Ordered Response Models (ORM)

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1 Handout: Mkroökonometre Ordered Response Models Domnk Hanglberger - SS 28 Ordered Response Models (ORM) Ist de abhängge Varable ordnal skalert (d.h. hre Kategoren lassen sch n ene Rangrehenfolge brngen, wobe de Abstände zwschen den Ausprägungen ncht glech/bekannt sen müssen), dann kann zur Schätzung en ORM herangezogen werden. Bespele herfür snd z.b. Zustmmungsfragen (stmme sehr zu, stmme telwese zu, ), Enkommensklassen Ökonometrsches Modell Analog zum bnären Entschedungsmodell st auch m ORM ene Herletung über en Modell mt ener latenten Varablen möglch. Beobachtete Varable: Latente Varable: Schwellenwerte:,2,.,J xβ + ε stetge Varable von bs+ μ j Abbldung Zusammenhang zwschen latenter und beobachteter Varable + μ μ μ 2 2 3

2 Handout: Mkroökonometre Ordered Response Models Domnk Hanglberger - SS 28 Ordered Probt: ε ~N(;) (Analog zum Bnären Logt könnte man für ε auch ene logstsche Vertelung unterstellen; man sprcht dann vom Ordered Logt) Im allgemenen Fall mt J Kategoren lassen sch de Wahrschenlchketen P( j x ) wefolgt bestmmen: ( ) Φ( β x) P Des entsprcht der Fläche unter der Dchtefunkton n Abbldung 2 lnks des untersten Schwellenwertes. De Wahrschenlchket lässt sch ähnlch we m Bnären Modell ableten: ( ) P( ( β x + ε < ) P P( ε < β x) Φ( β x ) De Wahrschenlchket, dass entsprcht n Abbldung 2 der Fläche unter der Dchtefunkton zwschen und μ. Dese Fläche lässt sch weder über de Vertelungsfunkton bestmmen. Dazu wrd de Fläche lnks von μ berechnet und davon de Fläche lnks von Null subtrahert. ( ) P P( β x + ε < ) μ P( βx ε μ ) P( βx ε + < + < ( ε μ βx) P( ε ( μ βx) ( βx) P < < βx Φ Φ Analog lassen sch de Wahrschenlchketen für alle weteren Ausprägungen bestmmen. Nachfolgend noch enmal zusammengefasst de Formeln für de Bestmmung der Wahrschenlchketen enzelner Ausprägungen: P ( ) Φ ( β x ) ( μ βx) ( βx) P ( ) Φ Φ ( 2) ( μ βx) ( P... 2 ( J) Φ( μ J β x) P und Φ Φ μ βx < μ < μ <... < μ 2 J ) ) )

3 Handout: Mkroökonometre Ordered Response Models Domnk Hanglberger - SS 28 Abbldung 2: Vertelung von x 2 3 μ μ 2 / Hnwes: Ncht n allen Fällen snd de Schwellenwerte des Modells unbekannt. Legt z.b. ene Enkommensvarable n Klassen vor, so entsprechen de Klassengrenzen den Schwellenwerten. Dese Informaton kann n gänggen Statstkprogrammen dem Modell hnzugefügt werden. Dadurch müssen de Schwellenwerte ncht geschätzt werden und de Varanz von kann m Verglech zum Standardmodell geschätzt werden. 2 Interpretaton De Koeffzenten snd nur n Bezug auf de de latente Varable we n der lnearen Regresson nterpreterbar. Aufgrund des ncht lnearen Zusammenhangs zwschen und der Wahrschenlchket ener Kategore anzugehören st ene enfache Interpretaton deser Art ncht auf de Wahrschenlchket ener Kategore anzugehören übertragbar (vgl. Logt, Probt, etc.). Auch de Vorzechen der Koeffzenten snd ncht drekt auf de Wahrschenlchket n ener bestmmten Kategore zu sen P(m) nterpreterbar (außer für de oberste Kategore Koeffzent und partelle Abletung haben gleches Vorzechen und unterste Kategore entgegen gesetztes Vorzechen; sehe unten be margnalen Effekten). Um enen Endruck vom Enfluss ener Varablen zu erhalten betet es sch auch her an de margnalen Effekte (z.b. wenn alle Varablen auf den Mttelwert gesetzt werden) zu tabelleren. Be erklärenden Dumm Varablen kann der Effekt durch Verglech der zwe prognostzerten Wahrschenlchketen (für d und d) bestmmt werden. Allgemen lässt sch das Vorzechen der Koeffzenten derart nterpreteren, dass en postver Koeffzent de Wahrschenlchket erhöht n ene höhere Kategore zu fallen und umgekehrt.

4 Handout: Mkroökonometre Ordered Response Models Domnk Hanglberger - SS 28 Margnale Effekte für 4 Kategoren: Ähnlch dem Multnomalen Logt Modell können für jede Ausprägung von margnale Effekte bestmmt werden. ( ) P P P P ( ) ( 2) ( 3) ( ) φ β x β ( β ) φ( μ β ) φ x x β ( μ β x ) φ( μ2 ) φ β x β ( 2 ) φ μ β x β Aus den Formeln st erschtlch, dass de margnalen Effekte von den Ausprägungen des gesamten x-vektors, aller anderen Koeffzenten und den Schwellenwerten abhängg snd. Es glt also auch her, dass margnale Effekte jewels nur für enzelne Personen berechenbar snd. Weter lässt sch erkennen, dass das Vorzechen der ersten und letzten Kategore endeutg st. Für de mttleren Kategoren (her und 2) kann das Vorzechen des margnalen Effekts wechseln, je nachdem, ob de Dfferenz n Klammern postv oder negatv st. 3 Identfkaton / Computeroutput Da für de latente Varable ken Mttelwert und kene Varanz geschätzt werden können, muss das Modell durch zwe Restrktonen dentfzert werden. Zunächst wrd, we berets aus den bnären Entschedungsmodellen bekannt, de Varanz der Störterme auf gesetzt. Im bnären Modell wurde zudem der Schwellenwert auf gesetzt. In ORM exsteren mehrere Schwellenwerte. Um das Modell zu dentfzeren kann nun (we her geschehen) z.b. der unterste Schwellenwert auf gesetzt werden. Alle anderen Schwellenwerte und de Koeffzenten nklusve der Konstanten werden dann m Modell geschätzt. Des entsprcht dem Vorgehen n LIM- DEP. Andere Programmpakete verwenden abwechende Restrktonen, um das Modell zu dentfzeren. In Stata wrd de Konstante β glech gesetzt. Dafür ergeben sch Schätzwerte für alle Schwellenwerte. Der LIMDEP Output unterschedet sch an deser Stelle, da her de erste Schwelle auf Null gesetzt wrd, dafür wrd dann de Konstante geschätzt. Des hat kene Auswrkungen auf de Koeffzenten (außer der Konstanten).

5 Handout: Mkroökonometre Ordered Response Models Domnk Hanglberger - SS 28 4 Bespel Job assgnment of new Nav recruts: Ordered Probt (Quelle: Greene 23, p. 739) Varablen: Y ENSPA: EDMA AFQT EDYRS MARR AGEAT medum sklled; hghl sklled, nuclear qualfed/ hghl sklled dumm varable ndcatng that the ndvdual entered the Nav wth an A school guarantee educatonal level of entrants mother score on the Ar Force Qualfng Test completed ears of educaton dumm varable ndcatng f entrant s marred age at tme of enlstment Tabelle Schätzergebns Ordered Probt Bsp. Nav Recruts Varable Estmate T-rato Mean of Var. Constant -4,34 ENSPA,57,7,66 EDMA,7,8 2, AFQT,39 39,9 7,2 EDYRS,9 8,7 2, MARR -,48-9,,8 AGEAT,5, 8,8 μ,79 8,8

6 Handout: Mkroökonometre Ordered Response Models Domnk Hanglberger - SS 28 Abbldung 3 Zusammenhang zwschen latenter und beobachteter Varable (Bsp. Nav Recruts) + μ μ, 79 2 Tabelle 2: Veränderung von P(m) be ener Veränderung des Famlenstands (Bsp. Nav Recruts) ˆ β x ˆ μ ˆ β x Prob (Y) Prob (Y) Prob (Y2) MARR -,8863,937,87,629,84 MARR -,463,3837,342,574,84 Change,55 -,55 -, Abbldung 4: Grafsche Veränderung von P(m) be ener Veränderung des Famlenstands (Bsp. Nav Recruts) MARR; x MARR; x μ, 79,89,4 2 /

7 Handout: Mkroökonometre Ordered Response Models Domnk Hanglberger - SS 28 An Abbldung 4 lässt sch erkennen, dass de Veränderung der Dumm Varable MARR zu ener Verschebung der Dchtefunkton nach lnks führt. Überlegen Se sch, welche Fläche der Grafk P( ),55 entsprcht. 5 Fragen Wo legen de Schwellenwerte m oben genannten Bespel? We wrkt es sch aus wenn der Proband verheratet st?