Zusammenfassung der ersten Vorlesung

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1 Zusammenfassung der ersten Vorlesung 1. Es geht um de Mechank.. Jedes mechansche System kann mttels ener Lagrangefunkton charaktersert werden. De Lagrangefunkton hängt von den verallgemenerten Koordnaten, den Geschwndgketen und der Zet ab. L({q }, { },t) 3. De Lagrangefunkton st durch de Dfferenz von knetscher und potenteller Energe des Systems gegeben. NX m ~ r L = T U L = U(~r 1, ~r,..,~r N ) 4. Integrert man de Lagrangefunkton über de Zet, bekommt man de Wrkung. =1 S[{q (t)}] = Z t dtl({q }, { },t),t), q (t 1 )=q,1, q (t )=q, t 1 5. De Bahn de de Wrkung mnmert ensprcht der Bewegung enes mechanschen Systems n der Natur. Dese Bahn st de Lösung der Euler-Lagrange Glechungen. @q

2 1. Prnzp der klensten Wrkung De unabhänggen Grössen, welche man braucht um en mechansches System vollständg zu beschreben nennt man Frehetsgrade. De Zahl der Frehetsgrade st durch Zwangsbednungen beschränkt. f(q 1,q,...q N,t)=0 z.b. x + y + z R =0 Es gbt zwe Möglchketen mt Zwangsbednungen umzugehen. Entweder elmnert man abhängge Koordnaten aus der Lagrangefunkton oder man benutzt Lagrangefaktoren und ändert damt de Lagrangefunkton. L! L 0 = L + f(q 1,...,q N,t) d 0 = ) 0=f(q 1,...q N,t)

3 1. Prnzp der klensten Wrkung En Bespel: We bewegt sch en Telchen auf ener Stange m Gravtatonsfeld? Wr nehmen an, dass das Telchen sch be t=0 mt null Geschwndgket m Punkt befndet. Es gbt ken Rebung. x =0, y = L cos Wr begnnen mt der Lagrangefunkton n kartesschen Koordnaten. L = mẋ + mẏ mgy 0 <x<lsn, 0 <y<lcos. De Koordnaten x und y snd ncht unabhängg! x = s sn, y = L cos s cos y sn + x cos L sn cos =0 Wr können dese Abhänggket entweder los werden oder de Lagrangefaktoren benutzen.

4 1. Prnzp der klensten Wrkung a) Zwangsbednungen explzt elmneren. Wr wählen de Länge s entlang der Stange als de neue Koordnate. L = mẋ + mẏ mgy 0 <s<l x = s sn, y = L cos s cos ẋ =ṡ sn, ẏ = ṡ cos L = mṡ mg(l cos s cos ) m s = mg cos ) s(t) = g cos t x = g cos sn t, y = L cos g cos t

5 b). Lagrangefaktoren 1. Prnzp der klensten Wrkung L = mẋ + mẏ mgy L = mẋ + mẏ mgy + (y sn + x cos L sn cos )) y sn + x cos L sn =0 y sn + x cos L sn cos =0 mẍ = cos mÿ = mg + sn ÿ sn +ẍ cos =0 mÿ = mg sn cos mÿ ÿ = g cos ẍ = g cos sn x = g cos sn t y = L cos g cos t

6 1. Prnzp der klensten Wrkung c) Das zwete newtonsche Gesetz. Zwe Kräfte: De Gravtatonskraft und de Zwangskraft. De Zwangsskraft wrkt orthogonal zur Stange, d.h. se hat kene Komponente entlang der Stange. De Komponente der Gravtatonskraft entlang der Stange bestmmt de Bewegung des Telchens. F = mg cos m s = mg cos s = g cos t

7 1. Prnzp der klensten Wrkung Zwe allgemene Bemerkungen. 1) Snd de Zwangsbednungen von Geschwndgketen abhängg, muss man de abhangge Grösse aus der Lagrangefunkton elmneren; Lagrangefaktoren kann man n desem Fall ncht benutzen. ) De Lagrangefunkton enes mechanschen Systems st nur bs auf de totale Zetabletung ener belebgen Funkton von verallgemenerten Koordnaten defnert. S = Z t t 1 dtl(q, q, t), q(t 1 )=q 1, q(t )=q L(q, q, t)! L(q, q, t)+ d Kene f(q, t) dt Abhanggket von der Geschwndgket! S new = Z t dt L(q, q, t)+ ddt f(q, t) = S + f(q,t ) f(q 1,t 1 ) t 1 S new = S Identsche Bewegungsglechungen!

8 Wo kommt der Prnzp den klensten Wrkung her? VO1.UME 0, NUMBER Aran., 1948 Space-.. me A~~~roac. 1:o.5 on-. le..a1:vstc 4 uantuns.v. :ec.zanes R. P. I EvNMAN Cornell Unversty, Ithaca, Veto York Non-relatvstc quantum mechancs s formulated here n a dfferent way. It s, however, mathematcally equvalent to the famlar formulaton. In quantum mechancs the probablty of an event whch can happen n several dfferent ways s the absolute square of a sum of complex contrbutons, one from each alternatve way. The probablty that a partcle wll be found to have a path x(t) lyng somewhere wthn a regon of space tme s the square of a sum of contrbutons, one from each path n the regon. The contrbuton from a sngle path s postulated to be an exponental whose (magnary) phase s the classcal acton (n unts of h) for the path n queston. The total contrbuton from all paths reachng x, t from the past s the wave functon P(x, t). Ths s shown to satsfy Schroednger's equaton. The relaton to matrx and operator algebra s dscussed. Applcatons are ndcated, n partcular to elmnate the coordnates of the feld oscllators from the equatons of quantum electrodynamcs. Quanten Mechank: alle Bahnen snd erlaubt und kann auch n der Natur passeren. De Wahrschenlchketen das en Bahn verfolgt wrd unterscheden sch aber gewaltg. P[q(t)] e S[q(t)]/~ ~ = m kg/s

9 . Erhältungssätze Zetunabhängge Funktonen von Koordnaten und Geschwndgketen des Systems und auch von der Zet, hessen Bewegungsntegrale. I I({q }, { },t), di dt =0 q(t) + q(t) = I 1, q(t) q(t) = I r I1 ± I (q(t), q(t)) = En Bespel: Zetunabhängge Lagrangefunkton dl dt = X d dt dl dt = + @ + q = X dt L = L({q }, = q ) d L =0. Dese Grösse nennt man de Energe des Systems: E L L = T U({q }), T = 1 X m ({q }) q q ) E = T + U Falls en mechansches System durch ene zetunabhängge Lagrangefunkton beschreben wrd, st für deses System de Energe ene erhaltende Grösse.