Auswertung univariater Datenmengen - deskriptiv

Transkript

1 Auswertung unvarater Datenengen - deskrptv Bblografe Prof. Dr. Kück; Statstk, Vorlesungsskrpt Abschntt 6.., 6..4, 6..5 Bleyüller/Gehlert/Gülcher; Statstk für Wrtschaftswssenschaftler Verlag Vahlen Bleyüller/Gehlert; Foreln, Tabellen und Prograe Verlag Vahlen 2

2 Standardserte Maßzahlen Wll an ehrere Egenschaften (Merkale) der Objekte (Enheten) tenander verglechen, st es erforderlch, de unterschedlchen Merkalsdensonen auszuschalten. Das gescheht ttels Standardserung. De her behandelten Foren der Standardserung snd: z-transforaton,-standardserung z-transforaton Es glt: z = a µ σ Abwechung gegenüber de Mttel Dabe bedeuten: z : neuer Wert a : alter Wert µ : arthetsches Mttel σ : Standardabwechung De Dfferenz zwschen Merkalswert und Mttelwert Zähler sowe de Standardabwechung Nenner haben de selbe Denson, de sch wegkürzt. Durch z-transforaton erhält an densonslose Daten. 4 2

3 z-transforaton Egenschaften der standardserten Werte z : se snd densonslose relatve Abwechungen, das arthetsche Mttel st Null, E(Z) = de Varanz hat den Wert Ens, V(Z) = Geessene Werte a Standardserte Werte z 5 De standardserten Werte z snd anschaulcher als de Ausgangswerte a, denn: f(z) < z < enfacher Streuberech 2 < z < 2 doppelter Streuberech < z < drefacher Streuberech z-transforaton ,%* 95,5%* 99,7%* Abwechungen enfachen Streuberech drücken Noraltät n den Abwechungen aus, Abwechungen drefachen Streuberech snd eher unwahrschenlch. *De angegebenen Wahrschenlchketen gelten nur für de Noralvertelung! z 6

4 z-transforaton Bespel: De standardserten Merkalswerte der Lestung der 25 Autos wesen folgende Vertelung auf: SPSS-Dagra Noralvertelungskurve 4,,5, 2,5 2,,5,,5, -,5 -, -,5 Std.abw. =, Mttel =, N = 25, Z-Wert: Lestung [PS] En Merkalswert von 28 PS entsprcht ene z -Wert von 2,24; er legt außerhalb des zwefachen Streubereches und st sot auffällg abwechend vo Mttelwert. 7 z-transforaton Bespel: Stellt an de standardserten Werte des Verbrauches dar, so ergbt sch folgende Vertelung: 4 SPSS-Dagra Noralvertelungskurve 2 Std.abw. =, Mttel =, N = 25, -2,25 -,25 -,75 -,25 -,75,25,75,25 2,25,75,25 2,75 Z-Wert: Kraftstoffverbrauch durchschnttlch Der VW Lupo t ene Verbrauch von 4, l/ k hat enen standardserten Wert von -2,7, der Ford Mondeo 2,5 V6 hat enen z-wert von 2,8. 8 4

5 z-transforaton - Bespel Bespel: We snd enzelne Fahrzeuge hnschtlch hrer Lestungsausstattung und hre Benznverbrauch verglechend zu beurtelen? VW Lupo Ford Mondeo 2,5 V6 Volvo S8 2,4 Z-Wert des Verbrauchs -2,7 2,8,25 < > Z-Wert der Lestung -,88,78,26 Analytsche Interpretaton: Bezüglch der 25 untersuchten Autos hat VW Lupo sowohl ene unterdurchschnttlche Lestung als auch enen unterdurchschnttlchen Verbrauch. Jedoch st der Verbrauch deutlch gernger als de Lestung Verglech zu den anderen 249 Autos. VW Lupo st en Fahrzeug, das enen gerngen Energeensatz je Lestung hat. Negatv fällt n deser Hnscht Ford Mondeo auf, Volvo S8 st ausgeglchen. 9 z-transforaton - Bespel Bespel: Verglech zweer Messrehen n unterschedlchen Werteberechen: Was erkennt an daraus? a () a (2) z () z (2),8 24 -,9 -,9 2 2, 27 -,6 -,6 4,7 64,72,72 4, ,9 -,9 5 2,5 24 -,27 -,27 6, 672 -,6 -,6 7 2,8 6,, 8,2 44,6,6 9 4,4 5657,45,45,6 4629,72,72 Mttelwert 2,8 6,, Streuung, 422,, 5

6 ,-Standardserung Ene wetere Standardserungsöglchket st de Engrenzung des Wertebereches [.). s = a a n a a ax ax Snd alle a postv, so legen alle s zwschen o und. Für den axalen Merkalswert a ax nt de standardserte Größe s den Wert an, für den nalen Merkalswert a n st s glech. Man seht sot deutlch Abwechungen gegenüber de Höchstwert, der zu Maßstab der Standardserung geacht wrd. Das st be Unternehensverglechen t ökonoschen Kennzahlen snnvoll.,-standardserung von zwe Rehen - Bespel a () a (2) s () s (2),8 24,85,85 2 2, 27,76,76 4,7 64,, 4,6 257,9,9 5 2,5 24,65,65 6, 672,, 7 2,8 6,56,56 8,2 44,44,44 9 4,4 5657,9,9,6 4629,2,2 Mnu, 672,, Maxu 4,7 64,, 2 6

7 Ausreßerprobleatk be,-standardserung - Bespel Bespel: Würde Nls ncht kg sondern ungesunde 46 kg wegen, hat de Änderung des Maxalwertes Auswrkung auf alle standardserten Werte: Nae Lsa Anna Antje Mare Dörte Sven Uwe Ka Jan Nls Nr x s,,96,89,82,79,56,5,4,7, Nae Lsa Anna Antje Mare Dörte Sven Uwe Ka Jan Nls Nr x s,,98,94,9,88,75,7,67,65, De gleche Auswrkung hätte de Änderung des Mnalwertes n dese Fall das Gewcht von Lsa. De,-Standardserung st daher probleatsch. Enführung Moente Moente snd Maßzahlen für de Beurtelung endensonaler Häufgketsvertelungen. Se snd durchschnttlche potenzerte Abwechungen der Merkalswerte von ene Bezugspunkt. Man unterschedet folgende Arten zur Bldung der Moente: Gewöhnlche Moente t de Bezugspunkt Null Zentrale Moente u den Bezugspunkt des arthetschen Mttels N r r ( ) = x N = N r r ( µ ) = ( x µ ) N = 4 7

8 Moente, Schefe und Wölbung Das gewöhnlche erste Moent t de Bezugspunkt Null st das arthetsche Mttel: N µ = ( ) = x N = Das 2.,. und 4. zentrale Moent t de Bezugspunkt des arthetschen Mttel ergeben: N 2 de Varanz: 2 σ = 2 ( µ ) = ( x µ ) N de Schefe: de Wölbung: = N ( µ ) = ( x µ ) N = N 4 4 ( µ ) = ( x µ ) N = 5 Moente Schefe und Wölbung De angegebenen Maße snd absolute Maßzahlen, welche de jewelge Denson der Merkalsausprägung n der jewelgen Potenz haben. (z. B. hat das Schefeaß für de Vertelung ener Zetdauer n Stunden de Denson Stunden³) Daher ergeben sch oft sehr hohe Werte, de für praktsche Auswertungen ungeegnet snd. Moente werden deshalb auch als relatve Maßzahlen angegeben. 6 8

9 Moente Schefe und Wölbung Aussage deser Moente: Neben Lageparaetern und Streuungsaßen lässt sch ene Häufgketsvertelung auch noch durch Paraeter beschreben, welche de For der Vertelung charakterseren. Herzu gehören de Moente Schefe und Wölbung. Schefe- und Wölbungsaße snd deshalb snnvoll, wel Häufgketsvertelungen trotz gleche arthetschen Mttel und glecher Standardabwechung unterschedlche Foren aufwesen können. 7 Moente Schefe und Wölbung - Bespel Bespel: Folgende dre Häufgketsvertelungen haben be gleche arthetschen Mttel von und glecher Varanz von 6,4 unterschedlche Foren: Klassentte x f(x ),,,2,5,2,,,6,5,4,,2,,4 2 Klassentte x f(x ),2,2,,2,2,,2, Klassentte x f(x ),,,2,,4,,5,4,,2, 8 9

10 Moente Schefe und Wölbung,6,5,4,,2, 2,4,5,,4,,2,2,, und 2 snd syetrsche Vertelungen, wobe sch be de Merkalswerte stärker u den Mttelwert konzentreren. De Vertelungen und 2 unterscheden sch n hrer Stelhet. Vertelung st asyetrsch, konkret: lnksschef (rechtsstel). De Stelhet der Vertelung wrd durch das Maß der Wölbung ausgewesen. De Asyetre wrd durch das Maß der Schefe ausgewesen. 9 Schefe (skewness) Ene Vertelung st syetrsch, wenn es ene Syetreachse gbt, so dass lnke und rechte Hälfte der Vertelung spegelbldlch snd:,,25,2,5,,5 Be eprschen Vertelungen st exakte Syetre selten! 2

11 Schefe (skewness) Ene Vertelung st rechtsschef bzw. lnksstel, wenn der überwegende Tel der Daten lnkssetg lokalsert st, d.h. klene Merkalsausprägungen große Häufgketen haben.,5,4,,2,, Ene Vertelung st lnksschef bzw. rechtsstel, wenn der überwegende Tel der Daten rechtssetg lokalsert st, d.h. große Merkalsausprägungen große Häufgketen haben.,25,2,5,,5 2 Absolutes Schefeaß (skewness) Das absolute Schefeaß st we folgt defnert: N ( µ ) = ( x µ ) N = Das Schefeaß st das Mttel der kuberten Abwechung der Enzelwerte vo Mttel. Da durch de. Potenz das Vorzechen der Abwechung erhalten blebt, kürzen sch be syetrschen Vertelungen de Abwechungen weg; be asyetrschen Vertelungen wrd jedoch en Schefeaß größer oder klener Null ausgewesen. Be rechtsschefer Vertelung st das Maß postv, be syetrscher Vertelung st das Maß Null, be lnksschefer Vertelung st das Maß negatv. 22

12 Relatves Schefeaß (skewness) Das absolute Schefeaß st uso größer, je größer de Streuung der Merkalswerte st. U de Schefe verschedener Vertelungen zu verglechen, epfehlt sch ene Norerung. Analog zu Varatonskoeffzenten erhält an en relatves Maß: Relatves Schefeaß: (drttes Standardoent) ( µ ) * = ( µ ) σ ³ Das relatve Schefeaß st ene densonslose Größe, welche de relatve Abwechung von der Syetre ndzert. 2 Schefeaß (skewness) - Bespel Bespel: Für de 25 untersuchten Autos soll de Vertelung des Anschaffungspreses t der Vertelung des Kraftstoffverbrauches verglchen werden: SPSS-Dagra 4 2 2,,, 9, 7, 5,, 2, 9, 7, 5, Std.abw. = 265,57 Mttel = 4269,9 N = 25, 4,,5, 2,5 2,,5,,5, 9,5 9, 8,5 8, 7,5 7, 6,5 6, 5,5 5, 4,5 Std.abw. =,8 Mttel = 8,22 N = 25, Pres [DM] U de unterschedlch densonerten Merkale tenander verglechen zu können, wrd das relatve Schefeaß verwendet: Kraftstoffverbrauch durchschnttlch [l/k] ( µ ) * = ( µ ) σ³ 24 2

13 Schefeaß (skewness) - Bespel Bespel: Für de 25 untersuchten Autos soll de Vertelung des Anschaffungspreses t der Vertelung des Kraftstoffverbrauches verglchen werden: Std.abw. = 265,57 Mttel = 4269,9 N = 25,,, 5, 7, 9, 4,,5, 2,5 2,,5,,5, 9,5 9, 8,5 8, 7,5 7, 6,5 6, 5,5 5, 4,5 Std.abw. =,8 Mttel = 8,22 N = 25, Pres [DM],, 5, 7, 9, 2, Kraftstoffverbrauch durchschnttlch [l/k] * * ( µ ) = 2,95 ( µ ) =,668 Pres Verbrauch Der optsche Endruck de Vertelung der Anschaffungsprese st stärker asyetrsch als de Vertelung des Kraftstoffverbrauches wrd durch das relatve Schefeaß bestätgt. 25 Wölbung (Exzess, Kurtoss) Maßzahlen der Wölbung sollen charakterseren, we stark oder schwach der zentrale Berech und de Randbereche der Vertelung besetzt snd. Vertelungen t glecher Streuung können unterschedlche Wölbungen bestzen.,6,5,4,,2,,4,,2, Trotz glecher Varanz wesen de beden syetrschen Vertelungen unterschedlche Wölbungen auf. 26

14 Absolutes Wölbungsaß (Exzess, Kurtoss) De absolute Wölbung st we folgt defnert: N 4 4 ( µ ) = ( x µ ) N = Das Wölbungsaß st aufgrund der verten Potenz stets postv. Ausnahe: alle Merkalswerte snd glech, es exsteren kene Abwechungen vo Mttelwert. 27 Relatves Wölbungsaß (Exzess, Kurtoss) De relatve Wölbung wrd Verglech zur Standardnoralvertelung defnert, deren Wölbungsaß ergbt. Der Wert Null für das odfzerte relatve Wölbungsaß ndzert de Noralvertelung. Modfzertes relatves Wölbungsaß: ( µ ) 4 ( µ ) =! * 4 4 Das odfzerte relatve Wölbungsaß kann analog zur Schefe en postves oder negatves Vorzechen haben oder Fall der Noralvertelung Null sen. * 4 (µ) =, Noralvertelung * 4 (µ) >, Maxu der Vertelung größer als NV * 4 (µ) <, Maxu der Vertelung klener als NV σ 28 4

15 Wölbung - Grafsche Darstellung * 4 (µ) > * 4 (µ) = * 4 (µ) < Noralvertelung 29 Beschrebung von Häufgketsvertelungen ttels grafscher Verfahren Das Dagra enes Boxplots eröglcht ene koprerte Vsualserung ener unvaraten Häufgketsvertelung, nde de fünf Punkte ener Vertelung zusaengefasst dargestellt werden. Aufbau des Boxplots: Merkalsausprägung Maxu oberes Quartl Medan unteres Quartl Mnu 5

16 Boxplots be asyetrscher Vertelung Aus der konkreten Gestalt des Boxplots lassen sch Aussagen über de eprsche Vertelung ableten. Je nachde, wo der Medan nnerhalb der Box legt, lassen sch Aussagen über de Syetre der Vertelung treffen. Merkalsausprägung Be ener asyetrschen Vertelung legt der Medan ncht ttg n der Box. Unglech brete Abstände zwschen Extrea und unteren bzw. oberen Quartl ( whskers ) ndzeren ebenfalls Asyetre. Der Streuberech der Merkalswerte wrd durch de Spannwete der Extrea gekennzechnet. Boxplots be syetrscher Vertelung Für ene exakt syetrsche Vertelung hat das Boxplot folgende Gestalt: Der Medan legt ttg n der Box, de Abstände zwschen Extrea und unteren bzw. oberen Quartl snd glech. Merkalsausprägung Jeglche Abwechungen davon bedeuten Asyetre der eprschen Vertelung. Be eprschen Vertelungen st exakte Syetre selten! 2 6

17 Aussagen des Boxplots - Bespel Bespel: Für de 25 untersuchten Autos se de Lestung der Großraulousnen, Kobs, Schrägheckfahrzeuge, Stufenhecklousnen ttels der Boxplot- Darstellung verglechend dargestellt: 4 2 SPSS-Dagra Lestung [PS] N = GL K SH STH Karosserefor De Gruppe der Großraulousnen st Verglech a wengsten asyetrsch und west be Merkal Lestung den gerngsten Streuberech auf. Den größten Streuberech haben Stufenhecklousnen. Extree Lestungen oberen Lestungsberech gbt es be SH und STH. Boxplots - Ausreßerprobleatk SPSS kann optonal bestte Objekte aus der Erstellung des Boxplots ausschleßen Als Ausreßer werden Objekte behandelt, deren Merkalswerte zwschen,5 und Boxlängen vo oberen oder unteren Rand der Box entfernt snd. De Boxlänge entsprcht de nterquartlen Berech. Lestung [PS] 2 N = 6 GL 29 Karosserefor 2 K 7 SH STH Als Extrewerte werden Objekte behandelt und gekennzechnet ausgewesen, deren Merkalswerte ehr als Boxlängen vo oberen oder unteren Rand der Box entfernt snd. De Boxlänge entsprcht de Interquartlsabstand. 4 7

18 Boxplots für Haushaltsnettoenkoen n Ost- und Westdeutschland, Quelle: Datenreport 24 - Bespel 5 Lage- und Streuungsparaeter Snd Se wachsa! Alles Klar? 6 8