Validierung der Software LaborValidate Testbericht

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1 Valderung der Software LaborValdate Tetbercht De Software LaborValdate dent dazu Labormethoden zu Valderen. Dazu mu nachgeween en, da de engeetzten Funktonen dokumentert und nachvollzehbar nd. De Dokumentaton gewährleten wr enmal durch ene umfaende Onlne-Hlfe. Al Referenz beten wr dazu da Buch "Stattk für Anwender" von Gottwald VCH -Verlag an. De Rchtgket der engeetzten Funktonen und Durchführung der Berechnungen nd n velen, monatelangen Tet vom Inttut für Ernährung- und Lebenmttelwenchaft der Unvertät Bonn, AK. Prof. Bünng-Pfaue nachgeween worden. Der auführlche Tetbercht t nachfolgend aufgeführt. Stand 0/004

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3 . Enführung.... Vorgehenwee Standardauwertung: Arthmetcher Mttelwert Mathematche Grundlagen Berechnung de arthmetchen Mttelwerte mttel LaborValdate Berechnung de arthmetchen Mttelwerte mttel Ecel Fazt arthmetcher Mttelwert Varanz Mathematche Grundlagen Berechnung der Varanz mttel LaborValdate Berechnung der Varanz mttel Ecel Fazt Varanz Standardabwechung Mathematche Grundlagen Berechnung der Standardabwechung mttel LaborValdate Berechnung der Standardabwechung mttel Ecel Fazt Standardabwechung Relatve Standardabwechung Mathematche Grundlagen Berechnung der relatven Standardabwechung mttel LaborValdate Berechnung der relatven Standardabwechung mttel Ecel Fazt relatve Standardabwechung Spannwete Mathematche Grundlagen Berechnung der Spannwete mttel LaborValdate Berechnung der Spannwete mttel Ecel Fazt Spannwete Streuntervall der Enzelwerte Mathematche Grundlagen Berechnung de Streuntervall der Enzelwerte mttel LaborValdate Berechnung de Streuntervall der Enzelwerte mttel Ecel Fazt Streuntervall der Enzelwerte Wederholbarket und Verglechbarket:...4 I

4 4.. Berechnung der Wederhol- und Verglechgrenze Mathematche Grundlagen Berechnung der Wederhol- und Verglechgrenze mttel LaborValdate Berechnung der Wederhol- und Verglechgrenze mttel Ecel Fazt Berechnung der Wederhol- und Verglechgrenze Verglech von Mttelwerten unter Wederholbedngungen Mathematche Grundlagen Verglech von Mttelwerten unter Wederholbedngungen mttel LaborValdate Verglech von Mttelwerten unter Wederholbedngungen mttel Ecel Fazt Verglech von Mttelwerten unter Wederholbedngungen Verglech von Mttelwerten unter Verglechbedngungen Mathematche Grundlagen Verglech von Mttelwerten unter Verglechbedngungen mttel LaborValdate Verglech von Mttelwerten unter Verglechbedngungen mttel Ecel Fazt Verglech von Mttelwerten unter Verglechbedngungen Aureßertet: nach Grubb Mathematche Grundlagen Aureßertet nach Grubb mttel LaborValdate Aureßertet nach Grubb mttel Ecel Fazt Aureßertet nach Grubb nach Don Mathematche Grundlagen Aureßertet nach Don mttel LaborValdate Aureßertet nach Don mttel Ecel Fazt Aureßertet nach Don nach almov Mathematche Grundlagen Aureßertet nach almov mttel LaborValdate Aureßertet nach almov mttel Ecel Fazt Aureßertet nach almov Trendtet:...34 II

5 6.. nach eumann Mathematche Grundlagen Trendtet nach eumann mttel LaborValdate Trendtet nach eumann mttel Ecel Fazt Aureßertet nach almov t-tet: Enetger Verglech ene Mttelwerte mt enem Sollwert Mathematche Grundlagen Enetger Verglech ene Mttelwerte mt enem Sollwert mttel LaborValdate Enetger Verglech ene Mttelwerte mt enem Sollwert mttel Ecel Fazt enetger Verglech ene Mttelwerte mt enem Sollwert Zweetger Verglech ene Mttelwerte mt enem Sollwert Mathematche Grundlagen Zweetger Verglech ene Mttelwerte mt enem Sollwert mttel LaborValdate Zweetger Verglech ene Mttelwerte mt enem Sollwert mttel Ecel Fazt Zweetger Verglech ene Mttelwerte mt enem Sollwert Mttelwert t-tet Mathematche Grundlagen Mttelwert t-tet mttel LaborValdate Mttelwert t-tet mttel Ecel Fazt Mttelwert t-tet Vertrauenberech für den Mttelwert Mathematche Grundlagen Vertrauenberech für den Mttelwert mttel LaborValdate Vertrauenberech für den Mttelwert mttel Ecel Fazt Vertrauenberech für den Mttelwert Dfferenzen t-tet Mathematche Grundlagen Dfferenzen t-tet mttel LaborValdate Dfferenzen t-tet mttel Ecel Fazt Dfferenzen t-tet Regreon:...49 III

6 8.. Lneare Regreon Mathematche Grundlagen Lneare Regreon Rettandardabwechung Verfahrentandardabwechung relatve Verfahrentandardabwechung Lneare Regreon mttel LaborValdate Lneare Regreon mttel Ecel Fazt lneare Regreon Quadratche Regreon: Mathematche Grundlagen Quadratche Regreon Rettandardabwechung Verfahrentandardabwechung relatve Verfahrentandardabwechung Quadratche Regreon mttel LaborValdate Quadratche Regreon mttel Ecel Fazt quadratche Regreon Aureßertet n Kalbrerdaten nach Huber Mathematche Grundlagen Aureßertet n Kalbrerdaten nach Huber mttel LaborValdate Aureßertet n Kalbrerdaten nach Huber mttel Ecel Fazt Aureßertet n Kalbrerdaten nach Huber Anpaungtet nach Mandel Mathematche Grundlagen Anpaungtet nach Mandel mttel LaborValdate Anpaungtet nach Mandel mttel Ecel Fazt Anpaungtet nach Mandel Redualanale Mathematche Grundlagen Redualanale mttel LaborValdate Redualanale mttel Ecel Fazt Redualanale Regreongrafken...79 IV

7 8.6.. Mathematche Grundlagen Regreongrafken mttel LaborValdate Regreongrafken mttel Ecel Fazt Regreongrafken Daten mt lnearer Regreon berechnen Mathematche Grundlagen Daten mt lnearer Regreon berechnen mttel LaborValdate Daten mt lnearer Regreon berechnen mttel Ecel Fazt Daten mt lnearer Regreon berechnen Daten mt quadratcher Regreon berechnen Mathematche Grundlagen Daten mt quadratcher Regreon berechnen mttel LaborValdate Daten mt quadratcher Regreon berechnen mttel Ecel Fazt Daten mt quadratcher Regreon berechnen achwe-, Erfaung- und Betmmunggrenzen: DI Mathematche Grundlagen Krtcher Wert der Megröße k (nach DI 3645): achwegrenze G (nach DI 3645): Vertrauenbereche der Grenzwerte (nach DI 3645) Erfaunggrenze EG (nach DI 3645): Betmmunggrenze BG (nach DI 3645): DI 3645 mttel LaborValdate DI 3645 mttel Ecel Fazt DI DFG-Konzept Mathematche Grundlagen Oberer Durchtoßpunkt OB (nach DFG-Konzept): Unterer Durchtoßpunkt U (nach DFG-Konzept): Defnton der achwegrenze G (nach DFG-Konzept): Defnton der Betmmunggrenze (nach DFG-Konzept): DFG-Konzept mttel LaborValdate...0 V

8 DFG-Konzept mttel Ecel Fazt DFG-Konzept ormalvertelung: Shapro-Wlk-Tet Mathematche Grundlagen Shapro-Wlk-Tet mttel LaborValdate Shapro-Wlk-Tet mttel Ecel Fazt Shapro-Wlk-Tet nach Davd Mathematche Grundlagen Tet auf ormalvertelung nach Davd mttel LaborValdate Tet auf ormalvertelung nach Davd mttel Ecel Fazt Tet auf ormalvertelung nach Davd F-Tet: F-Tet Mathematche Grundlagen F-Tet mttel LaborValdate F-Tet mttel Ecel Fazt F-Tet Varanzenhomogentät Mathematche Grundlagen Varanzenhomogentät mttel LaborValdate Varanzenhomogentät mttel Ecel Fazt Varanzenhomogentät...4. Anhang rmtabelle für Aureßertet nach Grubb Sgnfkanzchranken für Aureßertet nach Don Tabelle für den Aureßertet nach almov Tabelle für den Trendtet nach eumann Enetge t-tabelle Zweetge t-tabelle Wa-Tabelle für den Shapro-Wlk-Tet W-Tabelle für den Shapro-Wlk-Tet Tabelle nach Davd...7 VI

9 .0. F-Tet Tabellen P 95 % P 99% P 99,9%...9 VII

10 . Enführung Deer Bercht dokumentert enen umfangrechen Tet der LaborValdate Software. In deem Tet wurde jede Funkton der LaborValdate Software mt eemplarchen Werten berechnet und auf hre Rchtgket überprüft. Se haben damt de Möglchket, de Arbetwee der enzelnen Funktonen anhand konkreter Bepele nachzuvollzehen. Auf deer Grundlage wrd e Ihnen erlechtert, de Rchtgket Ihrer egenen Ergebne zu überprüfen. Der Tetbercht dokumentert de GLP - Konformtät der Software. Allerdng wurde bewut auf ene völlge GLP - Konformtät verzchtet, wel e mt deer Software möglch t, de berechneten Werte nachträglch zu ändern. In der Vergangenhet haben ch Programme, be denen de nachträglche Änderung von berechneten Wetten unmöglch t, haben ch n der Laborpra al äußert umtändlch erween. De Opton, Werten nachträglch ändern zu können, brgt ene Velzahl von Vortelen (Her nur enge Vortele): a. Se können de Ergebne umformateren und Ihren Wünchen entprechend anpaen. b. Se können de Urdaten verändern und de Berechnung mt den geänderten Daten durchführen. Anchleßend können Se de Veränderungen der Ergebne durch de geänderten Urdaten dartellen. c. Se können Ihre Ergebne n andere Programme z.b. MS-Word drekt über de Zwchenablage mporteren. E wrd ch be dem Tetbercht an der Menütruktur der LaborValdate-Software orentert.. Vorgehenwee De Funktonen, de jewel n den mathematchen Grundlagen enthalten nd, wurden der Lteratur entnommen. Somt wurden de Funktonen elbt al rchtg angeehen.

11 In deem Tetbercht wurden dee Funktonen n MS-Ecel portert. Anchleßend wurden Bepeldaten gewählt. Dee Bepeldaten wurden mt MS-Ecel und der LaborValdate-Software verrechnet. De MS-Ecel Ergebne wurden dann mt den Ergebnen der LaborValdate-Software verglchen. 3. Standardauwertung: 3.. Arthmetcher Mttelwert 3... Mathematche Grundlagen Der arthmetche Mttelwert berechnet ch nach folgender Formel: arthmetcher Mttelwert Anzahl der Mewerte Enzelwerte Zur Berechnung werden alle Enzelwerte ( ) aufummert ( ) und durch de Anzahl der Mewerte ( ) dvdert. Der Mttelwert wrd gewöhnlch mt ener Stelle mehr angegeben, al der ungenauete Mewert Stellen betzt Berechnung de arthmetchen Mttelwerte mttel LaborValdate Der arthmetche Mttelwert der Werte: 84,3 85,34 83,6 06,47 0,39

12 0,38 0,635 08,344 08,906 06,4 05,99 0,763 4,665 5,464 5,585 09,7,66,5 au Spalte A beträgt: 04, Berechnung de arthmetchen Mttelwerte mttel Ecel 84,3 85,34 83,6 06,47 0,39 0,38 0,635 08,344 08,906 06,4 05,99 0,763 4,665 5,464 5,585 09,7 3

13 ,66,5 04,637 MITTELWERT(A:A8) Fazt arthmetcher Mttelwert Bede Berechnungen lefern enen arthmetchen Mttelwert von 04,637. Da Programm LaborValdate lefert für den arthmetchen Mttelwert enen korrekten Wert. 3.. Varanz 3... Mathematche Grundlagen De Varanz ( ) berechnet ch nach folgender Formel: Varanz der Mewerte arthmetcher Mttelwert Anzahl der Mewerte Enzelwerte Zur Berechnung der Varanz ( ) werden de Abwechungen jede Werte ener [ ] Datenrehe vom Mttelwert ( ) quadrert und aufummert ( ) durch de Anzahl der Frehetgrade( ). und 3... Berechnung der Varanz mttel LaborValdate De Varanz der Werte: 84,3 4

14 85,34 83,6 06,47 0,39 0,38 0,635 08,344 08,906 06,4 05,99 0,763 4,665 5,464 5,585 09,7,66,5 au Spalte A beträgt: 05, Berechnung der Varanz mttel Ecel 84,3 85,34 83,6 06,47 0,39 0,38 0,635 08,344 08,906 06,4 05,99 0,763 4,665 5,464 5,585 09,7 5

15 ,66,5 05,5940 VARIAZ(A:A8) Fazt Varanz Bede Berechnungen lefern ene Varanz von 05,5940. Da Programm LaborValdate lefert für de Varanz enen korrekten Wert Standardabwechung Mathematche Grundlagen De Standardabwechung berechnet ch nach folgender Formel: ( ) Standardabwechung arthmetcher Mttelwert Anzahl der Mewerte Enzelwerte De Standardabwechung t de Quadratwurzel der Varanz Berechnung der Standardabwechung mttel LaborValdate De Standardabwechung der Werte: 84,3 85,34 83,6 06,47 0,39 6

16 0,38 0,635 08,344 08,906 06,4 05,99 0,763 4,665 5,464 5,585 09,7,66,5 au Spalte A beträgt: 0, Berechnung der Standardabwechung mttel Ecel 84,3 85,34 83,6 06,47 0,39 0,38 0,635 08,344 08,906 06,4 05,99 0,763 4,665 5,464 5,585 09,7,66,5 7

17 0,759 STABW(A:A8) Fazt Standardabwechung Bede Berechnungen lefern ene Standardabwechung von 0,759. Da Programm LaborValdate lefert für de Standardabwechung enen korrekten Wert Relatve Standardabwechung Mathematche Grundlagen De relatve Standardabwechung V berechnet ch nach folgender Formel: V *00% Standardabwechung arthmetcher Mttelwert Berechnung der relatven Standardabwechung mttel LaborValdate De relatve Standardabwechung der Werte: 84,3 85,34 83,6 06,47 0,39 0,38 0,635 08,344 08,906 06,4 05,99 0,763 8

18 4,665 5,464 5,585 09,7,66,5 De relatve Standardabwechung der Spalte A beträgt: 5,05 % Berechnung der relatven Standardabwechung mttel Ecel 84,3 85,34 83,6 06,47 0,39 0,38 0,635 08,344 08,906 06,4 05,99 0,763 4,665 5,464 5,585 09,7,66,5 5,05% STABW(A:A8)/MITTELWERT(A:A8) Fazt relatve Standardabwechung Bede Berechnungen lefern ene relatve Standardabwechung von 5,05. 9

19 Da Programm LaborValdate lefert für de relatve Standardabwechung enen korrekten Wert Spannwete Mathematche Grundlagen De Spannwete R berechnet ch nach folgender Formel: R größter Wert klenterwert R Spannwete Berechnung der Spannwete mttel LaborValdate De Spannwete der Werte: 84,3 85,34 83,6 06,47 0,39 0,38 0,635 08,344 08,906 06,4 05,99 0,763 4,665 5,464 5,585 09,7,66,5 Der Mnmalwert beträgt: 83,60 0

20 Der Mamalwert beträgt: 5,5850 Damt beträgt de Spannwete der obgen Werte au Spalte A: 3, Berechnung der Spannwete mttel Ecel 84,3 85,34 83,6 06,47 0,39 0,38 0,635 08,344 08,906 06,4 05,99 0,763 4,665 5,464 5,585 09,7,66,5 83,60 MI(A:A8) 5,5850 MAX(A:A8) 3,330 A-A Fazt Spannwete Bede Berechnungen lefern ene Spannwete von 3,330. Da Programm LaborValdate lefert für de Spannwete enen korrekten Wert Streuntervall der Enzelwerte Mathematche Grundlagen Da Streuntervall berechnet ch nach folgender Formel:

21 Streu nt ervall größte Dfferenz zwchen und arthmetcher Mttelwert Enzelwerte Berechnung de Streuntervall der Enzelwerte mttel LaborValdate Da Streuntervall der Werte: 84,3 85,34 83,6 06,47 0,39 0,38 0,635 08,344 08,906 06,4 05,99 0,763 4,665 5,464 5,585 09,7,66,5 arthmetche Mttelwert: 04,637 Der Wert mt der mamalen Abwechung vom arthmetchen Mttelwert beträgt: 83,60 Damt beträgt da Streuntervall der obgen Werte au Spalte A:,375

22 Berechnung de Streuntervall der Enzelwerte mttel Ecel 84,3 0,37 ABS(A-$A$0) 85,34 9,95 ABS(A-$A$0) 83,6,375 ABS(A3-$A$0) 06,47,6099 ABS(A4-$A$0) 0,39,498 ABS(A5-$A$0) 0,38 3,499 ABS(A6-$A$0) 0,635 5,9979 ABS(A7-$A$0) 08,344 3,7069 ABS(A8-$A$0) 08,906 4,689 ABS(A9-$A$0) 06,4,5869 ABS(A0-$A$0) 05,99,3539 ABS(A-$A$0) 0,763,874 ABS(A-$A$0) 4,665 0,079 ABS(A3-$A$0) 5,464 0,869 ABS(A4-$A$0) 5,585 0,9479 ABS(A5-$A$0) 09,7 4,6339 ABS(A6-$A$0),66 7,09 ABS(A7-$A$0),5 6,8849 ABS(A8-$A$0) 04,637 MITTELWERT(A:A8) 83,60 MITTELWERT(A:A8)-MAX(B:B8),375 ab(a-a0) Fazt Streuntervall der Enzelwerte Bede Berechnungen lefern ene Spannwete von,375. Da Programm LaborValdate lefert für de Spannwete enen korrekten Wert. 3

23 4. Wederholbarket und Verglechbarket: 4.. Berechnung der Wederhol- und Verglechgrenze 4... Mathematche Grundlagen De Berechnung der Standardabwechung unter Wederholbedngungen r erfolgt mt folgender Formel: r j j [ ( j ) * j ] k Varanz der Spalte Pr obenanzahl der Spalte k Zahl der augewählten Spalten Geamtzahl der Meergebne n allen Spalten De gegenüber der Wederholtandardabwechung r erhöhte Verglechtandardabwechung R unter Verglechbedngungen wrd berechnet nach folgender Glechung: k Geamtzahlder Meergebne n allen Spalten R j j G * k Varanz der Spalte j * j Pr obenanzahlder Spalte Zahl der augewählten Spalten Mttelwert der Spalte j Mttelwert aller Meergebne j [ ( ) ] j j * G * [ ( j ) * j ] j k k j + * k j j * j k De Wederholgrenze be P 95% r 95% wrd mt folgender Glechung berechnet: r 95% r,8* r Wederholtandardabwechung De Verglechgrenze be P 95% R 95% wrd mt folgender Formel berechnet: 4

24 R 95% R,8* R Verglechtandardabwechung 4... Berechnung der Wederhol- und Verglechgrenze mttel LaborValdate Berechnung von Wederhol- und Verglechgrenze Grunddaten: Spalte: A 96,4 95,99 94,793 84,06 83,945 93,83 08,65 0,346 94,37 05,869 00,957 03,48 0,79 0,67,73 6,5 7,4 0,597 Spalte: B 84,3 85,34 83,6 06,47 5

25 0,39 0,38 0,635 08,344 08,906 06,4 05,99 0,763 4,665 5,464 5,585 09,7,66,5 Spalte: C 78,4 70,736 66,5 340, ,84 335,94 0,608 95,336 96,035 87,64 93,434 99,69 99,8 0,55 9,43 79,948 85,76 78,9 6

26 Anzahl der Spalten: 3 Geamtzahl der Meproben: 54 Berechnungen: Mttelwert aller Medaten: 06,636 Mttelwert der Spalte A: 0,848 Mttelwert der Spalte B: 04,637 Mttelwert der Spalte C: 3,4566 Wederholtandardabwechung: 34,795 Verglechtandardabwechung: 34,3533 Wederholgrenze be P 95%: 97,490 Verglechgrenze be P 95%: 96, Berechnung der Wederhol- und Verglechgrenze mttel Ecel 96,4 84,3 78,4 95,99 85,34 70,736 94,793 83,6 66,5 84,06 06,47 340,796 83,945 0,39 339,84 93,83 0,38 335,94 08,65 0,635 0,608 0,346 08,344 95,336 94,37 08,906 96,035 05,869 06,4 87,64 00,957 05,99 93,434 03,48 0,763 99,69 0,79 4,665 99,8 0,67 5,464 0,55,73 5,585 9,43 6,5 09,7 79,948 7,4,66 85,76 0,597,5 78,9 7

27 8 06,63667 Mttelwert aller Spalten 0, ,637 3,4566 Mttelwert der Spalten 97,087 05, ,7490 Varanz der Spalten 8,0000 8,0000 8,0000 Probenanzahl der Spalten 34, , ,0000 Probenanzahl der Spalten² 3, , , ,4435 7, , j²/ 65, , ,7330 (j-)*sj² 34,795 8, ,844 0,57 34,353 j j k * ( G ) j ) ( * G j j [ ] ) * ( k j G j j ( ) [ ] k j j j * ( ) [ ] k j j j * [ ] ( ) [ ] k k k k k j j j j j j j j G j j j j + * * * * ) * ( * *

28 r 95% 97,490 R 95% 96, Fazt Berechnung der Wederhol- und Verglechgrenze Bede Berechnungen lefern: Wederholtandardabwechung: 34,795 Verglechtandardabwechung: 34,3533 Wederholgrenze be P 95%: 97,490 Verglechgrenze be P 95%: 96,89 Da Programm LaborValdate lefert de für de Funktonen erwarteten Funktonergebne. 4.. Verglech von Mttelwerten unter Wederholbedngungen 4... Mathematche Grundlagen Werden n enem Labor zwe Seren von Unteruchungen unter Wederholbedngungen durchgeführt, wobe ch n der erten Sere mt n Betmmungen der Mttelwert und n der zweten Sere mt n Betmmungen der Mttelwert ergbt, erhält man al krtche Dfferenz: CD r + n n It der Wert größer al der Wert r n + n, können de Enzelwerte ncht zu enem gemenamen Mttelwert zuammen gefat werden. 9

29 4... Verglech von Mttelwerten unter Wederholbedngungen mttel LaborValdate Verglech von Mttelwerten unter Wederholbedngungen Spalte: A 84,3 85,34 83,6 06,47 0,39 0,38 0,635 08,344 08,906 06,4 05,99 0,763 4,665 5,464 5,585 09,7,66,5 Spalte: B 73,405 74,93 76,365 78,45 8,64 78,09 68,45 70,5 0

30 7,08 70,79 74,33 67,33 34,795.8 * r Mttelwert von 04,637 mt n 8 Betmmungen Mttelwert von 73,73 mt n Betmmungen Der Wert von - 30,939 CD 9,686 Da 30,939 > 9,686 können de Enzelwerte ncht zu enem gemenamen Mttelwert zuammen gefat werden Verglech von Mttelwerten unter Wederholbedngungen mttel Ecel 84,3 73,405 85,34 74,93 83,6 76,365 06,47 78,45 0,39 8,64 0,38 78,09 0,635 68,45 08,344 70,5 08,906 7,08 06,4 70,79 05,99 74,33 0,763 67,33 4,665 5,464

31 5,585 09,7,66,5 34,795 r Mttelwerte 04,637 73,73 Anzahl 8 30,939 9,686 r * n + n Fazt Verglech von Mttelwerten unter Wederholbedngungen Bede Berechnungen lefern: - : 30,939 CD: 9,686 Da Programm LaborValdate lefert de für de Funktonen erwarteten Funktonergebne.

32 4.3. Verglech von Mttelwerten unter Verglechbedngungen Mathematche Grundlagen Werden n enem Labor unter Wederholbedngungen n Betmmungen (Mttelwert ) und n enem anderen Labor ebenfall unter Wederholbedngungen n Betmmungen durchgeführt (Mttelwert ), o erhält man al krtche Dfferenz: CD R r n n It der Wert größer al der Wert R r n n, können de Enzelwerte ncht zu enem gemenamen Mttelwert zuammen gefat werden Verglech von Mttelwerten unter Verglechbedngungen mttel LaborValdate Verglech von Mttelwerten unter Verglechbedngungen Spalte: A 84,3 85,34 83,6 06,47 0,39 0,38 0,635 08,344 08,906 06,4 05,99 0,763 4,665 3

33 5,464 5,585 09,7,66,5 Spalte: B 73,405 74,93 76,365 78,45 8,64 78,09 68,45 70,5 7,08 70,79 74,33 67,33 34,795.8 * r 34,353.8 * R Mttelwert von 04,637 mt n 8 Betmmungen Mttelwert von 73,73 mt n Betmmungen Der Wert von - 30,939 CD 7,37 Da 30,939 > 7,37 können de Enzelwerte ncht zu enem gemenamen Mttelwert zuammen gefat werden 4

34 Verglech von Mttelwerten unter Verglechbedngungen mttel Ecel 84,3 73,405 85,34 74,93 83,6 76,365 06,47 78,45 0,39 8,64 0,38 78,09 0,635 68,45 08,344 70,5 08,906 7,08 06,4 70,79 05,99 74,33 0,763 67,33 4,665 5,464 5,585 09,7,66,5 34,795 r 34,353 R Mttelwerte 04,637 73,73 Anzahl 8 30,939 7,37 R r * n n 5

35 Fazt Verglech von Mttelwerten unter Verglechbedngungen Bede Berechnungen lefern: - : 30,939 CD: 7,37 Da Programm LaborValdate lefert de für de Funktonen erwarteten Funktonergebne. 5. Aureßertet: 5.. nach Grubb 5... Mathematche Grundlagen Der Tet nach Grubb wrd von der DI vorgechlagen, wenn de Datenmenge mehr al 30 beträgt. ach Menung von W.Gottwald (999) Stattk für Anwender VCH, Wenhem t der Grubb-Tet aurechend charf und damt mehr oder wenger unverell enzuetzen, auch wenn de Datenmenge klener al 30 t. Der Grubb-Tet berechnet ch nach folgenden Formeln: Für den klenten Wert glt: PG Für den größten Wert glt: PG Standardabwechung arthmetcher Mttelwert Al erte werden alle Werte der Datenrehe nach hrer Größe ortert und dann au allen Werten (enchleßlch de vermentlchen Aureßer) der Mttelwert und de 6

36 Standardabwechung berechnet. Mt obgen Glechungen wrd vom klenten und vom größten Wert der Datenrehe de Prüfgröße PG de Grubb-Tet berechnet. De beden Prüfgrößen PG (klenter Wert) und PG (größter Wert) werden nun mt enem Wert au der rm-tabelle (ehe Anhang) verglchen. Der Tabellenwert au der rm-tabelle varert je nach tattcher Scherhet (P 90%, 95% oder 99%) und der Anzahl der Meungen. Bewertung für den Grubb-Tet: It de Prüfgröße PG größer al der Tabellenwert au der rm-tabelle, o handelt e ch nach Grubb um enen gnfkanten Aureßer. Be potvem Befund t der betreffende Wert au der Merehe zu elmneren und der Mttelwert owe de Standardabwechung mt neuer Probenanzahl erneut zu berechnen. Danach t mt dem jetzt größten und klenten Wert wederum der Aureßertet durchzuführen Aureßertet nach Grubb mttel LaborValdate Grubbtet für Spalte E Bezugdaten: Mttelwert: 358,650 Standardabwechung:,5008 Anzahl der Datenätze: 8 Auwertung für den größten Wert: 7

37 De Prüfgröße,064 t größer/glech al der Tabellenwert,03, alo t der Wert 384 gnfkant en Aureßer mt ener tattchen Scherhet von 95% Auwertung für den klenten Wert: De Prüfgröße,008 t klener al der Tabellenwert,03, alo t der Wert 347 gnfkant ken Aureßer mt ener tattchen Scherhet von 95% Aureßertet nach Grubb mttel Ecel ,650 Mttelwert,5008 Standardabwechung 384 Ma 347 Mn,008 PG,064 PG,03 (P95% nach Grubb, 8) PG t kene Aureßer nach Grubb PG t en Aureßer nach Grubb Fazt Aureßertet nach Grubb Bede Berechnungen lefern: Mttelwert: 358,650 Standardabwechung:,5008 8

38 PG :,008 PG :,064 (P95% nach Grubb, 8):,03 Da Programm LaborValdate lefert de für de Funktonen erwarteten Funktonergebne. 5.. nach Don 5... Mathematche Grundlagen Der Aureßertet nach Don wrd von der DI empfohlen, wenn de Stchprobenanzahl wenger al 30 beträgt. Je nach Umfang der Stchprobe werden verchedene Formeln (ehe unten) und damt zwe Prüfwerte PW ( nach oben und nach unten ) berechnet. Der Prüfwert PW nach unten überprüft den klenten Wert, der Prüfwert PW nach oben überprüft den größten Wert n der geordneten Zahlenrehe. Bede Prüfwerte nd mt ener von Don vorgegebenen, tabellarchen tattchen Scherhet (ehe Anhang) zu verglechen. Überchretet der Prüfwert de Sgnfkanzchranke, handelt e ch nach Don um enen gnfkanten Aureßer. Der betreffende Wert mu dann au der Datenrehe elmnert werden. Für Stchprobenanzahl 3 b 7 gelten folgende Formeln: Prüfwert nach unten Prüfwert nach oben PW PW Für Stchprobenanzahl 8 b 0 gelten folgende Formeln: Prüfwert nach unten Prüfwert nach oben PW PW Für Stchprobenanzahl b 3 gelten folgende Formeln: Prüfwert nach unten Prüfwert nach oben 9

39 PW 3 PW Für Stchprobenanzahl 4 b 9 gelten folgende Formeln: Prüfwert nach unten Prüfwert nach oben PW 3 PW 3 nedrgter Mewert zwetnedrgter Mewert drttnedrgter 3 höchter Mewert Mewert zwethöchter Mewert drtthöchter Mewert 5... Aureßertet nach Don mttel LaborValdate Dontet für Spalte E Bezugdaten: Anzahl der Datenätze: 8 Betrachtung de größten Werte: De Prüfgröße 0,606 t größer/glech al der Tabellenwert 0,554, alo t der Wert 384 gnfkant en Aureßer 30

40 mt ener tattchen Scherhet von 95%. Betrachtung de klenten Werte: De Prüfgröße 0,353 t klener al der Tabellenwert 0,554, alo t der Wert 347 gnfkant ken Aureßer mt ener tattchen Scherhet von 95% Aureßertet nach Don mttel Ecel X 364 X X 35 X 0,353 PW unten 0,606 PW oben 0,554 Sgnfkanzchranke au Tabelle PW unten t kene Aureßer nach Don PW oben t ene Aureßer nach Don Fazt Aureßertet nach Don Bede Berechnungen lefern: PW unten : 0,353 PW oben : 0,606 Sgnfkanzchranke au Tabelle (P95%): 0,554 3

41 Da Programm LaborValdate lefert de für de Funktonen erwarteten Funktonergebne nach almov Mathematche Grundlagen Bem Aureßertet nach almov müen mndeten dre Daten ( > ) vorlegen. De Kontrolle erfolgt auf den klenten und den größten Wert. Anchleßend wrd de Prüfgröße PG nach almov berechnet und mt enem Tabellenwert (ehe Anhang) verglchen. It der Prüfwert klener al der Tabellenwert, legt nach almov ken Aureßer vor. De Prüfgröße nach almov berechnet ch nach folgender Formel: PG * * * aureßerverdächtgerwert arthmetcher Mttelwert Standardabwechung Anzah lder Stchprben Aureßertet nach almov mttel LaborValdate Aureßertet nach almov für Spalte E Bezugdaten:

42 384 Aureßertet nach almov für Spalte E mt ener tatchen Scherhet 95% Anzahl der Datenätze: 8 Arthmetcher Mttelwert: 358,650 Standardabwechung:,5008 Folgende Werte nd al Aureßer fetgetellt worden: Aureßertet nach almov mttel Ecel 355 0,3370 ken Aureßer 359 0,0349 ken Aureßer 35 0,7088 ken Aureßer 364 0,4996 ken Aureßer 357 0,5 ken Aureßer 35 0,658 ken Aureßer 347,0806 ken Aureßer 384,3587 Aureßer 358,650 Mttelwert,5008 Standardabwechung 8 Anzahl (),8700 Tabellenwert (f-, P95%) Fazt Aureßertet nach almov Bede Berechnungen lefern: Mttelwert: 358,650 Standardabwechung:,5008 Al Aureßer haben bede Berechnungen 384 angegeben. Tabellenwert (f-, P95%):,8700 Da Programm LaborValdate lefert de für de Funktonen erwarteten Funktonergebne. 33

43 6. Trendtet: 6.. nach eumann 6... Mathematche Grundlagen Bem Trendtet nach eumann werden zunächt de Dfferenzen von zwe benachbarten Meungen ener Merehe quadrert und alle Quadrate auf ummert. De Summe der Quadrate wrd durch den Frehetgrad f dvdert. ( ) ( + ) Al nächte wrd de Varanz der Merehe berechnet. Der Varanz der Rehe dvdert und ergbt de Prüfgröße PG: -Wert wrd durch de PG Fat man de Glechung de PG drekt berechnet werden. PG ( ( + ) ) ( ) ( ) ( + ) und de der Varanz zuammen kann De Prüfgröße PG wrd mt ener Sgnfkanzchranke nach eumann verglchen. It de Prüfgröße PG klener/glech al de Sgnfkanzchranke legt en Trend vor. Wenn de Prüfgröße PG größer al de Sgnfkanzchranke t legt ken Trend n den Daten vor Trendtet nach eumann mttel LaborValdate Trendtet nach eumann für Spalte H Bezugdaten: 34

44 Trendtet nach eumann für Spalte H be 95% Anzahl der Datenätze: 8 Standardabwechung: 8,0534 Varanz: 64,857 Wel PG > t(p,f);,495 > 0,985, legt ken Trend n den augewählten Daten vor Trendtet nach eumann mttel Ecel ,857 Varanz 8,0534 Standardabwechung,495 PG Tabellenwert (8, 0,985 P95%) Fazt Aureßertet nach almov Bede Berechnungen lefern: Varanz: 64,857 35

45 Standardabwechung: 8,0534 PG:,495 Tabellenwert (8, P95%): 0,985 Da Programm LaborValdate lefert de für de Funktonen erwarteten Funktonergebne. 7. t-tet: 7.. Enetger Verglech ene Mttelwerte mt enem Sollwert 7... Mathematche Grundlagen Der folgende Tet deckt auf, ob zwchen dem Mttelwert von Analenergebnen und enem vorgegebenen Sollwert en gnfkanter Unterched beteht. Man benötgt de Zahl der Enzelmeungen (mu größer oder glech en), den Mttelwert, de Standardabwechung und den Sollwert. De Daten ollen aureßerfre en. E wrd en Prüfgröße PG berechnet und mt von f abhänggen Werten au der t-tabelle verglchen. PG * arthmetcher Mttelwert Standardabwechung Sollwert Anzahl der Enzelmeungen It de Prüfgröße klener/glech dem Tabellenwert der enetgen t-tet-tabelle (ehe Anhang) t ken Unterched zwchen dem Sollwert und dem Mttelwert von Analenergebnen fettellbar. It de Prüfgröße größer al der Tabellenwert der enetgen t-tet-tabelle t en Unterched zwchen dem Sollwert und dem Mttelwert von Analenergebnen vorhanden. 36

46 7... Enetger Verglech ene Mttelwerte mt enem Sollwert mttel LaborValdate Enetger T-Tet für de Spalte I Bezugdaten:,6,98,0,09 Enetger T-Tet für de Spalte I Anzahl der Datenätze: 4 Mttelwert:,0600 Standardabwechung: 0,08 Sollwert:,0000 Wel PG < t(p,f);,477 <,3500, pat der Sollwert zu den augewählten Daten Enetger Verglech ene Mttelwerte mt enem Sollwert mttel Ecel,6,98,0,09,00 Sollwert 4 Anzahl,0600 Mttelwert 0,08 Standardabwechung,477 PG Enetg 37

47 ,35 (f-, P95%) Fazt enetger Verglech ene Mttelwerte mt enem Sollwert Bede Berechnungen lefern: Anzahl: 4 Arthmetcher Mttelwert:,0600 Standardabwechung: 0,08 PG:,477 Tabellenwert enetg (f-, P95%):,35 Da Programm LaborValdate lefert de für de Funktonen erwarteten Funktonergebne. 7.. Zweetger Verglech ene Mttelwerte mt enem Sollwert 7... Mathematche Grundlagen Der folgende Tet deckt auf, ob zwchen dem Mttelwert von Analenergebnen und enem vorgegebenen Sollwert en Unterched beteht oder ncht. De Daten ollen aureßerfre en. De Prüfgröße PG berechnet ch mt folgender Formel: PG * arthmetcher Mttelwert Standardabwechung Sollwert Anzahl der Enzelmeungen De Prüfgröße PG wrd mt den Tabellenwerten der zweetgen verglchen. E gelten folgende Grenzen: 38

48 a. PG t klener al der t-wert (P 95%, f - ): Unterched von und t ncht nachwebar b. PG t größer al der Wert (P 95%, f - ), jedoch klener al der t-wert (P 99%, f - ): Unterched zwchen Sollwert und Analenwert t wahrchenlch, aber ncht gnfkant c. PG t größer al der t-wert (P 99%, f - ), jedoch klener al der t-wert (P 99,9%, f - ): Unterched zwchen Sollwert und Analenwert t gnfkant, aber ncht hochgnfkant d. PG t größer al der t-wert (P 99,9%, f -): Unterched zwchen Sollwert und Analenwert t hochgnfkant 7... Zweetger Verglech ene Mttelwerte mt enem Sollwert mttel LaborValdate Zweetger T-Tet für de Spalte I Bezugdaten:,6,98,0,09 Zweetger T-Tet für de Spalte I Anzahl der Datenätze: 4 Mttelwert:,0600 Standardabwechung: 0,08 Sollwert:,0000 Wel PG < t(p,f);,477 < 3,80, pat der Sollwert zu den augewählten Daten. 39

49 7..3. Zweetger Verglech ene Mttelwerte mt enem Sollwert mttel Ecel,6,98,0,09,00 Sollwert 4 Anzahl,0600 Mttelwert 0,08 Standardabwechung,477 PG Zweetg 3,8 (f-, P95%) Fazt Zweetger Verglech ene Mttelwerte mt enem Sollwert Bede Berechnungen lefern: Anzahl: 4 Arthmetcher Mttelwert:,0600 Standardabwechung: 0,08 PG:,477 Tabellenwert zweetg (f-, P95%): 3,8 Da Programm LaborValdate lefert de für de Funktonen erwarteten Funktonergebne. 40

50 7.3. Mttelwert t-tet Mathematche Grundlagen Mt dem Mttelwert t-tet kann überprüft werden, ob de Mttelwertunterchede zweer Stchprobenrehen tattch gnfkant nd. Wrd en Unterched nachgeween, legt meten en tematcher Fehler vor. Welcher der beden Mttelwerte rchtg t, kann durch den Mttelwert t-tet ncht nachgeween werden. Zegt der t-tet kene Unterchede der beden Stchproben auf, können u.u. de Mttelwerte der beden Datenrehen zuammengelegt werden. Vorauetzung t jedoch, da der Varanzen F-Tet kene gnfkanten Unterchede der Varanzen gezegt hat. De Prüfgröße PG de Mttelwert t-tet berechnet ch mt folgender Formel: PG * * D + Mttelwert der erten Stchprobenrehe Mttelwert der zweten Stchprobenrehe D mttlere, gewchtete Standardabwechung beder Datenrehen Anzahl der Mewerte der erten Stchprobenrehe Anzahl der Mewerte der zweten Stchprobenrehe De mttlere, gewchtete Standardabwechung beder Datenrehen D der beden Stchprobenrehen berechnet ch nach folgender Formel: D *( ) + *( + ) Varanz der erten Stchprobenrehe Varanz der zweten Stchprobenrehe De berechnete Prüfgröße PG wrd mt dem Wert au der zweetgen t-tabelle mt f und P verglchen. Der Frehetgrad f berechnet ch mt: f + Dabe werden folgende Grenzen vorgechlagen: a. t(95%, f) > PG tattch t ken Unterched nachwebar 4

51 b. t(99%, f) > PG > t(95%, f) wahrchenlch beteht en Unterched, t jedoch ncht nachwebar c. t(99,9%, f) > PG > t(99%, f)e beteht en gnfkanter Unterched d. PG > t(99,9%, f) e beteht en hochgnfkanter Unterched Mttelwert t-tet mttel LaborValdate Mttelwert t-tet Bezugdaten: Spalte E: Spalte F: Mttelwert t-tet der Spalte E und der Spalte F: tattche Scherhet P 95% Wegen PG < t-wert (,944 <,450) t en Unterched ncht fettellbar 4

52 d.h. bede Mttelwert enttammen der glechen Grundgeamthet Mttelwert t-tet mttel Ecel , ,650 Mttelwert 8,0000 8,0000 Anzahl 3,679 0,6964 Varanz 0,858 S D,944 PG,450 (f + -, P95%) Fazt Mttelwert t-tet Bede Berechnungen lefern: Anzahl: 8 für bede Spalten Arthmetcher Mttelwert für de. Spalte: 358,65 Arthmetcher Mttelwert für de. Spalte: 365,65 Varanz für de. Spalte: 3,679 Varanz für de. Spalte: 0,6964 PG:,944 Tabellenwert zweetg (f + -, P95%):,45 Da Programm LaborValdate lefert de für de Funktonen erwarteten Funktonergebne. 43

53 7.4. Vertrauenberech für den Mttelwert Mathematche Grundlagen De DI verteht unter den Vertrauenberech VB en au Stchprobenergebnen berechneter Schätzberech, der den wahren Wert der zu chätzenden Kenngröße auf dem veau enchleßt. Sofern kene tematchen Abwechungen vorlegen und ene ormalvertelung voraugeetzt werden kann, lät ch der Vertrauenberech de Mttelwerte we folgt berechnen: t * VB ± µ u, o ± VB t Wert der t Vertelung von Student Standardabwechung Anzahl derwerte arthmetcher Mttelwert Der Wert der t-vertelung t abhängg von der gewählten tattchen Scherhet P und von dem zur Standardabwechung gehörenden Frehetgrad f (-). Da Ergebn der Berechnung t ene Auage mt ener betmmten Wahrchenlchket P über en Intervall um den Mttelwert, n dem ch der wahre Wert befndet. Je größer de tattche Scherhet P gewählt wurde (P 95% oder 99%) um o breter wrd da Intervall. De tattche Scherhet P wrd über de entprechende t-wert-spalte au der Tabelle augewählt. Der Vertrauenberech wrd mt tegender Stchprobenanzahl mmer enger. Der Vertrauenberech kann aber dadurch verengt werden, da de tattche Scherhet P reduzert wrd. 44

54 7.4.. Vertrauenberech für den Mttelwert mttel LaborValdate Vertrauenberech für den Mttelwert der Spalte H Bezugdaten: Vertrauenberech für den Mttelwert der Spalte H be P 95% Anzahl der Datenätze: 8 Mttelwert: 357,5000 Standardabwechung: 8,0534 Wert au t-tabelle:,3650 Vertrauenberech: 6,7339 Der Mttelwert hat enen Vertauenberech von: 350, , Vertrauenberech für den Mttelwert mttel Ecel

55 357,5000 Mttelwert 8,0000 Anzahl 8,0534 Standardabwechung,3650 (f-, P95%) 6,7339 Vertrauenberech 350,766 von 364,339 b Fazt Vertrauenberech für den Mttelwert Bede Berechnungen lefern: Anzahl: 8 Arthmetcher Mttelwert: 357,5000 Standardabwechung: 8,0534 Tabellenwert zweetg (f-, P95%):,3650 Vertrauenberech: 6,7339 Von 350,766 b 364,339 Da Programm LaborValdate lefert de für de Funktonen erwarteten Funktonergebne Dfferenzen t-tet Mathematche Grundlagen Deer Tet beantwortet de Frage, ob parallele Datenrehen () und () al Merkmalergebne von z.b. enem Materal (chemche Subtanz) auf Ba von unterchedlchen Prüfmethoden ermttelt wurden, ener Grundgeamthet enttammen. Ander formulert: Snd bede Datenrehen von enander abhängg oder unabhängg? 46

56 Der Prüfgröße PG wrd berechnet au dem Mttelwert und der Standardabwechung der Merkmaldfferenzen: ) () ( PG * Merkmaldfferenzen Mttelwert der Merkmaldfferenzen Standardabwechung der Merkmaldfferenzen Anzahl der Merkmaldfferenzen De berechnete Prüfgröße PG wrd mt dem Wert au der zweetgen t-tabelle mt f und P verglchen. Glt PG < t(p, f) dann legt ken Unterched zwchen den Datenrehen vor. Glt PG > t(p, f) dann legt en Unterched zwchen den Datenrehen vor. De Merkmalergebne enttammen unterchedlchen Grundgeamtheten Dfferenzen t-tet mttel LaborValdate Dfferenz t-tet Bezugdaten: Spalte G: Spalte H:

57 Dfferenzen t-tet der Spalte G und der Spalte H: tattche Scherhet P 95% Wegen PG < t-wert (0,386<,3650) t en Unterched ncht fettellbar d.h. bede Spalten enttammen der glechen Grundgeamthet Dfferenzen t-tet mttel Ecel ,50 Mttelwert 5,750 Standardabwechung 8,0000 Anzahl,3650 (f-, P95%) 0,386 PG Fazt Dfferenzen t-tet Bede Berechnungen lefern: Anzahl: 8 Arthmetcher Mttelwert:,50 Standardabwechung: 5,750 Tabellenwert zweetg (f-, P95%):,3650 PG: 0,386 48

58 Da Programm LaborValdate lefert de für de Funktonen erwarteten Funktonergebne. 8. Regreon: 8.. Lneare Regreon 8... Mathematche Grundlagen 8... Lneare Regreon Zel der lnearen Regreon t e, ene Auglechgerade zu fnden, de de Abhänggket der Etnkton von der Konzentraton optmal, d.h. am wengten fehlerhaft, bechrebt. Al Ba für de lneare Regreon denen de erhaltenen Mewerte () n Abhänggket von der Konzentraton () der Kalbrerlöungen. Ene Auglechgerade kann durch de Geradenglechung bechreben werden. Se lautet: m + b abhängge Größe, Mewert, z. B. de Peakfläche unabhängge Größe, Konzentraton, z. B. der m Stegung der Geraden b Ordnatenabchntt Gehalt n mg L Snd de beden Parameter m und b der Geradenglechung bekannt, kann von jedem Sgnalwert () de dazugehörgen Konzentraton () berechnet werden. Dazu wrd de Glechung nach umgetellt. b m Da Zel der lnearen Regreon t e, au den vorlegenden /-Wertepaaren nach der Meung der Kalbrerlöungen mt dem betreffenden Analenverfahren de beden Parameter m und b zu berechnen. Dazu denen folgende Formeln: Für de Stegung: 49

59 m, ( * ) m Stegung * Wertepaare der Enzelmeungen Anzahl der Datenpunkte Für den Ordnatenabchntt: b m * b Ordnatenabchntt, Mttelwerte der Enzelmeungen m Stegung 8... Rettandardabwechung De Präzon der lnearen Regreon wrd durch de o genannte Rettandardabwechung augedrückt. Darunter verteht man da Maß für de Streuung der Reduen, alo der Streuung der Sgnalwerte n -Rchtung um de Auglechgerade. De Rettandardabwechung wrd mt folgender Formel berechnet: m Stegung [ ( m * + b) ] Rettandardabwechung Anzahl der Datenpunkte b Ordnatenabchntt Sgnalwert( Etnkton) Konzentratonwert 50

60 Verfahrentandardabwechung De Rettandardabwechung und de Empfndlchket E (Stegung der Geraden m) werden zuammengefat zu enem gütebetmmenden Kennwert, der Verfahrentandardabwechung S m Verfahrentandardabwechung Re ttandardabwechung m Stegung relatve Verfahrentandardabwechung Ene wetere abgeletete tattche Kenngröße be der Kalbrerungbewertung t de relatve Verfahrentandardabwechung V0. Se bezeht de Verfahrentandardabwechung 0 auf den arthmetchen Mttewert de Konzentratonbereche. V V o *00% relatve Verfahrentandardabwechung Verfahrentandardabwechung arthmetcher Mttelwert 8... Lneare Regreon mttel LaborValdate Lneare Regreon: X - Rehe: Spalte J Y - Rehe: Spalte K Bezugdaten (X;Y): (0,; 0,08) (0,5; 0,3) (0,75; 0,37) (; 0,433) (,5; 0,5) 5

61 (,5; 0,595) Stegung: 0,3709 Ordnatenabchntt: 0,0476 De Funkton lautet: 0,3709X + 0,0476 Y Korrelatonkoeffzent: 0,999 Betmmthetmaß: 0,998 Rettandardabwechung: 0,0089 Verfahrentandardabwechung: 0,039 Relatve Verfahrentandardabwechung:,84 % Summe X: 5,000 Summe Y:,770 Summe X²: 5,6350 Summe Y²: 0,9690 Summe XY:,336 Anzahl Datenätze: 6, Lneare Regreon mttel Ecel 0,0 0,08,3468E-05 0,50 0,30 9,49E-06 0,75 0,37,5753E-06,00 0,433,4E-04,5 0,5 3,5036E-08,50 0,595 7,9358E-05 [ ( m * + b) ] 6 Anzahl 0,3709 Stegung 0,0476 Ordnatenabchntt 0,999 Korrelatonkoeffzent 0,998 Betmmthetmaß 0,0089 Rettandardabwechung 0,039 Verfahrentandardabwechung,84% relatve Verfahrentandardabwechung 5

62 8..4. Fazt lneare Regreon Bede Berechnungen lefern: Anzahl: 6 Stegung: 0,3709 Ordnatenabchntt: 0,0476 Korrelatonkoeffzent: 0,999 Betmmthetmaß: 0,998 Rettandardabwechung: 0,0089 Verfahrentandardabwechung: 0,039 Relatve Verfahrentandardabwechung:,84% Da Programm LaborValdate lefert de für de Funktonen erwarteten Funktonergebne. 8.. Quadratche Regreon: 8... Mathematche Grundlagen 8... Quadratche Regreon Ene quadratche Anpaung kann mt folgender Glechung bechreben werden: n * + m * + b Snd de dre Parameter n, m und b bekannt und wrd de quadratche Funkton al Auglechfunkton akzeptert, kann zu jedem -Wert (Sgnal) der zugehörge -Wert (Konzentraton) berechnet werden. Al erte werden 5 Hlffunktonen engeführt: 53

63 54 ( ) ( ) Q Q Q Q Q 4 3 * * * * * 4 3 Datenpunkte der Anzahl Sgnalwert Konzentratonwert De Berechnung der quadratchen Stegung n erfolgt mt: ( ) 4 3 * * * Q Q Q Q Q Q Q n Der Parameter m wrd mt folgender Glechung berechnet: Q Q Q m 3 * Der Parameter b wrd mt folgender Glechung berechnet: n m b * *

64 8... Rettandardabwechung De Präzon der quadratchen Regreon wrd durch de o genannte Rettandardabwechung augedrückt. Darunter verteht man da Maß für de Streuung der Reduen, alo der Streuung der Sgnalwerte n -Rchtung um de Auglechgerade. De Rettandardabwechung wrd mt folgender Formel berechnet: b * m * ( * ) n ( * ) 3 Rettandardabwechung Anzahl der Datenpunkte n Stegung m Stegung b Ordnatenabchntt Sgnalwert( Etnkton) Konzentratonwert Verfahrentandardabwechung De Rettandardabwechung und de Empfndlchket E werden zuammengefat zu enem gütebetmmenden Kennwert, der Verfahrentandardabwechung S E Verfahrentandardabwechung Re ttandardabwechung E Empfndlchket De Empfndlchket wrd mttel folgender Formel berechnet: E m + * n * E Empfndlchket m Stegung n Stegung arthmetcher Mttelwert 55

65 relatve Verfahrentandardabwechung Ene wetere abgeletete tattche Kenngröße be der Kalbrerungbewertung t de relatve Verfahrentandardabwechung V0. Se bezeht de Verfahrentandardabwechung 0 auf den arthmetchen Mttewert de Konzentratonbereche. V V o *00% relatve Verfahrentandardabwechung Verfahrentandardabwechung arthmetcher Mttelwert 8... Quadratche Regreon mttel LaborValdate Quadratche Regreon: X - Rehe: Spalte J Y - Rehe: Spalte K Bezugdaten (X;Y): (0,; 0,08) (0,5; 0,3) (0,75; 0,37) (; 0,433) (,5; 0,5) (,5; 0,595) Stegung: 0,4098 Stegung: -0,043 Ordnatenabchntt: 0,0373 Korrelatonkoeffzent: 0,9995 Betmmthetmaß: 0,9990 De Funkton lautet: -0,043X² + 0,4098X + 0,0373 Y Rettandardabwechung: 0,0076 Verfahrentandardabwechung: 0,005 56

66 Relatve Verfahrentandardabwechung:,463 % Summe X: 5,000 Summe Y:,770 Summe Y²: 0,9690 Summe X²: 5,6350 Summe X³: 6,8760 Summe X²*X²: 8,889 Summe X²Y:,84 Summe XY:,336 Anzahl Datenätze: 6, Quadratche Regreon mttel Ecel 0,0 0,08 0,50 0,30 0,75 0,37,00 0,433,5 0,5,50 0,595 6 Anzahl 5,6350 Summe X² 0,9690 Summe Y² 5,000 Summe X,770 Summe Y,336 Summe XY 6,8760 Summe X³ 8,889 Summe X 4,84 Summe X²Y,3000 Q 0,48 Q,0863 Q ³ 3,5907 Q 4 0,7679 Q ² -0,043 Stegung n 0,4098 Stegung m 0,0373 Ordnatenabchntt 0,9990 Betmmthetmaß 57

67 0,9995 Korrelatonkoeffzent 0,0076 Rettandardabwechung 0,005 Verfahrentandardabwechung relatve,463% Verfahrentandardabwechung Fazt quadratche Regreon Bede Berechnungen lefern: Stegung (m): 0,4098 Stegung (n): -0,043 Ordnatenabchntt (b): 0,0373 Korrelatonkoeffzent: 0,9995 Betmmthetmaß: 0,9990 Rettandardabwechung: 0,0076 Verfahrentandardabwechung: 0,005 Relatve Verfahrentandardabwechung:,463 % Summe X: 5,000 Summe Y:,770 Summe Y²: 0,9690 Summe X²: 5,6350 Summe X³: 6,8760 Summe X 4 : 8,889 Summe X²Y:,84 Summe XY:,336 Anzahl: 6,0000. Da Programm LaborValdate lefert de für de Funktonen erwarteten Funktonergebne. 58

68 8.3. Aureßertet n Kalbrerdaten nach Huber Mathematche Grundlagen ach Huber t en Datenpunkt ener Kalbrerrehe en Aureßer, wenn er da untere Prognoeband unter- oder da obere Prognoeband überchretet. De Prognoebänder werden für deen Tet ohne da verdächtge Wertepaar berechnet. Q ( m * + b) ± n n * t u, o ˆ m Stegung b Ordnatenabchntt Rettandardabwechung t t-faktor t(p95%, f n - ) arthmetcher Mttelwert ( ) Anzahl der Meungen (Wertepaare) ˆ Anzahl der Parallelbetmmungen Aureßertet n Kalbrerdaten nach Huber mttel LaborValdate Aureßertet n Kalbrerdaten nach Huber Q Bezugdaten (X;Y): (0; 0,354) (5; 0,984) (50; 0,5530) (00;,080) (50;,789) (00;,378) (400; 4,5087) 59

69 (800;,3933) augechloene Wertepaar: (0; 0,354) Au den übrgen Wertepaaren wurden folgende Daten berechnet: lneare Regreon: Y -0, ,04X Rettandardabwechung: 0,4377 Verfahrentandardabwechung: 30,8909 Q: ,743 arthmetcher Mttelwert: 46,486 t(p95%, fn-):,570 Da Yu,o -0,078 +/-,667 beträgt da zuläge Sgnalntervall -,4745 b,0588 Der gemeene Y-Wert beträgt: 0,354 für den X-Wert: 0,0000 Da der gemeene Y-Wert nnerhalb de Y-Intervall legt, t da Wertepaar mt ener tattchen Scherhet von P95% ncht al Aureßer nachzuween und verblebt n der Datenrehe Bezugdaten (X;Y): (0; 0,354) (5; 0,984) (50; 0,5530) (00;,080) (50;,789) (00;,378) (400; 4,5087) (800;,3933) augechloene Wertepaar: (5; 0,984) 60

70 Au den übrgen Wertepaaren wurden folgende Daten berechnet: lneare Regreon: Y -0, ,04X Rettandardabwechung: 0,4447 Verfahrentandardabwechung: 3,4589 Q: 45737,486 arthmetcher Mttelwert: 44,857 t(p95%, fn-):,570 Da Yu,o 0,095 +/-,77 beträgt da zuläge Sgnalntervall -,577 b,966 Der gemeene Y-Wert beträgt: 0,984 für den X-Wert: 5,0000 Da der gemeene Y-Wert nnerhalb de Y-Intervall legt, t da Wertepaar mt ener tattchen Scherhet von P95% ncht al Aureßer nachzuween und verblebt n der Datenrehe Bezugdaten (X;Y): (0; 0,354) (5; 0,984) (50; 0,5530) (00;,080) (50;,789) (00;,378) (400; 4,5087) (800;,3933) augechloene Wertepaar: (50; 0,5530) Au den übrgen Wertepaaren wurden folgende Daten berechnet: lneare Regreon: Y -0, ,04X Rettandardabwechung: 0,454 6

71 Verfahrentandardabwechung: 3,543 Q: 4676,486 arthmetcher Mttelwert: 40,743 t(p95%, fn-):,570 Da Yu,o 0,3975 +/-,899 beträgt da zuläge Sgnalntervall -0,895 b,6874 Der gemeene Y-Wert beträgt: 0,5530 für den X-Wert: 50,0000 Da der gemeene Y-Wert nnerhalb de Y-Intervall legt, t da Wertepaar mt ener tattchen Scherhet von P95% ncht al Aureßer nachzuween und verblebt n der Datenrehe Bezugdaten (X;Y): (0; 0,354) (5; 0,984) (50; 0,5530) (00;,080) (50;,789) (00;,378) (400; 4,5087) (800;,3933) augechloene Wertepaar: (00;,080) Au den übrgen Wertepaaren wurden folgende Daten berechnet: lneare Regreon: Y -0,66 + 0,040X Rettandardabwechung: 0,4579 Verfahrentandardabwechung: 3,6734 Q: ,743 arthmetcher Mttelwert: 33,574 6

72 t(p95%, fn-):,570 Da Yu,o,353 +/-,787 beträgt da zuläge Sgnalntervall -0,433 b,440 Der gemeene Y-Wert beträgt:,080 für den X-Wert: 00,0000 Da der gemeene Y-Wert nnerhalb de Y-Intervall legt, t da Wertepaar mt ener tattchen Scherhet von P95% ncht al Aureßer nachzuween und verblebt n der Datenrehe Bezugdaten (X;Y): (0; 0,354) (5; 0,984) (50; 0,5530) (00;,080) (50;,789) (00;,378) (400; 4,5087) (800;,3933) augechloene Wertepaar: (50;,789) Au den übrgen Wertepaaren wurden folgende Daten berechnet: lneare Regreon: Y -0, ,040X Rettandardabwechung: 0,458 Verfahrentandardabwechung: 3,670 Q: ,743 arthmetcher Mttelwert: 6,486 t(p95%, fn-):,570 Da Yu,o,8343 +/-,655 beträgt da zuläge Sgnalntervall 0,5688 b 3,

73 Der gemeene Y-Wert beträgt:,789 für den X-Wert: 50,0000 Da der gemeene Y-Wert nnerhalb de Y-Intervall legt, t da Wertepaar mt ener tattchen Scherhet von P95% ncht al Aureßer nachzuween und verblebt n der Datenrehe Bezugdaten (X;Y): (0; 0,354) (5; 0,984) (50; 0,5530) (00;,080) (50;,789) (00;,378) (400; 4,5087) (800;,3933) augechloene Wertepaar: (00;,378) Au den übrgen Wertepaaren wurden folgende Daten berechnet: lneare Regreon: Y -0,5 + 0,040X Rettandardabwechung: 0,453 Verfahrentandardabwechung: 3,569 Q: 499,486 arthmetcher Mttelwert: 9,857 t(p95%, fn-):,570 Da Yu,o,55 +/-,435 beträgt da zuläge Sgnalntervall,3087 b 3,7957 Der gemeene Y-Wert beträgt:,378 für den X-Wert: 00,0000 Da der gemeene Y-Wert nnerhalb de Y-Intervall legt, t da Wertepaar mt ener tattchen Scherhet von P95% ncht al Aureßer nachzuween und verblebt n der Datenrehe 64

74 Bezugdaten (X;Y): (0; 0,354) (5; 0,984) (50; 0,5530) (00;,080) (50;,789) (00;,378) (400; 4,5087) (800;,3933) augechloene Wertepaar: (400; 4,5087) Au den übrgen Wertepaaren wurden folgende Daten berechnet: lneare Regreon: Y -0,93 + 0,044X Rettandardabwechung: 0,07 Verfahrentandardabwechung: 4,0768 Q: 46,486 arthmetcher Mttelwert: 90,743 t(p95%, fn-):,570 Da Yu,o 5,537 +/- 0,5799 beträgt da zuläge Sgnalntervall 4,958 b 6,6 Der gemeene Y-Wert beträgt: 4,5087 für den X-Wert: 400,0000 Da der gemeene Y-Wert außerhalb de Y-Intervall legt, t da Wertepaar mt ener tattchen Scherhet von P95% al Aureßer nachzuween und mu au Datenrehe entfernt werden Bezugdaten (X;Y): (0; 0,354) 65

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