Klassische Theoretische Physik II (Theorie B) Sommersemester 2016

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1 Karlsruher Insttut für Technologe Insttut für Theore der Kondenserten Matere Klasssche Theoretsche Physk II Theore B Sommersemester 016 Prof. Dr. Alexander Mrln Musterlösung: Blatt 7. PD Dr. Igor Gorny, Nkolaos Kanars Besprechung: Erwetertes Noether-Theorem 5 Punkte Betrachten Se ene enparametrge Schar von nfntesmalen Transformatonen der Koordnaten 1... N und der Zet: x x x + ɛψ x, ẋ, t, t t t + ɛφx, ẋ, t. Nehmen Se an dass de Wrkung als t Sxt Lx, ẋ, t + ɛ dfx, t t 1 mt ener belebgen Funkton fx, t transformert wrd. Leten Se de aus der Vorlesung bekannte Formel für de Erhaltungsgröße Q her. Mthlfe von t t + ɛφx, ẋ, t 1 + ɛdφ x x + ɛψ x, ẋ, t, dx dx dx + ɛdψ transformeren wr das Integral für de Wrkung t Sxt Lx, ẋ, t + ɛ dfx, t t 1 S x t + ɛ wobe s. Vorlesung: S x t t t t 1 t Sxt + ɛ dfx, t Lx, ẋ, t dx + ɛdψ 1 ɛ dφ S x t + ɛ t { Lx, ẋ, t + ɛ d dɛ t d dɛ / 1 + ɛ dφ dx + ɛdψ ɛdx t dfx, t x L, dx, t x t} L, dx, ɛ 0 x t}, dx,. ɛ 0 { L dφ. + Oɛ,

2 Damt folgt Sxt Sxt + ɛ t ɛ { d dɛ t { d dɛ L x t } L, dx ɛ 0, dfx, t + 1 x t }, dx ɛ 0, dfx, t + 0. Aus der Vorlesung st bekannt, dass s. unten d x t dɛ L, dx ɛ 0, d L ẋ φ + ψ. 3 Mt Gl. 3 erhalten wr { t d ɛ L { d L ẋ φ + ẋ φ + ψ + ψ } dfx, t 0 4 } + fx, t 0. 5 Erhaltungsgröße: ψ + L ẋ φ + fx, t Q Qx, ẋ, t ψ ẋ φ + Lφ + fx, t const. 6 Glechung 3 Bewes aus der Vorlesung: { d x t} dɛ L, dx, ɛ 0 d { 1 + ɛ dφ L dɛ dφ L + ψ + x ẋ L x + ɛψ, ẋ + ɛ dψ ɛẋ dψ ẋ dφ + t φ ψ. dφ + t φ + d Wr wollen das als totale zetlche Abletung ausdrücken. Dafür verwenden wr dl t + ẋ + ẍ x ẋ t + d ẋ + ẍ ẋ ẋ t + d ẋ ẋ t d L ẋ ẋ L dφ ẋ ẋ + t φ d L ẋ φ ẋ und erhalten Gl. 3. } dφ, t + ɛφ ɛ 0

3 . Erhaltungsgrößen Punkte Bestmmen Se de Erhaltungsgröße a für en Telchen m homogenen Skalarfeld U r F r; b für en Telchen m Feld ener bewegten Welle U r, t U r vt, wobe v en konstanter Vektor st; c wenn de Wrkung unter der Transformaton x x cosh λ + c t snh λ, mt c const nvarant st. t x c snh λ + t cosh λ a: De potentelle Energe U r F r und damt de Wrkung st nvarant für: räumlche Translaton n Rchtungen senkrecht zu F Erhaltung der Impulskomponenten senkrecht zu F ; Drehung um de Achse parallel zu F Erhaltung der Drehmpulskomponente parallel zu F ; Zettranslaton Erhaltung der Energe. b: Mt der Transformaton der Koordnaten t t, r r vt st de Lagrange-Funkton zetunabhängg: L L r, r, t m Daraus folgt de Energeerhaltung: E m und damt ẋ L ẋ r mv E m r + v U r m m r + m r v + U r const, r v mv De Erhaltungsgröße st dann wobe H r + m r v + mv U r. m r + m r v + mv U r + U r vt m r + U r vt m r v. H p v const ẋ L, p mẋ. c: x x cosh λ c t snh λ, t t cosh λ x snh λ. c

4 Für λ 0 erhalten wr x x λ c t + Oλ ψ ct, t t λ x c + Oλ φ x c und verwenden das Noether-Theorem: Q ẋ ct + L ẋ ẋ x const. c Daraus folgt: Ex p x c t const. 3. Ähnlchketstransformaton Punkte a Zegen Se, dass de Wrkung für en Telchen m Potental U r a/r unter der nfntesmalen Transformaton r 1 + ɛ r, t 1 + ɛt nvarant st. Geben Se de zugehörge Erhaltungsgröße Q an. Verenfachen Se dese mt Hlfe des Energeerhaltungssatzes und bestmmen Se daraus de Bahnkurve des Telchens. Lagrange-Funkton: L r, r m r a r. Transformaton: r r + ɛψ mt ψ r, t t + ɛφ mt φ t, Invaranz: r d r 1 + ɛ d r 1 + ɛ 1 ɛ + Oɛ r. S L r, r, t m 1 + ɛ 1 ɛ m d r a r m d r S. d r a r a 1 + ɛ r Invaranzbedngung erfüllt s. auch Telaufgabe 3b. Erhaltungsgröße: Q ψ + L ṙ ṙ φ. ṙ

5 Energeerhaltungssatz: Damt folgt: L Q ṙ ṙ m r a r E. mṙ r Et m v r Et, wobe Bahnkurve: v r 1 dr m dr r E m t + C 1 t + C. Et const. De Konstante C 1 und C werden durch Anfangsbedngungen bestmmt. b Das Potental n Telaufgabe 3a erfüllt de Glechung U r α n Uα r mt n. Zegen Se, dass de Wrkung unter der Ähnlchketstransformaton r α r nur für n nvarant sen kann. Mt r α r und t βt lautet der Betrag der knetschen Energe zur Wrkung S : m d r α m d r Invaranz für β α. β Der Betrag der potentellen Energe st dann: U r β U r α U r Invaranz nur für n. α n α n c Bestmmen Se de Erhaltungsgröße für en Telchen m Magnetfeld, das durch en Vektorpotental A r α Aα r gegeben st. De Wrkung enes Telchens mt der Ladung q m Vektorpotental A r αaα r lautet: t m S r + q r A r t m d r + q d r α Aα r Mt erhalten wr: S t t 1 t t 1 r α r, β m m t βt α t β d r + q β d r α α α A r d r + q d r A r S.

6 Nun betrachten wr α 1 + ɛ mt ɛ 0: r 1 + ɛ r, Noether-Theorem: t 1 + ɛt. ψ x, φ t Q ψ + p x Et L m r + qa r ẋ φ r Et const.