Empirische Softwaretechnik Grundlagen der Statistik

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1 Emprsche Softwaretechnk Dr. Vctor Pankratus Andreas Höfer Wntersemester 2009/2010 IPD Tchy, Fakultät für Informatk KIT de Kooperaton von Forschungszentrum Karlsruhe GmbH und Unverstät Karlsruhe (TH)

2 Das Problem: Fragestellung Korrelaton Stegt der Wert ener Varablen, wenn der ener anderen anstegt? z.b. Ausbldung und Enkommen Snkt der Wert ener Varablen, wenn der ener anderen anstegt? Z.B. SW-Qualtät und Vererbungstefe We kann man de Stärke enes solchen Zusammenhangs numersch beschreben? Dskusson später: Gbt es auch enen kausalen Zusammenhang? Emprsche Softwaretechnk Wntersemester 2009/2010

3 Lebenserwartung (Männer) Enführende Bespele - Streudagramme (engl. Scatterplot) Lebenserwartung Fgure und 9.2 Gesundhetsausgaben Lfe Expectancy and Health Care Costs Quelle: [Howell 1999] Gesundhetsausgaben Health Care Expendtures (Europa) Korrelaton r = 0,14 ncht statstsch sgnfkant Emprsche Softwaretechnk Wntersemester 2009/2010

4 Breast Cancer Rate Burstkrebsrate Enführende Bespele Brustkrebs und Sonnenbaden Fgure Cancer Rate and Solar Radaton Quelle: [Howell 1999] Solar Radaton Sonnenbestrahlung Korrelaton r = -0, Emprsche Softwaretechnk Wntersemester 2009/2010

5 EXKURS IN DIE STATISTIK: - Korrelaton - Regresson - Tests Emprsche Softwaretechnk Wntersemester 2009/2010

6 Skalentypen Nomnalskala Merkmalsausprägungen blden kene Rehenfolge Bespel: Relgon, Geschlecht, Farbe Ordnalskala Rangordnung mt größer als Bezehung, aber Abstände zwschen Merkmalsausprägungen ncht quantfzerbar Bespel: Noten, Güteklassen, Rangplätze Intervallskala Egenschaften we Ordnalskala, aber zusätzlch auch Abstände zwschen Merkmalsausprägungen wchtg; Nullpunkt wllkürlch; Quotenten dürfen aber ncht gebldet werden Bespel: Temperatur n C (snnlos: 20 C doppelt so warm we 10 C ) Verhältnsskala Egenschaften we Intervallskala, aber absoluter Nullpunkt. Bespele: Körpergröße, Alter, Enkommen Emprsche Softwaretechnk Wntersemester 2009/2010

7 Korrelaton Allgemen: Gbt es ene stochastsche Abhänggket (Korrelaton) zwschen den Zufallsvarablen X und Y? Z.B. X = Vererbungstefe, Y = Wartungsdauer Korrelatonsanalyse untersucht Korrelaton anhand von Stchproben Benutzt Korrelatonskoeffzenten zum Testen der (Null-) Hypothese X und Y snd unabhängg Wr befassen uns m Folgenden mt verhältnsskalerten Daten Emprsche Softwaretechnk Wntersemester 2009/2010

8 Zur Ernnerung: Varanz und Kovaranz Se E(X) der Erwartungswert ener Zufallsvarablen X Streuungsmaße Varanz: var X E X E(X) 2 Standardabwechung: X s X var X Kovaranz: cov X, Y E X E X Y E Y d.h. Varanz auch: cov X, X Var(x) Emprsche Softwaretechnk Wntersemester 2009/2010

9 Varanz und Kovaranz (Forts.) Es glt: var X Y cov( X Y, X Y ) E X Y E X Y X Y E X Y s. Tafel var X Y var X var Y 2 cov X, Y De Kovaranz st also en Ausglechsterm bezüglch der Addtvtät der Varanz Emprsche Softwaretechnk Wntersemester 2009/2010

10 Kovaranz cov X, Y E X E X Y E Y Der maxmale Wert von cov(x, Y) st das Produkt der Standardabwechungen von X und Y. Damt Normeren! Emprsche Softwaretechnk Wntersemester 2009/2010

11 Pearsons Korrelatonskoeffzenten 1. Defnton: de folgende Kennzahl zu den Zufallsvarablen X und Y es glt: r : var cov X X, Y var Y ; 1 r 1 wenn r = 0 st, dann heßen X und Y unkorrelert snd X und Y unabhängg, dann st r = 0 de Umkehrung glt ncht (Bespel n [Kreyszg 1998, S. 308]) Emprsche Softwaretechnk Wntersemester 2009/2010

12 Pearsons Korrelatonskoeffzenten 2. Defnton: der aus der konkreten Stchprobe ermttelte Wert dabe st... R : s s x xy s y mt s xy 1 n 1 x x y y Emprsche Softwaretechnk Wntersemester 2009/2010

13 Pearsons 2. Koeffzent (Forts.) x... und der Stchproben-Mttelwert x x 1 x 2 n... x n... sowe de Stchproben-Varanz s 2 s x 1 n x (x x) Emprsche Softwaretechnk Wntersemester 2009/2010

14 Pearsons 2. Koeffzent (Forts.) R wrd als emprscher Korrelatonskoeffzent bezechnet R st ene Schätzung für r, de aus der Stchprobe berechnet wrd Her ncht besprochen: Schätzer haben BLUE Egenschaft (Best Lnear Unbased Estmator) Emprsche Softwaretechnk Wntersemester 2009/2010

15 Regressonsanalyse Allgemenes Modell der lnearen Regresson [vgl. Fahrmer84] yˆ b b x b x b p x p e y st de sog. abhängge Varable (beobachtbar, metrsch skalert) x 1 x p snd de sog. unabhänggen Varablen (kontrollert varert) b mt j = 0 p snd unbekannte Modellparameter, de ermttelt werden sollen (fester Parametervektor) e st Fehlervarable; Wert deser Zufallsvarable ncht beobachtbar Für p = 1 sprcht man von lnearer Enfachregresson Emprsche Softwaretechnk Wntersemester 2009/2010

16 Regressonsanalyse Für x nj, y n als n-te boebachtete Werte von x j, y und e n als zugehörgen ncht beobachteten Fehler ergbt sch: y ˆ b x b x n 1 2 n1 3 n 2 b... b p x np e n Wchtge Annahmen e st normalvertelt Erwartungswert E(e) = 0 Var(e n ) = 2 ( 2 st weterer. A. unbekannter Modellparameter) Alle Fehlervarablen e n haben gleche Varanz 2. Dese Egenschaft wrd als Homoskedastztaet bezechnet cov(e m, e n ) = 0, m n Unkorrelerthet der Fehlervarablen Emprsche Softwaretechnk Wntersemester 2009/2010

17 Regressonsanalyse Im Folgenden Betrachtung für p = 1: yˆ b b 1 2 x Emprsche Softwaretechnk Wntersemester 2009/2010

18 Regressonsanalyse y Tatsächlcher Punkt y ŷ Resduum (Fehler) e = y ŷ ŷ = b 1 + b 2 x Durch Modell geschätzter Punkt x x Emprsche Softwaretechnk Wntersemester 2009/2010

19 Regressonsanalyse Klenster Quadrate Methode y Mnmere Flächensumme deser Abwechungsquadrate (SAQ) Tatsächlcher Punkt y ŷ ŷ = b 1 + b 2 x Durch Modell geschätzter Punkt x x Emprsche Softwaretechnk Wntersemester 2009/2010

20 Regressonsgerade Gesucht st de Gerade y = b 1 + b 2 x zu der de Datenpunkte (x 1, y 1 )... (x n, y n ) aus der Stchprobe enen mnmalen Abstand haben D.h. mnmere SAQ(b 1,b2 ) N 1 ( y yˆ ) 2 N 1 ( y b 1 b 2 x ) 2 Was snd de Varablen? x, y snd de beobachteten Größen, b 1, b 2 snd de Veränderlchen Emprsche Softwaretechnk Wntersemester 2009/2010

21 Regressonsgerade Setze de beden ersten partellen Abletungen = 0 SAQ(b 1,b2 ) N 1 ( y 2 b1 b2 x ) SAQ(b 1,b2 ) SAQ(b 1,b2 ) b 1 b 2 0 mt SAQ(b b 1 SAQ(b b 2 1 1,b,b 2 2 ) ) 2 2 N 1 N 1 ( y x ( y b 1 b 1 b 2 x b 2 ) x ) Emprsche Softwaretechnk Wntersemester 2009/2010

22 Regressonsgerade Daraus (vgl. Tafel) ergbt sch das zu lösende Glechungssystem N N N N N y x x b x b y x b b n Emprsche Softwaretechnk Wntersemester 2009/2010

23 Regressonsgerade Auflösen nach b 1, b 2 (vgl. Tafel): b1 y b2 x b 2 N x 1 N 1 x y 2 n n x x 2 y Verzcht auf weteren Bewes, dass her tatsächlch Mnmum vorlegt Emprsche Softwaretechnk Wntersemester 2009/2010

24 Regressonsanalyse y De Regressonsgerade verläuft durch den Schwerpunkt (x,y) der Punktwolke (ohne Bewes). Tatsächlcher Punkt ŷ = b 1 + b 2 x y ŷ y Resduum (Fehler) e = y ŷ Durch Modell geschätzter Punkt Durch Modell ncht erklärte Abwechung (SQR) ŷ - y Durch Modell erklärte Abwechung (SQE) Emprsche Softwaretechnk Wntersemester 2009/2010 x x

25 Regressonsgerade und Korrelaton Maß für de von der Regressonsfunkton geleferte Erklärung; Güte des Regressonsansatzes Bestmmthetsmaß r 2 SQE SQT 1 N N 1 ( yˆ ( y y) y) 2 2 SQT Quadratsumme der zu erklärenden Abwechungen = SQE + SQR 0 kene Erklärung 1 vollständge Erklärung Verwandtschaft: 2 r Kann als der emprsche Korrelatonskoeffzent aufgefasst werden. Defntonsgemäß hat er das Vorzechen der Stegung der Regressonsgeraden Emprsche Softwaretechnk Wntersemester 2009/2010

26 Höhe der Queckslbersäule [mm] Ausblck: Ncht-lneare Regresson Lneare Regresson funktonert her ncht Temperatur [ C] Emprsche Softwaretechnk Wntersemester 2009/2010

27 Höhe der Queckslbersäule [mm] Ausblck: Ncht-lneare Regresson y e x/50,23 0,64 7,73 Ene nchtlneare Funkton passt besser Temperatur [ C] Emprsche Softwaretechnk Wntersemester 2009/2010

28 Wetere Untersuchungen be der Regresson Bestzen de Varablen überhaupt enen sgnfkanten Enfluss, d.h., tragen se zur Erklärung der Varaton der Zelvarablen be? Dazu muss de Fehlervaranz geschätzt und statstsche Tests durchgeführt werden Varablenselekton Zu vele zu erklärende Varablen können dazu führen, dass de Schätzer für b schlechter werden Emprsche Softwaretechnk Wntersemester 2009/2010

29 Schätzverfahren allgemen Von enem Stchprobenergebns ausgehend sollen de unbekannten Parameter ener Grundgesamthet geschätzt werden Punkteschätzung: Für den zu schätzenden Parameter wrd aufgrund ener Stchprobe en enzger Schätzwert angegeben. Bespel: Für das unbekannte arthmetsche Mttel µ ener Grundgesamthet wrd das arthmetsche Mttel x der Stchprobe verwendet. x wrd als konkrete Realsaton ener Zufallsvarablen nterpretert; X wrd als Schätzfunkton für µ benutzt. Intervallschätzung: Ausgehend von ener Stchprobe wrd en Konfdenzntervall (Vertrauensberech) angegeben, n dem der zu schätzende Parameter der Grundgesamthet mt ener bestmmten Wahrschenlchket legt. X Emprsche Softwaretechnk Wntersemester 2009/2010

30 Schätzverfahren allgemen Verfahren zur Konstrukton von Schätzfunktonen Maxmum-Lkelhood-Methode Prnzp: Bester Schätzwert maxmert Lkelhood-Funkton Dazu später mehr Schätzer sollten folgende Egenschaften haben Erwartungstreue: Der Erwartungswert stmmt mt dem wahren Parameter überen (m Bsp. mt arthmetschen Mttel: E ( X ) µ ) Effzenz: Wähle de Schätzfunkton mt der klensten Varanz Konsstenz: Für Stchprobenumfang schätzendem Parameter zusammen fällt Schätzwert mt zu Suffzenz: Sämtlche Informatonen über den zu schätzenden Parameter, de de Stchprobe enthält, werden ausgeschöpft Emprsche Softwaretechnk Wntersemester 2009/2010

31 Testverfahren We kann man mt Hlfe von Zufallsstchproben prüfen, ob bestmmte Hypothesen rchtg oder falsch snd? Dabe unterschedet man zwschen 2 Arten von Hypothesen: Parameterhypothesen: Hypothesen über unbekannte Parameter ener Grundgesamthet Überprüfung mt Parametertests (Hnwes: Wchtge Unterschedung zw. parametrsch und ncht-parametrsch) Vertelungshypothesen: Hypothesen über de unbekannte Vertelungsform ener Grundgesamthet Überprüfung mt Vertelungstests (z.b. Ch-Quadrat-Anpassungstest, Kolmogorov-Smrnov-Anpassungstest) Emprsche Softwaretechnk Wntersemester 2009/2010

32 Testverfahren Typsches Vorgehen 1. Aufstellung von Nullhypothese H 0 und Alternatvhypothese H A Festlegung des Sgnfkanznveaus p = α (d.h. de Wahrschenlchket, mt der H 0 verworfen wrd, obwohl se wahr st) 2. Festlegung ener geegneten Prüfgröße und Bestmmung der Testvertelung be Gültgket der Nullhypothese 3. Bestmmung des krtschen Berechs (Ablehnungsbrech für H 0 ) 4. Berechnung des Wertes der Prüfgröße (sog. Teststatstk) 5. Entschedung und Interpretaton [vgl. Bleymüller et al.] Emprsche Softwaretechnk Wntersemester 2009/2010

33 Hypothesentests - Vokabular 1/2 Forschungshypothese: De Annahme, de m Experment überprüft werden soll. Nullhypothese H 0 : De Hypothese, de durch en statstsches Verfahren getestet wrd; üblcherwese das Gegentel der Forschungshypothese. Alternatvhypothese H A : De Hypothese, de akzeptert wrd, wenn H 0 verworfen wrd; üblcherwese de Forschungshypothese Emprsche Softwaretechnk Wntersemester 2009/2010

34 Hypothesentests - Vokabular 2/2 Sgnfkanznveau: De Wahrschenlchket, mt der H 0 verworfen wrd, obwohl se wahr st. Ablehnungsberech: Ergebnsberech enes Experments, der zur Ablehnung von H 0 führt. Annahmeberech: Ergebnsberech enes Experments, der zur Annahme von H 0 führt. Krtscher Wert c: En Wert, der den Annahmeberech vom Ablehnungsberech trennt Emprsche Softwaretechnk Wntersemester 2009/2010

35 Ablehnungsberech Formulerung der Hypothese defnert Ablehnungsberech Ensetger Test: En enzger krtscher Wert c Ablehnungsberech st en enzger zusammenhängender Berech. Zwesetger Test: Zwe krtsche Werte c 1 und c 2. Gesamter Ablehnungsberech besteht aus zwe Berechen Emprsche Softwaretechnk Wntersemester 2009/2010

36 Ablehnungsberech Bespel Fabrkant behauptet, Ausschussantel sener Leferung wäre höchstens 10 % Nullhypothese H 0 : t <= 0,1 Abnehmer formulert Alternatvhypothese Ensetge Fragestellung (Überprüfung durch ensetgen Test ) H A : t > 0,1 (Ausschussantel größer als 10 %) Fabrkant behauptet, Ausschussantel sener Leferung wäre 10 % Nullhypothese H 0 : t = 0,1 Abnehmer formulert Alternatvhypothese Zwesetge Fragestellung (Überprüfung durch zwesetgen Test ) H A : t 0,1 (Ausschussantel unglech 10 %, d.h, entweder t < 0,1 oder t > 0,1) Emprsche Softwaretechnk Wntersemester 2009/2010

37 Ablehnungsberech Bespel: Fabrkant Nullhypothese H 0 : t 0 <= 0,1; Abnehmer formulert H A : t > t 0 = 0,1 (Ausschussantel größer als 10%). Normalvertelungsannahme mt µ = 0,1; σ = 0,03; Sgnfkanznveau α = 0,05. 1-α = 0,95 α = 0,05 0 0,10 0,15 0,20 p c = 0,149 Ausschussantel 0 z c = 1,645 3 Prüfgröße: Aus Ausschussantel P standardserte Zufallsvarable Z H 0 annehmen H 0 ablehnen Krtscher Berech Emprsche Softwaretechnk Wntersemester 2009/2010

38 Annahme- und Ablehnungsberech P( X c) 0 rechtssetg H 0 : μ A μ 0 H A : μ A > μ 0 lnkssetg H 0 : μ A μ 0 H A : μ A < μ 0 Annahmeberech P( X c) 0 Ablehnungsberech Annahmeberech α μ 0 c μ 0 Ablehnungsberech c α P( X c1 ) P( X c ) zwesetg Ablehnungsberech H 0 : μ A = μ 0 H A : μ A μ 0 α/2 c 1 μ 0 Annahmeberech Ablehnungsberech c 2 α/ Emprsche Softwaretechnk Wntersemester 2009/2010

39 Fehlerarten bem Hypothesentest De Ablehnung von H 0 kann entweder de rchtge oder de falsche Entschedung sen. Wenn H 0 trfft ncht zu wahr st, dann trfft man de rchtge Entschedung. Wenn H 0 trfft zu wahr st, trfft man de falsche Entschedung. Analog zwe Möglchketen m Falle der Annahme von H 0 Intutves Bespel Feueralarm trfft be der Feuerwehr en; soll en Ensatz begnnen? Es könnte en Fehlalarm sen. Es brennt tatsächlch 2 Möglchketen: Feuerwehr rückt aus oder ncht Es brennt ncht 2 Möglchketen: Feuerwehr rückt aus oder ncht Welche Art von Fehler würde man bevorzugen? Emprsche Softwaretechnk Wntersemester 2009/2010

40 Entschedung Fehlerarten bem Hypothesentest Fehler 1. Art: H 0 wrd ablehnen, obwohl se wahr st (p = α). (Zur Ernnerung: Sgnfkanznveau α: De Wahrschenlchket, mt der H 0 abgelehnt wrd, obwohl se wahr st.) Unbekannte Realtät H 0 wahr H 0 falsch Fehler 2. Art: H 0 wrd angenommen, obwohl se falsch st (p = β). H 0 ablehnen α 1 - β H 0 annehmen 1 - α β Emprsche Softwaretechnk Wntersemester 2009/2010

41 Fehler 1. und 2. Art H 0 H A β α μ 0 c μ A H 0 annehmen H 0 ablehnen Emprsche Softwaretechnk Wntersemester 2009/2010 Wenn H0 falsch, glt de Vertelung von H1

42 p-wert Alternatve zur Vorgehenswese bem Testen mt Bestmmung ener Prüfgröße und deren Verglech mt enem krtschen Wert (Schrtt 4) Idee: Vergleche sog. p-wert drekt mt Sgnfkanznveau α p-wert gbt de Wahrschenlchket an, unter H 0 den beobachteten Prüfgrößenwert oder enen n Rchtung der Alternatve extremeren Wert zu erhalten Lehne H 0 ab, wenn p-wert klener st als α α p z 1- z Emprsche Softwaretechnk Wntersemester 2009/2010

43 P-Wert Wenn p-wert sehr klen st, s es unter H 0 sehr unwahrschenlch, desen Prüfgrößenwert zu beobachten. Das sprcht eher dafür, dass H 0 ncht zutrfft. α p z 1- z Emprsche Softwaretechnk Wntersemester 2009/2010

44 Güte Güte/Macht/Trennschärfe enes Tests: 1-ß Interpretert als de Wahrschenlchket, de Alternatve anzunehmen, wenn se stmmt. 1-ß: Wahrschenlchket, kenen Fehler 2. Art zu begehen Wenn de Güte gerng st, dann st de Wahrschenlchket, de Alternatve anzunehmen, gerng. Man sprcht dann von ener verpassten Chance. Gütefunkton g(c) gbt de Ablehnwahrschenlchket n Abhänggket von c an Falls möglch, wähle unter allen -Nveau-Tests denjengen aus, der de größte Macht bestzt Emprsche Softwaretechnk Wntersemester 2009/2010

45 Zusammenhang von α und Güte H 0 H A H 0 H A β α β α μ 0 c μ A Vergrößerung von α Verschebt den krtschen Wert c nach lnks. Reduzert ß Erhöht Güte. Aber: α,de Wahrschenlchket für den Fehler 1. Art, erhöht! μ 0 c μ A Emprsche Softwaretechnk Wntersemester 2009/2010

46 Zusammenhang von μ 0 - μ A und Güte H 0 H A H 0 H A β α β α μ 0 c μ A μ 0 c μ A Großer Abstand zwschen μ 0 and μ A Bedeutet großen Untersched n den Mttelwerten (Effektgröße) Reduzert de Überlappungen der Vertelungen. Erhöht Güte. Umgekehrt bedeutet gernger Abstand gernge Güte Emprsche Softwaretechnk Wntersemester 2009/2010

47 Zusammenhang Stchprobengröße und Güte H 0 H A H 0 H A β α β α μ 0 c μ A Be größerer Stchprobe ändert sch de Vertelung der Statstk: de Varanz wrd klener Daher engerer Annahmeberech und größere Güte be glecher Alternatve Be großen Stchprobenumfängen st das Rsko ener verpassten Chance gernger. μ 0 c μ A Emprsche Softwaretechnk Wntersemester 2009/2010

48 Bespele für parametrsche Tests Enstchprobentests zu Lagealternatven t-test für den Erwartungswert Voraussetzungen: Gegeben Zufallsvarable X und X 1,,X n unabhängge Wederholungen, alle dentsch normalvertelt mt X ~ N (µ, ²), aber de Varanz ² der Grundgesamthet st unbekannt En hypothetscher Erwartungswert µ o soll verglchen werden mt dem tatsächlchen, unbekannten Erwartungswert m=e(x). Bespel für Hypothesenpaar für zwesetges Testproblem: H 0 : µ = µ 0 H A : µ µ 0 Als Teststatstk nmmt man mt S: Stchproben-Standardabwechung, n Stchprobengröße, T st Student-t-vertelt Anmerkung: Ist ² bekannt, benutzt man den sog. Gauß-Test mt der Teststatstk Dazu n der nächsten Vorlesung mehr Stchprobenmttelwert Emprsche Softwaretechnk Wntersemester 2009/2010

49 Bespele für parametrsche Tests Bespel t-test Ene Maschne stellt Plättchen mt normalvertelter Dcke her und Sollwert (d.h., Mttelwert) µ = 0,25 cm. Ene Stchprobe von n = 10 Werten lefert en arthmetsche Mttel von x = 0,253 cm be ener Standardabwechung von s = 0,003 cm. Überprüfen Se, ob de Maschne noch exakt arbetet, mt enem Sgnfkanznveau von α = 0,05. H 0 : µ = 0,25 cm; H A : µ 0,25 cm Prüfgröße T st Student-t-vertelt mt n - 1 = 9 Frehetsgraden Be zwesetger Fragestellung lefert Tabelle für α = 0,05 und = 9 den krtschen Wert t c = 2,262. Damt auch t cu = -t c = -2,62 und t co = t c = 2,262 Für -2,262 t 2,262 wrd H 0 also ncht abgelehnt T st her (0,253-0,25) (0,003 10) = 3,162 Nullhypothese wrd abgelehnt. Maschne arbetet ncht mehr exakt Emprsche Softwaretechnk Wntersemester 2009/2010

50 WILCOXON- RANGSUMMENTEST Emprsche Softwaretechnk Wntersemester 2009/2010

51 Motvaton In Expermenten st de Datenmenge oft klen Daten snd ncht normalvertelt Dann st t-test ncht anwendbar. Deshalb ncht-parametrsche Tests für Lagebestmmung verwenden Ncht-parametrsch heßt: Es werden kene Annahmen über de Parameter der Vertelung gemacht Wlcoxon-Rangsummen Test (oder Mann-Whtney U-Test) st en ncht-parametrscher, Zwestchproben-Test Emprsche Softwaretechnk Wntersemester 2009/2010

52 Wlcoxon Rangsummen-Test Voraussetzungen De Stchproben X und Y snd unabhängg. De Grundgesamtheten von X und Y haben stetge Vertelungsfunktonen F und G. Hypothesen für zwesetgen Test: H H 0 1 :F(z) :F(z G(z) θ) G(z) für alle z R,θ 0 De Vertelungen von F und G bestzen deselbe Form, können aber möglcherwese um enen Betrag verschoben sen. Unter desen Voraussetzungen glt, dass de Glechhet der Medane äquvalent zur Glechhet der Vertelungsfunktonen st Emprsche Softwaretechnk Wntersemester 2009/2010

53 Annahmen Beobachtungen x 1,...x m und y 1,...,y n haben mndestens ordnales Messnveau, d.h. de Beobachtungen können sortert werden ObdA: m n N = m + n Stchprobenvarablen X 1,..., X m und Y 1,, Y n unabhängg Emprsche Softwaretechnk Wntersemester 2009/2010

54 Bemerkungen Snd F und G normalvertelt so benütze t-test auf Glechhet der Erwartungswerte F-Test auf Glechhet der Varanzen Normalvertelung n der Praxs jedoch oft ncht gegeben Deshalb: Benutze ncht-parametrsches Gegenstück Emprsche Softwaretechnk Wntersemester 2009/2010

55 Vorgehen Schrtt für Schrtt 1. Kombnere de Stchproben x und y der Größen n und m. 2. Sortere de kombnerte Stchprobe der Größe N = n + m. (Ordnalskala geht her en) 3. Vergebe Ränge von 1 bs N, begnnend mt Summere de Ränge der kleneren Stchprobe; ergbt W N Emprsche Softwaretechnk Wntersemester 2009/2010

56 Wlcoxon Rangsummen-Test Bespel Stchprobe x = (3, 8), Größe m = 2 Stchprobe y = (6, 10, 12), Größe n = 3 Sorterte Stchprobe Quelle X Y X Y Y Rang () Klenere Stchprobe (V) Teststatstk: W 5 = = 4 W N = N 1 rg ( V ) n m V Emprsche Softwaretechnk Wntersemester 2009/2010

57 We wahrschenlch st W 5 =4? Be enem Vektor der Länge n+m st de Anzahl der Untervektoren der Länge m glech n m m Unter H 0 haben alle Untervektoren der Länge n+m de gleche Wahrschenlchket (!) Es se a(c) = Anzahl der Vektoren v mt Rangsumme c Dann st de Wahrschenlchket für das Auftreten enes bestmmten Rangsummenwertes P H 0 ( W N c) a( c) m n m Emprsche Softwaretechnk Wntersemester 2009/2010

58 We wahrschenlch st W 5 = 4? En Vektor der Größe N hat N N! (n m)! m m!(n m)! n!m! Telvektoren der Größe m Wenn H 0 glt, snd alle Telvektoren glech wahrschenlch. Zähle de Anzahl der Telvektoren mt der Rangsumme w = 4, dvdere durch 10 W 5 = w Telvektoren P(W 5 = w) 3 (1, 2) 0,1 4 (1, 3) 0,1 5 (1, 4) (2, 3) 0,2 6 (1, 5) (2, 4) 0,2 7 (2, 5) (3, 4) 0,2 8 (3, 5) 0,1 9 (4, 5) 0, Emprsche Softwaretechnk Wntersemester 2009/2010

59 Vorgehen (fortgesetzt) 5. Wähle das Sgnfkanznveau α 6. Teste H 0 : a) Zwesetger Test: Lehne H 0 ab, wenn W N w α/2 oder W N w 1-α/2 p-wert: P(W N w α/2 ) + P(W N w 1-α/2 ) b) Ensetge Tests: Verwende nur ene der oberen Ablehnungsbedngungen und w α Emprsche Softwaretechnk Wntersemester 2009/2010

60 Bespel: Programmeraufwand Programmerzeten der Kontrollgruppe X und der jcontract-gruppe Y j n Mnuten: X Y j Nullhypothese: bede Vertelungen glech Alternatve: jcontract klener (ensetger Test) Emprsche Softwaretechnk Wntersemester 2009/2010

61 Programmeraufwand Kombnerte Stchprobe mt Rängen y x x y x y x y x y y x y W N = = Emprsche Softwaretechnk Wntersemester 2009/2010

62 Programmeraufwand Ist jetzt G = F? Hypothese ablehnen wenn W N w (ensetger Test auf klener) Für α = 0,05 haben wr w α = 29 Also: Da W N = 38 > 29 = w α lehnen wr Hypothese ncht ab Ergebns: Zuscherungen reduzeren den Programmeraufwand ncht Emprsche Softwaretechnk Wntersemester 2009/2010

63 Was tun be glechen Werten? Wenn gleche Stchprobenwerte vorlegen, ordne Durchschnttsränge auf alle Elemente der Gruppe Gleche Stchprobenwerte heßen Bndungen (engl. tes) Bespel: x=( ) Ränge: ( ) Emprsche Softwaretechnk Wntersemester 2009/2010

64 Zusammenfassung Der Wcoxon-Test prüft zwe Stchproben, ob se aus der glechen Vertelung stammen; erfordert kene Normalvertelungsannahme. Wenn man mehr als zwe Stchproben hat (z.b. aus dre Softwaretechnken), heßt der analoge Test Kruskal-Walls Varanzanalyse ( Kruskal-Walls One-way Analyss of Varance ) Wenn man en Vorher-Nachher-Experment hat (es werden Werte vor und nach Enführung ener neuen Methode gemessen) und man wll Unterschede n den Vorher- Nachher-Dfferenzen testen, dann benutzt man den Wlcoxon Matched-Pars Sgned-Ranks Test Emprsche Softwaretechnk Wntersemester 2009/2010

65 Nächster Termn Bem nächsten Mal (9.11.) btte en Laptop mt R nstallert mtbrngen! Emprsche Softwaretechnk Wntersemester 2009/2010

66 Lteratur [Howell 1999] Davd C. Howell, Fundamental Statstcs for the Behavoral Scences, Brooks/Cole Publshng Co, Bleymüller et al., Statstk für Wrtschaftswssenschaftler, Verlag Vahlen Fahrmer et al., Multvarate statstsche Verfahren, de Gruyter Verlag, 1984 Fahrmer et al., Statstk, Sprnger, 1999 Hartung, Statstk, Oldenbourg, Emprsche Softwaretechnk Wntersemester 2009/2010