(Essentiell) τ-äquivalente Tests:

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1 (Essentell) τ-äquvalente Tests: τ-äquvalenz: Essentelle τ-äquvalenz: τ τ τ τ +λ Repräsentatonstheore (Exstenzsatz): De Tests,..., snd genau dann τ-äquvalent, wenn ene reelle Zufallsvarable η sowereellekonstantenλ,..., λ exsteren, so dass glt: η τ +λ... τ +λ Was st das eprsche Relatv be deser Messung? Das Verhalten der Testpersonen n den Teststuatonen, sowe de Transforaton des Verhaltens n de beobachteten Werte,...,. Was st das nuersche Relatv der Messung? De (latente) Zufallsvarable η. Se erfasst (deengen) Verhaltenstendenzen der Testpersonen, de sch n den beobachteten Werten nederschlagen. Aber auch de Iteparaeter λ,..., λ,, welche de Schwerget des Ites erfassen sollen. Endeutget der latenten Varablen η und der Iteparaeter: Nachde ener der Iteparaeter λ,..., λ festgelegt wrd, snd alle andere Iteparaeter als auch de latente Varable endeutg defnert. Zwe verschedenen Paraetrserungen lassen sch nenander überführen, nde an zu ede der Iteparaeter sowe der latenten Varablen η en und deselbe Konstante addert. Daher haben sowohl de Iteparaeter als auch der Personenparaeterη Dfferenzsalennveau. Daher snd lneare Transforatonen zur Norerung der Testwerte be (essentell) τ- äquvalenten Test ene zulässgen Transforatonen. Das Dfferenzsalennveau der Messung geht dabe verloren.

2 Eprscher Gehalt des Modells (essentell) τ-äquvalenter Varablen. De Erwartungswerte der Dfferenz zwschen τ-äquvalenten Varablen üssen n allen Subpopulatonen (z.b be Männer und Frauen) glech sen. E ( u P ) E( u P ) E( u P ) E( u ) P Dese Egenschaft wrd auch spezfsche Obetvtät genannt, da Unterschede zwschen Personen(-gruppen) ncht von den Ites abhängen und Unterschede zwschen den Ites ncht von den Personen(-gruppen) abhängen. De spezfsche Obetvtät lässt sch t de t-test für abhängge Stchproben oder de T²-Test überprüfen, falls an NV und Zufallstchprobe annt.. De Kovaranzen verschedener τ-äquvalenter Varablenpaare üssen dentsch sen: (, ) (, ) n Lässt sch t Prograen überprüfen, de Kovaranzen analyseren (LIS, PROC CALIS von SAS) ε η ε

3 Relabltätsschätzung be essentell τ-äquvalenten Tests: ( ) ( τ, τ ) (, ),falls ( ε, ε ) 0 ( τ ) ( ) ( ) ( ) ( τ ) τ, τ, ρ( ),wenn außerde ( ) ( ), ( ε ) ε De Korrelaton enes Test t ene Retest oder ene Paralleltest st nur dann en angeessener Schätzer der Relabltät, wenn de Fehler unorrelert snd und dentsche Streuungen haben und de Tests essentell τ-äquvalent snd! Spearan-Brown Forel für heterogene Fehlervaranz: τ ( η) (, ) + ( ) ( ) +, ( ) U.U. en onotoner Ansteg der Relabltät t zunehender Testlänge. Spearan-Brown Forel für hoogenen Fehlervaranzen: De Relabltät der Sue unorrerlerter, essentell τ-äquvalenten Tests lässt sch t Cronbach s α oder Guttann s Lada- Koeffzent berechnen: α λ,falls alle τ-äquvalent snd. De Annahe der essentellen τ-äquvalenz legt allen gebräuchlchen Relabltätsschätzungen Rahen der lassschen Testtheore zugrunde. (Insbesondere be Retest- und Paralleltestrelablltät). Daher sollte se unbedngt eprsch überprüft werden. Defnton: Test snd parallel, wenn se () τ-äquvalent snd () de Fehlervaranz hoogen st (3) und de Fehler (loal) unorrelert snd.

4 τ-ongenersche Tests τ κ τ +λ Exstenzsatz (Repräsentatonstheore): De Tests,..., snd genau dann τ-ongenersch, wenn ene reelle Zufallsvarable η sowereellekonstantenλ,κ,..., λ,, κ exsteren, so dass glt: η κ τ + λ κ τ + λ Endeutget der latenten Varablen η und der Iteparaeter: Nachde ener der Iteparaeter λ, κ enes Ites festgelegt werden, snd alle andere Iteparaeter als auch de latente Varable endeutg defnert. Zwe verschedenen Paraetrserungen lassen sch durch lneare Transforatonen nenander überführen. η und λ,..., λ, haben Intervallsalennveau. κ,..., κ, haben Verhältnssalennveau. Eprscher Gehalt des Modells τ-ongenerscher Varablen:. Für Kovaranzen verschedener τ-ongenerscher Varablen uss gelten: (, ) (, ) (, ) (, ) n n Lässt sch t Prograen überprüfen, de Kovaranzen analyseren (LIS, PROC CALIS von SAS). De Tests snd endensonal Snne der (onfratorschen) Fatorenanalyse. η ε ε Wetere testbare Annahen fnden sch be Steyer & Ed (993).

5 Relabltätsschätzung be τ-ongenerschen Tests: erfordert, dass ndestens dre τ-ongenerschen Tests vorlegen: ( τ ) ( ( τ )) τ τ,, ρ, ρ, τ τ, ρ, De Korrelaton enes Test t ene Retest oder ene Paralleltest st nur dann en angeessener Schätzer der Relabltät, wenn de Fehler unorrelert snd und dentsche Streuungen haben und de Test essentell τ-äquvalent snd!

6 Be Fatorenanalyse De Hauptfatoranalyse st ene ultvarate Verallgeenerung des Modells τ- ongenerscher Varablen. κ + κ η + κ η + + κ η κ + κ η + κ η + + κ η + ν + ε 0 bzw. 0 Es werden also angenoen, dass sch der wahre Wert ener Testperson sch addtv aus ener Lneraobnaton der latenten Fatoren sowe der Ausprägung auf ene spezfschen Fator zusaensetzt. Der Varanzantel der durch de Fatoren erlärt wrd, nennt an Kounaltät. Prnzp der Fatorenanalyse Schätzung der Kounaltäten der Varablen (Ites) o Ens Hauptoponentenanalyse o Multple Korrelaton t den anderen Varablen Bestung der Anzahl notwendger Fatoren o Scree-Test o Egenwert-Krteru o Varanzauflärung (00%, be Hauptoponentenanalyse 60-70% angestrebt) o Interpreterbaret der (roterten) Lösung (eventuell) Rotaton (Zel: Enfachstrutur) o orthogonal (z.b. varax) o oblque (z.b. Harrs-Kaser) Ergebnsse Fatorladungen (vgl. Trennschärfe be endensonalen Tests) der Varablen snd de Grundlage für de nhaltlche Interpretaton der Fatoren. Fatorwerte (Scores) lefern Schätzungen für de Ausprägungen der enzelnen Personen auf den latenten Fatoren. der Testonstruton bldet an (fator-baserte) Salen est enfach dadurch, dass an de Ites t den höchsten Ladungen suert (u.u. starer Bas).