Alternative Konzepte zur Laufzeitenermittlung: Statistisch-theoretische Grundlagen. Dr. Jürgen Faik. - Reinfeld,

Transkript

1 Alternatve Konzepte zur Laufzetenermttlung: Statstsch-theoretsche Grundlagen Dr. Jürgen Fak - Renfeld, Enletung In der sozalpoltschen Dskusson, welche sch auf de gesetzlche Rentenverscherung (GRV) bezeht, stehen üblcherwese andere Aspekte als das Rentenantragsgeschehen m Vordergrund. So waren etwa m Rahmen der Rentenreformdskussonen der vergangenen Jahre vorrangg Daten aus der Verscherten-, der Rentenzugangs- und der Rentenbestandsstatstk gefragt. Wenn von Verrentung gesprochen wrd, muss aber stets bedacht werden, dass jede Rente beantragt werden muss. Dem Rentenantragsgeschehen kommt somt ene Lead-Funkton n Bezug auf das Verrentungsgeschehen zu. Desem zetlchen Vorlauf entsprechend, snd de Elemente der Rentenantragsstatstk durchaus wchtge sozalpoltsche Indkatoren für künftge Rentenentwcklungen. Deser Gedanke wrd noch dadurch verstärkt, dass de Rentenantrags- und Erledgungsstatstk be der Deutschen Rentenverscherung Bund - m Untersched zu anderen, jahresbezogenen Rentenverscherungs- Statstken we z. B. der Verscherten-, der Rentenzugangs- oder der Rentenbestandsstatstk - monatsbezogen geführt wrd und daher zetlch verglechswese tef geglederte Analysen zulässt. Hnzu kommt, dass de Rentenantrags- und Erledgungsstatstk sehr zetnah aufberetet wrd: De betreffenden Informatonen enes spezfschen Monats stehen üblcherwese berets Mtte des Folgemonats zur Verfügung. Aufgrund der spezfschen Vorzüge der Rentenantrags- und Erledgungsstatstk

2 2 (große zetlche Dsaggregatonstefe und große Zetnähe zum Erhebungszetpunkt) egnet se sch n besonderem Maße dazu, Entwcklungen des Verrentungsgeschehens frühzetg zu erkennen und auf se zu reageren. Für den handelnden Sozalpoltker st de Kenntns von Rentenantragskennzffern und hren Bestmmungsgründen daher alles andere als rrelevant, wennglech wetrechende statstsch funderte Erklärungsansätze nsofern unterbleben müssen, als de Rentenantrags- und Erledgungsstatstk als Folge hres Desgns als GRV-Arbetsstatstk nur ene unzurechende Anzahl an Erklärungsvarablen anbetet. 2. Begrffsbestmmungen Vor ener analytschen Durchdrngung des Rentenantragsgeschehens st es snnvoll, de verschedenen Dmensonen des Rentenantragsgeschehens ener Systematserung zu unterwerfen. Ene möglche Systematserung n desem Zusammenhang st de Trennung des Rentenantragsgeschehens n ene Mengen- und ene Zetkomponente (sehe Abbldung 1). Abbldung 1: Überscht über das Rentenantragsgeschehen n Deutschland: Stromgrößen Bestandsgrößen Laufzet nsgesamt Rentenantragsgeschehen Mengenkomponente Zetkomponente Laufzet bem Verscherungsträger Rentenanträge Anfangsbestand ener Perode Erledgungen Endbestand ener Perode Quelle: Fak 1999, S. 77

3 3 Im Rahmen der Mengenkomponente snd zunächst de enzelnen zu bearbetenden Vorgangsarten vonenander zu dfferenzeren. Da de Mengenkomponente n menem Vortrag kene größere Rolle spelt, wrd auf desen Ast von Abbldung 1 ncht näher engegangen. De zwete Komponente des Rentenantragsgeschehens - de Zetkomponente steht m Fokus menes Vortrags. Se umfasst de Rentenantragslaufzeten, wobe üblcherwese zwschen der (durchschnttlchen) Rentenantragslaufzet nsgesamt und der (durchschnttlchen) Rentenantragslaufzet bem Verscherungsträger unterscheden wrd. Bede Größen unterscheden sch um de sogenannte Vorlaufzet vonenander d. h. um de Zet, de vergeht, bs der Rentenantrag nach dem Tag der Antragstellung bem verantwortlchen Rentenverscherungsträger engegangen st. Snnvollerwese werden Rentenantragslaufzeten nur für abgeschlossene, d. h. für erledgte oder für bewllgte Rentenanträge errechnet. Zwschen der Mengen- und der Zetkomponente des Rentenantragsgeschehens bestehen Rückkopplungseffekte. So geht z. B. en hoher Rentenantragsbestand typscherwese mt recht langen (durchschnttlchen) Rentenantragslaufzeten enher et vce versa. Herauf werden wr später noch zu sprechen kommen. 3. Grafsche Datenaufberetung Um enen ersten Enblck n de Thematk zu erhalten, können Häufgketstabellen we de der Laufzeten-Häufgketen grafsch umgesetzt werden. Herbe egnet sch für klassfzerte Merkmale ene Darstellung n Balken- bzw. Stabform. Es st für de Darstellung der enzelnen Merkmalsausprägungen m Prnzp unerheblch, welche Brete de Balken haben.

4 4 Abbldung 2: Rentenantrags-Laufzeten bem Verscherungsträger (Normalfälle) Relatve Häufgket (n %) und mehr Laufzet (n Monaten) Verschertenrenten Hnterblebenenrenten Quelle: Interne Rentenantrags- und Erledgungsstatstk, Jahreswerte 2006, Tabelle 131 Auf der Ordnate snd n Abbldung 2 de relatven Häufgketen abgetragen. was sch gerade für den Verglech zwschen Verscherten- und Hnterblebenenrenten n desem Bespel anbetet, da de Fallzahlen zwschen beden Gruppen unterschedlch groß snd. Prnzpell st es aber auch möglch, be ener Häufgketsdarstellung auf der Ordnate de absoluten Häufgketen zu verwenden. Gerade wenn n enzelne Klassen nur wenge absolute Häufgketen fallen, werden dese Klassen velfach zusammengefasst und wesen gegenüber den anderen Klassen ene größere Klassenbrete auf. In Abbldung 2 st des für Laufzeten ab 6 Monaten der Fall. Es entsteht das Problem unterschedlcher Klassenbreten nnerhalb ener Häufgketsvertelung. In desem Fall st de Häufgketsdarstellung streng genommen auf der Ordnate zu modfzeren.

5 5 Verwendet man n Abbldung 2 z. B. nahelegenderwese ene normerte Klassenbrete von 1 Monat, müssten egentlch de relatven Häufgketen der dre umkresten Klassen durch de jewelge Klassenbrete dvdert werden, was nebenbe bemerkt be der nach oben offenen Klasse 12 und mehr Monate problematsch st. Da de zugehörgen normerten relatven Häufgketen n Abbldung 2 für dese dre Klassen sehr gerng und ncht mehr gut darstellbar snd, wurde hervon Abstand genommen. Auch ohne dese egentlch gebotene Normerung wrd de sehr stark lnksstele Häufgketsvertelung der Rentenantrags-Laufzeten sowohl be Verscherten- als auch be Hnterblebenenrenten schtbar. Bezeht man sch ncht auf de enfachen relatven bzw. absoluten Häufgketen, sondern auf de kumulerten relatven bzw. absoluten Häufgketen, erhält man en Summenpolygon bzw. anders formulert: ene Vertelungsfunkton. Von kumulerten absoluten bzw. kumulerten relatven Häufgketen sprcht man m Falle sukzessve adderter absoluter bzw. relatver Häufgketen. In Abbldung 3 fragt man sch entsprechend, n we vel Prozent aller Fälle de Rentenantragslaufzet maxmal 1 Monat, maxmal 2 Monate, maxmal 3 Monate usw. dauerte. Be der grafschen Darstellung st daher auf de jewelge Klassenobergrenze Bezug zu nehmen. Bespelswese st an Hand von Abbldung 3 erschtlch, dass n etwa 60 Prozent der Fälle sowohl be den Verscherten- als auch be den Hnterblebenenrenten de Laufzet maxmal 1 Monat dauerte.

6 6 Abbldung 3: Rentenantragslaufzeten bem Verscherungsträger (Normalfälle) 2006, Vertelungsfunktonen Kumulerte relatve Häufgket (n %) Medan (0,85 bzw. 0,86 Monate) Klassenobergrenze (n Monaten) Verschertenrenten Hnterblebenenrenten Quelle: Interne Rentenantrags- und Erledgungsstatstk, Jahreswerte 2006, Tabelle 131 De 50-Prozent-Grenze des Summenpolygons bzw. der Vertelungsfunkton trennt de Vertelung n de unteren 50 % und de oberen 50 % der Vertelung. Dese Grenze wrd auch als Medan bezechnet. In Abbldung 3 legt se be den Verschertenrenten be ca. 0,86 Monaten, und be den Hnterblebenenrenten be ca. 0,85 Monaten, d. h. be jewels ca. 26 Tagen. 4. Mttelwerte Es st möglch, dass der Form nach gleche Häufgketsvertelungen mt unterschedlchen Nveaus der Merkmalsausprägungen enhergehen. Zur Dfferenzerung zweer Häufgketsvertelungen dentscher Form, aber unterschedlcher Lage st de Angabe enes entsprechenden Lageparameters snnvoll, welcher den Nveaueffekt n ener enzelnen Zahl be-

7 7 schrebt. Man sprcht von Maßen der zentralen Vertelungstendenz oder von repräsentatven Wertgrößen bzw. enfacher: von Mttelwerten. De gebräuchlchsten Mttelwerte snd: Der Modus, der Medan, das a- rthmetsche und das geometrsche Mttel. Auf se wrd nachfolgend jewels kurz engegangen. Überscht 1: Mttelwertkonzepte: Modus: Modus =, f = max Medan, allgemen: Medan = F ( 0, 5 ) Medan, ungerades N: Medan = N Medan, gerades N: Medan = 1 2 N 2 + N u u 0,5 F ( ) o u Medan, klassfzerte Daten: Medan = + ( ) F ( ) F ( ) o u Arthmetsches Mttel, ungewchtet: = 1 N N = 1 Arthmetsches Mttel, gewchtet: = 1 N K = 1 h = K = 1 f Geometrsches Mttel: GM = N N = 1 log GM = 1 N N = 1 log Quelle: Fak 2007, S Modus Der Modus gbt den häufgsten Merkmalswert ener Häufgketsvertelung an. Legen de Daten klassfzert vor, wählt man zunächst de Klasse mt der größten relatven bzw. absoluten Häufgket aus und nmmt als Modus enen möglchst repräsentatven Wert der ausgewählten Klasse. In der Regel entschedet man sch dabe für de Klassenmtte.

8 8 4.2 Medan We berets erwähnt, ergbt sch der Medan an der 50-Prozent-Marke der kumulerten relatven Häufgketen. Legen klassfzerte Daten vor, fällt der Medan n de Klasse hnen, be der ene kumulerte relatve Häufgket von 0,5 errecht wrd. Man könnte dann den Klassenmttelwert als Medan verwenden. Velfach nutzt man ndes n desem Fall auf Bass des Strahlensatzes ene Näherungslösung für den Medan. In der Regel st der Medan resstent gegen ene nach unten offene unterste Klasse bzw. gegen ene nach oben offene oberste Klasse. Daher betet er sch n unserem Falle ener nach oben offenen obersten Klasse n Abbldung 1 grundsätzlch als Indkator für de zentrale Vertelungslage an. 4.3 Arthmetsches Mttel Das arthmetsche Mttel gbt den Durchschnttswert ener Häufgketsvertelung durch Addton der Enzelwerte und anschleßender Dvson durch de Anzahl aller Fälle an. Das arthmetsche Mttel st ncht unbedngt en konkreter Wert aus der Menge aller Merkmalsausprägungen. Anders formulert, st das arthmetsche Mttel mtunter n Bezug auf de enzelnen Merkmalsausprägungen en abstrakter Wert. Be klassfzerten Daten verwendet man als Merkmalsausprägungen de Klassenmtten. D. h.: Es wrd unterstellt, dass de Merkmalsausprägungen nnerhalb der Klassen kene gehäuften Abwechungen von der Klassenmtte nach oben bzw. unten aufwesen. Das arthmetsche Mttel reagert senstv auf Ausreßerwerte nach oben bzw. unten. Das st bespelswese dann problematsch, wenn man für

9 9 de oberste nach oben offene Klasse enen konkreten Wert annehmen muss. 4.4 Geometrsches Mttel Für Veränderungsraten st das arthmetsche Mttel ken geegnetes Maß. In enem solchen Fall verwendet man das geometrsche Mttel. Deses st nur für ncht-negatve Werte defnert. Des macht es erforderlch, be sener Berechnung ncht drekt auf de Veränderungsraten, sondern auf so genannte Wachstumsfaktoren abzustellen. Letztere ergeben sch daraus, dass man jewels für zwe aufenanderfolgende Merkmalsausprägungen den Quotenten bldet. Das geometrsche Mttel kann übrgens durch Logarthmerung n das a- rthmetsche Mttel der logarthmerten Merkmalswerte überführt werden. 4.5 Emprsche Mttelwertergebnsse De emprschen Ergebnsse ergeben für de Laufzeten der Verschertenwe Hnterblebenenrenten jewels enen Modus von 15 Tagen und enen Medan von 26 Tagen. Das auf Grundlage der vorgegebenen Klassen sowe unter der Annahme ener obersten Klassenmtte n Höhe von 20 Monaten berechnete arthmetsche Mttel beläuft sch be den Verschertenrenten auf 43 Tage und be den Hnterblebenenrenten auf 40 Tage.

10 10 Überscht 2a: Mttelwerte, Rentenantragslaufzeten der Verschertenrenten (Normalfälle) 2006 (berechnet aus grupperten Daten): Modus: 0,5 Monate bzw. 15 Tage Medan: 0,86 Monate bzw. 26 Tage Arthmetsches Mttel: 1,4 Monate bzw. 43 Tage (oberste Klassenmtte auf 20 Monate gesetzt; zum Verglech arthmetsches Mttel aus Indvdualdaten: 39 Tage) Quelle: Egene Berechnungen auf Bass der nternen Rentenantrags- und Erledgungsstatstk, Jahreswerte 2006, Tabelle 131 Überscht 2b: Mttelwerte, Rentenantragslaufzeten der Hnterblebenenrenten (Normalfälle) 2006 (berechnet aus grupperten Daten): Modus: 0,5 Monate bzw. 15 Tage Medan: 0,85 Monate bzw. 26 Tage Arthmetsches Mttel: 1,3 Monate bzw. 40 Tage (oberste Klassenmtte auf 20 Monate gesetzt; zum Verglech arthmetsches Mttel aus Indvdualdaten: 37 Tage) Quelle: Egene Berechnungen auf Bass der nternen Rentenantrags- und Erledgungsstatstk, Jahreswerte 2006, Tabelle 131

11 11 Gegenüber den exakten arthmetschen Mttelwerten aus den nchtklassfzerten Daten snd dese Mttelwerte um 4 bzw. 3 Tage höher, was de Problematk der Verwendung klassfzerter Wertangaben andeutet. Arthmetsche Mttelwerte können be Zetrehennformatonen genutzt werden, um sasonale Schwankungen zu glätten. Man verwendet dann so genannte gletende Durchschnttswerte. Dese snd dadurch charaktersert, dass für ene bestmmte Anzahl aufenanderfolgender Orgnalwerte der jewelge Durchschntt gebldet wrd. In Abbldung 4 wurden de Monatswerte des Jahres 2006 für de durchschnttlchen Gesamtlaufzeten der Nchtvertragsrenten (Normalfälle) auf der Bass dreer aufenanderfolgender Werte, d. h. auf Bass von 3er-Durchschntten, geglättet. Erschtlcherwese geht be ener solchen Vorgehenswese am Anfang und am Ende der Zetrehe jewels en Beobachtungswert verloren. Abbldung 4: Gletende (3er-)Durchschntte, Gesamtlaufzeten der Nchtvertragsrenten (Normalfälle) 2006 (n Tagen): Gletende Durchschnttswerte Orgnalwerte Januar 48 Februar März Aprl Ma Jun Jul August September Oktober November Dezember 38 Tage Nchtvertragsrenten (Normalfälle) 2006, Gesamtlaufzet, gletende 3er-Durchschntte Januar Februar März Aprl Ma Jun Jul August Monat September Oktober November Dezember Orgnalwerte Gletende Durchschnttswerte Quelle: Egene Berechnungen auf Bass der nternen Rentenantrags- und Erledgungsstatstk, Jahreswerte 2006, Tabelle 233 Da de Orgnal-Zetrehe n Abbldung 4 nur ene gernge sasonale Varaton aufwest, st der Glättungseffekt verglechswese bescheden.

12 12 In ncht wengen, statstsch allerdngs eher unbedarften Darstellungen begnnen de Ordnatenwerte ncht m Ursprung, sondern be enem höheren Wert, wodurch de enzelnen Werte stärker ausenander gezogen werden als be ener ursprungsbezogenen Darstellung. Aus Illustratonszwecken habe ch n Abbldung 5 de Ordnate erst be enem Wert von 35 Tagen starten lassen. Auf dese Wese snd zwar auf der enen Sete de Veränderungen zwschen den Monaten deutlcher zu sehen; es könnte aber auf der anderen Sete der unzulässge Endruck entstehen, dass es sch um beträchtlche Wertunterschede zwschen den enzelnen Beobachtungsmonaten handelt. Tatsächlch legen zwschen maxmaler und mnmaler Laufzet aber nur 11 Tage. Es st daher seröserwese von ener Ordnaten-Transformaton we der n Abbldung 5 abzuraten. Abbldung 5: ACHTUNG: Statstsche Manpulaton! Gletende (3er-)Durchschntte, Gesamtlaufzeten der Nchtvertragsrenten (Normalfälle) 2006 (n Tagen): Gletende Durchschnttswerte Orgnalwerte Januar 48 Februar März Aprl Ma Jun Jul August September Oktober November Dezember 38 Tage Nchtvertragsrenten (Normalfälle) 2006, Gesamtlaufzet, gletende 3er-Durchschntte Januar Februar März Aprl Ma Jun Jul August September Oktober November Dezember Monat Orgnalwerte Gletende Durchschnttswerte Quelle: Egene Berechnungen auf Bass der nternen Rentenantrags- und Erledgungsstatstk, Jahreswerte 2006, Tabelle 233 Interessert man sch für de durchschnttlche Gesamtlaufzet der n den Abbldungen 4 und 5 angegebenen Orgnalwerte, legt de Berechnung des arthmetschen Mttels m bekannten Snne der Wertesumme aller

13 13 Monate dvdert durch de Anzahl der 12 Monate nahe. In desem Falle ergbt sch en (arthmetscher) Mttelwert n Höhe von 44 Tagen. Interessert man sch demgegenüber für de monatsbezogenen Veränderungen der Gesamtlaufzet, st, we erwähnt, das geometrsche Mttel als Indkator zu wählen. Es berechnet sch n unserem Fall als Produkt der angegebenen (nsgesamt 11) Wachstumsfaktoren, aus dem de elfte Wurzel gezogen wrd. Anschleßend st der Wert 1 zu subtraheren, und man erhält dadurch n unserem Fall ene durchschnttlche monatsbezogene Veränderung von ca. -2,1 %. D. h.: Im Jahr 2006 haben sch de Gesamtlaufzeten der Nchtvertragsrenten (Normalfälle) von Monat zu Monat durchschnttlch um etwa 2,1 % vermndert. Überscht 3: Geometrsches Mttel, Gesamtlaufzeten der Nchtvertragsrenten, Normalfälle (Wachstumsraten) 2006: Gesamtlaufzet (n Tagen) Wachstumsfaktoren Januar 48 Februar 43 0,8958 März 46 1,0698 Aprl 39 0,8478 Ma 43 1,1026 Jun 45 1,0465 Jul 44 0,9778 August 43 0,9773 September 45 1,0465 Oktober 50 1,1111 November 44 0,8800 Dezember 38 0,8636 Geometrsches Mttel (n %): -2,1014 Quelle: Egene Berechnungen auf Bass der nternen Rentenantrags- und Erledgungsstatstk, Jahreswerte 2006, Tabelle 233

14 14 5. Streuungsmaße En glecher Mttelwert kann mt ener unterschedlch homogenen Häufgketsvertelung verbunden sen. Es stellt sch das Problem der Streuung. Analog zu den verschedenen Mttelwertkonzepten stehen auch her dverse (Streuungs-)Messzffern zur Verfügung. Überscht 4: Streuungskonzepte: Spannwete: SPW = max mn Quartlsabstand: QA = 0,75 0, 25 Mttlere absolute Abwechung: MAA = 1 N K = 1 h K 1 Standardabwechung: S = ( ) K 2 1 Varanz: S = ( ) N = 1 2 N h = 1 2 h Varatonskoeffzent: V = S Quelle: Fak 2007, S Spannwete De Spannwete (synonym: Range) z. B. gbt den Abstand zwschen der größten und der klensten Merkmalsausprägung an. Be klassfzerten Daten st snnvollerwese auf de Klassenmttelwerte der obersten und der untersten Klasse Bezug zu nehmen. De Spann-

15 15 wete st problematsch, da se de Vertelung zwschen den beden Extremwerten vernachlässgt. Be nach unten offener unterster Klasse bzw. be nach oben offener oberster Klasse kann des mehr oder wenger große Ergebnsverzerrungen mt sch brngen. Da n Abbldung 1 ene nach oben offene oberste Klasse vorlag und de Werte deser Abbldung auch den nachfolgend präsenterten Streuungsberechnungen zugrunde legen, wurde wegen der skzzerten Problematk nachfolgend auf den Auswes ener emprschen Spannwete verzchtet. 5.2 Quartlsabstand Das Problem der Vernachlässgung von Merkmalsausprägungen stellt sch auch be Verwendung des Maßes Quartlsabstand, wennglech be deser Kenngröße Verzerrungen durch Extremwerte wenger graverend als be der Spannwete snd. Bem Index des Quartlsabstandes werden de Merkmalsausprägungen auf Bass der kumulerten relatven Häufgketen n ver prozentual glech große Bereche (= n Quartle) ensortert. Danach berechnet man den Quartlsabstand als Dfferenz des Wertes an der 75-Prozent-Marke (= Obergrenze des drtten Quartls) und des Wertes an der 25-Prozent- Marke (= Obergrenze des ersten Quartls). Offenschtlch gehen nur das drtte und das unterste Quartl n de Berechnung des Quartlsabstands en. Das zwete und das oberste Quartl mt den darn enthaltenen Merkmalsausprägungen werden hngegen vernachlässgt. Damt wrd auch bem Quartlsabstand de Gesamtstreuung ncht vollständg berückschtgt. Be klassfzerter Vertelung betet sch zur Berechnung des Quartlsabstands analog zur Ermttlung des Medans n enem solchen Fall ene Näherungslösung an.

16 Mttlere absolute Abwechung Das Problem der Vernachlässgung von Merkmalsausprägungen be der Streuungsberechnung, welches sowohl der Spannwete als auch dem Quartlsabstand mmanent st, wrd be anderen Streuungsmaßen vermeden. Solche Streuungsmaße snd etwa jene, de auf Abwechungen von enem Mttelwert, z. B. vom arthmetschen Mttelwert, baseren. Herbe dürfen aber ncht de enfachen Abwechungen vom arthmetschen Mttelwert verwendet werden, denn bem arthmetschen Mttel heben sch negatve und postve Mttelwert-Abwechungen auf; es würde also ne ene Streuung ausgewesen. Um en solch unsnnges Ergebns zu vermeden, verwendet man anstelle der enfachen bespelswese de absoluten (d. h. betragsmäßgen) Abwechungen vom arthmetschen Mttelwert. De enzelnen Abwechungen snd dabe also jewels prnzpell glech bedeutsam. 5.4 Varanz und Standardabwechung Ene Alternatve zur Verwendung der absoluten Werteabwechungen vom arthmetschen Mttelwert st de Quadrerung der entsprechenden Abwechungen. Herdurch werden größere Abwechungen vom Mttelwert (absolut) stärker als klenere berückschtgt. Das korresponderende Maß heßt Varanz. Ihre Dmenson st de den Merkmalsausprägungen zugrunde legende Enhet m Quadrat, also z. B. Euro m Quadrat oder n unserem Fall: Tage m Quadrat. Um de gleche Dmensonerung des Streuungsmaßes m Verglech zu den Merkmalsausprägungen zu erhalten n unserem Fall: Tage, wrd aus der Varanz üblcherwese de Quadratwurzel gezogen, und man erhält de Standardabwechung.

17 Varatonskoeffzent De bshergen Streuungsmaße hatten allesamt ene bestmmte Enhet. Für Vergleche zwschen Häufgketsvertelungen mt unterschedlchem Mttelwert st aber ene dmensonslose Größe vorzuzehen. Verdoppeln sch bespelswese sämtlche Merkmalsausprägungen, verdoppelt sch ncht nur das arthmetsche Mttel, sondern auch de mttels Standardabwechung ausgewesene Streuung. Solche problematschen Ergebnsse vermedet der Varatonskoeffzent; er st üblcherwese als Quotent aus Standardabwechung und arthmetschem Mttel defnert. 5.6 Emprsche Streuungsergebnsse Gemäß Quartlsabstand st de Streuung be den Hnterblebenenrenten um 3 Tage nedrger als be den Verschertenrenten (37 versus 40 Tage). Auf Bass des umfassenderen Streuungsndkators Mttlere absolute Abwechung geht de betreffende Streuungsdfferenz mt 28 versus 31 Tagen n de gleche qualtatve Rchtung. Überscht 5a: Streuungsmaße, Rentenantragslaufzeten der Verschertenrenten (Normalfälle) 2006 (berechnet aus grupperten Daten): Quartlsabstand: 1,3 Monate bzw. 40 Tage Mttlere absolute Abwechung: 1,0 Monate bzw. 31 Tage Standardabwechung: 1,9 Monate bzw. 58 Tage Varatonskoeffzent: 1,36 bzw. 136 % Quelle: Egene Berechnungen auf Bass der nternen Rentenantrags- und Erledgungsstatstk, Jahreswerte 2006, Tabelle 131

18 18 Überscht 5b: Streuungsmaße, Rentenantragslaufzeten der Hnterblebenenrenten 2006 (berechnet aus grupperten Daten): Quartlsabstand: 1,2 Monate bzw. 37 Tage Mttlere absolute Abwechung: 0,9 Monate bzw. 28 Tage Standardabwechung: 1,7 Monate bzw. 52 Tage Varatonskoeffzent: 1,33 bzw. 133 % Quelle: Egene Berechnungen auf Bass der nternen Rentenantrags- und Erledgungsstatstk, Jahreswerte 2006, Tabelle 131 Be der Standardabwechung erhält man zwar auch das gleche qualtatve Ergebns ener gerngeren Streuung der Laufzeten be den Hnterblebenenrenten m Verglech zu den Verschertenrenten. Wegen der Gewchtung größerer Mttelwertabwechungen snd de angegebenen Werte für de Standardabwechung (58 Tage be den Verschertenrenten, 52 Tage be den Hnterblebenenrenten) wesentlch höher, da für de o- berste Klasse en relatv hoher Mttelwert von 20 Monaten unterstellt wurde. Des deutet enmal mehr de Problematk klassfzerter Daten an. Der Varatonskoeffzent schleßlch zegt, dass unter den getroffenen Annahmen de Standardabwechung sowohl be Verscherten- als auch be Hnterblebenenrenten m Jahr 2006 jewels etwa das 1,3- bs 1,4- fache des arthmetschen Mttelwerts betrug. 6. Rangkorrelatonen Bslang wurden nur unvarate statstsche Methoden behandelt. De komplexe wrtschaftlche Realtät st aber durch de wechselsetge Beenflussung ener Velzahl von Varablen gekennzechnet. De Sozalwssenschaften haben dabe de Aufgabe, Zusammenhänge bzw. Erklä-

19 19 rungsmuster für de enzelnen wrtschaftlchen Phänomene zu ergründen bzw. zu entwckeln. Es st daher bedeutsam, sch auch multvaraten statstschen Zusammenhängen bzw. Verfahren zu wdmen. Aus ddaktschen Gründen gescheht des nachfolgend ausschleßlch für den bvaraten Fall, d. h. für nsgesamt ledglch zwe statstsche Merkmale. Für den Zusammenhang zwschen zwe ordnal-, d. h. rangskalerten Merkmalen lassen sch zwar kene quanttatven Aussagen über de Abstände zwschen den beden Varablen und Y treffen. Es können aber mmerhn de jewelgen Rangordnungen zuenander n Bezehung gesetzt und entsprechende Abwechungen festgehalten werden. Man sprcht daher n desem Fall auch von Rangkorrelaton. In Überscht 6 snd für de enzelnen Merkmalsträger (n desem Fall: für de enzelnen Verscherungsträger) de enzelnen - und Y-Platzerungen zuenander n Bezehung gesetzt. De Varable steht für den normerten Durchschnttsbestand an Rentenanträgen m Falle von Nchtvertragsrenten (Normalfälle). Um de unterschedlche Größe der Verscherungsträger zu berückschtgen wurde der Durchschnttsbestand durch de Anzahl des Verwaltungspersonals bem jewelgen Verscherungsträger dvdert. De Varable Y steht n Überscht 6 für de durchschnttlchen Rentenlaufzeten be den Nchtvertrags-Altersrenten (Normalfälle).

20 20 Überscht 6: Rangkorrelatonen zwschen normertem Durchschnttsbestand und den durchschnttlchen Rentenlaufzeten be den Nchtvertragsrenten (Normalfälle) Altersrenten: Verscherungsträger Normerter Durchschnttsbestand Bestands- Platz Laufzet (Altersrenten) Altersrenten- Platz A 0, B 1, C 1, D 1, E 1, F 1, G 1, H 1, I 1, J 1, K 2, L 2, M 2, N 2, O 2, P 2, Q 2, R 4, Quelle: Egene Berechnungen auf Bass der nternen Rentenantrags- und Erledgungsstatstk, Jahreswerte 2006, Tabellen 243 und 900.S1 Wäre de Rangfolge gemäß der -Varable unter den nsgesamt 18 Verscherungsträgern exakt so we nach der Y-Varable, läge ene vollständg postve Korrelaton vor. Erschtlcherwese st m Falle von Überscht 6 bzw. Abbldung 6 de Korrelaton zwschen den Durchschnttsbeständen und den durchschnttlchen Laufzeten be den Verscherungsträgern ncht exakt Ens, aber doch we de enzelnen Beobachtungspunkte zegen ncht allzu wet weg von plus Ens. Man kann den konkreten Wert auch mttels des so genannten Rangkorrelatonskoeffzenten berechnen, und es ergbt sch n unserem Fall en Wert von mmerhn +0,72.

21 21 Abbldung 6: Platz (Laufzet) Rangkorrelatonen zwschen normertem Durchschnttsbestand be den Nchtvertragsrenten (Normalfälle) vs. den durchschnttlchen Rentenlaufzeten be den Altersrenten 2006: Rangkorrelaton = +0, Platz (Durchschnttsbestand) Quelle: Egene Berechnungen auf Bass der nternen Rentenantrags- und Erledgungsstatstk, Jahreswerte 2006, Tabellen 243 und 900.S1 Es ergbt sch das engangs erwartete Ergebns ener hoch-postven Korrelaton zwschen Durchschnttsbeständen und Laufzeten. 7. Schlussbetrachtung Halten wr abschleßend fest: Be klassfzerten Daten ergeben sch enge Fallstrcke; nsbesondere snd Ungenaugketen n den Ergebnssen ncht zu vermeden. Bezüglch der n den Standardtabellen der Deutschen Rentenverscherung Bund ausgewesenen Laufzetenvertelungen kann m. E. mt enger Berechtgung krtsert werden, dass n de unterste Klasse 0-1 Monate en zu großer Tel der Merkmalssumme hnenfällt. Des verseht n desem Spezalfall nsbesondere de Berechnung von Modus und Medan, aber auch de des Quartlsabstands mt enem hohen Ungenaugketsgrad. An deser Stelle wäre ene verfenerte Klassfzerung zelführend.

22 22 Über de Betrachtung unvarater Statstken hnaus erschenen multvarate Statstken n Form von Korrelatonen bzw. weterführend: n Form von Regressonen snnvoll, um Zusammenhänge bzw. Erklärungen aufzuzegen bzw. zu geben. Derartge Betrachtungen könnten n ener noch wetrechenderen Scht zu Prognosezwecken genutzt werden. Glechwohl st stets sozusagen vor de Statstk der gesunde Menschenverstand zu setzen, um Schenkorrelatonen, d. h. Schenzusammenhänge zu vermeden und um wrklch gehaltvolle Aussagen zu erhalten. Lteratur: Fak, Jürgen: Rentenanträge und hre Erledgung n beden Telen Deutschlands Ene Zetverlaufsbetrachtung. In: Deutsche Rentenverscherung, Heft 1-2/1999, S Fak, Jürgen: Elementare Wrtschaftsstatstk, Berln 2007.