Beschreibung des Zusammenhangs zweier metrischer Merkmale. Streudiagramme Korrelationskoeffizienten Regression

Transkript

1 Beschrebung des Zusammenhangs zweer metrscher Merkmale Streudagramme Korrelatonskoeffzenten Regresson

2 Alter und Gewcht be Kndern bs 36 Monaten Knd Monate Gewcht

3 Alter und Gewcht be Kndern bs 36 Monaten kg Monate

4 Korrelatonskoeffzenten Das Ausmaß des Zusammenhanges kann mt Korrelatonskoeffzenten quantfzert werden. Der Korrelatonskoeffzent legt zwschen und. Legt der Korrelatonskoeffzent nahe be... starke postve Korrelaton kene Korrelaton -... starke negatve Korrelaton.

5 Bespele für Korrelatonskoeffzent nach Pearson r = r = r = - -3 r =

6 Korrelatonskoeffzent nach Pearson r = 0.03

7 Berechnung des Korrelatonskoeffzenten nach Pearson Gegeben snd de Merkmale X und Y für n Beobachtungsenheten: X Y n n

8 Berechnung des Korrelatonskoeffzenten nach Pearson Der Korrelatonskoeffzent nach Pearson wrd mttels folgender Formel berechnet: s s r = = b s s s s s s de Standardabwechung des Merkmals X, de Standardabwechung des Merkmals Y, de Kovaranz der Merkmale X und Y s beschrebt de gemensame Streuung der - und der -Werte. s = n n ( )( ) =

9 Berechnung der Kovaranz 0 0 XY Y X n n ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( n n = n ) )( ( = = n n s ) )( ( = = n n n ) (

10 Bsp 7-: Sparlestung n Abhänggket vom Enkommen Sparen Enkommen

11 Berechnung des Korrelatonskoeffzenten nach Pearson Fortsetzung Bespel 7.: Mttelwert und Standardabwechung für das Enkommen: µ = , s = 9.87 Mttelwert und Standardabwechung für das Sparvolumens µ =.300, s = 8.5, De Stchprobenkovaranz beträgt s = /9[(-39.8)(-.3)+ + (3-39.8)(7-.3)] = 5.78 Somt berechnet sch der Korrelatonskoeffzenten nach Pearson: 5,78 r = = ,5

12 Streudagramm mt SPSS Zunächst Graphken->Streudagramm lefert Wähle Enfach und dann Defneren

13 Korrelaton mt SPSS Analseren->Korrelaton->Bvarat lefert

14 SPSS Output Korrelaton Enkommen Sparen **. Korrelatonen Korrelaton nach Pearson Sgnfkanz (-setg) N Korrelaton nach Pearson Sgnfkanz (-setg) N Enkommen Sparen,000,943** De Korrelaton st auf dem Nveau von 0,0 (-setg) sgnfkant.,, ,943**,000,000, 0 0

15 Korrelatonskoeffzent nach Pearson Abhänggket von Ausreßern Y 0 Y X X r=0.00 r=0.59

16 Korrelatonskoeffzenten r = Der Korrelatonskoeffzent gbt kene drekte Auskunft über de Stegung der Geraden (dafür haben wr Regresson). Folglch st en m statstschen Snn starker Zusammenhang ncht unbedngt en praktsch relevanter Zusammenhang r =

17 Korrelatonskoeffzenten Ene statstsche Korrelaton bedeutet ncht notwendgerwese enen relevanten Zusammenhang bedeutet ncht notwendgerwese enen kausalen Zusammenhang: Es kann enen drtten Faktor geben, der de beden anderen bestmmt: Be Kndern st etwa Gewcht und de Schnellgket bem Laufen postv korrelert. kann auch auf ener Schenkorrelaton beruhen

18 Schenkorrelaton Quelle: r=0.6

19 Mandbularbrete postoperatv - Mandbularbrete präoperatv (mm) Bvarate deskrptve Verfahren Regresson Mastodbrete präoperatv (mm)

20 ŷ Mandbularbrete postoperatv - Mandbularbrete präoperatv (mm) Bvarate deskrptve Verfahren Regresson Mastodbrete präoperatv (mm) e

21 Bvarate deskrptve Verfahren Regresson Geradenglechung allgemen: = k + d Regressonsgerade: ˆ = b0 + b wobe de Stegung b und der Achsenabschntt b 0 folgendermaßen berechnet werden (Andere Formel als m Buch Sete 86): b s s = r s = b 0 = b s

22 Regresson: Resduen Man wählt jene Gerade als Regressonsgerade für de glt, dass de Quadratsumme der Resduen am klensten st. = = = = n n e SQR ) ˆ ( st zu mnmeren! d.h. b b e = = 0 ˆ Lefert de Formeln für b 0 und b am (vgl. Buch S. 86)

23 Egenschaften der Resduen n = e = 0 n = e = 0 n = e (ˆ ) = 0 Man prüft de Qualtät des Modells mttels sogenannter Resduenplots

24 Bestmmthetsmaß Zunächst gegeben als r (legt somt zwschen 0 und ) Berechnung mttels Resduen: r = n = n = ( e ) r = Durch Regresson erklärte Varanz von Y Gesamtvaranz von Y Spelt be Mehrfachregresson ene große Rolle

25 Testen der Regressonsgerade bzw. des Korrelatonskoeffzenten Annahme: De Störterme e snd unabhängg und normalvertelt: N(0, b Teststatstk: T = (Sehe Buch S. 9) s b σ e Folgt ener T-Vertelung ) Alternatve: T = r n r

26 Testentschedung (Wederholung) Sgnfkanznveau α H 0 : b = 0, H : b 0 Entschedung für H falls T ( t) > Q n α ( ) Des entsprcht, dass p-wert < α (vgl. SPSS) Buch S. 9: Konfdenzntervalle für b

27 Regresson mt SPSS Analseren->Regresson->Lnear lefert Unabhängge Varable (): Enkommen Abhängge Varable (): Sparen

28 Regresson mt SPSS, Statstken

29 Regresson mt SPSS: Output Bestmmthetsmaß: Modellzusammenfassung Modell Standardf Korrgertes ehler des R R-Quadrat R-Quadrat Schätzers,943 a,889,875,8775 a. Enflußvarablen : (Konstante), Enkommen Das Ausgabefenster ANOVA st erst für Mehrfachregresson von Bedeutung, wchtg snd jetzt de Koeffzenten Modell (Konstante) Enkommen a. Abhängge Varable: Sparen Ncht standardserte Koeffzenten Koeffzenten a Standard serte Koeffzen ten 95%-Konfdenzntervall für B Standardf B ehler Beta T Sgnfkanz Untergrenze Obergrenze -3,039,6 -,430,9-7,94,863,385,048,943 7,984,000,74,497

30 Interpretaton des SPSS - Output De Spalte B gbt Auskunft über de Glechung der Regressonsgerade: ˆ = 3, , 385 De Spalte T gbt de Teststatstk für b 0 (m Buch ncht durchgenommen) und b (T=7.984). Rechts davon n der Spalte Sgnfkanz befnden sch de entsprechenden p-werte. Schleßlch haben wr n den letzten beden Spalten de Konfdenzntervalle für de beden Koeffzenten. Für b erhalten wr, dass aufgrund der Daten mt 95% Wahrschenlchket de Gerade ene Stegung zwschen 0,74 und 0,497 hat.

31 Vorhersagen Mttels Regresson Prognose für den Mttelwert: Welchen Wert nmmt an ener Stelle m Mttel an? Indvduelle Prognose: Welchen Wert nmmt ene neue ndvduelle Beobachtung von an ener Stelle an? Zur Berechnung des Schätzers Ensetzen n Geradenglechung! Untersched legt ncht m Schätzer, sondern n der Genaugket des Schätzers Konfdenzntervalle Buch S.94 Konfdenzntervalle für den Mttelwert snd enger als für de ndvduelle Prognose