Kapitel 5. Symmetrien und Erhaltungsgrößen. 5.1 Symmetrietransformationen

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1 Kaptel 5 Symmetren un Erhaltungsgrößen 5.1 Symmetretransformatonen Betrachte en mechansches System mt en Koornaten q 1,... q f un er Lagrangefunkton L(q 1,... q f, q 1,... q f, t). Nun soll ene Transformaton ĥ mt q h (q 1,... q f ) m Koornatenraum urchgeführt weren. Des könnte z.b. ene Drehung es Systems sen. Wr bestmmen nun e neue Funkton L(q 1,... q f, q 1,... q f, t) = L ( h 1 (q 1,... q f ),... h f (q 1,... q f ), ḣ1(q 1,... q f ),... ḣf(q 1,... q f ), t ) Falls nun L(q 1,... q f, q 1,... q f, t) = L(q 1,... q f, q 1,... q f, t) glt, nennt man ĥ ene Symmetretransformaton es Systems. Als kontnuerlche Transformaton bezechnet man ene Transformaton ĥα, e so von enem reellen Parameter α abhängt, ass e Bler h α (q 1,... q f ) stetge Funktonen n α sn un wenn ĥα für α = 0 e Ienttät h 0 (q 1,... q f ) = q st. Bespel: Wr betrachten enen zwemensonalen harmonschen Oszllator L(x, y, ẋ, ẏ) = m (ẋ + ẏ ) mω (x + y ) De kontnuerlche Transformaton ˆT a mt Tx a (x, y) = x + a, Tx a (x, y) = y st ene Verschebung n x Rchtung um e Länge a. Es glt L(x, y, ẋ, ẏ) = m ( ((x + a) t ) ) + ẏ mω ( (x + a) + y ) = L(x, y, ẋ, ẏ) mω xa mω a un e Translaton ˆT a st kene Symmetretransformaton. De kontnuerlche Transformaton ˆD ϕ ( ) D ϕ x (x, y) Dy ϕ = (x, y) ( cos ϕ sn ϕ sn ϕ cos ϕ 5 ) ( x y )

2 A. Wacker, TU Berln: Theoretsche Physk Ia, 9. Jul st ene Drehung es Systems. Es glt L(x, y, ẋ, ẏ) = m [ (cos ϕẋ sn ϕẏ) + (sn ϕẋ + cos ϕẏ) ] mω [ (cos ϕx sn ϕy) + (sn ϕx + cos ϕy) ] = L(x, y, ẋ, ẏ) un e Drehung st ene Symmetretransformaton. De Spegelung Ŝ mt S x(x, y) = x un S x (x, y) = y st ebenfalls ene Symmetretransformaton es Systems aber kene kontnuerlche Transformaton. 5. Noether sches Theorem Se ĥα ene kontnuerlche Symmetretransformaton enes Systems mt er zetunabhänggen Lagrangefunkton L(q 1,... q f, q 1,... q f ). Dann st I(q 1,... q f, q 1,... q f ) = L q α hα (q 1,... q f ) α=0 (5.1) ene Erhaltungsgröße er Bewegung. (Emmy Noether, 1918) Bewes: t I( q 1 (t),... q f (t), q 1 (t),... q f (t) ) = [ ] L t q }{{ } = L q α hα (q 1,... q f ) α=0 + L q t α hα (q 1,... q f ) α=0 }{{} = α ḣα (q 1,...q f ) α=0 = α L( h α 1 (q 1,... q f ),... h α f (q 1,... q f ), ḣα 1 (q 1,... q f ),... ḣα f (q 1,... q f ) ) α=0 = 0 a L sch be er Symmetretransformaton ĥα ene α-abhänggket zegt. Bespele: Rotatonssymmetrsches System: Betrachte en Telchen m Potental V (r), as um e z-achse rotatonssymmetrsch st. De Symmetretransformaton st cos ϕ sn ϕ 0 x h ϕ (r) = sn ϕ cos ϕ 0 y z un es glt Damt haben wr als Erhaltungsgröße e z-komponente es Drehmpulses x ϕ hϕ (r) ϕ=0 = y = e z r z I(r, ṙ) = mṙ (e z r) = e z (r mṙ) = L z

3 A. Wacker, TU Berln: Theoretsche Physk Ia, 9. Jul Translatonssymmetrsches System: Betrachte en System aus N Telchen mt en Massen m n un em Wechselwrkungspotental V (r 1,... r N ), welches be ener Translaton aller Telchen um e Strecke a n x-rchtung h a n(r 1,... r N ) = r n + ae x nvarant sen soll. D.h. V (r 1 + ae x,... r N + ae x ) = V (r 1,... r N ). Des st z.b. er Fall, wenn e Zwe-Telchen-Kräfte nur von en Abstansfferenzen er Telchen abhängen. Damt haben wr als Erhaltungsgröße I(r 1,... r N, ṙ 1,... ṙ N ) = n m n ṙ n e x = P ges x e x-komponente es Gesamtmpulses. Erhaltungsgrößen hängen mt Symmetren es Systems zusammen: Drehmpulserhaltung Rotatonssymmetre Impulserhaltung Translatonsnvaranz 5.3 Infntesmale kanonsche Transformatonen Wr wollen nun enen Zusammenhang zu en allgemenen Varablentransformatonen er Hamlton schen Dynamk herstellen. Herzu betrachten wr ene kontnuerlche kanonsche Transformaton P (p, q, α), Q(p, q, α) mt em Parameter α, e gemäß Abschntt 3.3 über ene erzeugene Funkton S α (q 1,... q f, P 1,... P f, t) vermttelt weren soll, wobe S 0 (q 1,... q f, P 1,... P f, t) = q P. Für α = 0 glt ann Q j = S0 P j = q j un p j = S0 q j = P j un e Transformaton st für α = 0, we geforert, e Ienttät. Nun betrachten wr m Grenzfall klener α nfntesmale Transformatonen, wobe wr e Änerungen er Varablen nur n nergster Ornung O(α) berückschtgen. Wr setzen S α (q 1,... q f, P 1,... P f, t) = q P + ασ(p 1,... P f, q 1,... q f, t) + O(α ) Man nennt σ(p, q, t) e Erzeugene er nfntesmalen Transformaton 1 wobe wr e Abkürzung q = (q 1,... q f ) verwenen. Q j = Sα σ(p, q, t) = q j + α + O(α ) p j = Sα σ(p, q, t) = P j + α + O(α ) P j P j q j q j 1 In er Regel blen e kontnuerlchen Tranformatonen ˆT α = p, q P (p, q, α), Q(p, q, α) ene Gruppe. Glt zusätzlch ˆT β ˆT α = ˆT g(β,α) mt ener stetg-fferenzerbaren Funkton g(β, α) [z.b. g(α, β) = α + β für e Drehung um ene Achse] so nennt man e Gruppe ene Le sche Gruppe. Dann kann man jee enlche Transformaton aus ener Sequenz nfntesmaler Transformatonen aufbauen, e somt e gesamte Informaton über alle Tranformatonen enthalten.

4 A. Wacker, TU Berln: Theoretsche Physk Ia, 9. Jul Somt glt n Ornung α σ(p, q, t) δq j = Q j q j = α + O(α σ(p, q, t) ) δp j = P j p j = α + O(α ) (5.) p j q j wobe wr n er Funkton σ(p, q, t) e Varable P j urch p j ersetzen konnten, a e Dfferenz enen Term höherer Ornung n α lefert. Be er kanonschen Transformaton lautet e Hamltonfunkton für e transformerten Koornaten: H(P, Q, t) = H(p(P, Q, t), q(p, Q, t), t) + Sα (q(p, Q), P, t) un er Untersche zwschen en Funktonen H un H st urch δh(p, q, t) = H(p, q, t) H(p, q, t) = H(p δp, q δq, t) H(p, q, t) + Sα (q δq, p, t) = ( H δp + H ) σ(q δq, p, t) δq + α p q =α ( H σ(p, q, t) H ) σ(p, q, t) σ(q, p, t) + α + O(α ) p q q p j ( ) σ(q, p, t) =α {H, σ} + = α σ(q, p, t) t gegeben. Nun beeutet δh(p, q, t) = 0, ass sch e Hamltonfunkton be er kanonschen Transformaton ncht änert un e Transformaton somt ene Symmetretransformaton es Systems st. Auf er aneren Sete folgt aus σ/t = 0, ass e Funkton σ(p, q, t) ene Erhaltungsgröße st. De Erzeugene σ(p, q, t) ener nfntesmalen Symmetretransformaton es Systems st ene Erhaltungsgröße. Bespele: Wr wssen, ass e Hamltonfunkton H(p, q) ene Erhaltungsgröße st, wenn se ncht explzt von er Zet abhängt. Dann entsprcht se gerae er Gesamtenerge. Nun wollen wr untersuchen, mt welcher Symmetretransformaton se zusammen hängt. Herzu setzen wr σ(p, q) = H(p, q) un erhalten mt Gl. (5.) n nergster Ornung H(p, q) H(p, q) δq j = α = α q j = q j (t + α) q j (t) un δp j = α p j q j = αṗ j = p j (t + α) p j (t) Damt verschebt e kanonsche Transformaton, e von er Hamltonfunkton erzeugt wr, as System n er Zet. Für en System aus N freen Telchen n kartesschen Koornaten mt Erhaltung es Impulses p = P ges = const kann man e glechmäßge Schwerpunktsbewegung n er Form (m r p t) = const schreben, sehe Abschntt Nun untersuchen wr e Symmetretransformton, e von σ = u (m r p t), es entsprcht er glechmäßgen Schwerpunktsbewegung n Rchtung von u, erzeugt wr. De erzeugene Funkton lautet S( p, r, t) = r p + αu (m r p t)

5 A. Wacker, TU Berln: Theoretsche Physk Ia, 9. Jul (e neuen Varablen sn her urch ene Tle gekennzechnet) un wr fnen r = Sα p = r αut p = Sα r = p + αm u p = p m u Des entsprcht also ener Galletransformaton er Koornaten mt er Relatvgeschwngket u. De neue Hamltonfunkton lautet H( p, r, t) =H(p, r, t) + Sα = 1 m ( p + αm u) + V (r 1,... r N ) α = 1 p + V ( r 1 + αut,... r N + αut) + α m m u Wenn nun V ( r 1 + αut,... r N + αut) = V ( r 1,... r N ) glt[(z.b. für nnere Zwetelchenkräfte er Form (1.1)], so st e Hamltonfunkton (bs auf ene trvale Konstante er Ornung α ) nvarant un e kanonsche Transformaton st ene Symmetretransformaton. Somt st e Galletransformaton n esem Fall ene Symmetretransformaton. Erhaltungsgrößen hängen mt Symmetren es Systems zusammen: Energeerhaltung Invaranz es Systems bezüglch ener Zetverschebung Schwerpunktsatz Invaranz bezüglch Galletransformaton p u