e dt (Gaußsches Fehlerintegral)

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1 Das Gaußsche Fehlerntegral Φ Ac 5-8 Das Gaußsche Fehlerntegral Φ st denert als das Integral über der Standard-Normalvertelung j( ) = -,5 n den Grenzen bs, also F,5 t ( ) = - e dt (Gaußsches Fehlerntegral) Deses Integral stellt den Flächennhalt zwschen der Standard-Normalvertelung m Intervall ] ; ] und der -Achse dar und gbt de Wahrschenlchket P daür an, dass en normalvertelter Merkmalswert X mt dem Erwartungswert µ = und der Standardabwechung σ = höchstens den Wert annmmt, kurz : P(X ). Besel: P(X,5) De schraerte Fläche beträgt ca. A =,33, und des entsrcht der Wahrschenlchket P(X,5). Da de Normalvertelung kene Stammunkton bestzt, muss man ene solche Fläche aromatv bestmmen. Hnzu kommt noch das Problem, dass de lnke Grenze m negatven Unendlchen legt. Das letztgenannte Problem kann man jedoch durch de Tatsache lösen, dass de gesamte zwschen Normalvertelung und -Achse legende Fläche eakt den Wert bestzt, was durch den wahrschenlchketstheoretschen Zusammenhang bedngt st. De Fläche m Intervall ] ; ] bestzt demnach den Wert,5. Man muss also nur m Intervall [ ; ] aromeren und,5 zum Ergebns adderen. Ist <, so muss man den aromerten Flächenwert von,5 subtraheren. We kann man nun m Intervall [ ; ] aromeren? De gänggsten nummerschen Integratonsverahren snd Traezverahren und Romberg-Verahren, dazu noch das recht komlzerte Gauß-Kronrod-Verahren. Ene wetere Methode besteht darn, das Taylorolynom der Normalvertelung zu ermtteln und deses dann zu ntegreren. So erhält man ene ganzratonale Näherungsunkton als Stammunkton, welche sch lecht berechnen lässt. De (Integral-)Funkton, welche den Berech au das Intervall [ ; ] enschränkt, heßt (). Gesucht st also -,5t F ( ) =, 5 + F ( ) mt F( ) = e dt

2 Das Taylorolynom wrd ledglch vom Integranden e -,5t ² ermttelt ( Entwcklung n der Umgebung von o = ), so dass wr nach der Integraton deses Polynoms nur noch mt dem konstanten Faktor vor dem Integralzechen multlzeren müssen! Das allgemene Taylorolynom ür de Aromaton an ener Stelle lautet: T() = ( ) + '( ) (- ) + ''( )! (- ) + '''( ) 3! (- ) ( ) n! ( n) (- ) n + R n Für das Restgled R n glt: ( - ) = ( + ( - )); < J < ( n + )! n+ ( n+ ) Rn J Wr ermtteln jetzt das Taylorolynom von () = e --,5 ² der Stelle = : Zunächst werden Abletungen benötgt. Wr beschränken uns au de ersten 8 Abletungen. -,5 -,5 '( ) = e (-,5 ) = - -,5 -,5 -,5 ''( ) = - ( - ) + (- ) = ( - ) Ebenso erhält man -,5 -,5 3 -,5 '''( ) = ( - ) (- ) + = (- + 3 ) (4) 4 -,5 (5) 5 3 -,5 ( ) = ( ) ( ) = ( ) (6) 6 4 -,5 (7) ,5 ( ) = ( ) ( ) = ( ) (8) ,5 ( ) = ( ) Mt ()=, ' () =, '' () = -, ''' () =, (4) () = 3, (5) () =, (6) () = -5, (7) () =, (8) () = 5 erhalten wr das Taylorolynom: -, ( ) = e = ! 4! 6! 8! De Stammunkton deses Polynoms st ene Näherung ür das gesuchte Integral. Daher glt: e dt = ! 3 4! 5 6! 7 8! -,5t m... Des lässt sch verenachen, damt man ene Summenormel angeben kann: e dt = ,5t = = = ! 3! 5 3! 7 4! 3 4 De Summenormel ( gültg ür n ener ncht zu großen Umgebung von ) : + -,5t e dt = = ( ) 3 4 -! 3! 5 3! 7 4!! ( + ) =

3 Daher glt auch ür das Gaußsche Fehlerntegral () : -,5t F ( ) = dt ( ) = - ( + )! + = Anmerkung: Das so genannte Restgled (zur Bestmmung des mamalen Aromatonsehlers) st außerordentlch unhandlch, da sch nur schwer ene geschlossene Form ür de (n+)-te Abletung von nden lässt. Es soll daher ncht weter betrachtet werden. Her ene Umsetzung deses Summenalgorthmus n JAVA: ublc statc double summegaussfehlerintph(double, nt nma) { // Summe((-)^*^(+)/(+)/!/^,,,n) st ür klene ene // Aromaton ür ntegral(e^(-t^/),t,,) // Der olgende Algorthmus st sehr schnell, da Fakultät und Potenz ^(+) // ncht mmer weder ab = berechnet werden müssen nt =, vz = ; long zwehochi =, ZweIlusEns = ; double ak = ; // double wchtg, da long nur bs! rechnet double summand =, summe =, Potenz = ; whle ( < nma summand > e-) { ++; vz = -vz; ak = ak * ; zwehochi = zwehochi * ; ZweIlusEns = ZweIlusEns + ; Potenz = Potenz * * ; summand = vz * Potenz / ZweIlusEns / zwehochi / ak; // (>) System.out.rntln(" = "++" ak = "+ak); summe += summand; }; return summe / Math.sqrt(*Math.PI); } Wr rüen den -Algorthmus ür das Besel = mt verschedenen n-werten : Berechnet wrd also: n -,5t dt» (- ) ( + )! = Zum Verglech: Näherungswert au Dezmalen) n Näherungswert(wMama) Näherungswert(Java 7; 7 Dezmalen) We man seht, snd 4 Nachkommastellen rchtg, und zwar ab n =. Genauer wrd es ncht mehr, da der Konvergenzradus der Taylorrehe begrenzt st. Oenschtlch war = schon recht wet draußen gewählt! Betrachtet man =,5, so erhält man mt (Mama sowe Java) Untersuchungen zegen, dass obger Algorthmus ür ca. < 8,5 recht brauchbar st!!

4 Zusätzlche Betrachtung: We kann man Wahrschenlchketen P(X ) ür belebge Normalvertelungen (mt µ, σ ) berechnen? Zu berechnen st -,5( t-m s ) P( X ) = e dt s Glücklcherwese kann man her de obge Vorarbet verwenden. Es glt nämlch: ( ; µ ; σ) = ( ( - µ) / σ ) Man rechnet also enach mt der () - Aromaton, ersetzt jedoch durch ( - µ ) / σ. Grasche Darstellung mt µ = 5 und σ = 4 und = : De schraerte Fläche beträgt ca. A =,8435, und des entsrcht der Wahrschenlchket P(X ).

5 De Fehlerunkton er () : In der Stochastk verwendet man u.a. ene sog. error uncton namens er (). Dese st ncht dentsch mt dem her betrachteten Gaußschen Fehlerntegral, es gbt aber enen Zusammenhang. er() gbt den rozentualen Antel derjengen Messwerte an, de zwschen und legen (also zu groß snd), aber um wenger als vom wahren Wert abwechen. Denton: Grak ür er () : -t er ( ) = dt = (- ) = + ( + )! er () st ene ungerade Funkton, also glt: er (-) = - er () Zwschen der Fehlerunkton und dem Fehlerntegral st olgender Zusammenhang gegeben: Grak ür das Fehlerntegral Φ () : -,5t ( ) e dt er ( ) F = = -,5t F ( ) = dt [ er ( )] = + Zur nummerschen Berechnung von er () gbt es Näherungsormeln ( Fehler mamal:,* -7 ) : t = / ( +.5 * ) eo = - ² *t *t² *t³ *t^ *t^ *t^ *t^ *t^ *t^ er() = t * e eo -, alls >= er() = - t * e eo, alls < Wolram-research gbt olgende Kettenbruchentwcklung (große ) ür er() an: -t ( ) er = dt = Für klene -Werte kann man mt der obgen Taylor-Rehenentwcklung von er() rechnen.