6 Rechnen mit Zahlen beliebig hoher Stellenzahl 7 Intervall-Arithmetik 8 Umsetzung in aktuellen Prozessoren

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1 Inhalt 4 Realserung elementarer Funktonen Rehenentwcklung Konvergenzverfahren 5 Unkonventonelle Zahlenssteme redundante Zahlenssteme Restklassen-Zahlenssteme logarthmsche Zahlenssteme 6 Rechnen mt Zahlen belebg hoher Stellenzahl 7 Intervall-Arthmetk 8 Umsetzung n aktuellen Prozessoren 86 Gletkomma-Enheten n AMD Athlon und Intel Pentum SIMD-Enheten: MMX, SSE, 3DNow! und SSE Kaptel 4: Motvaton we werden elementare Funktonen realsert, z.b.: Quadratwurzelfunkton: = sqrt() Eponentalfunkton: = e Logarthmus: = log(), = ln() (nverse) trgonometrsche Funktonen: = sn(), = cos(), = arcsn() elementare Funktonen werden häufg n wssenschaftlch / technschen Anwendungen benötgt (z.b. Sgnalverarbetung) verschedene Verfahren können engesetzt werden, z.b.: Rehenentwcklung Konvergenzverfahren drekte Methoden tabellenbaserte Verfahren allgemen st ene hohe Rechenlestung erforderlch!

2 Rehenentwcklung ener Funkton f Talor-Rehe Voraussetzung: f st stetg, höhere Abletungen f () ( ) esteren ( ) ( ) f ( ) f ( )! Fehler für Abbruch be = n: mt (,) (vgl. Mttelwertsatz) Fehler n Integraldarstellung: MacLaurn-Rehe Spezalfall der Talor-Rehe für = n ( n) f ( ) f () n! n r n n ( ) ( n )! f ( n) ( ) n ( n rn ( t) f ( t) dt n! ( )) 3 Rehenentwcklung (Forts.) Bespel: Entwcklung von f () = e nach MacLaurn Es glt: f ( ) Fehler für Abbruch be = n: Abschätzung für : 3...!!!! 3! n n ( n) rn f ( ) ( n )! ( n )! n e rn e ( n )! ( n )! e Benötgt man q korrekte Dezmalstellen, so muß gelten: r n < q (n + )! > e q Für q = 8 müssen somt de ersten n = Terme der Rehenentwcklung berechnet und addert werden! neffzent be sehr hohem Rechenaufwand! 4

3 Rehenentwcklung (Forts.) Implementert man ene Rehenentwcklung n Hardware, so benötgt man: schnelle Gletkomma-Multplzerer zur Berechnung von n Tabelle (z.b. m ROM) mt vorberechneten Werten für n! bzw. /n! schnelle Dvderer/Multplzerer zur Berechnung von n / n! schnelle Gletkomma-Adderer Algorthmus als Assembler- oder Mkroprogramm Nachtele: hoher Hardwareaufwand m Verglech zu anderen Verfahren snd deutlch mehr Rechenschrtte erforderlch Rechenaufwand st abhängg vom Wert gute Konvergenz nur für «5 Konvergenzverfahren Idee: Appromaton von = f() durch zwe rekursve Formeln: erste Formel ntalsert mt = und läßt schnell gegen enen bekannten und konstanten Wert m (tpsch oder ) unter Benutzung von Hlfswerten b konvergeren zwete Formel verwendet de Hlfswerte b, um zu appromeren Berechnung der Eponentalfunkton = e geegnete Rekursonsformeln: + = ln(b ) + = b De Werte b werden derart gewählt, daß de Sequenz =,,, 3,... n m Schrtten den Wert m = errecht ln( b ) es glt: e b e e und somt auch: m e m Für m = und = ergbt sch gewünschtes Resultat: e m e e 6

4 Konvergenzverfahren für e (Forts.) Problem: We können de Werte b gewählt werden, damt möglchst schnell gegen m konvergert und de Multplkaton b enfach wrd? Lösung: Wähle b = ( + s ) mt s {,, }; hermt ergeben sch de folgenden neuen Rekursonsformeln: + = ln( + s ) + = ( + s ) Wertetabelle für ln( ) be ener Präzson von Bt: (aus: Omond, Computer Arthmetc Algorthms) 7 Konvergenzverfahren für e (Forts.) Es muß nun ene Sequenz s, s,..., s m gefunden werden, so daß glt: m m m ln( s ) ln( s ) Annahmen: hat n Btstellen und st postv s {, } ausrechend m Ferner muß gelten: ln( ).56 Algorthmus: Berechne n Schrtt de Dfferenz d = ln( + ) falls d, setze s = und + = d ; ansonsten setze s = und + = In jedem Schrtt wrd en weteres Bt von auf gesetzt Laufzet hängt somt lnear von der Wortbrete n ab! Verallgemenerung: Für große Argumente wrd n Integertel I und Bruchtel F ( < F < ) zerlegt: = log e ln : (I + F) ln Somt ergbt sch: ( I F) ln I ln F ln I F ln e e e e appromere m mt = F ln ( < ln ) und berechne = I m 8

5 Konvergenzverfahren für e (Forts.) Bespel: Berechnung von = e.5 mt Bt Präzson Deses be der Berechnung von = e engesetzte Verfahren wrd als addtve Normalserung bezechnet 9 Konvergenzverfahren für ln() Berechnung der Logarthmus-Funkton = ln() geegnete Rekursonsformeln: + = b + = ln(b ) De Werte b werden derart gewählt, daß de Sequenz =,,, 3,... n m Schrtten den Wert m = errecht: m m m b b ln( bj) ln bj m ln( ) ln( ) mt = ergbt sch das gewünschte Resultat: m = ln( ) Wähle b = ( + s ) mt s {,, }, so ergbt sch für / und : m m ( ) ( ) j j Algorthmus: Glt m -ten Schrtt ( + ), so setze s = und + = ( + ) ansonsten setze s = und + =

6 Konvergenzverfahren für ln() (Forts.) Hat berets führende -Bts, so hat + nach Ausführung der Operaton + = b = + s mndestens + führende -Bts Bespel: Berechnung von = ln(.5) mt Bt Deses be der Berechnung von = ln() engesetzte Verfahren wrd als multplkatve Normalserung bezechnet Konvergenzverfahren (Forts.) Addtve und multplkatve Konvergenzverfahren werden als Btalgorthmen bezechnet und snd auch für andere elementare Funktonen anwendbar, z.b. sqrt() oder sn() Für ene n-bt Hardwaremplementerung werden benötgt: ROM mt n Werten für b und ln(b ) bzw. allgemen g(b ) n-bt Adderer / Subtraherer n-bt Shfter Aufbau ener Hardware zur Berechnung von e mt ener Präzson von n Bt:

7 Drekte Methoden be engen elementaren Funktonen besteht de Möglchket, den Funktonswert auch drekt zu berechnen drekte Berechnung der Quadratwurzel = sqrt(): Annahme:.5 <.5 sqrt() <, d.h. st normalsert Idee: btwese Bestmmung von durch sukzessven Verglech von mt geegneten Quadratzahlen falls (.) sonst falls (. ) 3 sonst falls (. allgemen : n sonst n ) falls (. ) sonst Verenfachung: (.... ) (.... ) k k k k 3 Drekte Methoden (Forts.) aus Verenfachung resulterender Algorthmus zur Berechnung von = sqrt(): ähnlch zur Restorng Dvson, auch n Non-Restorng Varante umformbar! drekte Berechnung von = sqrt() mt n-bt Präzson benötgt n Schrtte! Verallgemenerung für große : Suche e gerade mt = * e und.5 * < ; berechne sqrt( * ) und blde = sqrt( * ) e/ 4

8 Tabellenbaserte Berechnung von = f() Funktonswerte f() können n Tabellen (m ROM oder RAM) gespechert werden; dre Varanten: ) vollständge Tabelle: vor allem be Festkommazahlen klener Wortbrete b snnvoll; benötgt ene Tabelle mt b Enträgen ggf. zusätzlch mt Sättgung, falls f() für große konvergert 5 Tabellenbaserte Berechnung (Forts.) ) Tabelle mt lnearer Interpolaton: Specherung der Funktonswerte nur an äqudstanten Stützstellen und lneare Interpolaton zwschen den Stützstellen; entsprcht Interpolaton erster Ordnung enfache Realserung: (auf Bnärdarstellung von baserend) Es glt: = f() tab[ h ] + (tab[ h + ] tab[ h ]) l benötgt ene Tabelle mt b + Enträgen 6

9 Tabellenbaserte Berechnung (Forts.) 3) Tabelle mt Interpolaton durch Polnom: Auswahl geegneter Stützstellen und Interpolaton von f durch Polnom P höherer Ordnung n den Intervallen [, + ]: f() P() p + p + p + p p n n mt P( ) = f ( ) (mt Koeffzenten p z.b. aus Talor- oder MacLaurn-Rehenentwcklung oder aus anderen mathematschen Verfahren) Algorthmus: ) Fnde nächstklenere Stützstelle < ) Berechne P() mttels Horner-Schema: P(t) = p + t (p + t (p + t (p 3 + t (... + tp n )))) für t = oder t = Tabelle muß für jedes Intervall enthalten: Argument (Stützstellen können äqudstant oder fre, d.h. der Funkton f () angepasst, gewählt werden Koeffzenten p, de be stückweser Interpolaton unterschedlch sen können ggf. st auch n für jedes Intervall wählbar 7 Anmerkungen Jede Funkton f wrd nur für enen bestmmten Argumentberech [a, b] nach ener der zuvor beschrebenen Methoden realsert; für [a, b] erfolgt ene Transformaton zur Redukton: z.b. = * mt * [a, b] und f() = f( * ) f( ), wobe und belebge Operatonen darstellen und f( ) möglchst enfach, z.b. durch Integer-Arthmetk bestmmbar sen sollte Werden elementare Funktonen für IEEE Gletkomma-Standard mplementert, so snd Ausnahmebehandlungen erforderlch z.b. für f() = e : f(nan) = NaN, f(+) = +, f() = +, falls > ma : f() = +Inf, falls < mn : f() = + Für ene Hardwaremplementerung z.b. n enem Gletkomma- Enhet st es snnvoll, wenn alle erforderlchen elementaren Funkton mt ener enhetlchen Archtektur berechenbar snd Favorserung von tabellenbaserter polnomaler Interpolaton! 8