Ökometrie I 10 Korrelation - Regression
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- Nora Bieber
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1 Ökometre I 10 Korrelaton - Regresson Ka Uwe Totsche LS Hydrogeologe Fredrch-Schller-Unverstät Jena Prof. Dr. Ka Uwe Totsche Ökometre I Korrelaton - Regresson 10-1
2 Zele und Lernnhalte Zel deser Enhet Zwedmensonale Stchproben Charakterseren des Zusammenhangs Quantfzerung der Abhänggket/des Zusammenhangs Lernnhalte Kovaranz Korrelaton Regresson Autokorrelaton Prof. Dr. Ka Uwe Totsche Ökometre I Korrelaton - Regresson 10-2
3 Korrelaton und Regresson Mt den Verfahren der Regressons- und Korrelatonsanalyse wrd der Zusammenhang der Merkmalsausprägungen zweer (oder mehrerer) Zufallsvarablen gemessen. Mt der Korrelaton wrd dabe de Stärke enes (ungerchteten) Zusammenhanges, mt der Regresson de Art enes (gerchteten) Zusammenhanges (Je-Desto- Bezehung) gemessen. Prof. Dr. Ka Uwe Totsche Ökometre I Korrelaton - Regresson 10-3
4 Korrelaton und Korrelatonsrechnung De herbe typscherwese gestellte Frage lautet: We stark st der Zusammenhang der Merkmalsausprägung zweer (oder mehrerer) unabhängger Zufallsvarablen X. Korrelaton zwschen zwe Varablen bezehungswese Korrelerthet zweer Zufallsvarablen ermöglcht es, den Merkmalswert ener Zufallsvarable durch den Merkmalswert ener anderen Zufallsvarable vorher zu sagen, ohne den funktonalen Zusammenhang zu kennen. De Korrelaton, und her nsbesondere auch de emprsche Korrelaton (kene Enschränkung bezüglch der Grundgesamthet der Varablen), st demnach de Grundlage für alle späteren Quantfzerungen der Bezehungen und des Zusammenhanges zwschen zwe Zufallsvarablen. Prof. Dr. Ka Uwe Totsche Ökometre I Korrelaton - Regresson 10-4
5 Motvaton: Zusammenhang zwschen Umweltdaten Gegeben: Zwedmensonale Stchprobe x y x, y,, x, y,, x, y, 1 1 Messung/Bestmmung von zwe Merkmalen/Egenschaften/ Größen an n Objekten Fragen: Besteht ene Bezehung (wechselsetge Abhänggket) zwschen den Merkmalen We stark/groß/straff st de Bezehung Stärke der Abhänggket Wrd ene Größe von der anderen beenflusst? n n Prof. Dr. Ka Uwe Totsche Ökometre I Korrelaton - Regresson 10-5
6 Bespel 1: Zusammenhang ph-wert und Lagerungsdchte 1,50 1,40 db/ph 1,30 d b [g cm -3 ] 1,20 1,10 1,00 0,90 0,80 0,70 5 5,2 5,4 5,6 5,8 6 6,2 6,4 ph Prof. Dr. Ka Uwe Totsche Ökometre I Korrelaton - Regresson 10-6
7 Bespel 2: Zusammenhang Corg und Fed-Wert Fed [mg g-1] 35,00 30,00 25,00 20,00 Corg/Fed 15,00 10,00 5,00 0,00 0,00 10,00 20,00 30,00 40,00 50,00 Corg [mg kg-1] Prof. Dr. Ka Uwe Totsche Ökometre I Korrelaton - Regresson 10-8
8 Bespel 3: Zusammenhang Fed/o und Al d/o-werte 35,00 30,00 Fed [mg g-1] 25,00 20,00 15,00 10,00 5,00 Ald/Fed 0,00 0,00 1,00 2,00 3,00 4,00 5,00 6,00 7,00 Ald [mg kg-1] 12,00 10,00 Feo [mg g-1] 8,00 6,00 4,00 2,00 Alo/Feo 0,00 0,00 2,00 4,00 6,00 8,00 10,00 12,00 14,00 Alo [mg kg-1] Prof. Dr. Ka Uwe Totsche Ökometre I Korrelaton - Regresson 10-9
9 Bespel 4: Zusammenhang CEC und Ca 2+ CEC [cmol c kg] 12,70 10,70 8,70 6,70 4,70 2,70 CEC/Ca 2+ 0,70 0,00 2,00 4,00 6,00 8,00 10,00 Ca 2+ Prof. Dr. Ka Uwe Totsche Ökometre I Korrelaton - Regresson 10-10
10 Korrelaton, und Regresson Aufgabe: Ermtteln des Zusammenhangs zwschen zwe Varablen Korrelaton und Regresson behandeln Zufallsexpermente, be denen der Zusammenhang zweer Zufallsvarablen ermttelt wrd. Untersched legt n der Art und Wese, we wr de Bezehung der beden Zufallsvarablen zuenander a-pror enschätzen. Regresson: Varable Y abhängg von Varable X Korrelaton: Bede Varablen (X,Y) glechwertg Prof. Dr. Ka Uwe Totsche Ökometre I Korrelaton - Regresson 10-11
11 Zusammenhangsmaße 1: Emprsche Kovaranz Emprsche 1 n n 1 1 cov Kovaranz: xy, s x x y y xy 1,50 1,40 db/ph 12,70 10,70 CEC/Ca 2+ d b [g cm -3 ] 1,30 1,20 1,10 1,00 0,90 0,80 c kg] CEC [ cmol 8,70 6,70 4,70 2,70 0,70 5 5,2 5,4 5,6 5,8 6 6,2 6,4 ph cov x, y ,70 0,00 2,00 4,00 6,00 8,00 10,00 cov Ca 2+ x, y Prof. Dr. Ka Uwe Totsche Ökometre I Korrelaton - Regresson 10-12
12 Zusammenhangsmaße 2: Emprscher Korrelatonskoeffzent Emprscher Korrelatonskoeffzent: r xy s s xy s 2 2 x y Normerung der Kovaranz auf: 1 r 1 +1 stegende Gerade -1 fallende Gerade x = const. und y = const. Grenzübergang: r = 0 Aufgemercht! Msst nur den lnearen Zusammenhang Prof. Dr. Ka Uwe Totsche Ökometre I Korrelaton - Regresson 10-13
13 Exkurs: Enfluss der Extremwerte 12,70 10,70 CEC/Ca 2+ c kg] CEC [ cmol 8,70 6,70 4,70 2,70 cov x, y r xy ,70 0,00 2,00 4,00 6,00 8,00 10,00 Ca 2+ CEC [cmolc kg] 12,70 10,70 CEC/Ca2+ 8,70 6,70 4,70 cov x, y r xy ,70 0,70 0,00 1,00 2,00 3,00 4,00 5,00 Ca2+ Prof. Dr. Ka Uwe Totsche Ökometre I Korrelaton - Regresson 10-14
14 Exkurs 2: Autokorrelaton Serelle Korrelaton Be sequenteller Aufnahme/Messung n Raum und Zet: Tendenz, das benachbarte Werte ene größere Ähnlchket aufwesen Bsp: Stündlche Temperaturmessungen n der Saale zegen große Varaton über lange Zeträume - Snd sch aber ähnlch, wenn man stündlche Messungen mtenander verglecht! De Tendenz, das benachbarte Aufnahmen/Messungen n Raum und zet ene größere Ähnlchket aufwesen wrd Serelle Abhänggkete bzw Autokorrelaton bezechnet Besondere Anwendung: Zetrehenanalyse Räumlche Abhänggket: Geostatstk Prof. Dr. Ka Uwe Totsche Ökometre I Korrelaton - Regresson 10-15
15 Regresson und Regressonsanalyse In der Regressonsanalyse wrd zwschen ener abhänggen und ener (oder mehrerer) unabhängger Varablen unterscheden. Zel der Regresson st es festzustellen, we sch Änderungen der unabhänggen Varablen auf de abhängge Varable auswrken. De Regressonsanalyse beschrebt also de Art des Zusammenhanges und ermöglcht über de rene Beschrebung hnaus ene Voraussage (Prädkton). Prof. Dr. Ka Uwe Totsche Ökometre I Korrelaton - Regresson 10-16
16 Umsetzung der Regressonsanalyse Schrtt 1: Festlegung der ab- bzw. unabhänggen Varablen Schrtt 2: Aufstellen des Modells Scatterplot, um erste Hnwese auf Art des Modells zu bekommen Schrtt 3: Bestmmung der Parameter des Modells Methode der klensten Quadrate Schrtt 4: Berechnung der Güte der Anpassung Bestmmthetsmaß Prof. Dr. Ka Uwe Totsche Ökometre I Korrelaton - Regresson 10-17
17 Bespeldaten: Texturanalyse Lockergesten no. sample bulk densty Surface Glühverlust CEC gs ms fs gu mu fu T [g/cm 3 ] [m 2 g -1 ] [%] [cmol c kg -1 ] [%] [%] [%] [%] [%] [%] [%] 1 PT034/1 1,06 3,91 7,58 4,70 21,1 20,5 18,0 8,8 8,7 9,2 13,9 2 PT034/2 1,08 5,33 3,19 3,19 22,9 25,2 19,4 7,1 7,4 5,8 12,2 3 PT034/3 1,24 4,24 2,41 2,47 16,0 29,4 25,0 7,2 7,2 5,6 9,5 4 PT034/4 1,24 4,35 3,65 4,04 21,2 29,3 22,9 4,3 7,8 5,6 9,0 5 PT034/5 1,26 2,61 3,10 2,65 13,9 41,9 18,8 3,9 9,2 4,9 7,5 6 PT034/6 0,86 4,84 9,25 11,71 9,2 18,2 21,6 7,3 11,2 12,5 20,1 7 PT035/1-99,00 5,46 7,55 4,39 14,6 20,8 18,8 6,1 8,8 11,5 19,4 8 PT035/2-99,00 3,84 3,72 1,45 36,7 19,8 11,7 4,4 6,9 7,0 13,5 9 PT035/3-99,00 2,69 0,79 0,61 63,9 20,0 5,3 2,0 2,0 1,6 5,2 10 PT036/1 1,28 6 5,38 4,80 10,7 21,7 21,5 3,6 7,5 11,2 23,9 11 PT036/2 1,24 7,9 4,48 4,49 9,2 24,0 19,3 4,5 8,1 11,2 23,5 12 PT036/3 1,23 6,12 2,25 3,32 18,1 31,0 17,9 4,1 7,3 7,6 13,8 13 PT036/4 1,33 1,85 1,50 1,14 44,0 35,0 9,5 1,4 2,2 2,2 5,7 14 PT036/5 1,28 1,23 1,43 0,48 42,8 36,8 10,3 1,5 1,1 1,5 5,9 15 PT037/1 1, ,00 2,23 11,6 25,5 21,7 5,2 8,7 10,9 16,4 16 PT037/2 1,14 5,87-99,00 0,87 6,7 42,6 26,1 3,1 5,5 5,0 11,0 17 PT038/1 1,34 9,78 5,57 6,08 11,1 23,5 23,3 7,0 7,7 8,1 19,3 18 PT038/2 1,30 12,19 4,80 3,45 13,6 21,2 28,3 6,2 6,4 6,2 18,1 19 PT038/3 1,16 3,48 4,85 1,75 11,0 30,7 33,5 6,6 6,6 4,0 7,6 20 PT039/1-99,00 7,51 10,76 2,54 4,0 14,2 27,5 9,9 12,2 13,1 19,1 21 PT039/2-99,00 8,18 8,41 3,07 5,0 18,5 25,5 11,5 11,7 11,1 16,7 22 PT039/3-99,00 1,83 5,27 1,17 23,3 42,3 14,7 4,9 4,8 4,0 6,0 23 PT039/4-99,00 1,23 3,95 0,71 53,0 21,5 10,8 1,9 2,8 3,5 6,5 24 PT039/5-99,00 1,2 2,71 0,23 52,0 28,7 8,3 1,7 1,9 1,8 5,7 25 PT040/1 1,19 6,35 8,55 1,65 17,5 26,3 22,0 4,4 10,4 8,8 10,5 26 PT040/2 1,25 12,15 7,19 2,18 11,5 25,5 22,7 6,7 10,4 8,0 15,2 27 PT040/3 1,31 12,32 7,63 3,46 16,7 22,7 16,6 3,5 8,6 10,5 21,4 28 PT040/4 1,16 15,7 8,56 3,85 8,0 30,2 21,9 2,0 7,6 8,6 21,6 29 PT040/5 1,20 8,59 5,04 3,07 7,7 46,6 23,1 2,5 5,6 5,7 8,7 30 PT040/6 1,28 6,38-99,00 4,07 9,5 50,1 18,1 2,5 7,4 5,2 7,3 31 PT041/1 0,78 34,86 10,70 1,24 3,3 7,4 13,9 4,5 14,9 21,1 35,0 32 PT041/2 0,95 25,59 8,73 2,72 3,4 7,9 17,0 12,9 16,1 13,0 29,6 33 PT041/3 0,98 17,51 5,81 1,87 4,6 14,2 33,4 9,2 10,7 9,2 18,7 34 PT041/4 1,26 9,9 4,84 1,10 20,5 25,5 23,0 6,6 7,9 5,6 11,0 35 PT041/5 0, ,78 2,73 1,3 3,6 9,4 11,9 13,5 16,5 43,9 36 PT041/6 0,97 35,76 8,32 2,92 2,3 5,1 12,0 8,6 13,5 15,6 43,0 37 PT041/7 1,20 25,12 6,72 2,41 3,9 12,9 13,1 8,8 12,7 15,7 33,0 38 PT041/8 1,35 14,83 4,38 1,57 23,4 20,7 15,7 5,8 9,2 9,5 15,8 Analyse des Zusammenhangs von spezfscher Oberfläche und Tongehalt Welche st de unabhängge Varable, welche de abhängge Varable? Prof. Dr. Ka Uwe Totsche Ökometre I Korrelaton - Regresson 10-18
18 Datennspekton: Scatterplot S [m 2 g -1 ] 50,0 45,0 40,0 35,0 30,0 25,0 20,0 15,0 10,0 5,0 0,0 Aufgrund der Form der Punktwolke wrd en lnearer Zusammenhanges unterstellt (Punkte streuen bandförmg um ene gedachte Gerade). De gesuchte Geradenglechung wrd mt Hlfe der lnearen Regressonsanalyse bestmmt werden kann T [%] Lnearer Zusammenhang (Modell: Geradenglechung) y a b x Herbe bezechnet y de abhängge Varable, a das Absolutgled (Achsenabschntt, Intercept), b de Stegung (slope) und ε enen zufällgen Fehlerterm. Prof. Dr. Ka Uwe Totsche Ökometre I Korrelaton - Regresson 10-19
19 Schätzung der Modellparameter Zu den gegebenen Wertepaaren (x, y ) werden durch Mnmerung der Resduen de entsprechenden Koeffzenten (a,b) geschätzt. ˆ y a b x yˆ y mn! y ŷ Methode der klensten Quadrate: Zel st es, de Summe der quadrerten Dfferenzen zwschen dem beobachteten Wert und dem vorhergesagten Wert (das Resduum) zu mnmeren. Prof. Dr. Ka Uwe Totsche Ökometre I Korrelaton - Regresson 10-20
20 Veranschaulchung y Gesamtabwechung Unerklärte Abwechung ŷ y Erklärte Abwechung Prof. Dr. Ka Uwe Totsche Ökometre I Korrelaton - Regresson 10-21
21 Beurtelung der Güte der Regresson (I) De Güte der Regressonsgeraden wrd geprüft durch de Zerlegung der Streuung (= Varanz) n zwe Terme: Gesamtstreuung 2 2 y y yˆ y y yˆ Resduenstreuung 2 erklärte Streuung (durch Glechung bestmmt) Prof. Dr. Ka Uwe Totsche Ökometre I Korrelaton - Regresson 10-22
22 Beurtelung der Güte der Regresson (II) Als Maßzahl zur Beurtelung der Güte der Regressonsschätzung dent das Bestmmthetsmaß r 2. 2 yˆ y 2 r 2 y y Es stellt das Verhältns von erklärter Streuung zur Gesamtstreuung dar und st beschränkt m Werteberech (0 r 2 1). Prof. Dr. Ka Uwe Totsche Ökometre I Korrelaton - Regresson 10-23
23 Motvaton: Regressons-Analyse Wesentlche Aufgabe der Statstk: Quantfzerung des Zusammenhanges zwschen Umweltdaten Anpassung ener Funkton an Messdaten mt dem Zel Vorhersage von zukünftgen Eregnssen Y als Funkton der Varablen X Quantfzerung des Enflusses von X auf Y um Y zu optmeren (Senstvtät Response-Surfaces) Bespel: Anpassen ener Kalbrergerade Unabhängger Varable: Standard-Konzentratonen des Analyten, Abhängge Varable: Messsgnal des Gerätes) Anpassen ener nstatonären, nchtlnearen Funkton Beschrebung der Abhänggket des bologschen Abbaus n ener Kläranlage als Funkton der Tefe, Belüftung, Nährstoffversorgung, Temperatur, ph, Regresson: En Schrtt n der Modellerung der Daten Prof. Dr. Ka Uwe Totsche Ökometre I Korrelaton - Regresson 10-27
Grundgedanke der Regressionsanalyse
Grundgedanke der Regressonsanalse Bsher wurden durch Koeffzenten de Stärke von Zusammenhängen beschreben Mt der Regressonsrechnung können für ntervallskalerte Varablen darüber hnaus Modelle geschätzt werden
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Beschrebende Statstk Mttelwert Unter dem arthmetschen Mttel (Mttelwert) x von n Zahlen verstehen wr: x = n = x = n (x +x +...+x n ) Desen Mttelwert untersuchen wr etwas genauer.. Zege für n = 3: (x x )
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Beschrebung des Zusammenhangs zweer metrscher Merkmale Streudagramme Korrelatonskoeffzenten Regresson Alter und Gewcht be Kndern bs 36 Monaten Knd Monate Gewcht 9 9 5 8 3 4 7.5 4 3 6 5 3 6 4 3.5 7 35 5
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Sind die nachfolgenden Aussagen richtig oder falsch? (1 Punkt pro korrekter Beantwortung)
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Bblografsche Informaton der Deutschen Natonalbblothek De Deutsche Natonalbblothek verzechnet dese Publkaton n der Deutschen Natonalbblografe; detallerte bblografsche Daten snd m Internet über http://dnb.dnb.de
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