Statistische Kennzahlen für die Lage
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- Holger Voss
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1 Statstsche Kennzahlen für de Lage Bsher: gernge Informatonsverdchtung durch Vertelungsbeschrebung Jetzt: stärere Zusammenfassung der Daten auf hr Zentrum ls Raabe: Wahrschenlchetsrechnung und
2 Statstsche Kennzahlen für de Lage Bsher: gernge Informatonsverdchtung durch Vertelungsbeschrebung Jetzt: stärere Zusammenfassung der Daten auf hr Zentrum Unterschedlche Defntonen von Zentrum. Allgemen: repräsentatve Mermalsausprägung, von der alle beobachteten Werte möglchst weng abwechen ls Raabe: Wahrschenlchetsrechnung und
3 Statstsche Kennzahlen für de Lage omnale Daten,..., W X,,..., W {(j j,..., J} X A C B {(,...,(J} Mt nomnellen Ausprägungen ann ene snnvolle Abwechung berechnet werden. Dummyoderung Gesucht: *, für das Abwechung zwschen * und,, mnmal st d ( d ( d (3 A 0 0 C 0 0 B 0 0 Σ 3 ls Raabe: Wahrschenlchetsrechnung und 3
4 Statstsche Kennzahlen für de Lage omnale Daten,..., W X,,..., W {(j j,..., J} X {(,...,(J} Gesucht: *, für das Abwechung zwschen * und,, mnmal st Se (j und d(j 0 j j j j d ( d ( d (3 A 0 0 Defnere -te Abwechung Dann glt und damt Δ 0 Δ Δ d(j d(j 0 ( j J j d(j d (j C 0 0 B 0 0 Σ 3 ls Raabe: Wahrschenlchetsrechnung und 4
5 Statstsche Kennzahlen für de Lage omnale Daten Defnere -te Abwechung Dann glt und damt Δ 0 Δ Δ d(j d(j 0 ( j J j d(j d (j d ( d ( d (3 A 0 0 C 0 0 Dese Abwechungssumme wrd mnmal, wenn j mamal wrd. Als snnvoller Lageparameter betet sch also de Mermalsausprägung (j * an, für de glt: ls Raabe: Wahrschenlchetsrechnung und B 0 0 Σ 3 * ma{ j,...,j} bzw. f * ma{f j,...,j} j j De Zuordnung X(j * wrd Modusvon X, en onreter Wert (j * Modalwertvon,., genannt. j j 5
6 Statstsche Kennzahlen für de Lage omnale Daten Modalwert Bespel Bearbetungen von Softwareaufgaben De Modalwerte lauten (j * Olver (j * Eport 3 (j *. Ausprägung Bearbeter(n Absolute Häufget Relatve Häufget Ka 0.7 Mram Olver Tna Ausprägung Aufgabe Absolute Häufget Relatve Häufget Abfrage 0.7 Eport Vernüpfung Ausprägung Verson Absolute Häufget Relatve Häufget ls Raabe: Wahrschenlchetsrechnung und 6
7 Statstsche Kennzahlen für de Lage Ordnale Daten,..., W X,,..., WX {(j j,..., J} ( < ( < < (J (3 ( 3 ( {(,...,(J} Ausprägungen lassen sch anordnen, allerdngs snd Abstandsverhältnsse der genererenden latenten Varable ncht beannt, genauer st de Ordnung für alle streng monoton stegenden Zuordnungen f ( äquvalent, da f - [(] < f - [(] < < f - [(J] glt. 4 ( 5 (3 ls Raabe: Wahrschenlchetsrechnung und 7
8 Statstsche Kennzahlen für de Lage Ordnale Daten Bespel 5-Punte-Benotungssystem Latente Lestung,Benotung f ( 5 Punte und besser Schlechter als 5 Punte ls Raabe: Wahrschenlchetsrechnung und 8
9 Statstsche Kennzahlen für de Lage Ordnale Daten Bespel 5-Punte-Benotungssystem Latente Lestung,Benotung f ( > f( f( > ls Raabe: Wahrschenlchetsrechnung und 9
10 Statstsche Kennzahlen für de Lage Ordnale Daten Bespel 5-Punte-Benotungssystem Latente Lestung,Benotung f ( 3 4 f( f( f( 3 f( 4 f lnear a,a > f( f( a a a ( f( 0 analog f( f( f( ls Raabe: Wahrschenlchetsrechnung und 0
11 Statstsche Kennzahlen für de Lage ls Raabe: Wahrschenlchetsrechnung und Ordnale Daten Bespel 5-Punte-Benotungssystem Latente Lestung,Benotung f ( f( f( f( f( f( f( f( f( f( f( f( f( < < < <
12 Statstsche Kennzahlen für de Lage Ordnale Daten Bespel 5-Punte-Benotungssystem Latente Lestung,Benotung f ( 5 Punte und besser Schlechter als 5 Punte ls Raabe: Wahrschenlchetsrechnung und
13 Statstsche Kennzahlen für de Lage Ordnale Daten Bespel 5-Punte-Benotungssystem Latente Lestung,Benotung f ( > f( f( > ls Raabe: Wahrschenlchetsrechnung und 3
14 Statstsche Kennzahlen für de Lage 4 ls Raabe: Wahrschenlchetsrechnung und Ordnale Daten Bespel 5-Punte-Benotungssystem Latente Lestung,Benotung f ( f( f( f( f( und damt f( f( f( f( f( f( Im Allgemenen glt: < <
15 Statstsche Kennzahlen für de Lage Ordnale Daten Bespel 5-Punte-Benotungssystem Latente Lestung,Benotung f ( < 3 4 < 3 4 Gegenbespel: 5 6 < Aber > ls Raabe: Wahrschenlchetsrechnung und 5
16 Statstsche Kennzahlen für de Lage Ordnale Daten,..., W X,,..., WX {(j j,..., J} ( < ( < < (J (3 {(,...,(J} X ( ( Urlste Geordnete Lste mt mn[argmn (,..., * * *,..., ( ( (... {,...,} \{ (,..., - }], ( 3 ( Geordnete Lste ( 3 ( ( wrd -terrangwertgenannt, erster und letzter Rangwert ( und ( heßen Mnmum und Mamum. 4 ( 4 (3 5 (3 5 (3 ls Raabe: Wahrschenlchetsrechnung und 6
17 Statstsche Kennzahlen für de Lage Ordnale Daten,..., W X,,..., WX {(j j,..., J} ( < ( < < (J {(,...,(J} ( wrd -terrangwertgenannt, erster und letzter Rangwert ( und ( heßen Mnmum und Mamum. R( (3 4.5 X ( ( R( * #K * * K * mt K { * * * ( } ( 3 3 (.5 4 (.5 Ränge ( 3 ( 4 (3 R( st der Rangvon. Gesucht: (*, für das Abwechung zwschen (* und,, mnmal st. 5 ( (3 ls Raabe: Wahrschenlchetsrechnung und 7
18 Statstsche Kennzahlen für de Lage Ordnale Daten: Bespel 5-Punte-Benotungssystem Summe Δ ( der absoluten Abwechungen der Beobachtungen von (,,,: Δ ( ( ls Raabe: Wahrschenlchetsrechnung und 8
19 Statstsche Kennzahlen für de Lage Ordnale Daten: Bespel 5-Punte-Benotungssystem Δ ( ( Mnmale Abwechung be { (4, (5, (6 } {9,9,9} 3 ls Raabe: Wahrschenlchetsrechnung und 9
20 Statstsche Kennzahlen für de Lage Ordnale Daten: Bespel 5-Punte-Benotungssystem Mnmale Abwechung be { (4, (5, (6 } {9,9,9}, 3 ls Raabe: Wahrschenlchetsrechnung und 0
21 Statstsche Kennzahlen für de Lage Ordnale Daten Generell glt: Δ ( st mnmal für, : ℵ m ( I Des gltfür jede streng monotone Abbldung f mt f(! DeMenge 0.5 { ( m } wrd dermedanvond genannt. 0.5 { { ( }mt, falls ungerade,( }mt, falls gerade ( ls Raabe: Wahrschenlchetsrechnung und
22 Statstsche Kennzahlen für de Lage ls Raabe: Wahrschenlchetsrechnung und Ordnale Daten Generell glt: m ( :, für mnmal st Δ ( ℵ I R,...,} {, } {,...,, ( , d.h. ungerade, Bewes für ( ( ( ( (- ( ( ( ( ( (- ( ( ( ( ( (- ( ( ( ( 0.5 ( 0.5 ( ( 0.5 (- 0.5 ( 0.5 ( ( ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
23 Statstsche Kennzahlen für de Lage Ordnale Daten Der Medan 0.5 telt den Datensatz n zwe Gruppen m Verhältns zu auf, so dass n der ersten Gruppe alle Werte von lener oder glech mn( 0.5 und n der zweten Gruppe alle Werte von größer oder glech ma( 0.5 snd. Ene Verallgemenerung deses Konzepts st das p-quantl p, welches für 0 < p < den Datensatz n zwe Gruppen mt den ca. p lensten und den ca. (-p größten Werten auftelt. Das p-quantl für ordnale Daten st defnert durch p { ( p }, p [p,p ] I ℵ, d.h. p { ( { (, } ( } falls falls p ℵ p ℵ,p (0,, p ls Raabe: Wahrschenlchetsrechnung und 3
24 Statstsche Kennzahlen für de Lage Ordnale Daten Das p-quantl für ordnale Daten st defnert durch p { Esglt: { ( I (, } ( { } p } p falls falls und p ℵ p ℵ I { } p,p (0,, (-p p Spezelle Quantle: p Bezechnung 0.5 Unteres Quartl 0.5 Medan 0.75 Oberes Quartl /0 -tes Dezentl /00 -tes Perzentl -a a-fratl ls Raabe: Wahrschenlchetsrechnung und 4
25 Statstsche Kennzahlen für de Lage Ordnale Daten Bespel Bearbetungen von Softwareaufgaben Verson.. 3. Geordnete Lste Verson (.. 3. Ränge Verson R(Verson 3 3 s s s 4 s s 0 s ls Raabe: Wahrschenlchetsrechnung und 5
26 Statstsche Kennzahlen für de Lage Ordnale Daten Bespel Bearbetungen von Softwareaufgaben Verson (. UnteresQuartl {3(3,3(4} 3;0.5 {.,.} -tesdezentl 3;0.9 { } {.0} 9 3( Medan {3(6,3(7} 3;0.5 {.} ls Raabe: Wahrschenlchetsrechnung und 6
27 Statstsche Kennzahlen für de Lage Quanttatve Daten,..., W X,,..., WX {(j j,..., J} bzw. W (-, X {(,...,(J} p-quantl p # p für quanttatve Daten p (, p [p,p ] I ℵ, d.h. p ( ( ( ( / falls falls p ℵ p ℵ,p (0,, p ls Raabe: Wahrschenlchetsrechnung und 7
28 Statstsche Kennzahlen für de Lage Quanttatve Daten: Quantlsbestmmung über emprsche Vertelungsfunton 0 falls < ( F ( #{n n (j} sj mtj ma{ j ( j } falls ( p p mt, falls p ( ℵ Sej F j [(j - j ] ( n (j mn j F[(j] I n (j - p (j > p n I (j ls Raabe: Wahrschenlchetsrechnung und n F [(j ] p / p ( > 8
29 Statstsche Kennzahlen für de Lage Quanttatve Daten: Quantlsbestmmung über emprsche Vertelungsfunton 0 falls < ( F ( #{n n (j} sj mtj ma{ j ( j } falls ( p ( ( ( / mt p, falls p ℵ Sej j ( (j, j j ( (j Fall: F j [(j j - ] j mn j F n I [(j] p n (j (j - < > p n I (j n F [(j ls Raabe: Wahrschenlchetsrechnung und ] p / p ( > 9
30 Statstsche Kennzahlen für de Lage Quanttatve Daten: Quantlsbestmmung über emprsche Vertelungsfunton 0 falls < ( F ( #{n n (j} sj mtj ma{ j ( j } falls ( p ( ( ( / mt p, falls p ℵ Sej j ( (j, j j ( (j Fall: j j j F j n I n [(j] (j p F [(j [(j p (j ] ]/ ls Raabe: Wahrschenlchetsrechnung und 30
31 Statstsche Kennzahlen für de Lage Quanttatve Daten: Quantlsbestmmung über emprsche Vertelungsfunton F ( sj #{ 0 n (j} mtj ma{ j ( j n } falls falls < ( ( Fall: p ℵ p (j s 4 s 3 f 4 f 5 j mn { j F [(j] p} s s 0 p f 3 f f ( ( (3 (4 (5 ls Raabe: Wahrschenlchetsrechnung und 3
32 Statstsche Kennzahlen für de Lage Quanttatve Daten: Quantlsbestmmung über emprsche Vertelungsfunton F ( sj #{ 0 n (j} mtj ma{ j ( j } n Fall: j p p ℵ, j j (j (j { j F [(j] p} s 4 s 3 s p s 0 f f f 3 falls falls < ( ( f 4 f 5 ( ( (3 (4 (5 [((3]/ ls Raabe: Wahrschenlchetsrechnung und 3
33 Statstsche Kennzahlen für de Lage Quanttatve Daten,..., W X,,..., WX {(j j,..., J} bzw. W (-, X {(,...,(J} Der Medan mnmert de Summe der absoluten Abwechungen. Jetzt gesucht: Wert ^, der de Summe der quadratschen Abwechungen mnmert. { ˆ R Δ( ˆ mn R [ (]} mt Δ( ( ls Raabe: Wahrschenlchetsrechnung und 33
34 Statstsche Kennzahlen für de Lage Quanttatve Daten Δ a ( Mnmal be.78 Δ( ( Mnmal be 3.84 ls Raabe: Wahrschenlchetsrechnung und 34
35 Statstsche Kennzahlen für de Lage Quanttatve Daten Generell glt: Δ( _ Bewes: ( st mnmal für wrd das arthmetsche Mttel von,, genannt. Ist,, durch de Häufgetsvertelung f,,f J beschreben, so glt: ( ( ( J j... f j (j ( ( ( ( ( (J (J f mal f mal f f mal ( f J (... f ls Raabe: Wahrschenlchetsrechnung und J (J J j f (j j c 35
36 Statstsche Kennzahlen für de Lage Quanttatve Daten Δ( Generell glt: ( st mnmal für Bewes R : Δ( ( [( ( ] ( ( ( ( * ( * Δ( ( 443 ( l l 0 Δ( l l l l ls Raabe: Wahrschenlchetsrechnung und 36
37 Statstsche Kennzahlen für de Lage Quanttatve Daten Δ( Generell glt: ( st mnmal für Bewes R : Δ( ( [( ( ] ( ( ( ( ( Δ( ( Δ( ls Raabe: Wahrschenlchetsrechnung und 37
38 Statstsche Kennzahlen für de Lage Quanttatve Daten Arthmetsches Mttel von Bnärdaten Für J mt {(,(} {0,} glt: f Bewes n n n I d(( n n f ls Raabe: Wahrschenlchetsrechnung und 38
39 Statstsche Kennzahlen für de Lage 4 Quanttatve Daten Bespel Bearbetungen von Softwareaufgaben Anzahl Clcs ( Unt. Quart. 4;0.5 {( /}.5 Medan 4;0.5 {(3 4/} 3.5 Ob. Quart. 4;0.75 {(5 6/} 5.5 ls Raabe: Wahrschenlchetsrechnung und 39
40 Statstsche Kennzahlen für de Lage 5 Quanttatve Daten Bespel Bearbetungen von Softwareaufgaben Bearbetungszet ( Unt. Quart. 5;0.5 {( /} 3.7 Medan 5;0.5 {(4. 4.5/} 4.35 Ob. Quart. 5;0.75 {(6. 6.5/} 6.35 ls Raabe: Wahrschenlchetsrechnung und 40
41 Statstsche Kennzahlen für de Lage Zusammenfassung Salennvau Lagemaß omnal Ordnal Quanttatv Modus Informatonsverlust ur für lasserte Daten Medan Arthmetsches Mttel ur für J Gernge Aussageraft für lene J Robust Informatonsverlust Hohe Streubrete Ausreßeranfällg Informatonsnutzung Gernge Streubrete ls Raabe: Wahrschenlchetsrechnung und 4
42 Statstsche Kennzahlen für de Streuung Bsher: Beschrebung von Häufgetsvertelung und Lage Jetzt: Beschrebung der mttleren Varaton um de Lage Allgemen: Streuung desto höher, je schlechter onrete Werte sch vorhersagen lassen. ls Raabe: Wahrschenlchetsrechnung und 4
43 Statstsche Kennzahlen für de Streuung Bsher: Beschrebung von Häufgetsvertelung und Lage Jetzt: Beschrebung der mttleren Varaton um de Lage ls Raabe: Wahrschenlchetsrechnung und 43
44 Statstsche Kennzahlen für de Streuung omnale Daten,..., W X,,..., W {(j j,..., J} X {(,...,(J} d ( d ( d (3 A C Rechnen nur snnvoll mt Dummyvarablen bzw. Häufgeten. A 0 0 C 0 0 B B 0 0 Σ 3 ls Raabe: Wahrschenlchetsrechnung und 44
45 Statstsche Kennzahlen für de Streuung omnale Daten Allgemen: Streuung desto höher, je schlechter onrete Werte sch vorhersagen lassen. omnale Mermalsausprägungen lassen sch um so besser vorhersagen, desto häufger ene bestmmte Kategore vorommt. Gerngste Streuung, falls es en j gbt mt f j. Höchste Streuung, falls f j /J, j,,j. ls Raabe: Wahrschenlchetsrechnung und 45
46 Statstsche Kennzahlen für de Streuung omnale Daten Gerngste Streuung, falls es en j gbt mt f j. Höchste Streuung, falls f j /J, j,,j. Smpson s D D Bespel J A B 3 A 4 C j f j 4 D #{(,, (,4, (,, 6 6 (,3, D 5 8 (,4, D entsprcht dem Antel von Paaren mt unterschedlchen Mermalsausprägungen an allen aus der Urlste bldbaren Beobachtungspaaren: 4 #{(, {,...,} {,...,} (3,, (3,4, (4,, (4,, (4,3} } ls Raabe: Wahrschenlchetsrechnung und 46
47 Statstsche Kennzahlen für de Streuung omnale Daten Gerngste Streuung, falls es en j gbt mt f j. Höchste Streuung, falls f j /J, j,,j. Bespel J Smpson s D D f J j j D 0 D - J D D 0 für - J ma[(f für f,...,f]... J f J J f f ls Raabe: Wahrschenlchetsrechnung und 47
48 Statstsche Kennzahlen für de Streuung omnale Daten Gerngste Streuung, falls es en j gbt mt f j. Höchste Streuung, falls f j /J, j,,j. Bespel J Smpson sd z D z J( J j J f j D 0 D z D D z z 0 für für ma[(f,...,fj] f... fj J f f ls Raabe: Wahrschenlchetsrechnung und 48
49 Statstsche Kennzahlen für de Streuung omnale Daten Informatonstheore: en Eregns lefert desto mehr Informaton, je gernger sene Entrttswahrschenlchet st. Koderung der Elementareregnsse n Bts, Bespel Kaffeebestellung:. Bt: 0 Tasse Kännchen. Bt: 0 Schwarz mt Mlch 3. Bt: 0 Süßstoff Zucer 8 Möglche Bestellungen: 000, 00, 00, 0, 00, 0, 0, Beträgt de Wahrschenlchet ener Telmenge deser Bestellungen p /8, wrd genau ene Bestellung ausgewählt und man erhält Informaton über alle 3 log (/8 Bts, falls de Telmenge ausgewählt wrd. Wrd dagegen de Menge möglcher Bestellungen auf 50%, z.b. alle Bestellungen mt Kännchen engegrenzt, also p /, so erhält man nur Informaton über log (/ Bt. ls Raabe: Wahrschenlchetsrechnung und 49
50 Statstsche Kennzahlen für de Streuung omnale Daten De Informaton ener Mermalsausprägung (j n Bts ann also allgemen defnert werden durch log (f j. Der Informatonsgehalt des gesamten Mermals ergbt sch durch de Entrope genannte erwartete Informaton H( von : H( Bespel Kaffeebestellung: Se F de Antwort auf ene bestmmte Frage F J j flog j f j F Möchten Se Ihren Kaffee mt Mlch und Zucer? F (0 en, F ( Ja, f 6/8, f /8, H( F (6/8 log (6/8 (/8 log (/ ls Raabe: Wahrschenlchetsrechnung und 50
51 Statstsche Kennzahlen für de Streuung omnale Daten Entrope von : H( J j flog j f j Bespel Kaffeebestellung F Möchten Se Ihren Kaffee Mt Mlch und Zucer? F (0 en, F ( Ja, f 6/8, f /8, H( F F Möchten Se Ihren Kaffee n der Tasse? F (0 en, F ( Ja, f 4/8, f 4/8, H( F (4/8 log (4/8 (4/8 log (4/8 ls Raabe: Wahrschenlchetsrechnung und 5
52 Statstsche Kennzahlen für de Streuung omnale Daten Entrope von : H( J j flog j f j De Entrope st en snnvolles Maß für de Streuung, denn se erfüllt de Forderungen: Gerngste Streuung, falls es en j gbt mt f j. Höchste Streuung, falls f j /J, j,,j. Bespel J 0 < H( log (J lm[h(] 0 für ma[(f,...,fj] H( log(j fürf... fj J H( f f ls Raabe: Wahrschenlchetsrechnung und 5
53 Statstsche Kennzahlen für de Streuung omnale Daten ormerte Entrope von : H n ( log f J j fj j logj De Entrope st en snnvolles Maß für de Streuung, denn se erfüllt de Forderungen: Gerngste Streuung, falls es en j gbt mt f j. Höchste Streuung, falls f j /J, j,,j. Bespel J 0 < H n ( lm[h(] 0 für ma[(f,...,fj] H( fürf... fj J H n ( D z f f ls Raabe: Wahrschenlchetsrechnung und 53
54 Statstsche Kennzahlen für de Streuung omnale Daten Smpson s D und Entrope für J3 ls Raabe: Wahrschenlchetsrechnung und 54
55 Statstsche Kennzahlen für de Streuung omnale Daten: Bespel Bearbetungen von Softwareaufgaben Mermal D z H n ( Bearbeter(n 4/3 ( Aufgabe 3/ ( Verson 3/ ( [ 0.7 log ( log ( log ( log (0.5] /log ( [ 0.7 log ( log ( log (0.33 ]/log ( [ 0.5 log ( log ( log (0.5 ]/log ( Bearbeter(n Absolute Häufget Relatve Häufget Ka 0.7 Mram Olver Tna Ausprägung Aufgabe Absolute Häufget Relatve Häufget Abfrage 0.7 Eport Vernüpfung ls Raabe: Wahrschenlchetsrechnung und Ausprägung Ausprägung Verson Absolute Häufget Relatve Häufget
Statistische Kennzahlen für die Streuung
Statstsche Kezahle für de Streuug Ordale Date,..., W X,,..., WX {(j) j,..., J} () < () < < (J) {(),...,(J)} (3) () 3 () Geordete Lste k X (k) () () 3 () Smpso s D ud H() sd awedbar, allerdgs wrd Iformato
wird auch Spannweite bzw. Variationsbreite genannt ist definiert als die Differenz zwischen dem größten und kleinsten Messwert einer Verteilung:
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