5 Gemischte Verallgemeinerte Lineare Modelle

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1 5 Gemschte Verallgemenerte Lneare Modelle Wr betrachten zunächst enge allgemene Aussagen für Gemschte Verallgemenerte Lneare Modelle. Se y der beobachtbare Zufallsvektor und u der Vektor der ncht-beobachtbaren zufällgen Effekte. Es wrd typscherwese angenommen, dass der Zufallsvektor y aus bedngt unabhänggen Elementen besteht, de jewels aus ener Vertelungen stammen, deren Dchte zur Exponentalfamle gehört, z.b. Normalvertelung, Bnomalvertelung oder Posson- Vertelung. Modellstruktur: y u f Y u(y u) unabhängg, = 1,..., n { } f Y u(y u) = exp [y γ b(γ )] /τ 2 c(y, τ) Der bedngte Erwartungswert von y steht n Bezehung zu b(γ ) durch µ = b(γ )/ γ. 5 Gemschte Verallgemenerte Lneare Modelle 45

2 Wr benutzen dann ene Transformaton deses Erwartungswerts, so dass wr en lneares Modell n festen und zufällgen Effekten erhalten: E[y u] = µ g(µ ) = x T β + zt u. De Funkton g( ) st bekannt und heßt lnk Funkton. Für de Normalvertelung st de dentsche Abbldung de lnk Funkton, für de Bnomal- Vertelung wrd häufg de logt-funkton als lnk-funkton verwendet (logstsche Regresson), für Posson- und Negatve Bnomal-Vertelung st der Logarthmus de lnk-funkton. x T st der -te Zelenvektor der Modellmatrx für de festen Effekte und β der Parametervektor der festen Effekte. z T st der -te Zelenvektor der Modellmatrx für de zufällgen Effekte und u der Vektor der zufällgen Effekte. Um das Modell vollständg zu spezfzeren, benötgen wr ene Vertelung der zufällgen Effekte: u f U (u). 5 Gemschte Verallgemenerte Lneare Modelle 46

3 Wr haben bsher de bedngte Vertelung von y spezfzert. We seht nun de margnale Vertelung von y aus? Für den Erwartungswert glt E[y ] = E[E[y u]] = E[µ ] = E[g 1 (x T β + zt u)] Deser Erwartungswert kann m Allgemenen ncht verenfacht werden. Zur Illustraton betrachten wr den Logarthmus als lnk Funkton, d. h. g(µ) = log(µ) und g 1 (x) = exp(x). Dann glt E[y ] = E[exp(x T β + zt u)] = exp(xt β)e[exp(zt u))] = exp(xt β)m u(z ). Dabe st M u (z ) de momentenerzeugende Funkton von u an der Stelle z. Nehmen wr weterhn an, dass u N (0, σ 2 u ) und jede Zele von Z hat enen enzgen Entrag 1 und der Rest snd Nullen. Dann glt M u (z ) = exp(σ 2 u ) und bzw. E[y ] = exp(x T β) exp(σ2 u /2) log E[y ] = x T β + σ2 u /2. Für Varanzen, Kovaranzen und Korrelatonen, sehe McCulloch und Searle (2001). 5 Gemschte Verallgemenerte Lneare Modelle 47

4 De Lkelhood-Funkton st dann gegeben durch L = f y u(y u)f U (u)d u, wobe de zufällgen Effekte rausntegrert werden. De ML-Schätzer müssen n der Regel nummersch bestmmt werden. Alternatv können auch condtonal ML-Schätzer berechnet werden. De Nutzung von margnalen und bedngten Modell dskuteren wr noch später. 5 Gemschte Verallgemenerte Lneare Modelle 48

5 Ene Alternatve zur ML-Schätzung betet der Ansatz der generalzed estmatng equatons (GEEs). Dabe wrd der Erwartungswert m margnalen verallgemenerten lnearen Modell als Funkton der festen Effekte dargestellt. Zum Bespel für de logstsche Regresson: logt(e[y]) = Xβ. Wenn wr de Arbetshypothese der Unabhänggket aller Elemente n y haben, dann lautet de ML-Schätzglechung für β X T y = X T E[y]. Des st ene unverzerrte Schätzglechung, denn E(X T y X T E(y)) = 0. Unter gewssen Regulartätsbedngungen ergeben de Lösungen der Schätzglechung konsstente Schätzer. 5 Gemschte Verallgemenerte Lneare Modelle 49

6 Für Longtudnaldaten mt m Indvduen lautet de Schätzglechung be bnären Daten m X y = =1 m X E[y ], =1 mt X der Modellmatrx der festen Effekte für das -te Indvduum und y der Beobachtungsvektor des -ten Indvduums. De asymptotsche Varanz der Lösung ˆβ st gegeben durch Var ( ˆβ) = ( ) 1 ( ) ( X T X X T Cov(y )X X T X ) 1 Dese Kovaranzmatrx kann konsstent geschätzt werden durch Var ( ˆβ) = ( ) 1 ( ) ( X T X X T (y Ê[y ])(y Ê[y ]) T X X T X ) 1 5 Gemschte Verallgemenerte Lneare Modelle 50

7 De Annahme der Unabhänggket kann zu neffzenten Schätzern führen und andere workng Kovaranzmatrzen können engebracht werden. De GEEs lauten dann X W y = X W E[y ] mt W 1 = Cov(y ) der workng Kovaranzmatrx für y. De Varanzformeln müssen dann entsprechend angepasst werden, sehe Dggle et al. (1994). 5 Gemschte Verallgemenerte Lneare Modelle 51

8 Für de workng Kovaranzmatrx stehen n der Regel folgende Typen zur Verfügung: 1. Independence: De workng Kovaranzmatrx st de Enhetsmatrx. De wederholten Messungen werden als unabhängg angenommen. 2. Exchangeable: De workng Kovaranzmatrx wrd auch als compound symmetry bezechnet. Her st de Korrelaton zwschen zwe Messungen an enem Indvduum mmer glech, d. h. Kor(y j, y k ) = ρ. 3. AR(1): Autoregressve Korrelatonsmatrx mt Kor(y j, y k ) = ρ k j, j k. Zetlch näher beenanderlegende Messungen snd stärker korrelert als zetlch weter ausenanderlegende Messungen. 4. Unstructured: Korrelatonsmatrx mt k(k 1)/2 Parameter, wobe k de Anzahl der wederholten Messungen st und Kor(y j, y k ) = ρ jk. Es st kene Struktur vorgegeben. De Messungen können belebg korrelert sen. 5 Gemschte Verallgemenerte Lneare Modelle 52

9 Um den Untersched zwschen der Modellerung m margnalen und m bedngten Modell darzustellen, nutzen wr en Bespel aus McCulloch und Searle (2001). Se y j = 1, falls das j-te Knd ener Frau frühgeboren wurde und y j = 0 sonst, und nehmen wr an, dass es ene erklärende Varable x j = Anzahl der alkoholschen Drnks pro Tag gbt. Im margnalen Modell wrd der margnale Erwartungswert von y j drekt, z.b. durch logstsche Regresson, an de Daten angepasst: logt(e[y j ]) = logt(p(y j = 1)) = α + βx j. Wr modelleren herbe den Logt für de Wahrschenlchket ener Frühgeburt für ene Populaton von Frauen. Wenn wr de Korrelaton be den Frauen berückschtgen müssen, können wr enen GEE Ansatz nutzen. 5 Gemschte Verallgemenerte Lneare Modelle 53

10 Der bedngte Ansatz dagegen berückschtgt enen Zufallseffekt für de Frauen und spezfzert en bedngtes Modell derart, dass glt logt(e[y j u]) = logt(p(y j = 1)) = α + βx j + u mt u dem zufällgen Fraueneffekt. Des entsprcht der Modellerung ener bedngten Wahrschenlchket ener Frühgeburt für jede Frau separat. Wenn de Frage n dem Bespel st, nwewet de Inzdenz ener Frühgeburt verrngert werden kann, wenn der durchschnttlche Alkoholkonsum ener Frau gesenkt wrd, so st das margnale Modell das adäquate Modell. Wenn man jedoch an der Frage nteressert st, we der Alkoholkonsum de ndvduelle Physologe der Frauen beenflusst, so st das bedngte Modell das geegnete Modell. Hnwes auf R Programm: BtheBgee.R 5 Gemschte Verallgemenerte Lneare Modelle 54