenten der vrtuellen Verschebung vonenander abhängg. Wr multplzeren nun (3.16) mt dem Lagrange-Multplkator λ und kombneren mt (3.15). Man erhält [m r F λ g(r, t)]δr 0 (3.17) und argumentert, daß man de fre wählbare Größe λ etwa so wählt, daß erfüllt st. Es st dann noch 2 g(r, t) mẍ 1 F 1 λ 0 (3.18) x 1 [ mẍ F λ ] g(r, t) δx 0 (3.19) x aufzulösen, wobe de zwe vrtuellen Verschebungen δx, 2, 3 fre wählbar snd. Wr kombneren (3.18) und (3.19) und erhalten mt m r F + λ g(r, t) weder de Lagrange-Glechung erster Art. Zur Gewnnung der Lagrange-Glechung (3.6) benutzten wr de (expermentell nachvollzehbare) Aussage, daß de Zwangskraft zu jedem Zetpunkt senkrecht auf de vorgegebene Fläche steht. Des führte zum Ansatz Z λ g(r, t). Im d Alembertschen Prnzp wrd das System mt vrtuellen Verschebungen getestet und der Ausgangspunkt st Glechung (3.15). Be Zwangsbedngungen fnden de vrtuellen Verschebungen nur auf der vorgegebenen Fläche statt, weshalb g(r, t)δr 0 zu fordern st. Bede Ansätze snd also enander äquvalent, de zwete Betrachtungswese st aber wesentlch flexbler, da se auch auf ncht holonome Systeme erweterbar st Formulerung für Systeme von Massenpunkten Auf den n-ten Massenpunkt wrken Kräfte F n (engeprägte Kräfte), welche auch summarsch alle nneren Kräfte enthalten sollen. Für de vrtuelle Verschebung δr n kann man de vrtuelle Arbet δa n (m r n F n ) δr n 0 bestmmen, und da δa n ene skalare Größe st, adderen sch de enzelnen Arbetsbeträge, welche an den anderen N 1 Massenpunkten zu lesten snd zur vrtuellen Gesamtarbet δa (m r n F n )δr n 0. (3.20) n1 51

8 Des st das d Alembertsche Prnzp für en System von N Massenpunkten. Enzelne Massen des Systems können an Kurven oder Flächen gebunden sen. Es könnten auch de Abstände zwschen den Massepunkten vorgegebene Werte haben. Es seen also r enschränkende Bedngungen gegeben. De Zwangsbedngungen legen entsprechend (3.8) n der Form a (k) (r 1,...,r N ; t) dx + a (k) 0 (r 1,...,r N ; t) 0, k 1,...,r vor und daraus ergeben sch für de vrtuellen Verschebungen a (k) (r 1,...,r N ; t) δx 0, k 1,...,r. Wr gewnnen nun de Bewegungsglechungen we zuvor: multplzere de Zwangsbedngungen mt λ und addere se zu der Aussage des d Alembertschen Prnzps: [ ] n1 m n ẍ (n) F (n) r λ k a (k) δx (n) 0, (3.21) mt x (n) der -ten Komponente von r n und F (n) der -ten Komponente der Kraft F n. Es snd nun de r Lagrange-Multplkatoren λ k so zu wählen, daß r Klammerausdrücke verschwnden. De restlchen 3N r Verschebungen snd fre wählbar und damt müssen de restlchen Klammerausdrücke ebenenfalls Null ergeben. Legen nun r holonome Randbedngungen a (k) g k(r 1,...,r N ; t) x (k) vor, so folgen schleßlch de Lagrange-Glechungen erster Art für en System von N Massenpunkten m n ẍ (n) F (n) + r g k λ k, n 1,...,N, 1, 2, 3 x (n) g k (r 1,...,r N ; t) 0, k 1,...,r 2N. (3.22) Wr sehen, daß das Problem de Auflösung von 3N +r Glechungen erfordert. Be r Zwangsbedngungen verbleben m System noch f 3N r Frehetsgrade. 52

9 3.3 De Lagrange-Glechungen zweter Art Velfach st man an der Berechnung der Zwangskräfte ncht nteressert. Es st dann bequemer ene Formulerung zu wählen, welche es erlaubt de Zwangskräfte zu elmneren Verallgemenerte (generalserte) Koordnaten Wr gehen von den Lagrange-Glechungen erster Art für N Massenpunkte n der Form (3.22) aus. Be r Zwangsbedngungen snd dann nur f 3N r der 3N kartesschen Koordnaten vonenander unabhängg. Wr wählen nun f verallgemenerte Koordnaten q k, k 1,...,f und hre Wahl st so zu treffen, daß de q de Lage aller Massenpunkte festlegen, x (n) x (n) (q 1,...,q f ; t), n 1,..., N, 1, 2, 3, (3.23) und daß de Zwangsbedngungen für belebge Werte der q erfüllt snd: [ ] g α x 1 (q (1) 1,...,q f; t),...,x (N) 3 (q 1,...,q f ; t) 0, α 1,..., r. (3.24) Des kann lecht an enem Bespel transparent gemacht werden: wr untersuchen enen Massenpunkt, welcher sch auf der Oberfläche ener Kugel vom Radus R bewegt. Sene Bahnen unterlegen daher der Zwangsbedngung g(r) x 2 R 2 0. (3.25) Wr wählen nun de Wnkel ϑ und ϕ als verallgemenerte Koordnaten und setzen x 1 x 2 x 1 (ϑ, ϕ) R sn ϑ cos ϕ x 2 (ϑ, ϕ) R sn ϑ sn ϕ x 3 x 3 (ϑ, ϕ) R cos ϑ. Her st R en Parameter und kene Koordnate. Es st unmttelbar enschtg, daß (3.25) für belebge Werte von ϑ und ϕ erfüllt st Elmnaton der Zwangskräfte De verallgemenerten Koordnaten wurden so gewählt, daß de Zwangsbedngungen für se kene Enschränkungen darstellen. Daher unterlegt de q k (t)- Bewegung kenen Zwangskräften mehr. De Unabhänggket der Zwangsbedngungen von den q k entsprechend (3.24) bedeutet aber auch, daß de totale 53

10 Abletung der g α nach den q k verschwndet: dg α dq k 0, n1 n1 g α x (n) x (n) 0, α 1,...,r, k 1,...,f. (3.26) Damt können wr de Zwangskräfte elmneren. Wr multplzeren (3.22) mt x (n) / und erhalten: m n ẍ (n) x (n) F (n) x (n) r g α x (n) + λ α x (n) q k In (3.27) steht x (n) (3.26) n1 n1 F (n) α1 n1 x (n), k. (3.27) für x (n) (q 1,...,q f ; t) und des glt auch für de Argumente 3 ). Dese Glechungen von F (n) F (n) (r,ṙ, t), mt r T dem Vektor (x (1) 1,...,x (N) stellen somt f Bewegungsglechungen für de f Funktonen q k (t) dar. Es snd kene Zwangsbedngungen zu berückschtgen und auf der lnken Sete steht de zu q k (t) gehörende Beschleungung ẍ (n) ( x (n) / ) und auf der rechten Sete de zugehörge Kraft F (n) ( x (n) / ) De Lagrange-Funkton De Bezehung (3.27) st für praktsche Anwendungen ncht gut geegnet und wr wollen se weter umformen. Dazu führen wr de folgende Notaton en: r (x 1,..., x 3N ), ṙ (ẋ 1,...,ẋ 3N ) q (q 1,...,q f ), q ( q 1,..., q f ), (3.28) mt q dem Vektor der verallgemenerten Geschwndgket. Wr haben dabe zur Verenfachung folgende Notaton engeführt: x 1 : x (1) 1, x 2 : x (1) 2, x 3 : x (1) 3 x 4 : x (2) 1, x 5 : x (2) 2, x 6 : x (2) 3... : x (N) 1, x 3N 1 : x (N) 2, x 3N : x (N) 3. x 3N 2 Wr wollen auch de Kräfte und Massen we folgt bezechnen F 1 : F (1) 1, F 2 : F (1) 2, F 3 : F (1) 3 F 4 : F (2) 1, F 5 : F (2) 2, F 6 : F (2) 3... : F (N) 1, F 3N 1 : F (N) 2, F 3N : F (N) 3. F 3N 2 54

11 m 1 : m 1, m 2 : m 1, m 3 : m 1 m 4 : m 2, m 5 : m 2, m 6 : m 2... m 3N 2 : m N, m 3N 1 : m N, m 3N : m N. um de Notaton zu verenfachen. Es gelten de Transformatonsglechungen Des weteren glt x n x n (q, t), n 1,...,3N, q k q k (r, t), k 1,...,f. ẋ n d x n(q, t) x n (q, t) q k + x n(q, t) t ẋ n (q, q, t), (3.29) womt ẋ n als Funkton von q, q und t defnert wurde. Ganz offenschtlch glt ẋ n (q, q, t) x n(q, t). (3.30) Für de knetsche Energe glt Glechung (2.78b) T T(ṙ) 1 2 n1 ( m n ẋ (n) ) 2, (3.31) und wr erhalten n den verallgemenerten Koordnaten unter Verwendung von (3.29) für de knetsche Energe: T T(q, q, t) m k (q, t) q q k +, b k (q, t) q k + c(q, t). (3.32) Da ẋ n lnear n den q k st, st T maxmal quadratsch n q k. De sch bem Ensetzen ergebenden Koeffzenten haben wr zunächst mt m k (q, t), b k (q, t) und c(q, t) bezechnet. Hängen de x n (q, t) ncht explzt von der Zet ab, so wrd (3.29) zu ẋ n k ( x n/ ) q k und damt verenfacht sch (3.32) auf: x n t 0 n T T(q, q) m k (q) q q k. (3.33), 55

12 Aus (3.31) folgt weter und T(q, q, t) 3 m ẋ ẋ, k, (3.34) T(q, q, t) d T(q, q, t) 3 3 ẋ (3.30) m ẋ m ẍ x m ẋ x d x m ẋ. Setzen wr de Vertauschbarket parteller Abletungen voraus, so folgt und wr erhalten d x n l1 d T(q, q, t) 2 x n q l + 2 x n q l t ( x n q l + x n q l t 3 l1 m ẍ x + 3 Wr defneren nun de verallgemenerten Kräfte ) (3.29) ẋ n, m ẋ ẋ. k (3.35) Q k : 3 F x, k, (3.36) und setzen (3.35) mt (3.34) und (3.36) n de Bewegungsglechungen (3.27) en. Des ergbt: ( ) d T T Q k, k. (3.37) Des st ene andere Form der Lagrange-Glechungen zweter Art. Wr beschränken uns zunächst auf Kräfte F n, welche durch en Potental beschreben werden können. Für hre Komponenten glt F (n) U(r). x (n) 56

13 Wr beachten weters de Transformaton (3.28) und erhalten für (3.36) Q k 3 F x 3 U(r) x x U(q, t), k. (3.38) Berückschtgen wr weters, daß U/ 0 st, so können wr (3.37) n d (T U) (T U) umformen. Wr führen de Lagrange-Funkton L(q, q, t) T(q, q, t) U(q, t) (3.39) en, und erhalten de Lagrange-Glechungen der zweten Art n der Form d (q, q, t) (q, q, t), k. (3.40) De Lagrange-Funkton wurde als Dfferenz von knetschen und potentellen Energen engeführt, wobe T und U als Funktonen der verallgemenerten Koordnaten anzusehen snd. Da man aber verschedene verallgemenerte Koordnaten für en bestmmtes System enführen kann, legt L(q, q, t) ncht endeutg fest. De Glechungen (3.40) stellen en System von f Dfferentalglechungen zweter Ordnung für de Bahnkurven q k (t) dar. Es snd des de bevorzugten Glechungen zur Lösung von Problemen der Mechank. Des hat folgende Gründe: (1) Im Verglech zu den Lagrange-Glechungen erster Art haben wr es nur mt f 3N r anstelle von 3N +r Glechungen zu tun. Aufgrund deser Verenfachung können wr aber de Zwangskräfte ncht bestmmen. (2) Für komplexe Systeme st de Aufstellung der Lagrange-Funkton vel enfacher als de Aufstellung der Bewegungsglechungen. Des legt vor allem daran, daß de Lagrange-Funkton ene skalare Größe st. (3) De Lagrange-Funkton st m allgemenen ene besonders enfache Funkton der n Frage kommenden Varablen. Des st en wchtger Geschtspunkt für de Entwcklung neuer physkalscher Theoren. (Modellbldung n der theoretschen Physk.) Benötgt man dennoch de Zwangskräfte, so betet sch folgende Vorgangswese an: 57

14 x 3 x 3 q 3 F x 2 x 2 q 2 x 1 x 1 (a) (b) Abbldung 3.2: En Massenpunkt m bewegt sch auf der Zylnderfläche unter dem Enfluß ener harmonschen Zentralkraft. (a) Skzze der Stuaton, (b) Wahl der verallgemenerten Koordnaten. (a) Löse das Bewegungsgproblem mt Zwangsbedngungen unter Verwendung der Lagrange-Glechungen zweter Art. (b) Stelle de Lagrange-Glechungen erster Art auf, setze de Lösung von Schrtt (a) en und bestmme de Lagrange-Mulktplkatoren und damt de Zwangskräfte En Bespel Wr wollen de Lagrange-Glechungen zweter Art n der Form (3.37) für de Berechnung des Bewegungsablaufs enes Massenpunktes der Masse m, der sch auf ener Zylnderfläche x x2 2 R2 0 unter dem Enfluß ener harmonschen Zentralkraft F kr bewegt, verwenden. Der Kraftvektor F zegt also zu jedem Zetpunkt auf den Koordnatenursprung, we n Abb. 3.2a dargestellt wurde. Es snd nun de verallgemenerten Koordnaten zu wählen. De beste Wahl orentert sch n den mesten Fällen an der Symmetre des Problems und an den Zwangsbedngungen. Her wählt man günstg q 1 x x2 2 R2 0, 58

15 und wegen der Zylndersymmetre des Problems Zylnderkoordnaten (sehe Anhang A, Abschntt A.1.2) q 2 arctan x 2 x 1 q 3 x 3, (3.41) we n Abb. 3.2 angedeutet wurde. Wegen q 1 0 glt de Rücktransformaton und es folgt weter x 1 R cos q 2, x 2 R sn q 2, x 3 q 3, ẋ 1 R q 2 sn q 2, ẋ 2 R q 2 cos q 2, ẋ 3 q 3. (3.42) Daraus folgt für de knetsche Energe T m ẋ 2 2 m 2 ( R2 q ) q2 3. Wr benötgen noch de Abletungen der knetschen Energe: und T q 2 mr 2 q 2, T q 3 m q 3, T T 0, q 2 q 3 d ( ) d T mr 2 q 2, q ( ) 2 T m q 3. q 3 Schleßlch st noch de verallgemenerte Kraft zu bestmmen. Dazu benötgt man x 1 x 2 x 3 R sn q 2, R cos q 2, 0, q 2 q 2 q 2 x 1 x 2 x 3 0, 0, 1. q 3 q 3 q 3 De verallgemenerte Kraftkomponente Q 1 verschwndet, da q 1 n (3.41) ncht auftrtt. De anderen Komponenten erhält man mt x x Q 2 F k x q 2 q 2 k [(R cos q 2 ) ( R sn q 2 ) + (R sn q 2 )(R cosq 2 ) + 0] 0, x Q 3 F k q 3 x x q 3 k q 3. 59

16 Damt folgen aus (3.37) de sehr enfachen Dfferentalglechungen mt der allgemenen Lösung q 2 (t) c 1 + c 2 t mr 2 q 2 0, m q 3 + kq 3 0, q 3 (t) c 3 cosω 0 t + c 4 sn ω 0 t, ω 0 k m. (3.43) q 2 st dabe der Polarwnkel des Punktes am Zylndermantel. De Wnkelbewegung st unform. q 3 entsprcht der x 3 -Koordnate und bezechnet de Poston des Massenpunktes relatv zur (x 1, x 2 )-Ebene. De Bewegung st ene Schwngung des Massenpunktes auf dem Zylndermantel. Wr wählen nun noch Anfangsbedngungen, etwa q 2 (0) 0 und q 3 (0) h. Weters wählen wr ene Anfangsgeschwndgket v 0 parallel zur x 2 -Achse. Damt folgt aus (3.42) q 2 (0) v 0 R, q 3(0) 0. Damt ergeben sch aus (3.43) de Bewegungsglechungen q 2 (t) v 0 R t, q 3(t) h cosω 0 t. Es folgt für h 0 ene unforme Kresbewegung das Massenpunkts und für v 0 0 und h 0 ene harmonsche Oszllaton des Massepunkts um den Punkt r (R, 0, h) n x 3 -Rchtung. Im allgemenen Fall st der unformen Kresbewegung noch ene Oszllaton n x 3 -Rchtung überlagert. Stmmen Umlauffrequenz ω v 0 /R und Oszllatorfrequenz ω 0 ncht überen, so st de Bahn des Massenpunkts ncht geschlossen Erhaltungsgrößen De Lagrange-Funkton L(q, q, t) hängt von allen verallgemenerten Koordnaten und Geschwndgketen sowe von der Zet ab. In spezellen Fällen kann L von ener oder mehrereren Koordnaten oder von der Zet unabhängg sen. Dese Möglchketen wollen wr nun studeren. 60

17 Energeerhaltung Wr bestmmen ( ) d q k L Heraus folgt der Erhaltungssatz t 0 d q k + q k q k q k t [ d q k ] q k t (3.40) t. (3.44) q k L konst. (3.45) Hängen de Zwangsbedngungen ncht explzt von der Zet ab, dann st de knetsche Energe von der Form (3.33). Hängt zudem U U(q, t) ncht von der Geschwndgket ab, so glt q k T(q, q) und (3.45) wrd zum Erhaltungssatz 0 t x n t 0 q k 2T(q, q), x n t 0, U U(q, t), E : T + U konst. (3.46) Durch / t 0 wrd ferner U auf U U(q) engeschränkt. (3.46) gbt hnrechende, aber ncht notwendge Bedngungen für de Energeerhaltung an. Zyklsche Koordnaten Defnton 3.5 De Koordnate q k heßt zyklsch, wenn se n der Lagrange- Funkton ncht explzt auftrtt, also erfüllt st. (q, q, t) 0 61

18 Aus den Bewegungsglechungen (3.40) folgt dann, daß der zugehörge verallgemenerte Impuls p k (3.47) erhalten st. Es glt nämlch 0 d p k 0 p k konst. (3.48) En trvales Bespel st das free Telchen mt T mṙ 2 /2 und U 0. Damt hängt L ncht von r ab und der Impuls p mṙ st konstant. Verallgemenerte Potentale Unter gewssen Bedngungen st de Benützung der Lagrange-Funkton möglch, auch wenn de Kräfte ncht konservatv snd. Wr llustreren des anhand ener geschwndgketsabhänggen Kraft F dss κ ẋ e. Für dese ergeben sch de verallgemenerten Kräfte entsprechend (3.36): Q dss k (3.30) F dss x x κ ẋ [ κ ẋ ẋ κ 2 ẋ2 Deses Ergebns legt es nahe de (Rayleghsche) Dsspatonsfunkton R κ 2 ẋ2 R(q, q, t) enzuführen, sodaß de Lagrange-Glechungen (3.37) n der Form ( ) d R 0, k (3.49) geschreben werden können. Se besteht aus enem konservatven und enem dsspatven Antel. Es folgt allgemen: Satz 3.1 Ist es möglch ene Potentalfunkton U U (q, q, t) zu defneren, so daß de generalserten Kräfte n der Form [ U Q k d ( )] U 62 ].

19 geschreben werden können, dann kann man de Lagrange-Glechungen n der Form (3.40) mt L T U benützen. De Größe U bezechnet man als das verallgemenerte Potental. De Hamlton-Funkton Wr beschränken uns jetzt, der Enfachhet halber, auf en System mt nur enem Massenpunkt. De Lagrange-Funkton (3.39) st dann ene Funkton von bs zu seben Varablen und wr erhalten für hre totale Abletung nach der Zet dl [ q k + ] q k + t. (3.50) Wr verwenden weters de Lagrange-Glechung zweter Art (3.40) und erhalten nach Multplkaton mt q k [ ( )] d q k q k, und setzen des n (3.50) en. Des ergbt: [ ] dl d q k + t. Wr verwenden nun noch den verallgemenerten Impuls entsprechend der Defnton (3.47) und fnden das Ergebns: [ ] d p k q k L t. (3.51) Des erlaubt de Enführung ener weteren zentralen Größe der klassschen Mechank: H p k q k L. (3.52) Es st des de Hamlton-Funkton. Se hat zwe Egenschaften: (1) se hat, we de Lagrange-Funkton de Dmenson ener Energe, und (2) st de Lagrange-Funkton ncht explzt von der Zet abhängg, so st de Hamlton-Funkton ene Erhaltungsgröße. t 0 (3.51) dh 0 H(t) H(0). (3.53) 63

20 Wr wollen nun zegen, daß de Hamlton-Funkton der Gesamtenerge des Systems entsprcht, wenn das System konservatv st, und wenn de Transformaton zwschen kartesschen und verallgemenerten Koordnaten (3.23) ncht explzt von der Zet abhängt, wenn also U 0, k und x t 0, 1, 2, 3 (3.54) glt. Unter desen Voraussetzungen glt zunächst dx ẋ und wr erhalten für de knetsche Energe x q k, T m 2 ẋ 2 m 2 k,l1 x x q l q k q l, we auch berets n Glechung (3.33) angedeutet wurde. De q k snd dabe de verallgemenerten Geschwndgketen und damt st de knetsche Energe ene homogene Funkton zweten Grades n den verallgemenerten Geschwndgketen und der Eulersche Satz 2.7 (Sete 38) st anwendbar: q k T 2T. Da des weteren nach Voraussetzung U/ 0 glt, st der verallgemenerte Impuls (3.47) nur durch de Abletung der knetschen Energe bestmmt: und daraus folgt p k T, q k T p k q k 2T. Daraus folgt für de Hamlton-Funkton: H p k q k L 2T T + U T + U E. (3.55) Damt st gezegt, daß H unter den genannten Bedngungen tatsächlch glech der Gesamtenerge des Systems st. 64

21 De Voraussetungen (3.54) snd hnrechend aber ncht notwendg. H kann auch de Gesamtenerge darstellen, ohne daß de Kräfte konservatv oder de Transformatonsglechungen unabhängg von der Zet snd. De Frage ob H der Gesamtenerge entsprcht st weters unabhängg davon ob H ene Konstante der Bewegung st oder ncht. Se kann auch ene Erhaltungsgröße sen ohne der Gesamtenerge zu entsprechen. Schleßlch soll noch angemerkt werden, daß Glechung (3.55) auch als Legendre-Transformaton bezechnet wrd. En Bespel Wr betrachten en System ohne Zwangsbedngungen mt enem Massenpunkt, welcher enem Kraftfeld ausgesetzt st. Deses Kraftfeld wrd von enem Potental U(r) abgeletet. Wr wollen zur Beschrebung Kugelkoordnaten (sehe Anhang A, Abschntt A.1.3) verwenden. Es gelten daher de Transformatonsglechungen (A.7). Daraus ergbt sch dann, wegen (A.8) für de Lagrange-Funkton L T U m ( ) ρ 2 + ρ 2 2 ϑ2 + ρ 2 sn 2 ϑ ϕ 2 U(ρ, ϑ, ϕ). (3.56) Wr berechnen weters de verallgemenerten Impulse entsprechend (3.47): p ρ ρ m ρ, p ϑ ϑ mρ2 ϑ, pϕ ϕ mρ2 sn 2 ϑ ϕ. Wr wollen nun voraussetzen, daß das Telchen unter dem Enfluß ener Zentralkraft steht und damt glt U(ρ, ϑ, ϕ) U(ρ). Es folgt dann für de Hamlton-Funkton entsprechend (3.55) ( ) H m ρ 2 + ρ 2 ϑ2 + ρ 2 sn 2 ϑ ϕ 2 L m ( ) ρ 2 + ρ 2 2 ϑ2 + ρ 2 sn 2 ϑ ϕ 2 + U(ρ) E. Entsprechend der Defnton 3.5 st ϕ ene zyklsche Varable und damt glt p ϕ konst p ϕ (t) p ϕ (0). (3.57) Wählen wr das Koordnatensystem nun so, daß der Massenpunkt zum Zetpunkt t 0 auf der x 3 -Achse legt, so folgt damt auch ϑ(0) 0 und damt sn ϑ(0) 0. Des führt zu p ϕ (t) p ϕ (0) 0. Dese Glechung kann aber für Zeten t > 0 nur erfüllt sen, wenn ϕ 0 st. [Es se denn es fndet überhaupt kene Bewegung statt, wovon wr aber ncht ausgehen wollen, oder der Massenpunkt bewegt sch entlang der x 3 -Achse, also ϑ(t) 0.] Ist ϕ 0, so fndet de Bewegung n ener Ebene statt, welche de x 3 -Achse und de Gerade 65

22 x 1 x 2 tanϕ enthält. De Bewegung st also ene ebene Bewegung. Für dese Wahl des Koordnatensystems verenfacht sch de Lagrange-Funkton (3.56) zu L m ( ) ρ 2 + ρ 2 ϑ2 U(ρ), 2 und wr sehen, daß der Wnkel ϑ ebenfalls ene zyklsche Varable st. Damt st der entsprechende verallgemenerte Impuls ene Erhaltungsgröße p ϑ m ρ 2 ϑ (2.33) l konst. Deses Ergebns entsprcht dem Flächensatz, we er n Zusammenhang mt Glechung (2.33) besprochen wurde. 3.4 Das Hamlton-Prnzp Axom 3.1 Enem mechansches System mt f Frehetsgraden q {q k k 1,...,f} se ene Lagrange-Funkton L(q, q, t) zugeordnet. Weters se de physkalsche Bahnkurve (also de Lösung der Bewegungsglechungen) q(t) {q k (t) k 1,...,f} m Intervall t 1 t t 2 gegeben. Se nmmt de Randwerte q(t 1 ) a und q(t 2 ) b an. Dese Bahnkurve macht das Wrkungsntegral extremal. S[q] t 2 t 1 L(q, q, t) (3.58) (Man sprcht von enem Wrkungsntegral deshalb, wel man das Produkt aus Energe und Zet als Wrkung bezechnet.) Wr haben also en Varatonsproblem vorlegen, we es m Anhang A, Abschntt A.3 besprochen wrd. Wr können daher das Axom 3.1 auch anders formuleren, ndem wr fordern, daß de Varaton des Wrkungsntegrales m betrachteten Zetntervall verschwnden muß, also: δ S[q] 0. (3.59) Entsprechend Glechung (A.34) führt deses Varatonsproblem zu folgendem System Eulerscher Glechungen: d ( ) 0, k. (3.60) 66

23 Dese entsprechen aber den Lagrange-Glechungen (3.40) und wr sehen, daß das Hamlton-Prnzp ene alternatve Formulerung des Newtonschen Axoms 2.2 st. Es besagt m wesentlchen, daß de Bewegung so abläuft, daß de Bahnkurve de Wrkung statonär macht. (De Varaton des Wrkungsntegrals gegenüber Veränderungen der Bahnkurve st ja Null.) Dabe st es ncht wchtg ob es sch bem statonären Punkt um en Extremum handelt oder ncht. In konkreten Anwendungen macht aber de Lösung der Lagrange-Glechungen S[q] m allgemenen mnmal, weshalb das Hamlton-Prnzp auch das Prnzp der klensten Wrkung genannt wrd. Wr betrachten nun das Varatonsproblem t 2 δ S[q] δ t 1 L(q, q, t) 0, mt r Nebenbedngungen g α (q, t) 0. Entsprechend Glechung (A.38) st dann de Funkton r L (q, q, t) L(q, q, t) + λ α (t)g α (q, t) zu blden und das Varatonsproblem t 2 δ α1 t 1 L (q, q, t) 0 mt den Eulerschen Glechungen (A.39) als Lösung, entsprcht unmttelbar den Lagrange-Glechungen erster Art entsprechend Glechung (3.22) De Hamltonschen Bewegungsglechungen Entsprechend (3.52) st de Hamlton-Funkton mt der Lagrange-Funkton über de Legendre-Transformaton H p k q k L verknüpft. Wr wollen nun enen Satz von Bewegungsglechungen ableten, welcher auf de Grundgrößen q k (t) und p k (t) Bezug nmmt. Dazu blden wr zunächst das totale Dfferental der Hamlton-Funkton: dh k p k d q k + k (3.47) q k dp k k q k dp k dq k k k dq k t. 67 d q k t

24 Wr benützen nun (3.60) n Verbndung mt (3.47) und erhalten ṗ k, was dann dh k q k dp k k ṗ k dq k (3.61) t ergbt. Damt st H offenschtlch ene Funkton der verallgemenerten Koordnaten und Impulse und, gegebenenfalls, der Zet. De Legendre-Transformaton vermttelt also enen Übergang von ener Funkton der verallgemenerten Koordnaten und Geschwndgketen (L) auf ene Funkton der verallgemenerten Koordnaten und Impulse (H). Wr benutzen des nun und erhalten: H H(q,p, t) dh k [ H dq k + H ] dp k p k + H (3.62) t Durch Verglech mt (3.61) erhält man dann de Hamltonschen Bewegungsglechungen: ṗ k H, q k H H, p k t t. (3.63) Dese Glechungen snd weder den Lagrange-Glechungen zweter Art äquvalent. Se spegeln nur en Standarheorem aus der Theore der Dfferentalglechungen weder. Deses besagt: Man kann en System von n Dfferentalglechungen zweter Ordnung für n Funktonen stets n en System von 2n Dfferentalglechungen erster Ordnung für 2n Funktonen umschreben De Posson-Klammern Se snd en Hlfsmttel, mt welchem man de zetlchen Änderungen physkalscher Größen n kompakter Form darstellen kann. Se snd en wchtges Bndegled zwschen klassscher Mechank und Quantenmechank. Defnton 3.6 Für zwe belebge Größen u u(q,p, t) und v v(q,p, t) defneren wr de Posson-Klammer als: {u, v} ( u v u ) v. (3.64) p k p k 68

25 Aus deser Defnton folgt und de Jacob-Identtät {u, v} {v, u}, (3.65) {u, {v, w}} + {v, {w, u}} + {w, {u, v}} 0, (3.66) welche unter Verwendung der Defnton (3.64) recht mühsam bewesen werden kann. Von besonderem Interesse snd de fundamentalen Posson-Klammern: {q k, p l } δ kl, {q k, q l } {p k, p l } 0, k, l, (3.67) mt dem Kronecker-Symbol Wr bestmmen nun du Insbesonders fnden wr δ kl u t + k (3.63) u t + k (3.64) u t { 1 k l, 0 k l. ( u q k + u ) ṗ k p k ( u H u ) H p k p k + {u, H}. (3.68) q k {q k, H}, ṗ k {p k, H} (3.69) als symmetrsche Form der Hamltonschen Bewegungsglechungen. 3.5 Raum-Zet Symmetren Unter Symmetre versteht man Invaranz unter bestmmten Operatonen. Wr gehen be unseren Untersuchungen von enem Inertalsystem (x 1, x 2, x 3 ) und der Zet t aus und betrachten de Operaton x x, t t, (3.70) dabe sollen de x, t und de x, t durch ene Galle-Transformaton (2.100) verknüpft sen: x α j x j v t a, t t t 0. (3.71) j1 (3.70) und (3.71) werden folgende Operatonen beschreben: 69

26 1. Zetlche Verschebung um enen konstanten Betrag t Räumlche Verschebung um enen konstanten Vektor a a e. 3. Räumlche Verschebung um dre konstante Wnkel (n α j enthalten). 4. Räumlche Verschebung um den zetabhänggen Vektor vt t v e. Äußere Enflüße auf en System führen m allgemenen dazu, daß das System ncht nvarant unter den angeführten Operatonen st. Wr wollen jetzt aber den Enfluß solcher Operatonen auf en abgeschlossenes System von N Telchen untersuchen, welches von der Lagrange-Funkton L 0 (r,ṙ) 1 2 N m ṙ 2 1 U j ( r r j ) (3.72) beschreben wrd. Bestzt L ene solche Raum-Zet Symmetre, so können wr erwarten ene Erhaltungsgröße aufzufnden. Homogentät n der Zet 2 Wr begnnen mt zetlchen Verschebungen j1 r r r, t t t + ε, (3.73) mt ε ener Konstanten. Wegen glt ṙ ṙ und daraus folgt L L(...,r,...,ṙ,...;t ) L(...,r,...,ṙ,...;t + ε). (3.74) De Lagrange-Funkton (3.72) enes abgeschlossenen Systems hängt aber ncht von der Zet ab, also folgt unter der Transformaton (3.73) L 0 L 0. Damt st aber L 0 von ε unabhängg, also 0 / ε 0. Wr wollen nun zegen, daß dl 0 /dε von der Form dq/ st, womt Q ene Erhaltungsgröße st. Wr werden also folgendes Schema entwckeln: dl 0 dε 0 dq Q konst. ε0 Es glt für de Zettranslaton (3.73) 0 dl 0 (3.74) dε 0 ε0 t (3.44) d [ (3.46) d (T + U), 70 L 0 0 ṙ ṙ ]

27 mt (r 1,...,r N ) : grad r L(r 1,...,r N ) e j, r j1 x () j j1 x () j e j. Es glt also der Erhaltungssatz der Energe und somt st de Energe enes abgeschlossenen Systems dejenge Erhaltungsgröße, welche sch aus der Homogentät der Zet ergbt. Homogentät der Zet Energeerhaltung. Homogentät des Raums Wr betrachten ene räumlche Verschebung r r r + εn, t t t, (3.75) mt n enem konstanten, aber belebgen Vektor. Des ergbt für ene allgemene Lagrange-Funkton de Transformaton L L(...,r,...,ṙ,...;t ) L(...,r + εn,...,ṙ,...; t). (3.76) Da dṙ dṙ st, ändern sch de Geschwndgketen ncht. Des glt auch für de Koordnatendfferenzen r r k r r k. De Lagrange-Funkton (3.72) des konservatven Systems wrd unter der Transformaton (3.75) nvarant sen, und es glt weder L 0 L 0. Des bedeutet 0 dl 0 dε (3.76) ε0 (3.47) d 0 r n (3.40) d 0 ṙ n p n d(pn), (3.77) mt P dem Gesamtmpuls des Systems. (3.77) glt für belebge (feste) Rchtungen von n, sodaß aus (3.77) P konst folgt. Der Gesamtmpuls enes abgeschlossenen Systems wrd als Erhaltungsgröße dentfzert, welche sch aus der Homogentät des Raumes ergbt. Homogentät des Raumes Impulserhaltung. 71

28 Isotrope des Raumes Wr betrachten ene nfntesmale Drehung um enen konstanten Wnkel ε, de Drehachse se durch den Enhetsvektor n festgelegt. [Sehe Abb. 2.11c und Glechung (2.109).] Wr verwenden de Transformaton: r r r + ε (n r ), t t t. (3.78) ε und n snd zetunabhängg und damt glt für de Geschwndgketen: ṙ ṙ ṙ + ε (n ṙ ). (3.79) Für ene allgemene Lagrange-Funkton glt dann de Transformaton L L(...,r,...,ṙ,...;t ) L(...,r +ε (n r ),...,ṙ +ε (n ṙ ),...;t). (3.80) Aus (3.78) und (3.79) folgt: (ṙ ) 2 ṙ 2 + O(ε 2 ), (r r k) 2 (r r k ) 2 + O(ε 2 ). De Transformaton (3.78) glt nur für nfntesmales ε und damt kann man de Terme O(ε 2 ) vernachlässgen. Da L 0 entsprechend (3.72) nur von ṙ und von den Abständen r r k abhängt glt auch n desem Fall L 0 L 0. Wr erhalten nunmehr: 0 dl 0 dε ε0 (3.80) [ 0 (n r ) + ] 0 (n ṙ ) r ṙ [ ( ) d 0 (n r ) + ] 0 (n ṙ ) ṙ ṙ [ ] dp (n r ) + p (n ṙ ) d n (r p ) d (nl). (3.81) Dabe st L N (r p ) der Gesamtdrehmpuls des Systems. Da (3.81) für belebge (konstante) Drehrchtungen n glt, folgt unmttelbar L konst. Der Gesamtdrehmpuls enes abgeschlossenen Systems wrd als dejenge Erhaltungsgröße dentfzert, welche sch aus der Isotrope des Raums ergbt. Isotrope des Raumes Drehmpulserhaltung. 72

29 Relatvtät Das Relatvtätsprnzp besagt, daß relatv zuenander bewegte Inertalsysteme glechwertg snd. Unter dem Geschtspunkt der Galle-Transformaton bedeutet des, daß en System und en relatv dazu mt konstanter Geschwndgket bewegtes System sch glech verhalten. Wr betrachten de Transformaton r r r + nε t, t t t. (3.82) n st dabe en Ehetsvektor n belebger (konstanter) Rchtung und wr führen enen Vektor ε εn en. Aus (3.82) folgt weter ṙ ṙ ṙ + ε. Wr untersuchen nun weder de Lagrange-Funkton (3.72). De Dfferenzen der Ortsvektoren snd nvarant unter der Transformaton (3.82) und wr erhalten L m (ṙ ) 2 U m (ṙ + ε) 2 U L 0 + m ṙ ε m ε 2. (3.83) L 0 st offenschtlch ncht mehr nvarant und wr können kene Erhaltungsgröße ableten. De Invaranz wrd berets für das free Telchen verletzt (U 0), aber Invaranz gegenüber der Transformaton (3.82) galt für das Axom 2.1. De Lagrange-Glechungen haben wr auf Bass deses Newtonschen Axoms abgeletet und ganz spezell snd für das free Telchen de Glechungen (3.83) äquvalent zu Axom 2.1. De Lagrange-Glechungen genügen daher dem Relatvtätsprnzp und man kann sch lecht selbst davon überzeugen, daß L 0 und L 0 glechwertg, wenn auch ncht glech snd. Angeschts der Äquvalenz von δ L 0 und den Bewegungsglechungen, st es unmttelbar enschtg, daß ene gegebene Lagrange-Funkton glechwertg zu L konst L oder zu L L + konst st. Ene wchtge Klasse von glechwertgen Lagrange-Funktonen ergbt sch aus den sogenannten Echtransformatonen. Dabe wrd zu L de totale Zetabletung ener belebgen Funkton f(q, t) addert: L(q, q, t) L (q, q, t) L(q, q, t) + d f(q, t). (3.84) 73

30 Das Wrkungsntegral für L lautet S [q] t b t a L t b t a L + f(q(t b ), t b ) f(q(t a ), t a ). Wr vareren nun de Bahnen q(t) und erhalten δ S δ S + ( ) f q t b δ q (t b ) ( ) f q t a δ q (t a ) δ S, da de Randwerte q(t a ) und q(t b ) be der Varaton festgehalten werden, also δ q(t a ) δ q(t b ) 0 glt. Somt snd de Bedngungen δ S 0 und δ S 0 glechwertg und führen zu denselben Bewegungsglechungen. Ganz offenschtlch st, we man unschwer aus Glechung (3.83) ersehen kann, daß de Galle-Transformaton ene solche Echtransformaton st, da (3.83) als L L d [ m r ε + 1 ] 2 m ε 2 t geschreben werden kann. Solche Echtransformatonen snd von besonderer Bedeutung n der Elektrodynamk und n der Quantenfeldphysk. 3.6 Das Noether-Theorem Der Zusammenhang zwschen den Symmetren der Raum-Zet von Inertalsystemen und Erhaltungsgrößen wurde m vorhergehenden Abschntt untersucht. Auf der Grundlage des Hamlton-Prnzps kann der Zusammenhang zwschen Symmetren und Erhaltungssätzen n großer Allgemenhet formulert werden: Jede enparametrge Schar von Transformatonen, unter denen de Wrkung nvarant st, führt zu ener Erhaltungsgröße. Deser Zusammenhang wurde von der Mathematkern Emmy Noether abgeletet. Wr gehen von Hamlton-Prnzp t b δ S[q] δ t a L(q, q, t) 0 74

31 aus. Wr betrachten nun Transformatonen der verallgemenerten Koordnaten und der Zet, welche von enem kontnuerlchen Parameter ε abhängen: q k q k(t ) Ψ k (q, q, t; ε) q k + εψ k (q, q, t) + O(ε 2 ) t t (t) Φ(q, q, t; ε) t + εφ(q, q, t) + O(ε 2 ). (3.85) Deser allgemene Ansatz läßt zu, daß de transformerten Größen von den verallgemenerten Koordnaten und Geschwndgketen und von der Zet abhängen. Wr beschränken uns nun auf nfntesmale Transformatonen, also etwa de nfntesmale Drehung um ene feste Achse und damt können wr de Terme O(ε 2 ) vernachlässgen. De Transformaton (3.73) ergbt sch dann aus φ 1 und ψ k 0. ε 0 st de trvale Transformaton und q k q k für ε 0 sagt aus, daß de Bahnkurve selbst be der Transformaton unverändert blebt. Wr verglechen nun de Wrkung S[q(t)] für de Bahnen q(t) und de Randwerte t a und t b mt der Wrkung S S[q (t )], welche sch für de Bahnen q (t ) und de entsprechenden Randwerte t a und t b ergbt. Ist S t b t a L(q, q, t ) S t b t a L(q, q, t), (3.86) so st de Wrkung nvarant unter den Transformatonen (3.85). Da de Wrkung S de Bewegungsglechungen festlegt, st S S der mathematsche Ausdruck für de Symmetre des durch L beschrebenen Systems unter der betrachteten Transformaton. Wr formen nun (3.86) um t b t a L(q, q, t ) t b t a L(q, q, t ) t b t a { L(q, q, t) + ε d dε ] } [L(q, q, t ), ε0 (3.87) und es st für de Invaranzbezehung (3.86) notwendg und hnrechend wenn ] d [L(q, q, t ) 0 (3.88) dε erfüllt st. Des st de Invaranzbedngung. Aus deser Bedngung leten wr nun ene Erhaltungsgröße Q Q(q, q, t) konst ab. Dazu verwenden wr de Euler-Glechungen (3.60), womt de abzuletende Aussage nur für de tatsächlchen Bahnkurven q(t) glt. Aus (3.85) 75 ε0

32 folgt: und dq k dq k 1 + εdφ(q, q, t) ( q k + ε dψ k 1 + ε dφ, (3.89) ) ( 1 ε dφ ) q k + ε dψ k ε q dφ k, (3.90) wobe wederum Terme O(ε 2 ) vernachlässgt wurden. Wr werten nun de Invaranzbedngung (3.88) aus: [ ( d L...,q k + εψ k,..., q k + ε dψ k dε ψ k + d ε q k dψ k ψ k + [ L dφ{t d, )(...;t + εφ 1 + ε dφ )] ε0 q k dφ + q k ] t φ + Ldφ dφ + φ t 0. (3.91) Deses Ergebns st an der Stelle ε 0 zu nehmen und damt stehen m Argument von L weder de ncht transformerten Varablen. Mt (3.44) erhalten wr aus (3.91): d [ d L ] q k t ] [ ( [L(q, q, t ) d ψ k L ε0 ) ] q k φ 0. Daraus folgt das Noether-Theorem: Ist de Wrkung (oder korrekter: en Funktonal) S[q] nvarant unter ener enparametrgen Transformatonsschar (3.85), so folgt de Erhaltungsgröße Q Q(q, q, t) ( ψ k L ) q k φ konst. (3.92) Des st ene Dfferentalglechung erster Ordnung. Se glt für tatsächlche Bahnen q k (t) und st dann en erstes Integral der Bewegungsglechungen. Es 76

33 glt: Symmetre Erhaltungsgröße Noether S S oder (3.88) Q Q(q, q, t) konst (3.93) Man geht folgendermaßen vor: man schrebt de Funktonen ψ k und φ n (3.85) für de nteresserende Transformaton an. Dann überprüft man durch Auswertung von (3.88) ob ene Symmetre bezüglch deser Transformaton vorlegt. Des hängt natürlch vom L des zu untersuchenden Systems ab. Ist de Invaranzbedngung erfüllt, dann bestmmt man aus L, ψ k und φ de Erhaltungsgröße Q. Wr betrachten des anhand enes enfachen Bespels: L hänge ncht explzt von ener bestmmten Koordnate q k ab, also L L (q 1,...,q k 1, q k+1,...,q f, q 1,... q f, t). Wr untersuchen de Transformaton q q + εδ k, ψ δ k t t, φ 0. In L(q, q, t ) kommt de k-komponente nur be den Geschwndgketen vor, und her glt dq k dq k und damt snd alle Argumente von L(q, q, t ) von ε unabhängg und ] d dε [L(q, q, t ) d L(q, q, t) 0 dε und de Invaranzbedngung st erfüllt. Es folgt dann aus (3.92) Q (3.47) p k konst. (3.94) Der zur verallgemenerten Koordnate q k gehörende verallgemenerte Impuls p k st somt Erhaltungsgröße. Wr snd bsher von der Invaranzbedngung S S ausgegangen. De Bewegungsglechungen snd aber der Forderung δ S 0 äquvalent und es genügt daher für de Symmetre de schwache Bedngung: δ S δ S, also δ t b t a L(q, q, t ) δ 77 t b t a L(q, q, t). (3.95)

34 Nun wssen wr aber, daß zu L de totale Zetabletung ener belebgen Funkton f(q, t) addert werden kann, ohne daß dadurch δ S verändert wrd. (Sehe auch Sete 73.) Ist also der durch de Transformaton entstandene Zusatzterm n (3.87) ene solche totale Zetabletung d dε [L(q, q, t ) ] d f(q, t), (3.96) beschreben, dann st (3.95) erfüllt. Wr ersetzen nun n der Abletung, welche zu (3.92) führte (3.88) durch (3.96) und erhalten als Erhaltungsgröße Q ( ψ k L für de tatsächlche Bewegung. ) q k φ f(q, t) konst 78