Optimierung 4.3 A2 : Warenhauszentrale a 2 +b 2 =c 2 Materialbörse Mathematik

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1 Zechenerklärung: [ ] - Drücken Se de entsprechende Taste des Graphkrechners! [ ] S - Drücken Se erst de Taste [SHIFT] und dann de entsprechende Taste! [ ] A - Drücken Se erst de Taste [ALPHA] und dann de entsprechende Taste! Optmerung Nachdem für de zu optmerende Größe ene Zelfunkton aufgestellt worden st, lässt sch en Optmerungsproblem mt dem Graphkrechner durch Bestmmung des absoluten Extremums schnell lösen. Da der Graphkrechner Extrema numersch ermttelt, st des auch dann möglch, wenn analytsche Methoden versagen, wel bespelswese de Zelfunkton ncht dfferenzerbar st. Ene schnelle und enfache Ermttlung enes absoluten Extremums auf enem Intervall st m Run-Modus möglch. Möchte man enen Überblck über den Verlauf der Zelfunkton erhalten, betet sch de Lösung enes Optmerungsproblems m Graphk-Modus an. Dort lassen sch relatve Extrema auf dem dargestellten Intervall bestmmen. Be ener graphschen Darstellung lässt sch gut erkennen, we stark de Funktonswerte der Zelfunkton n der Umgebung des Extremums vom Optmum abwechen. Enen Überblck über de Funktonswerte der Zelfunkton erhält man, wenn man ene Wertetabelle m Tabellen-Modus erstellen lässt. Arbetsauftrag 4.3 A: Warenhauszentrale En großes Handelshaus hat mehrere Zwegstellen, de an ener gemensamen Bahnstrecke be Klometer 0, 0, 60, 10, 140, 190 und 00 legen. An deser Bahnstrecke soll auch das neue Zentrallager der Frma entstehen. Für de Lage des Zentrallagers werden unterschedlche Krteren untersucht. a) De Summe aller Entfernungen vom Zentrallager zu den Zwegstellen soll möglchst klen sen. Zelfunkton Wenn man annmmt, dass sch das Zentrallager an der Bahnstrecke be Klometer x befndet, glt für de Summe der Entfernungen zu den Zwegstellen n Klometer de Zelfunkton f(x) = x + x 0 + x 60 + x 10 + x x x 00. Es blebt nun das Zel, das absolute Mnmum von f zu bestmmen. Lösung m Graphk-Modus Im Hauptmenü gelangen Se mt der Taste [ 5 ] n den Graphk-Modus. 1

2 Be der Engabe des Funktonsterms von f verwenden Se für de Varable x de Taste [X,θ,T] und für de Betragsfunkton (Abs) den Menüpunkt NUM des Opton-Menüs. [OPTN] [F5] (NUM) [F1] (Abs) [X,θ,T] [ + ] [OPTN] [F5] (NUM) [F1] (Abs) [ ( ] [X,θ,T] [ ] [ ][ 0 ] [ ) ] [ + ] [F1] (Abs) [ ( ] [X,θ,T] [ ] [ 6 ][ 0 ] [ ) ] [ + ] [F1] (Abs) [ ( ] [X,θ,T] [ ] [ 1 ][ ][ 0 ] [ ) ] [ + ] [F1] (Abs) [ ( ] [X,θ,T] [ ] [ 1 ][ 4 ][ 0 ] [ ) ] [ + ] [F1] (Abs) [ ( ] [X,θ,T] [ ] [ 1 ][ 9 ][ 0 ] [ ) ] [ + ] [F1] (Abs) [ ( ] [X,θ,T] [ ] [ ][ 0 ][ 0 ] [ ) ] [EXE] Um den Bldausschntt der graphschen Darstellung festzulegen, gelangen Se mt der Taste [V-Wndow] S zum Betrachtungsfenster. Da es ungünstg st, dass Zentrallager außerhalb des 00 km langen Streckenabschnttes, an dem sch de Zwegstellen befnden, zu errchten, st es nahelegend, den x-berech von 0 bs 00 zu wählen. De Entfernungssumme st mt Scherhet postv und m Intervall [0;00] klener als 1400 km, da dort de Entfernung jeder Zwegstelle vom Zentrallager höchstens 00 km beträgt. [ 0 ] [EXE] [ ][ 0 ][ 0 ] [EXE] [ 5 ][ 0 ] [EXE] [ 0 ] [EXE] [ 1 ][ 4 ][ 0 ][ 0 ] [EXE] [ 1 ][ 0 ][ 0 ] [EXE] Se kehren mt [EXIT] zum Graphk-Edtor zurück und lassen mt der Taste [F6] (DRAW) den Graphen der Zelfunkton zechnen. Se können nun enen kleneren y-berech graphsch darstellen lassen, da Se sehen, n welchem Berech de Funktonswerte legen. Be enem y- Berech von 410 bs 10 lässt sch der stückwese lneare Verlauf des Graphen besonders gut erkennen. Mt der Taste [V-Wndow] S gelangen Se weder zum Betrachtungsfenster. [ 4 ][ 1 ][ 0 ] [EXE] [ ][ 1 ][ 0 ] [EXE] Mt [EXIT] [F6] (DRAW) lassen Se den Graphen erneut zechnen. Se rufen mt der Taste [G-Solv] S de Graph-Solve-Funkton auf und wählen mt der Taste [F3] den Menüpunkt MIN, um de lokalen Mnma m dargestellten x-berech zu bestmmen.

3 Se erhalten das enzge lokale Mnmum be (10/450), da der Graphkrechner ken weteres Mnmum anzegt, wenn Se de Cursor- Taste [ ] drücken. Im Graphk-Modus bestmmt der Graphkrechner lokale Extrema m dargestellten x-berech. Das absolute Extremum n desem Berech erhält man be stetgen Funktonen, wenn man de Funktonswerte der lokalen Extrema und de an den Intervallgrenzen (evt. legt en Randextremum vor.) verglecht. In der Regel lässt en Blck auf de Graphk erkennen, wo sch en absolutes Extremum n etwa befndet. Der Graphkrechner ermttelt Extrema mmer auf Intervallen. Man sollte sch also stets überlegen, ob sch en gesuchtes Extremum auch außerhalb des gewählten Intervalls befnden könnte. Da de Funktonswerte der Zelfunkton an den Randpunkten des Intervalls [0;00] und außerhalb größer snd als 450, legt das absolute Mnmum von f be (10/450). Das Zentrallager sollte also be Klometer 10 errchtet werden, damt de Summe aller Entfernungen vom Zentrallager zu den Zwegstellen möglchst klen st. Mt Hlfe der Trace- und der Zoom-Funkton kann der Verlauf der Zelfunkton noch genauer untersucht werden. De Verwendung des Graphkrechners st be desem Aufgabentel besonders nützlch, da de Zelfunkton ncht dfferenzerbar st. Legt das Mnmum be enem konstanten Telstück des Graphen (we bespelswese be ener geraden Anzahl von Zwegstellen), lässt es sch ncht mt der Graph-Solve-Funkton ermtteln. Lösung m Run-Modus Se wechseln mt den Tasten [MENU] [ 1 ] n den Run-Modus, um das absolute Mnmum der Zelfunkton auf dem Intervall [0;00] zu ermtteln. Um das Symbol für de Bestmmung des absoluten Mnmums enzugeben, verwenden Se den Menüpunkt CALC des Opton-Menüs. Da de Zelfunkton berets unter Y1 n der ersten Zele des Graphk- Edtors engegeben worden st, müssen Se den Funktonsterm von f ncht erneut engeben, sondern Se können den Menüpunkt GRPH des Varablendaten-Menüs verwenden. Nach der Engabe der Funkton folgen jewels nach enem Komma de Intervallgrenzen. [OPTN] [F4] (CALC) [F6] ( ) [F1] (FMn) [VARS] [F4] (GRPH) [F1] (Y) [ 1 ] [, ] [ 0 ] [, ] [ ][ 0 ][ 0 ] [ ) ] [EXE] 3

4 Das absolute Mnmum von f m Intervall [0,00] wrd n der zweten Zele angezegt. Angenommen wrd es be x=10. Auch wenn das absolute Mnmum be mehreren x-werten angenommen wrd, zegt der Graphkrechner nur enen x-wert an. En Optmerungsproblem lässt sch m Run-Modus schnell lösen. Man erhält allerdngs auch be der Exstenz mehrerer Lösungen mmer nur ene Lösung und kene Erkenntns über den Verlauf der Zelfunkton. Veranschaulchung m Tabellen-Modus Damt sch de Schüler mt der Stuaton enes Optmerungsproblems ausenandersetzen, st es snnvoll, se zunächst schätzen zu lassen, wo sch de Lösung befndet. Es betet sch dann an, de Funktonswerte der Zelfunkton n ener Wertetabelle darzustellen. Se gelangen mt der Tasten [MENU] [ ] n den Tabellen-Modus. De m Graphk-Edtor engegebene Zelfunkton erschent ebenfalls m Tabellen-Edtor und muss ncht neu engegeben werden. Um de x-werte festzulegen, für de ene Wertetabelle aufgestellt werden soll, rufen Se mt der Taste [F5] (RANG) de Tabellenberechsanzege auf. Soll de Tabelle z.b. zunächst nur den Funktonswert für x=100 enthalten, geben Se desen als Start- und Endwert en, de Schrttwete n der Rubrk ptch st dabe belebg. [ 1 ][ 0 ][ 0 ] [EXE] [ 1 ][ 0 ][ 0 ] [EXE] Nachdem Se mt der Taste [EXIT] zum Tabellen-Edtor zurückgekehrt snd, wählen Se mt der Taste [F6] den Menüpunkt TABL, um de Wertetabelle anzegen zu lassen. Wenn Se nun den Menüpunkt ROW mt der Taste [F3] aufrufen, können Se Wertepaare hnzufügen oder löschen. Bespelswese können Se de Funktonswerte für x=10 und x=110 hnzufügen. [F3] (ADD) [ 1 ][ ][ 0 ] [F3] (ADD) [ 1 ][ 1 ][ 0 ] [EXE] [EXE] Se können ene Wertetabelle ebenfalls für de x-werte, de sch n ener Lste befnden, erstellen lassen, wenn Se m Set up n der Rubrk Varable ene Lste auswählen. So könnte man z.b. de Tpps der Schüler n ene Lste engeben und schnell prüfen, wer am besten getppt hat. 4

5 En Optmerungsproblem lässt sch m Tabellen-Modus m allgemenen ncht lösen. De Veranschaulchung der Funktonswerte n ener Wertetabelle kann aber neue Erkenntnsse brngen. Se gelangen mt den Tasten [EXIT] [EXIT] [F5] (RANG) weder zur Tabellenberechsanzege und geben für x den Startwert 0, den Endwert 00 und de Schrttwete 10 en. [ 0 ] [EXE] [ ][ 0 ][ 0 ] [EXE] [ 1 ][ 0 ] [EXE] Mt den Tasten [EXIT] [F6] (TABL) lassen Se de neue Wertetabelle erstellen. Mt Hlfe der Cursor-Taste können Se de zunächst ncht schtbaren Zelen der Wertetabelle ansehen. Es fällt auf, dass de Funktonswerte be jewelger Vergrößerung des x- Wertes um 10 m Berech [0;0] um 50, m Berech [0;60] um 30 und m Berech [60;10] um 10 snken, während se m Berech [10;140] um 10, m Berech [140;190] um 30 und m Berech [190;00] um 50 stegen. De Veränderung trtt also mmer an den Standorten der Zwegstellen en. Des lässt sch lecht begründen: Wrd für das Zentrallager ncht be Klometer 0, sondern be Klometer 10 errchtet, stegt de Entfernung zur ersten Zwegstelle (be x=0) um 10 km, de zu den anderen sechs Zwegstellen verrngert sch aber um jewels 10 km, so dass de Entfernungssumme um 6 10 km 10 km = 50 km snkt. Im Berech [0;60] wrd be Vergrößerung von x um 10 de Entfernung zu den ersten beden Zwegstellen 10 km größer, de zu den anderen fünf aber um 10 km klener, so dass de Entfernungssumme um 5 10 km 10 km = 30 km klener wrd. Es kommt also nur darauf an, we vele Zwegstellen sch vor bzw. hnter dem Zentrallager befnden. De Entfernungssumme snkt mmer dann, wenn sch das Zentrallager der mttleren verten Zwegstelle (be x=10) nährt. Infolgedessen st de Entfernungssumme mnmal, wenn das Zentrallager be der verten Zwegstelle be Klometer 10 errchtet wrd. De Lösung des Optmerungsproblems befndet sch bem Medan der x- Werte, an denen sch de Zwegstellen befnden. Des glt auch be ener anderen Anzahl von Zwegstellen. Be ener ungeraden Anzahl von Zwegstellen st de Entfernungssumme be der mttleren Zwegstelle mnmal, be ener geraden Anzahl glt des für den Berech zwschen den beden mttleren Zwegstellen. 5

6 Der Medan lässt sch mt dem Graphkrechner m Statstk-Modus und m Run-Modus bestmmen, wenn de Daten zuvor n ene Lste engegeben wurden. Des st snnvoll be ener großen Zahl von Daten, de ncht hrer Größe nach geordnet snd. Se können de Wertetabelle graphsch darstellen lassen, wenn Se mt der Taste [F6] den Menüpunkt G PLT wählen, während de Wertetabelle angezegt wrd. Der dargestellte Bldberech rchtet sch nach den Enstellungen des Betrachtungsfensters. Mt der Trace- und der Zoom-Funkton können Se de Graphk genauer untersuchen. Wenn Se den Menüpunkt G CON mt der Taste [F5] wählen, während de Wertetabelle angezegt wrd, wrd der Graph der Zelfunkton we m Graphk-Modus gezechnet. De Graph-Solve- Funkton zur Bestmmung des Mnmums steht m Tabellen-Modus allerdngs ncht zur Verfügung. b) De Summe der Quadrate aller Entfernungen vom Zentrallager zu den Zwegstellen soll möglchst klen sen. Zelfunkton Für de Summe der Quadrate aller Entfernungen n km glt de Zelfunkton g(x) = x + (x 0) + (x 60) + (x 10) + (x 140) + (x 190) + (x 00). Es blebt nun das Zel, das absolute Mnmum von g zu bestmmen. Lösung m Graphk-Modus Se gelangen Se mt den Tasten [MENU] [ 5 ] weder n den Graphk- Modus und geben m Graphk-Edtor de Zelfunkton g en. [X,θ,T] [ x ] [ + ] [ ( ] [X,θ,T] [ ] [ ][ 0 ] [ ) ] [ x ] [ + ] [ ( ] [X,θ,T] [ ] [ 6 ][ 0 ] [ ) ] [ x ] [ + ] [ ( ] [X,θ,T] [ ] [ 1 ][ ][ 0 ] [ ) ] [ x ] [ + ] [ ( ] [X,θ,T] [ ] [ 1 ][ 4 ][ 0 ] [ ) ] [ x ] [ + ] [ ( ] [X,θ,T] [ ] [ 1 ][ 9 ][ 0 ] [ ) ] [ x ] [ + ] [ ( ] [X,θ,T] [ ] [ ][ 0 ][ 0 ] [ ) ] [ x ] [EXE] Um den Bldausschntt der graphschen Darstellung festzulegen, gelangen Se mt der Taste [V-Wndow] S zum Betrachtungsfenster. Der x-berech von 0 bs 00 kann bebehalten werden. De Summe der Quadrate aller Entfernungen st mt Scherhet postv und auf dem Intervall [0;00] klener als km, da dort de Entfernung jeder Zwegstelle vom Zentrallager höchstens 00 km beträgt. 6

7 [ 0 ] [EXE] [ ][ 8 ][ 0 ][ 0 ][ 0 ][ 0 ] [EXE] [ 5 ][ 0 ][ 0 ][ 0 ][ 0 ] [EXE] Se kehren mt [EXIT] zum Graphk-Edtor zurück und lassen mt der Taste [F6] (DRAW) den Graphen von g zechnen. Um den dargestellten y-berech an den Werteberech des Graphen auf dem Intervall [0;00] anzupassen, rufen Se mt der Taste [Zoom] S de Zoom-Funkton auf und wählen mt der Taste [F5] den Menüpunkt AUTO. Der parabelförmge Verlauf des Graphen wrd nun besser deutlch. Den Schülern sollte aufgrund der Funktonsglechung klar sen, dass de Zelfunkton g ene Parabel darstellt und sch das absolute Mnmum am Schetelpunkt der Parabel befndet. Se rufen mt der Taste [G-Solv] S de Graph-Solve-Funkton auf und wählen mt der Taste [F3] den Menüpunkt MIN, um das Mnmum zu bestmmen. Es legt ungefähr be (104,3/391). Das Zentrallager sollte also be Klometer 104,3 errchtet werden, damt de Summe der Quadrate aller Entfernungen vom Zentrallager zu den Zwegstellen möglchst klen st. Analytsche Lösung Analytsch lässt sch das Mnmum bestmmen, ndem man de Parabel mttels quadratscher Ergänzung n Schetelpunktsform brngt oder de Abletung von g bestmmt und glech 0 setzt. De -te Zwegstelle befnde sch bem Klometer x : g(x) = ( x x ) = x x x + x = 1 x x + x 1 ( x ) g (x) = 14x x = 0 x = 1 x In beden Fällen st erschtlch, dass das Mnmum bem arthmetschen Mttel der Zwegstellenpostonen legt. x 1 x = 1 ( ) = ,3

8 Auf de analytsche Bestmmung des Mnmums sollte ncht verzchtet werden, da dadurch erst deutlch wrd, dass sch das Mnmum bem arthmetschen Mttel der Zwegstellenpostonen befndet. Das arthmetsche Mttel lässt sch ebenso we der Medan mt dem Graphkrechner m Statstk-Modus und m Run-Modus bestmmen, wenn de Daten zuvor n ene Lste engegeben wurden. c) De Summe der Entfernungen vom Zentrallager zu den Zwegstellen vor dem Zentrallager soll glech der Summe der Entfernungen zu den Zwegstellen hnter dem Zentrallager sen. Analytsche Lösung Das Zentrallager befnde sch be Klometer x, de -te Zwegstelle bem Klometer x : Für de Zwegstellen, de sch vor dem Zentrallager befnden (x x), beträgt de Entfernung zum Zentrallager x x, für de Zwegstellen, de sch hnter dem Zentrallager befnden (x x), beträgt se x x. Damt de Summe der Entfernungen vor und hnter dem Zentrallager glech st, muss gelten: ( x x ) = ( x x) bzw. x x x x 0 = ( x x ) + ( x x ) = ( x x ) x x x x Es folgt 0 = x x und x = 1 x. De Lösung legt weder bem arthmetschen Mttel der Zwegstellenpostonen x 1 x 104,3. Das Zentrallager sollte also be Klometer 104,3 errchtet werden, damt de Summe der Entfernungen vom Zentrallager zu den Zwegstellen vor dem Zentrallager glech der Summe der Entfernungen zu den Zwegstellen hnter dem Zentrallager st. Der Zahlenwert der Nullstelle der Funkton ( x x ) leße sch natürlch auch mt dem Graphkrechner bestmmen (m Glechungs- Modus oder mt der Graph-Solve-Funkton m Graphk-Modus), de Verwendung des Graphkrechners betet sch her aber ncht unbedngt an. 8