NSt. Der Wert für: x= +1 liegt, erkennbar an dem zugehörigen Funktionswert, der gesuchten Nullstelle näher.

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1 PV - Hausaugabe Nr. 7.. Berechnen Se eakt und verglechen Se de Werte ür de Nullstelle, de mttels dem Verahren von Newton, der Regula als und ener Mttelung zu erhalten snd von der! Funkton: ( ) Lösungs Pkte.:. De eakte Nullstelle st de drtte Wurzel aus: :,99... NSt. Das Newton sche Verahren nutzt als en Tangentenverahren de Abletung und benötgt dazu enge Funktonswerte und de Werte der abgeleteten Funkton, dabe snd zwe Ausgangspunkte möglch: ( ) ' ( ) ( ) '( ) ( ) ' ( ) Der Wert ür: legt, erkennbar an dem zugehörgen Funktonswert, der gesuchten Nullstelle näher. Damt wrd weter gerechnet ( Danach snd wetere Näherungsschrtte möglch oder nötg ): ( ) ' ( ),.... De Regula als benötgt als Sekantenverahren de Koordnaten zweer Punkte : ( ) ( ) ( ) ( ) Damt wrd weter gerechnet ( Danach snd wetere Näherungsschrtte möglch oder nötg ): ( ) - 7 ( ) ( ) (-),8.... Schneller konvergert das Ausuchen der Nullstelle, ndem bede Verahren kombnert werden mt dem arthmetschen Mttelwert: N RF,,8 A A,79. De ntellgente Wederholung deser Schrtte, de her ncht durchgeührt wrd, ergbt schnell gute Werte.

2 PV - Hausaugabe Nr. 8. Aprl Berechnen Se eakt und mttels der Ihnen angegebenen Näherung ( n ) be äqudstanten P m Intervall : -,;,. Stützstellen de Fläche unter: ( ) ( ) [ ] Lösungs Pkte.:. Berechnung der Fläche mttels Integraton eakte Rechnung: ( ) ( ) [ ], ( ) P n : -,;, A d,, Mt : n Stützstellen: ; ; ; ; ; ; h. Damt olgt ür de benötgten Funktonswerte: ( ) ; (-) ; ; ( ) ; ; ( ) ;. Mttels Trapezregel: A h... n n A,7 8. Durand s Regel: A h... A n - n n. Smpson sche Regel: A h ( ) A 8 8,. Weddle s Regel: A h ( ) A,,

3 PV - Hausaugabe Nr. 9 Montag,. Aprl Se de Erde ene gedachte Kugel mt enem Radus von Klometern. De Esdecken an den Erdpolen haben en Volumen von etwa 8 Mllonen Kubkklometern. We hoch stegen appromatv weltwet de Meere und Ozeane, wenn alles Es abschmelzen würde? Lösungs Pkte.: De Augabe kann natürlch unter verenachenden Annahmen auch eakt gerechnet werden; her st aber ene Appromaton erwünscht: Das Volumen ener Kugel beträgt: V ( r) K dv r dr K ( ) r r. Mttels der Appromaton ergbt sch weterhn: V ( r) r r Mt den bekannten Werten also errechnet sch: V K K. 8 ( r) r r 8... r r, Klomete r

4 PV - Hausaugabe Nr. Montag,. Aprl Mttels vektoreller Methoden soll gezegt werden, daß sch de Dagonalen enes Parallelogramms halberen. Lösungs Pkte.: Es ühren we üblch vele Wege nach Rom: Im Uhrzegersnne sollen de Ecken des Parallelogramms lauten: A, B, C, D und der Schnttpunkt der Dagonalen laute: S. Dann seen der Rehe nach dese Verbndungen als Vektoren bezechnet, also vom Punkt A nach: B als Vektor: a und vom Punkt: B nach C: b. ( Es gbt hnschtlch der Seten enes Parallelogramms nur dese beden Vektoren ). Für de Dagonale : d glt damt: d a b und ür de Dagonale : d a b. Aber es st auch: b AS SD AS DS AC DB ( a b ) ( a b ) oder: ( ) a ( ) b b. Dabe legen de Werte von: und von : zwschen: und :. Das heßt, es muß gelten, daß ( ) st und: ( ). De Lösung deses Glechungssstems ergbt:,.

5 PV - Hausaugabe Nr... Mttels Vektoren zegen Se, daß ene Strecke m Raum belebg durch en Telungsverhältns getelt werden kann. Lösungs Pkte.: Es ühren weder vele Wege nach Rom: Vom Ursprung ühre der Vektor: a zum Punkt: P; der Vektor: b zum Punkt: P und der Vektor: t zum Telungspunkt: T. Der Vektor: P -T st en Velaches: V der Telung und damt von: T P. Damt glt nach den Regeln der Vektorrechnung: t a V ( t b ). Löst man dese Glechung nach dem Vektor: t au, erhält man das gesuchte Ergebns: t ( a V b ) / ( V )

6 PV - Hausaugabe Nr. Montag,. Aprl Gegeben se ene Ebene: E. Gesucht se ene dazu parallele Ebene: E, de noch durch den Punkt: P geht mt den Angaben: ( ),-, P P : E. Lösungs Pkte.: We mmer ühren vele Wege nach Rom, z. B. auch deser: De Normalenvektoren deser beden Ebenen: E und E snd glech wegen Paralleltät: Damt olgt mt der Glechung der Ebene: E: n n r r