ANOVA (Analysis of Variance) Varianzanalyse. Statistik Methoden. Ausgangssituation ANOVA. Ao.Prof.DI.Dr Josef Haas

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1 Ao.Prof.DI.Dr Josef Haas ANOVA (Analyss of Varance) Varanzanalyse Statstk Methoden Verglech von Mttelwerten Ao.Unv.Prof.DI.Dr. Josef Haas Ausgangsstuaton ANOVA Zwe Varable: 1 Kategoral/Nomnal, 1 Quanttatv Frage: Gbt es enen Untersched zwschen den Gruppen (=Ausprägung der kategoralen Varablen) bezüglch der quanttatven Varablen, snd also de Mttelwerte unterschedlch? Kategorale Varable mt genau zwe Werten (also Gruppen bzw. Faktorstufen) -Stchproben t-test, Welch-Test Anzahl der unabhänggen Varable 1 größer 1 1 enfaktorelle mehrfaktorelle Varanzanalyse Varanzanalyse Anzahl d. abhänggen Varablen größer 1 enfaktorelle multvarate Varanzanalyse (MANOVA) mehrfaktorelle multvarate Varanzanalyse (MANOVA) Mehr als zwe Gruppen ANOVA Anm. Faktorstufen bzw. Subpopulatonen werden her als Gruppen bezechnet Page 3 Page 4 1

2 Bespel Deskrptve AnaIyse De Anzahl der defekten Tele be 5 Leferungen von Montagetelen von 3 Leferanten wrd geprüft: Leferanten = Gruppen: A, B, C Messungen: # defekte Tele pro 1000 Daten Mttelwerte]: A: 5,6,6,7,7,8,9,10 [7.5] B: 7,7,8,9,9,10,10,11 [8.875] C: 7,9,9,10,10,10,11,1, ] 11] Snd de Unterschede sgnfkant? (Gbt es Unterschede zwschen den Leferanten bezüglch Produktqualtät?) Grafsche Analyse: Boxplots multple Hstogramme Ene möglche Sgnfkanz (=Untersched zwschen den Gruppen) hängt ab von den Unterscheden der Mttelwerte der Standardabwechung jeder Gruppe den Stchprobengrößen ANOVA berechnet den p-wert der F-Statstk Page 5 Page 6 Boxplots Was macht de ANOVA? Im enfachsten Fall testet de ANOVA folgende Hypothesen: H 0 : De Mttelwerte aller Gruppen snd glech. H 0 : 1 = = = k H a : Ncht alle Mttelwerte snd glech H a : j für rgenden, j Es gbt kene Aussage wo der Untersched legt. Mt Kontrasten können vorher festgelegte geplante Vergleche durchgeführt werden Multple Vergleche (Post-Hoc-Tests) können nachgeschaltet werden Page 7 Page 8

3 Voraussetzungen der ANOVA Normalty Check Normalvertelte Werte n jeder Gruppe o Überprüfen mt Q-Q-Plots Q Plots, Hstogrammen, Shapro-Wlks-Test Test,. o robust be gerngen Abwechungen von deser Annahme, problematsch be Ausreßern De Standardabwechungen jeder Gruppe snd annähernd glech (Homoskedastztät) o Faustregel: Verhältns größter zu klenster Standardabwechung muss klener :1 sen De Messwerte bzw. Faktorstufen snd vonenander unabhängg De Voraussetzung der Normalvertelung können überprüft werden mt Annahmen (Vorwssen) über de Populaton Hstogramme für jede Faktorstufe Quantl-Quantl-Plots für jede Gruppe Anm.: Be klenen Gruppengrößen gbt es kaum brauchbare Überprüfungen; häufg wrd enfach angenommen, dass physkalsche Messungen tendenzell normalvertelt snd. Be Abwechungen von den Voraussetzungen können je nach Sachlage Transformatonen hlfrech sen bzw. das Framework der GLM (Generalzed Lnear Model), possonvertelte Fehlermodelle, Page 9 Page 10 Hstogramm (mt Normalvertelungskurve) & Q-Q-Plot Error Bar & Boxplot De her gezegte Vertelung st ncht symmetrsch und wecht von ener Normalvertelung ab. Bem Quantl-Quantl-Plot werden de beobachteten Werte mt Quantlen ener theoretschen Vertelung (her: Normalvertelung) verglchen. Be Überenstmmung legen de Punkte auf ener Geraden, schefe Vertelungen und Ausreßer können rasch erkannt werden Bem Fehlerbalkendagramm werden Mttelwerte mt enem Vertrauensberech (her: +/- Standardabwechungen) angezegt. In beden Dagrammen st erschtlch, dass de beden mttleren Altersgruppen höhere Werte aufwesen. Bem Boxplot st de Varabltät der Daten besser erschtlch, bem Fehlerbalken de Varabltät der Mttelwerte Page 11 Page 1 3

4 Standard Devaton Check Notaton ANOVA Varable Leferant N Mean Medan StDev Defekte A B P Verglech der klensten und größten Standardabwechung: größte: klenste: x =.916 > Anm: en StAbw-Verhältns von :1 entsprcht enem Verhältns der Varanzen von 4:1 n = Anzahl der Objekte (Personen, Messungen) alle Daten k = Anzahl der Gruppen (Faktorstufen) x = Mttelwert aller Daten Gruppe n = Anzahl der Objekte n Gruppe xj = Wert des j-ten Objekts n Gruppe x. = Mttelwert der Gruppe s = Standardabwechung der Gruppe. 1, k j 1, n Page 13 Page 14 We ANOVA funktonert We ANOVA funktonert ANOVA msst zwe Komponenten der Varaton n den Daten und verglecht deren relatve Größe. De Summe der Abwechungsquadrate (=sum of squares) der Stchproben um das Gesamtmttel lässt sch zerlegen n de Varaton INNERHALB der Gruppen für jeden Wert betrachtet man den Untersched zwschen Enzelwert und Gruppenmttel Varaton ZWISCHEN den Gruppen für jeden Wert betrachtet man den Untersched zwschen Gruppenmttel und Gesamtmttel Letzte Zele: beschrebt de Anzahl der Frehetsgrade (df=degrees of freedom), j ( x j total x) ( n 1), j ( x wthn j x. ) ( n k) n ( x between. ( k 1) x) Aus den Quadratsummen berechnet man de um de Frehetsgrade normerten mttleren Quadratsummen MS. Stammen de Gruppen aus derselben Grundgesamthet, dann sollten dese Varanzen etwa glech groß sen. MS total total n 1 MS between between k 1 MS wthn wthn n k Be der Hypothesenprüfung wrd der Quotent Femp MSbetween MSwthn mt dem Quantl der F-Vertelung verglchen (mt df k-1 und n-k k) ). GroßeF F- Werte (dh. mehr Untersched zwschen als nnerhalb der Gruppen) führen zur Ablehnung der Nullhypothese Page 15 Page 16 4

5 Statsdrect - Output SP - Output One way analyss of varance Varables:A,B,C Source of Varaton Sum Squares DF Mean Square Between Groups 34,74 17,37 Wthn Groups 59,6,69 Corrected Total 94 4 F (varance rato) = 6, P = 0, %-Konfdenzntervall für den Mttelwert Standardabwechunfehler Standard- N Mttelwert Untergrenze Obergrenze Mnmum Maxmum A ,5 1,669, , , B 8 8,88 1,458,515 7,66 10, C 9 10,11 1,764,588 8,76 11, Gesamt 5 8,80 1,979,396 7,98 9, ANOVA Test auf Homogentät der Varanzen Levene-Statstk df1 df Sgnfkanz,054,947 Quadratsumme df Mttel der Quadrate F Sgnfkanz Zwschen den Gruppen 34,736 17,368 6,447,0063 Innerhalb der Gruppen 59,64,694 Gesamt 94,000 4 Page 17 Page 18 Mttelwerte mt Konfdenzntervallen Multple Vergleche Falls ANOVA Unterschede zwschen den Gruppen aufzegt, können wr durch (prnzpell) p de Art der Unterschede durch mehrere -Stchproben- t-tests weter untersuchen De Konfdenzbereche von A und B überlappen sch, ebenso von B und C, ncht aber von A und C A und C snd unterschedlch h Wr müssen dazu den p-wert (bzw. unsere Sgnfkanzgrenze anpassen (multples Testen). Je nach Fragestellung gbt es dazu verscheden Methoden. Falls wr nur am Untersched zwschen zwe Gruppen nteressert snd, sollten wr den Untersuchungsaufbau schon vorher darauf ausrchten. Page 19 Page 0 5

6 Tuckey s Parwse Comparsons Weterführende Methoden Tukey's parwse comparsons Famly error rate = Indvdual error rate = % Konfdenz alpha = für Crtcal value = 3.55 jeden Test. Intervals for (column level mean) - (row level mean) Zwefaktorelle ANOVA (de Varanz wrd zwe Faktoren und Wechselwrkung zugeschreben) Mehrfaktorelle ANOVA ANOVA mt Messwederholungen ( Repeated Measurement mehrere Messungen am glechen Objekt, häufg en zetlcher Verlauf) GLM Nchtparametrsche Verfahren: Kruskal-Walls, Fredberg, Nemeny B A B C % CI für A-C beträgt (-0.86,-4.86) Konf.Int (Scherhet h t 98.01%) für jeden paarwesen Verglech Nur A vs C st sgnfcant Page 1 Page 6