Multivariate Analysemethoden

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1 Multvarate Analysemethoden q-q-plot Methode zur Prüfung der Multvaraten Normalvertelung Günter Menhardt Johannes Gutenberg Unverstät Manz

2 Prüfung der NV-Annahme Vertelungsanpassung/Prüfung Prüfung der Vertelungsannahme Ausreßeranalyse: Vor der Schätzung der Parameter (m,s) für de multvarate NVwrd ene Analyse der Rohdaten auf Ausreßer vorgenommen. Effzente Tests: De NV- Annahme st mt effektven Methoden und trennscharfen Test zu prüfen, um hre Gültgket scherzustellen Korrekturen und Datentransformatonen: Ist de NV- Annahme auf den orgnalen Skalen verletzt, können Skalentransformatonen für de enzelnen Varablen des Varablenverbundes gefunden werden, mt denen de multvarate Normalverauf den transformerten Skalen glt.

3 Prüfung der NV-Annahme Prüfung der Vertelungsannahme & Outler- Identfkaton Mahalanobsdstanz D Kernkonzept der Ausreßer-Identfkaton Der Abstand ener Beobachtung vom Schwerpunkt der Vertelung wrd über de multvarate Dstanz D bestmmt. Dabe werden stets de quadrerten Dstanzen D verwendet, da dese Ch-Quadrat vertelt snd, wenn de Varablen ener multvaraten Normalvertelung entstammen. Dann defnert t 1 1 x m Σ x m mt de Inverse der Varanz- D Kovaranz Matrx S, de verallgemenerte quadrerte Dstanz m multvaraten Raum. Se heßt quadrerte Mahalanobs-Dstanz. Σ

4 Test der NV-Annahme (multvarat) Data Clearng p-dmensons Identfkaton von Ausreßern Auch m multvaraten Fall snd Ausreßer n klenen Stchproben ncht zuverlässg bestmmbar, Be N > 30 legt man de Quantle der multvaraten Normalvertelung zugrunde (c ) und elmnert de Beobachtungen, dessen quadrerte Mahalanobs-Dstanzen jensets der äußeren Quantle legen. Des sollten ncht mehr als 7%-8% sen. 0.5 N0.5 1 p, 1,, N 1 p N N N c q c p p D e p p max max max p c D [Excel-Bespel q-q-plot] Ausreßer: D c p p max

5 Test der NV-Annahme (multvarat) Q-Q Plot Methode multvarat r qq var Test über Quantlskorrelaton Nach Ausreßerberengung werden den Meßvektoren emprsche Quantle q o zugeordnet über de Rehe der Meßwerte sortert nach Mahalanobsdstanz. Mt aus den Daten geschätzten Parametern (m,s) werden für de lnearen Prozentränge erwartete Quantle q e aus der c - Vertelung bestmmt. Man trägt q o (y-achse) und q e (x-achse) gegenenander ab. Perfekte Passung legt vor, wenn de Daten auf der Wnkelhalberenden legen. Man bestmmt Antel der aufgeklärten Varanz und Korrelaton. qo qe q var q cov, o e o e D c p o qo D D q q p 1 1 q Für den Test des Korrelatonskoeffzenten verfährt man exakt we m unvaraten Fall.

6 Test der NV-Annahme (multvarat) Q-Q Plot Methode Korrelatons- Test Datenbespel (p = 4 Varablen) qo qe q q r var o o qo qe q var q cov, o e.979 observed quantle (qo) rqq rcrt(.1) mt 3 Ausreßern expected quantle (qe) c p p N = 30 p = 4 NV Test knapp m Annahmeberech, aber Ausreßer verschlechtern de Passung beträchtlch, auch n den unteren Quantlen De beden größten Ausreßer erfüllen das Krterum, aber der 3. höchste Wert st ebenfalls suspekt (hoher Intervallabstand) D

7 Test der NV-Annahme (multvarat) Q-Q Plot Methode Korrelatons- Test Datenbespel (p = 4 Varablen) qo qe q q r var o o qo qe q var q cov, o e.99 observed quantle (qo) rqq rcrt(.1) ohne 3 Ausreßer expected quantle (qe) c p p N = 7 p = 4 NV Test zegt nach Entfernung der höchsten 3 Werte (ncht nur ) nun ene gute Passung der multvaraten NV D

8 Test der NV-Annahme (multvarat) Ausresser- Kontrolle Allgemenes zur Vertelungskorrektur Ausreßerberengung sollte mmer multvarat erfolgen, da en Ausresser n ener enzelnen Varable noch ncht enen Ausreßer m Varablenverbund defnert. Das Entfernen extremer Beobachtungen ändert de Korrelatonsmatrx, daher können teratve Berengungen nötg werden. Transformatonen Skalentransformatonen Skalentransformatonen können nur unvarat erfolgen. (Kene Methode defnert ene Transformaton für den Varablenverbund) Es st ratsam ene unvarate Untersuchung systematscher Vertelungsabwechungen nach der multvaraten Ausreßerkontrolle durchzuführen, und de enzelnen Varablen mt geegneten Potenztransformatonen zu korrgeren. Snd de Randvertelungen (unvarate) alle normal, so wrd auch de multvarate Vertelung normalvertelt sen.

9 Ausresser n D Ausreßer als Dstanz vom Zentrod unvarat & multv. x multvarat aber ncht unvarat Zentrod x 1 Ausresser n D: ener unvarat & multvarat und ener multvarat

10 Ausreßer als Dstanz vom Zentrod Ausresser n D Ausresser n 4D: ener un+mult und zwe multvarat un+multvarat multvarat D Z4 Z3 Z Z1 multvarat

11 Test der NV-Annahme (unvarat) Q-Q Plot Methode Korrelatons- Test rqq rcrt( ) Krtsche Q-Q- Korrelatonen Smple Sze N Sgnfcance level Ist r qq < r crt(), wrd de Annahme der NV auf dem gewählten Level verworfen. sollte progressv gewählt sen (10%), da man ene Scherhet für de Bebehaltung wünscht.