Statistik. M. Kriener. 15. September 2017

Transkript

1 Statstk M. Krener 15. September 2017

2 Inhaltsverzechns 1 Lage und Streuung von Daten Der Mttelwert - das arthmetsche Mttel Noch en Mttelwert - der Medan Hstogramme De Standardabwechung De Normalapproxmaton von Daten 10 3 Korrelaton Streudagramme Der Korrelatonskoeffzent r Regresson De Regressonsgerade Der Regressonsfehler Das Bestmmthetsmass Anhang: Bewese Warum funktonert r als Mass für de Korrelaton? Das Prnzp der klensten Quadrate und de Regressonsgerade Warum (und we genau) funktonert das Bestmmthetsmass? Warum funktonert der Regressonsfehler RF?

3 M. Krener: Statstk 3 1 Lage und Streuung von Daten 1.1 Der Mttelwert - das arthmetsche Mttel In der Statstk geht es um Daten. Im enfachsten Fall bestehen dese aus ener Lste von Zahlen x 1, x 2, x 3,..., x n (zum Bespel aus Ihren Mathematknoten aus dem letzten Schuljahr). De Anzahl n deser Zahlen kann sehr gross sen, man fasst de Daten deshalb mt Hlfe ener Zahl zusammen: Der Mttelwert (auch Durchschntt oder arthmetsches Mttel) ener Lste von Zahlen st hre Summe, getelt durch hre Anzahl: µ := x1 + x xn n = 1 n (x1 + x xn) = 1 n x k (1) De Summe der n Enzelwerte x k kann man sch ersetzt denken durch n glech grosse Werte von der Grösse des Mttelwertes. Das µ st der grechsche Buchstabe mü. Manchmal bezechnet man den Mttelwert ener Lste {x k } auch mt x. Ene charakterstsche Egenschaft des Mttelswertes st folgende: De Abwechungen x k µ der Daten von hrem Mttelwert summeren sch zu null auf. Das wrd n der Fgur oben veranschaulcht. Es glt de sogenannte Schwerpunktegenschaft: Abwechungen = (x k µ) = 0. (2) Man könnte (2) auch de Robn-Hood-Glechung nennen: Der Mttelwert nmmt von den Rechen und gbt den Armen. Übung 1.1. De Wasserstände n den Glasröhren m Bld oben snd 30, 60, 10, 21 und 19 mm. Überprüfen Se de Aussagen m Kasten anhand deser Daten. We könnte man Glechung (2) allgemen bewesen? Übung 1.2. a) Bestmmen Se den Mttelwert der seben Zwerge m Bld rechts, ndem Se hn erst schätzen, und dann versuchen, de Blöcke oberhalb auf de Lücken unterhalb von hrem Schätzwert zu vertelen. b) Ist der Mttelwert der folgenden Lste genau 8 oder eher etwas grösser? Antworten Se, ohne den Mttelwert auszurechnen c) We muss man de Grösse des 7-ten Zwerges abändern, damt sch der Mttelwert um exakt 1 dm erhöht? We lautet de Antwort auf dese Frage für den verten Zwerg?

4 M. Krener: Statstk 4 Übung 1.3. Beantworten Se de folgenden Fragen zunächst ohne Rechnung, dann überprüfen Se Ihre Antwort mt Hlfe ener Rechnung. a) Zehn Personen n enem Raum haben ene Durchschnttsgrösse von 1.67 m. Ene 11. Person betrtt den Raum. Se st 1.78 m gross. Bestmmen Se den Mttelwert der Körpergrössen der 11 Personen. b) 21 Personen n enem Raum haben ene Durchschnttsgrösse von Ene 22. Person betrtt den Raum. We gross müsste se sen, damt de Durchschnttgrösse um genau enen Zentmeter erhöht wrd? Übung 1.4. Unten sehen Se ene wetere Möglchket zur Veranschaulchung des Mttelwertes. Veranschaulchen Se de Lsten rechts analog (de lnke Verson genügt). a) 1, 3, 3, 5 b) 1, 3, 3, 7 c) 1, 1, 1, 1, 6 Übung 1.5. Gegeben seen zwe Lsten (x k ) und (y k ) der Länge n mt den Mttelwerten µ x und µ y. Was st der Mttelwerte der Lste (x k + 2y k )? Übung 1.6. Der Mttelwert hat ene nteressante geometrsche Egenschaft, de später ene wchtge Rolle spelen wrd. a) Angenommen, man hat zwe Datenpunkte x 1 und x 2 und trägt dese auf de x-achse enes Koordnatensystems auf. Dann legt der Mttelwert µ genau n der Mtte zwschen x 1 und x 2. Warum st das so? b) Man bldet für rgendenen Wert c de Quadrate über den Strecken zwschen c und x 1 bzw. x 2. Dann st de Summe der Flächen deser Quadrate am klensten, wenn c glech dem Mttelwert st. Begründen Se dese Aussage geometrsch mt Hlfe der Fguren rechts. c) Bestätgen Se nun de Aussage aus a) auch algebrasch. Anletung: Se müssen zegen, dass ( ( (x 1 c) 2 + (x 2 c) 2 = (x 1 µ) + (µ c)) 2 + x 2 µ) + (µ c) ) 2 grösser st als (x 1 µ) 2 + (x 2 µ) 2. Herbe wrd de Robn-Hood-Glechung (2) auf Sete 3 nützlch sen. d) Zegen Se analog, dass allgemen glt: (x k c) 2 > (x k µ) 2 für c µ d.h.: Der Mttelwert mnmert de Summe der quadrerten Abwechungen.

5 M. Krener: Statstk Noch en Mttelwert - der Medan Manchmal st en anderer Mttelwert geegneter, der Medan oder Zentralwert. Der Medan x ener Lste x 1, x 2,..., x n st der Wert, der an der mttleren (zentralen) Stelle steht, wenn man de Werte der Grösse nach sortert. Bespel: Der Medan der Lste 4, 7, 3, 9, 1 st de Zahl 4, nämlch de mttlere Zahl n 1, 3, 4, 7, 9. Be ener Lste mt ener geraden Anzahl von Enträgen we zum Bespel 1, 2, 3, 4 st der Medan das arthmetsche Mttel der beden mttleren, her also x = 2.5. Bemerkungen: 1) Der Medan untertelt ene Lste n zwe glech grosse Hälften - rechts und lnks vom Medan stehen glech vele Datenwerte. 2) Neben dem arthmetschen Mttel und dem Medan gbt es noch wetere Mttelwerte, zum Bespel das geometrsche Mttel oder das harmonsche Mttel. Wenn enfach vom Mttelwert de Rede st, ment man mest das arthmetsche Mttel. Übung 1.7. Ob eher der Mttelwert oder der Medan als typsch angesehen wrd, hängt von dem Datensatz ab. Wr betrachten als Bespel de Enkommensvertelung dreer hypothetscher Mnländer A, B und C mt jewels genau 5 Enwohnern, deren Enkommen n der Tabelle rechts aufgelstet st. Bestmmen Se n jedem Fall das arthmetsche Mttel µ und den Medan x. Welchen der beden Mttelwerte würde man jewels als typsch auffassen? Charakterseren Se Stuatonen, n denen man den Medan als Mttelwert vorzehen wrd. A B C x x x x x µ x Übung 1.8. Wr haben gesehen, dass der Mttelwert de Summe der quadratschen Abwechungen mnmert, vgl. Übung 1.6. Auch der Medan lässt sch durch ene Mnmerungsegenschaft charakterseren: Der Medan mnmert de Summe der absoluten Abwechungen. Mt den absoluten Abwechungen snd de Beträge (Absolutwerte) der Abwechungen gement. De Summe g(c) = x k c wrd also dann mnmal, wenn c = x. Begründen Se dese Aussage anhand der beden Dagramme rechts. Abwechungen m Fall c = x Abwechungen m Fall c x

6 M. Krener: Statstk Hstogramme En Hstogramm stellt ähnlch we en Säulendagramm ene Häufgketsvertelung von Daten durch Rechtecke dar, allerdngs mt dem Untersched, dass her de relatve Häufgket ener Kategore ncht mehr durch de Höhe enes Rechtecks ausgedrückt wrd, sondern durch senen Flächennhalt. De Gesamtfläche enes Hstogramms entsprcht also mmer 100%. Das Hstogramm rechts stellt de Vertelung der Körpergrössen von 100 Schülernnen und Schülern enes deutschen Gymnasums m Jahr 1998 dar. We lest man en solches Hstogramm? Der Flächennhalt des lnken Rechtecks ergbt sch als Produkt sener Brete, also 10, und sener Höhe, also Deser Flächennhalt = ausgedrückt n den Enheten des Koordnatensystems - entsprcht genau der relatven Häufgket von 4%. De Höhe enes Rechtecks steht n enem Hstogramm ncht mehr für de relatve Häufgket, sondern für de sogenannte Häufgketsdchte, d.h. de prozentuale Häufgket pro Enhet. Dese muss noch mt der Intervallbrete der betreffenden Kategore oder Klasse multplzert werden, um deren relatve Häufgket zu ergeben. Übung 1.9. a) Ungefähr 1% der Famlen n dem Hstogramm rechts hatten en Enkommen unter $ Schätzen Se den Prozentsatz der Famlen mt enem Enkommen ) zwschen $1 000 und $2 000 ) zwschen $2 000 und $3 000 ) zwschen $4 000 und $7 000 v) zwschen $7 000 und $ b) Gab es n dem Hstogramm mehr Famlen mt Enkommen zwschen $ und $ oder zwschen $ und $16 000? Oder waren de Zahlen ungefähr glechgross. Geben Se ene möglchst gute Schätzung ab. Übung Das Hstogramm rechts zegt de Vertelung der Abschlussnoten n ener bestmmten Klasse. Es snd jewels 2 Punkte ene Enhet. a) 10% errechten zwschen 20 und 40 Punkten. We gross st der Prozentsatz derjengen, de zwschen 40 und 60 Punkten errechten? b) Wevel Prozent errechten mehr als 60 Punkte? Vertelung der Famlen n den USA nach dem Enkommen m Jahr Übung Überzeugen Se sch davon, dass de Zechnungen n Übung 1.4 Hstogramme snd. Was st also vermutlch der Zusammenhang zwschen Hstogrammen und dem Mttelwert?

7 M. Krener: Statstk 7 Übung Jemand sammelt Daten über den Stundenlohn von dre Gruppen von Arbetern. De Arbeter n Gruppe B verdenen ungefähr doppelt so vel we de n Gruppe A; de Arbeter n Gruppe C verdenen etwa $10 n der Stunde mehr als de n Gruppe A. Welches Hstogramm gehört zu welcher Gruppe? Übung De Abbldung unten verglecht de Hstogramme für de Famlenenkommen n den USA n den Jahren 1973 und Es seht so aus, als hätte sch das Famlenenkommen n den 20 Jahren etwa verdrefacht. Oder ncht? Dskuteren Se das. Übung Rechts fnden Se en Hstogramm der monatlchen Löhne für Telzetangestellte n den USA (Häufgketsdchten snd n Klammern angegeben). Nemand verdente mehr als $1000 m Monat. Das Rechteck über dem Klassenntervall von $200 bs $500 fehlt. We hoch muss es sen? Übung In ener Publc Health Study wurde das Hstogramm unten gezechnet, das de Zahl der Zgaretten anzegt, de de Probanden (männlch) täglch rauchen. De Dchte st n Klammern angegeben. Endpunktkonventon: De Klassenntervalle enthalten de lnken Endpunkte, aber ncht de rechten. We gross st der Prozentsatz derjengen, de täglch a) zehn Zgaretten oder wenger rauchen? (Vorscht, de Antwort st ncht 15%!) b) en Päckchen (enthält 20 Zgaretten) oder mehr rauchen? Übung De Tabelle rechts gbt de Vertelung des Bldungsnveaus (Damt st de Anzahl der Jahre gement, de jemand n öffentlchen Schulen zugebracht hat. Kndergarten zählt ncht) der 25-jährgen n den USA n den Jahren 1960, 1970 und 1991 weder. Endpunktkonventon: De Klassenntervalle enthalten den lnken Endpunkt, aber ncht den rechten. Zechnen Se (mt verschedenen Farben) de dre Hstogramme n en Koordnatensystem we n Übung Anzahl Schuljahre und mehr

8 M. Krener: Statstk De Standardabwechung Be ener Lste von Zahlen {x 1, x 2, x 3, x 4 } = {2, 6, 3, 5} (das könnten zum Bespel Ihre letzten Mathematknoten sen) snd wr ncht nur am Mttelwert nteressert (der st her µ = 4), sondern auch an der Streuung der Daten - her hat man den Endruck, dass de Noten zemlch hn- und hersprngen. Be enem anderen Schüler snd de Noten (4.5, 3.5, 4, 4). Der gleche Mttelwert, aber vel wenger Streuung. We können wr das Ausmass der Streuung mt ener Zahl erfassen? Enfach den Durchschntt der Abwechungen x k eµ berechnen funktonert ncht, denn Σ(x k µ) = 0 (das st de Robn-Hood-Glechung). Wr möchten ausserdem, dass grosse Abwechungen stärker zählen sollen als klene. Wr haben n Übung 1.6 gesehen, dass der Mttelwert µ de Summe der quadratschen Abwechungen (x k µ) 2 mnmert. Wr nennen den Mttelwert deser Summe de Varanz und de Wurzel der Varanz de Standardabwechung ener Lste von Daten: σ := 1 (x k µ) n 2 (3) Bespel: Für de Lste (x 1, x 2, x 3, x 4) = (2, 6, 3, 5) von oben (Noten mt dem Mttelwert µ = 4) st de Standardabwechung 2 σ = = Was bedeutet dese Zahl? Ganz grob kann man sagen, dass de Standardabwechung Normaltät msst - alles nnerhalb ener Standardabwechung σ entfernt vom Durchschntt st noch normal. Bespel: De beden Hstogramme rechts zegen zwemal de Grössenvertelung amerkanscher Frauen. De gestrchelte Lne st der Mttelwert, und der schatterte Berech m oberen Hstogramm st der Berech, der maxmal ene Standardabwechung σ von µ entfernt st - das snd etwa zwe Drttel aller Frauen. Der schatterte Berech m unteren Hstogramm st der Berech, der maxmal zwe Standardabwechungen 2σ von µ entfernt st - das snd schon 95% der Frauen. Es gbt ene Daumenregel, de be sehr velen Daten gut funktonert, nämlch be normalvertelten Daten. Egenschaften snd dann normalvertelt, wenn se das Resultat von velen vonenander unabhänggen Enflüssen snd. Körpergrösse und Intellgenz snd zum Bespel normalvertelt. De Daumenregel geht so: etwa 68% der Daten legen nnerhalb ener Standardabwechung vom Mttelwert - d.h. m Intervall [µ σ; µ + σ] legen etwa 68% der gesamten Daten. Das entsprcht der schatterten Fläche m oberen Hstogramm. etwa 95% legen nnerhalb von zwe Standardabwechungen vom Mttelwert - d.h. m Intervall [µ 2σ; µ + 2σ] legen etwa 95% der gesamten Daten. Das entsprcht der schatterten Fläche m unteren Hstogramm. etwa 99.7% ener Populaton legen nnerhalb von dre Standardabwechungen vom Mttelwert. Her müsste man praktsch de gesamte Fläche schatteren. Übung Berechnen se de Standardabwechung der folgenden Lsten: a) {4, 5, 4.2, 4.8} b) {10, 8, 13, 11, 12, 9, 7}

9 M. Krener: Statstk 9 Übung Was macht man, wenn de Lsten sehr lang snd? Ene Schachtel enthält ene unbekannte Anzahl Lose. Wenn Se zufällg en Los zehen, gewnnen Se den Betrag x k, der darauf notert st. De Gewnne snd folgendermassen vertelt: x k = Betrag auf dem Los 0$ 1$ 10$ p(x k ) = Prozentsatz der Lose mt x k 50% 40% 10% a) Fnden se ene konkrete Schachtel (also mt ener selbstgewählten Anzahl von Losen) mt der obgen Vertelung. b) Berechnen Se Mttelwert µ und Standardabwechung σ für de beden Schachtel. c) We könnte man µ und σ drekt aus der Tabelle berechnen, ohne den Umweg über ene Schachtel? d) Proberen Se das anhand der folgenden Tabelle aus: x k p(x k ) 43% 55% 2% e) Beschreben Se de Bedeutung von µ und σ n egenen Worten. Übung Se haben scher schon von Intellgenztests gehört. Dabe wrd ener Person ene Zahl zugeordnet (der IQ), dese Zahl soll en Mass für de Intellgenz der Person sen. Jedem IQ, zum Bespel k, entsprcht en bestmmter Prozentsatz p k ener Populaton (z.b. der Schüler ener bestmmten Schule), welche den IQ k haben. Man erhält also ene Tabelle, de enem sagt, we de Intellgenz nnerhalb der Populaton vertelt st. Technsch nennt man das ene Wahrschenlchketsvertelung. k = IQ p k = Prozentsatz mt dem IQ k p 1 p 2... p IQ-Tests snd so konstruert, dass de Ergebnsse für ene hnrechend grosse Bevölkerungsstchprobe annähernd normalvertelt snd. Und zwar so, dass der Mttelwert mmer 100 st, und de Standardabwechung 15. Verwenden Se de Daumenregel über de Standardabwechung, um folgende Fragen zu beantworten: We vele von 1000 zufällg ausgewählten Personen haben vermutlch enen IQ über 130? Über 145? (Vorscht: Dese 1000 Personen müssen aus ener repräsentatven Gruppe aus allen Bevölkerungsschchten gewählt werden, be 1000 SuS der KSWE seht de Antwort vermutlch anders aus!) Übung Geh-Alter: Läuft er schon? We, mmer noch ncht? Remo Largo, Professor für Knderpsychologe n Zürch, hat 1985 ene Stude durchgeführt, be der das Alter untersucht wurde, n dem Klenknder hre ersten Schrtte machen. Rechts sehen Se de Ergebnsse n Form enes Hstogramms. Berechnen Se MW und Standardabwechung für dese Daten. Beachten Se dabe, dass de Angaben n Prozent gemacht werden. Man kann dese Daten aber lecht als Lste nterpreteren, ndem man sch vorstellt, dass genau 100 Knder untersucht worden snd, von denen also 5 schon m Alter von 10 Monaten hre ersten Schrtte gemacht haben und so weter. Hnwes: De Graphk st leder ncht ganz korrekt - wenn man alles zusammenzählt, kommt man auf 102. Lesen Se btte de Enträge be 16 und 18 jewels als 3%.

10 M. Krener: Statstk 10 2 De Normalapproxmaton von Daten Etwa 1870 hatte der belgsche Mathematker Adolph Quetelet de Idee, de Normalkurve oder Gauss sche Glockenkurve (de schon 150 früher von dem Franzosen Abraham de Movre entdeckt wurde) als Standardhstogramm aufzufassen, mt der man de Hstogramme normalvertelter Daten verglechen kann. Egenschaften snd dann normalvertelt, wenn se das Resultat von velen vonenander unabhänggen Enflüssen snd. De Normalkurve hat de Glechung y = 1 2π e x2 /2 Das obere Dagramm zegt den Graphen der Normalkurve, darunter sehen Se, dass das Hstogramm von Sete 8 über de Grösse amerkanscher Frauen sehr gut durch de Normalkurve angenähert wrd - vorausgesetzt man zechnet es m rchtgen Massstab. Des gelngt, ndem man de Datenpunkte (x k ) n Standardenheten umrechnet: x k := x k µ σ De Standardenhet xk sagt enem, we vele Standardabwechungen σ der Datenpunkt x k vom Mttelwert µ entfernt st. (4) Dese Glechung st nsofern bemerkenswert, als se dre der bekanntesten mathematschen Konstanten benhaltet: 2, π und de Eulerkonstante e = Se werden sehen, dass man mt der Normalkurve wunderbar arbeten kann (ndem man Tabellen und Graphken benutzt), ohne de Glechung zu verwenden. Übung 2.1. In ener Abschlussprüfung wurden durchschnttlch 50 Punkte errecht und de Standardabwechung lag be σ = 10 Punkten. a) Rechnen Se de folgenden Ergebnsse n Standardabwechungen um: 60, 45, 75, 89 b) Fnden Se de Ergebnsse zu den folgenden Standardenheten: 0, +1.5, 2.8. Übung 2.2. a) Rechnen Se jeden Datenpunkt der Lste {x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 } = {13, 9, 11, 7, 10} n Standardenheten um. Dazu müssen Se natürlch zunächst das µ und das σ berechnen. b) Fnden Se Mttelwert und Standardabwechung der umgerechneten Lste {x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 }.

11 M. Krener: Statstk 11 Übung 2.3. De Tabelle auf Sete 12 erlaubt es Ihnen, den Prozentsatz der Daten abzulesen, de ±1.20 Standardabwechungen vom Mttelwert entfernt snd - des snd ca. A(1.20) = 77%. Was snd A(0.45) und A(3.15)? Für welches z glt A(z) = 85.29%? Übung 2.4. Mt den Daten der Tabelle auf Sete 12 kann man auch den Prozentsatz für andere Bereche unter dem Graphen der Normalkurve bestmmen. Mt Hlfe des folgenden Bldes dürfte es Ihnen ncht schwerfallen, zu berechnen, we vele Prozente m Berech zwschen 1 und 2 Standardabwechungen vom Mttelwert legen: Zechnen Se danach en ähnlches Bld, um de Berechnung des Prozentsatzes zu llustreren, der zwschen 1 und 2 Standardabwechungen legen - und berechnen Se hn dann auch. Übung 2.5. Bestmmen Se jewels de Prozentzahlen, de zu den beschrebenen Berechen gehören und skzzeren Se de zugehörge Fläche: a) alles rechts von 1.25 b) alles lnks von 0.40 c) alles lnks von 0.80 d) zwschen 0.40 und 1.30 e) zwschen 0.30 und 0.90 f) ausserhalb von 1.5 bs 1.5 Übung 2.6. Fnden Se jewels das zugehörge z: Übung 2.7. Fnden Se das z, so dass de Fläche zwschen z und 1 unter der Normalkurve den folgenden Prozentzahlen entsprechen: a) 68.27% b) 75%

12 M. Krener: Statstk 12 Wr bezechnen den Prozentsatz zwschen z und z (m Bld st das der schrafferte Berech) mt A(z). Zum Bespel st A(1) = 68.27%. De Höhe benötgen wr ncht.

13 M. Krener: Statstk 13 Übung 2.8. In den Jahren wurde n den USA ene grossangelegte Stude mt Telnehmern m Alter zwschen 1 und 74 Jahren durchgeführt, de HANES (Health and Nutrton Examnaton Survey). De Männer m Alter zwschen 18 und 74 waren m Durchschntt cm gross mt ener Standardabwechung von 7.6 cm. Ersetzen Se de Fragezechen m Hstogramm rechts durch Körpergrössen und berechnen Se den Prozentsatz der Männer zwschen 160 cm und 180 cm. Übung 2.9. De Durchschnttsgrösse der Frauen m Alter von n HANES betrug cm, das σ war 6.6 cm. Berechnen Se den Prozentsatz der Frauen : a) klener als 155 cm; b) zwschen 160 cm und 175 cm; c) grösser als 180 cm. Übung De Tabelle enthält ncht alle Werte - zum Bespel kann man A(0.27) ncht drekt ablesen. In solchen Fällen verwendet man ene sogenannte lneare Interpolaton. Dazu geht man folgendermassen vor: 0.27 legt zwschen 0.25 und 0.30, für dese z-werte fndet man A(z) n der Tabelle. a) Tragen Se de Punktepaare (0.25, A(0.25)) und (0.30, A(0.30)) n en (entsprechend skalertes) Koordnatensystem en und verbnden Se de beden Punkte durch ene Strecke. Machen Se sch dann klar, dass folgendes Vorgehen enen vernünftgen Näherungswert für A(0.27) lefern sollte: A(0.27) = 0.6 A(0.25) A(0.30) = = b) Bestmmen Se analog Näherungen für A(1.61) und A(1.63). Übung Von den Mtt-60ger Jahren bs n de frühen 90ger Jahren beobachtete man enen langsamen aber stetgen Absteg n den Ergebnssen des Scholastc Apttude Test (SAT) n den USA, der über de Zulassung zu den Unverstäten entschedet. In der Sprachprüfung war der Mttelwert der errechten Punkte 1967 noch 466; m Jahr 1994 war der Mttelwert auf 423 gesunken. De Standardabwechung änderte sch ncht, se war nahe 110. Das Absnken der Durchschntte hat enen grossen Effekt auf de Enden der Hstogramme: a) Berechnen Se den Prozentsatz der Studerenden mt über 600 Punkten m Jahr b) Berechnen Se den Prozentsatz der Studerenden mt über 600 Punkten m Jahr Man kann davon ausgehen, dass das Hstogramm durch ene Normalkurve angenähert werden kann. SAT Punkte snd m Berech 200 bs 800. Man kann ausschlessen, dass der SAT schwerger geworden st; enen grossen Tel des Absnkens n den 1960ger Jahren lässt sch auf enen Wechsel n den Studentenpopulatonen zurückführen (deutlch höhere Studentenzahlen); das Absnken n den 1970ger Jahren lässt sch so ncht erklären; von 1990 bs 1994 haben sch de Durchschntte stablsert.

14 M. Krener: Statstk 14 3 Korrelaton 3.1 Streudagramme De bshergen Methoden waren bestens geegnet für endmensonale Daten (man sprcht auch von unvaraten Daten). Sr Francs Galton wollte de Bezehung zwschen zwe Varablen (also von bvaraten Daten) untersuchen, als er über den Grad der Ähnlchket zwschen Eltern und hren Kndern nachdachte. Statstker m vktoranschen England waren fasznert von der Vorstellung, Erbenflüsse quanttatv zu erforschen und sammelten gewaltge Mengen an Daten n deser Hnscht. Wr schauen uns de Resultate ener Stude an, de Galtons Schüler Karl Pearson durchgeführt hat. Sr Francs Galton ( ) Als en Tel sener Studen mass Pearson de Körpergrösse von Vätern und hrer erwachsenen Söhnen. Ene Lste von Zahlenpaaren wäre ncht sehr aufschlussrech. Man kann aber de Bezehung von zwe Lsten sehr gut graphsch n Form enes Streudagramms darstellen, sehe de Fgur oben. Jeder Punkt n dem Dagramm repräsentert en Vater- Sohn-Paar. Galton and hs dscple Karl Pearson ( ) Übung 3.1. Mt Pearsons Streudagramm oben können Se folgende Fragen beantworten. Geben Se Ihre Antworten n a), b) und c) n cm an ( 1 nch = 1 Zoll = 2.54 cm). a) We gross st der klenste Vater? Und dessen Sohn? b) We gross st der grösste Vater? Und dessen Sohn? c) Schauen Se nur de Punkte an, be der der Vater 72 ± 0.25 Zoll gross war (das snd de Punkte n dem markerten Strefen). We gross war her der grösste Sohn? Der klenste Sohn?

15 M. Krener: Statstk 15 d) In we velen Famlen war der Sohn grösser als 78 Zoll? We gross waren de zugehörgen Väter? e) Lag der Mttelwert der Grösse der Väter eher be 64, 68 oder 72 Zoll? f) Lag de Standardabwechung der Väter eher be 3, 6 oder 9 Zoll? De Körpergrösse st normalvertelt. Übung 3.2. Rechts fnden Se ene Wertetabelle und das zugehörge Streudagramm. Es sollte Ihnen kene grosse Mühe bereten, de Lücken n der Wertetabelle zu füllen. Übung 3.3. Rechts sehen Se das Streudagramm enes hypothetschen Datensatzes mt ver Datenpunkten. Schätzen Se: a) Ist µ x (der Mttelwert der x-werte) eher 1, 1.5 oder 2? b) Ist σ x (de Standardabwechung der x-werte) eher 0.1, 0.5 oder 1? c) Legt µ y (der Mttelwert der y-werte) be 1, 1.5 oder 2? d) Legt σ y (de Standardabwechung der y-werte) be 0.5, 1.5 oder 3? Übung 3.4. Studerende namens A, B, C,...H, I, J legten n enem Kurs n der Mtte (mdterm) und am Ende (fnal) enes Semesters Prüfungen ab. En Streudagramm mt den Ergebnssen sehen Se rechts. Schätzen Se weder: a) Welche Studenten schntten be beden Prüfungen etwa glech gut ab? Welche waren n der am Ende des Semesters besser? b) Lag der Mttelwert der zweten Prüfung eher be 10, 25, oder 50? c) War σ y eher 10, 25, oder 50? d) Lag der Mttelwert für de Studerenden, de mehr als 50 Punkte n der ersten Prüfung machten dann be der zweten Prüfung eher um de 30, 50, oder 70 Punkte?

16 M. Krener: Statstk 16 Übung 3.5. Das Streudagramm rechts zegt weder de Ergebnsse n den Prüfungen n der Mtte und am Ende enes Semesters. a) Lag der Mttelwert der ersten Prüfung µ x eher be 25, 50, oder 75 Punkten? b) War σ x eher 5, 10, oder 20? c) War σ y eher 5, 10, or 20? d) Welche Prüfung war schwerger - de erste oder de zwete? e) War de Streuung der Ergebnsse der ersten oder be der zweten Prüfung grösser? f) Wahr oder falsch: Es gab enen starken Zusammenhang zwschen den Ergebnssen der beden Prüfungen. Begründen Se. Übung 3.6. Angenommen Se nteresseren sch für den Zusammenhang zwschen zwe Varablen und haben schon das Streudagramm gezechnet. Der Graph st ene ellpsenförmge Punktwolke. We könnte man dese numersch erfassen? En erster Schrtt wäre, den Mttelwert µ x der x-werte und den Mttelwert µ y der y-werte zu markeren. Des ergbt den Schwerpunkt (µ x, µ y ) der Punktwolke, sehe de erste der dre Skzzen unten. In enem zweten Schrtt würde man de Streuung der Punktwolke n horzontaler und vertkaler Rchtung messen. Dazu kann man σ x verwenden (n den Skzzen wrd de Notaton SD x verwendet). De mesten der Punkte werden sch nnerhalb von 2 horzontalen Standardabwechungen lnks und rechts vom Schwerpunkt befnden. Genauso kann man σ y verwenden, um de vertkale Streuung der Daten zu bestmmen. Nun schauen Se sch de beden Streudagramme unten an (und gnoreren Se dabe für den Moment de Pfele). Markeren Se den Schwerpunkt und de gestrchelten Lnen, de angeben, we wet de beden σ x und de beden σ y rechen. Verglechen Se de Resultate. Was stellen Se fest? Was folgern Se daraus?

17 M. Krener: Statstk Der Korrelatonskoeffzent r We de letzte Übung 3.6 gezegt hat, können zwe Streudagramme deselben Werte für µ x, µ y, σ x und σ y haben, also denselben Schwerpunkt und deselben horzontalen und vertkalen Streuungen, und trotzdem sehr verscheden aussehen: De Punkte n der ersten legen dcht an ener Geraden; es besteht ene starke lneare Bezehung zwschen den beden. In der zweten Wolke legen de Punkte vel lockerer. Um dese Bezehung zu messen, benötgt man ene wetere Zahl den Korrelatonskoeffzenten. Deser Koeffzent wrd üblcherwese mt r bezechnet. Ohne gute Gründe vellecht wel zwe r s n Korrelaton auftreten? Unten sehen Se zwölf verschedene Streudagramme - se snd so skalert, dass n allen der Schwerpunkt (µ x, µ y ) = (3, 3) st und σ x = σ y = 2, se unterscheden sch also nur n r. Se sehen we unterschedlche Werte von r de Gestalt der Wolke beenflussen: Der Korrelatonskoeffzent r legt mmer zwschen 1 und 1, er kann jeden Wert dazwschen annehmen. En postves r bedeutet, dass de Wolke anstegt; werden de Werte der enen Varablen grösser, dann auch de der anderen. Je näher r be 1 legt, desto dchter legen de Punkte an ener Geraden. Für r = 0 haben de Punkte kenen erschtlchen Trend - es gbt also kene Korrelaton zwschen den Varablen. Ene negatve Korrelaton bedeutet, dass de Wolke ene negatve Stegung hat; werden de Werte der enen Varablen grösser, dann werden de der anderen klener. Je näher r be 1, desto näher legen de Punkte an ener fallenden Geraden.

18 M. Krener: Statstk 18 We können wr deses r berechnen? Zechnen Se ene vertkale und ene horzontale Gerade durch den Schwerpunkt we n der Fgur. Karl Pearson ( ) Wr berechnen alle Abwechungen x k µ x und y k µ y (n der Fgur wrd de Notaton x statt µ x und ȳ statt µ y benutzt) und betrachten den Durchschntt der Produkte der Abwechungen, dabe nehmen wr an, dass wr n Datenpunkte (x k, y k ) vorlegen haben: cov := 1 n (x k µ x )(y k µ y ) Dese Kovaranz hat schon enge der gewünschten Egenschaften des Korrelatonskoeffzenten: Er führte den Korrelatonskoeffzenten n Anlehnung an verwandte Ideen von Francs Galton um 1880 en. Als der 23-jährge Albert Ensten um 1902 zusammen mt senen Freunden Maurce Solovne und Conrad Habcht ene Studengruppe gründete, war sen erster Lektürevorschlag Pearsons The Grammar of Scence. Das Buch behandelte dverse Themen, de dann auch n Enstens bahnbrechenden Arbeten von 1905 ene Rolle spelen sollten. Wenn de Datenwolke ene postve Stegung hat we m Bld, dann snd de mesten der Produkte (x k µ x )(y k µ y ) postv, denn be den mesten Datenpunkten haben bede Faktoren dasselbe Vorzechen. Also wrd cov ene postve Zahl sen. Entsprechend wrd cov negatv, wenn de Datenwolke ene negatve Stegung hat. Je enger sch de Datenpunkte an ene Gerade anschmegen (sagen wr ene mt postver Stegung), desto wenger Datenpunkte legen n den Berechen, n denen das Produkt (x k µ x )(y k µ y ) negatv st. Daher wrd deren Summe umso grösser, je besser de Datenpunkte (lnear) korreleren. Leder legt cov ncht mmer zwschen 1 and 1, sondern st stark abhängg von der Art der Daten. Weder hlft der alte Trck - man rechnet de Orgnaldaten (x k, y k ) n Standardenheten um und erhält so enen reskalerten Datensatz (xk, y k ). Das Streudagramm hat jetzt (0, 0) als Schwerpunkt. Da de x- und y-koordnaten der Datenpunkte mt evt. unterschedlchen Standardabwechungen reskalert werden, legt de Symmetreachse deser reskalerten Daten mmer auf der postven oder negatven Wnkelhalberenden. Das Streuverhalten der Punktwolke ändert sch aber ncht. Wegen µ x = µ y = 0 snd bequemerwese de Abwechungen de Datenpunkte xk und y k selbst. Jetzt defneren wr den Korrelatonskoeffzenten als de Kovaranz der Daten n Standardenheten: r := 1 n xk yk (5)

19 M. Krener: Statstk 19 Übung 3.7. In der Fgur rechts sehen Se sechs Streudagramme. Ordnen Se se den folgenden Korrelatonskoeffzenten zu: Übung 3.8. Berechnen Se den Korrelatonskoeffzenten r für den folgenden Datensatz {(x k, y k )}: (1 5) (3 9) (4 7) (5 1) (7 13) Dazu müssen Se zunächst µ x, µ y, σ x und σ y bestmmen, denn Se müssen de Datensätze {x n } und {y n } ja zunächst n Datensätze {x n } und {y n } n Standardenheten umwandeln (sehe S. 10). Als Resultat sollten Se r = 0.4 erhalten. Am besten lsten Se Zwschenergebnsse tabellarsch auf, zur Kontrolle snd her st de ersten zwe Zelen der Tabelle. Zur Berechnung von r müssen Se nur noch den Mttelwert der letzten Spalte berechnen. x y x y x y Übung 3.9. Im Jahre 1955 publzerte R. Doll ene bahnbrechende Arbet über Zgarettenkonsum und Lungenkrebs m Jahre 1930 n 11 Ländern a. In der Tabelle rechts sehen Se sene Ergebnsse. a) Zechnen Se en Streudagramm für dese Daten. Tun Se des sorgfältg, denn Se werden es n späteren Aufgaben benötgen. b) Berechnen Se µ x, µ y, σ x, σ y und r für dese Daten. a vgl. Etology of lung cancer, Advances n Cancer Research, vol. 3, 1955, Land Zgaretten- Lungenkrebstote pro konsum Mllon Enwohner Island Norwegen Schweden Dänemark Australen Nederlande Kanada Schwez Fnnland Grossbrtannen USA

20 M. Krener: Statstk 20 Übung De (m normalvertelten Fall) ellpsenförmge Punktwolke enes Streudagramms hat ene Symmetreachse. We kann man dese Gerade berechnen? Dese σ Gerade (das st kene Standardbezechnung) hat zwe Egenschaften, mt deren Hlfe Se hre Glechung fnden können: De σ Gerade verläuft durch den Schwerpunkt (µ x µ y ). Ihre Stegung st m = ± σ y σ x. Das Vorzechen von m hängt natürlch davon ab, ob r postv oder negatv st. a) Berechnen Se de σ Gerade für enen hypothetschen Datensatz mt µ x = 2 µ y = 5 σ x = 3 σ y = 2 r = 0.8 und zechnen Se se n en Koordnatensystem. b) Berechnen Se de σ Gerade für de Daten n Übung 3.9 und zechnen Se se n Ihr dort erstelltes Streudagramm en. Übung Aus enem Streudagramm kann man grob Mttelwerte und Standardabwechungen ablesen. Man kann auch den Korrelatonskoeffzenten r mt Hlfe der sogenannten Ellpsenregel abschätzen: Man zechnet ene Ellpse, mt der man ca. 95% der Daten umfasst - Ausresser sollte man also gnoreren. Dann msst man de Länge der Strecken d und D, so we n der oberen Fgur rechts llustrert. ( d ) 2. Nun glt r 2 1 D Schlesslch berechnet man noch de Wurzel der erhaltenen Zahl und des ergbt ene recht gute Näherung von r. (Das Vorzechen von r sollte offenschtlch sen.) Der Bewes der Ellpsenregel nvolvert de sogenannte Kovaranzmatrx und st ausserhalb unserer Rechwete. Aber das sollte Se ncht daran hndern, de Regel anzuwenden: a) Verwenden Se de Ellpsenregel, um den Korrelatonskoeffzenten für das Streudagramm auf Sete 14 abzuschätzen. b) Ordnen Se de hypothetschen Daten auf dem unteren Bld rechts nach der Grösse von r. Beachten Se dabe das Vorzechen von r. Se müssen dazu nchts rechnen.

21 M. Krener: Statstk 21 4 Regresson 4.1 De Regressonsgerade De Regressonsgerade beschrebt, we ene Varable von ener zweten abhängt. Man nehme zum Bespel Grösse und Gewcht. Dazu verwenden wr de Daten von 988 Männern m Alter von (aus der schon erwähnten HANES Stude). De Kennzahlen deses Datensatzes snd: µ σ r Grösse (n Zoll) 70 3 Gewcht (n Pfund) Der vertkale Strefen n der Fgur rechts zegt de Männer, deren Grösse ene Standardabwechung σ x über dem Mttelwert legt. De Männer, deren Gewcht dann genau ene Standardabwechung σ y über dem Mttel legt, würden dann auf der σ Gerade legen (das st de gestrchelte Gerade). Aber de mesten Punkte n dem Strefen legen deutlch unter der σ Gerade. Wenn wr jeden Mttelwert begnnend von dem Strefen 58 Zoll (das snd 4σ x ) bs 79 Zoll (das snd +3σ x ), so erhalten wr das zwete Bld - den Graphen der Mttelwerte. De Regressonsgerade n desem Bld st de Ausglechsgerade für den Graphen der Mttelwerte. Wr können se m Prnzp mt der Methode der klensten Quadrate berechnen (de auf Karl Fredrch Gauss zurückgeht). Dese sollte Se an de Berechnung der Standardabwechung ernnern: Wr suchen nach ener Gerade, so dass de Summe der quadratschen Abwechungen mnmal wrd. Es stellt sch heraus, dass wr de Regressonsgerade ganz enfach mt Hlfe der fünf Kennzahlen von oben berechnen können: De Stegung der Regressonsgerade lässt sch durch de folgende Formel berechnen (sehe auch das unterste Bld rechts): m = r σy = = 4.7. σ x 3 Wel de Regressonsgerade durch den Schwerpunkt (µ x µ y ) = (70 162) verlaufen muss, können wr desen Punkt n den folgenden Ansatz ensetzen: y = 4.7x + b Das ergbt 162 = b oder b = 167. De Regressonsgerade für de obgen Daten lautet also y = 4.7x 167. Wozu braucht man dese Geradenglechung? Wenn Se ene möglchst gute Schätzung der durchschnttlchen Grösse der Männer m Alter von benötgen, de 73 Zoll gross snd, dann können Se enfach x = 73 n de Glechung der Regressonsgeraden ensetzen und erhalten de Antwort = Pfund.

22 M. Krener: Statstk 22 Übung 4.1. De Kennzahlen n dem Bespel auf Sete 21 snd n Zoll (1 Zoll = 2.54 cm) und Pfund (1 Pfund = 0.5 kg) angegeben. a) Berechnen Se de Regressonsgerade für de Enheten cm und kg. Se werden de Mttelwerte und Standardabwechungen n cm and kg umrechnen müssen, aber da dese Umrechnung de Punkte n dem Streudagramm nur reskalert, wrd sch r ncht ändern. b) Geben Se ausserdem ene Schätzung für das Gewcht enes Mannes m Alter von (n den USA, etwas m Jahr 1980) an, wenn Se zudem wssen, das deser 180 cm gross st. Übung 4.2. In der Fgur rechts sehen Se ver Streudagramme, jedes mt ener durchgezogenen und ener gestrchelten Geraden. Entscheden Se be jedem Dagramm, welches de σ Gerade und welches de Regressonsgerade st. Übung 4.3. In ener Stude über de Stabltät von Intellgenzquotenten wurde ene grosse Gruppe von Indvduen enmal m Alter von 18 und dann nochmals m Alter von 35 getestet. De Kennzahlen der Resultate fnden Se n der Tabelle rechts. Wenn jemand m Alter von 18 Jahren enen IQ von 115 hatte, was st dann de beste Schätzung für senen IQ m Alter von 35? µ σ r mt mt Übung 4.4. IQs werden so skalert, dass der Mttelwert be 100 legt und de Standardabwechung be 15. Des glt glechermassen für Männer und Frauen. De Korrelaton des IQ zwschen Ehemännern und hren Ehegattnen legt be r = Be ener grossen Stude fand man heraus, dass Männer, deren IQ be 140 lag, Ehefrauen hatten, deren IQ be 120 lag. Betrachten wr nun de Frauen mt enem IQ von 120; sollte der durchschnttlche IQ hrer Ehemänner grösser oder klener sen als 120? Antworten Se mt ja oder nen und erklären Se kurz. Übung 4.5. As part of ther tranng, ar force plots make two practce landngs wth nstructors, and are rated on performance. The nstructors dscuss the ratngs wth the plots after each landng. Statstcal analyss shows that plots who make poor landngs the frst tme tend to do better the second tme. Conversely, plots who make good landngs the frst tme tend to do worse the second tme. The concluson: crtcsm helps the plots whle prase makes them do worse. As a result, nstructors were ordered to crtcze all landngs, good or bad. Was ths warranted by the facts? Answer yes or no, and explan brefly.

23 M. Krener: Statstk Der Regressonsfehler Wr rekaptuleren: Ene endmensonale Lste von Daten kann man durch zwe (nulldmensonale?) Zahlen zusammenfassen - den Mttelwert µ und de Standardabwechung σ, sehe der Cartoon oben. En zwedmensonales Streudagramm können wr durch en endmensonales Objekt zusammenfassen - de Regressonsgerade. Dese Gerade sagt de Poston von Datenpunkten voraus. Natürlch gbt es Vorhersagefehler. Wr möchten en Mass für dese Vorhersagefehler - und nehmen dafür enfach de Standardabwechung der Vorhersagefehler, den RF, d.h. den Regressonsfehler. Glücklcherwese können wr m Falle von ellpsenförmgen (d.h. normalvertelten) Datenwolken desen RF ganz enfach berechnen: RF = 1 r 2 σ y. Her bezechnet r den Korrelatonskoeffzent der Daten und σ y st de Standardabwechung der y-werte. Genau we m Fall der Standardabwechung legen etwa 68% der Daten m Berech von ±1 RF von der Regressonsgeraden. Etwa 95% legen m Berech von ±2 RF, sehe de Fgur oben. Übung 4.6. Zwe Datensätze stmmen n µ x, µ y, σ x und σ y überen, aber der erste hat de Korrelaton r = 0.7 und de zwete hat de Korrelaton r = 0.3. Welche von hnen hat den grösseren RF und warum? Was st besser, en grosser oder en klener RF? Übung 4.7. En Datensatz hat enen RF von 0.866σ y. We lautet der zugehörge Korrelatonskoeffzent r? Für welches r st der RF halb so gross, also 0.433σ y? Übung 4.8. Tragen Se den RF n das Streudagramm von Aufgabe 3.9 en. Markeren Se sowohl den Berech von 68% als auch den von 95%. Übung 4.9. Es gbt Hnwese darauf, dass en moderater Wenkonsum vor Herznfarkten schützt, de Daten snd n der Tabelle rechts. Bestmmen Se de fünf Kennzahlen deser Daten und zechnen Se das zugehörge Streudagramm. Markeren Se ausserdem den RF n dem Streudagramm.

24 M. Krener: Statstk Das Bestmmthetsmass Der Statstker George Box sagte enmal: Alle Modelle snd falsch - aber enge snd nützlcher als andere. Das Modell der lnearen Regresson st offenbar be dem Datensatz n dem ersten Bld rechts ncht sehr nützlch. Wr benötgen en Mass dafür, we vele Prozent der Änderung ener Varablen y tatsächlch mt Hlfe der Regressonsgeraden y = mx + b durch ene Änderung der Varablen x erklärt werden kann. Als konkretes Bespel betrachten wr de Bezehung zwschen Enkommen und Bldung für ene Stchprobe von 555 kalfornschen Männern m Alter zwschen 25 und 29 Jahren m Jahre 1993, sehe das Streudagramm rechts. De Kennzahlen für deses Streudagramm snd: µ σ r Anzahl Schuljahre 12.5 Jahre 4 Jahre Enkommen $ $ De Regressonsgerade st y = 1400x Man muss aufpassen, dass man de Stegung ncht übernterpretert. Se glt nur für enen Ist-Zustand, also für de Gruppe von Männern, de man untersucht hat. Man darf daraus ncht folgern: Wenn ch ver Jahre länger zur Schule gehe, dann werde ch $5 600 mehr verdenen. Beschreben wrd ene Korrelaton, ken Kausalzusammenhang. Vermutlch snd her verborgene Varablen am Werk: Zum Bespel könnten de, de länger zur Schule gehen, das hauptsächlch tun wel se aus enem Elternhaus stammen, n dem man sch enen längeren Schulbesuch lesten kann. Und mt desem famlären Hntergrund st man vellecht soweso schon dazu prädestnert, mehr zu verdenen als andere. De Dollar mehr pro zusätzlchem Schuljahr lassen sch nur zu enem gewssen Prozentsatz durch de verlängerte Ausbldung erklären für den Rest snd andere Gründe verantwortlch. Aber zu welchem Prozentsatz? Weder hlft der Korrelatonskoeffzent weter. Tatsächlch gbt das Quadrat von r desen Prozentsatz an n unserem Bespel st r = 0.35, also st r 2 = , demnach lassen sch nur etwa 12% des Enkommenszuwachses durch ene längere Ausbldung erklären. Ncht sehr vel, aber mmerhn. Das Bestmmthetsmass r 2 gbt an, wevel Prozent der Änderung (genauer gesagt der Varanz = Quadrat der Standardabwechung, vgl. S. 28) der y-werte durch de Änderung der x-werte erklärt werden kann. Übung De Korrelaton zwschen dem Zuckergehalt und der Kalorenanzahl be Frühstücksflocken legt be r = We vele Prozent ener erhöhten Kalorenanzahl lassen sch durch erhöhte Zuckerzusätze erklären?

25 M. Krener: Statstk 25 5 Anhang: Bewese 5.1 Warum funktonert r als Mass für de Korrelaton? Mt Hlfe der σ Geraden y = σ y σ x (x µ x ) + µ y kann man auch ren algebrasch verstehen, warum der Korrelatonskoeffzent als Mass für de Korrelaton funktonert: Wr betrachten enen schon standardserten Datensatz {(x, y )}, wobe = 1, 2,..., n. Also glt µ x = 0 µ y = 0 σ x = 1 σ y = 1 Wr betrachten nur den Fall ener postven Tendenz, also r > 0. Damt hat de σ Gerade de Funktonsglechung y = x. Spezalfall: Wenn de Daten perfekt korrelert snd, legen alle auf der σ Geraden, also glt x = y. Damt erhält man mt unserer Formel für de Korrelaton r = 1 n x 2 = 1 (x µ x ) 2 = σx 2 = 1 n Allgemener Fall: Wr schreben de y-varablen als y = x + ϵ mt ener postven oder negatven Abwechung ϵ. Dann glt de folgende Formel für de Korrelaton: r = 1 1 2n ϵ 2 (6) Dese Formel kann man so nterpreteren: Je grösser de Abwechungen ϵ snd, desto mehr zeht man be der Berechnung von r von der 1 ab. Bewes: Nach Defnton glt: r = 1 x (x + ϵ ) n = 1 x x ϵ n n = x ϵ n De letzte Glechhet folgt aus σ x = 1. Wenn wr zegen können, dass 1 n x ϵ = 1 2n folgt daraus (6). De Identtät (7) zegt man so: Aus σ y = 1 folgt 1 = 1 (x + ϵ ) 2 n = 1 x x ϵ + 1 ϵ 2 n n n = x ϵ + 1 ϵ 2 n n ϵ 2 (7) Subtrahert man von deser Glechung 1 und brngt de erste Summe auf de andere Sete, so erhält man (7).

26 M. Krener: Statstk Das Prnzp der klensten Quadrate und de Regressonsgerade In desem Abschntt leten wr de Glechung der Regressonsgeraden her. Angenommen, wr suchen de Regressonsgerade für enen Datensatz (x, y ) mt = 1, 2,..., n. Zunächst müssen wr wssen, we se defnert st. So we der Mttelwert dadurch charaktersert st, dass er de Summe der quadrerten Abwechungen mnmert, so soll de Regressonsgerade so gewählt werden, dass de Summe der quadrerten vertkalen Abwechungen von der Geraden mnmal wrd. De Idee st also, de Summe der Fehlerquadrate so klen we möglch zu halten - m Bld entsprcht dese Summe der grauschatterten Fläche. Unsere Aufgabe lautet demnach, ene Gerade y = mx + b zu fnden, so dass de Summe der quadrerten Abwechungen SQA = (y (mx + b)) 2 =1 mnmal wrd. Um de Rechnung enfach zu halten, machen wr de plausble (und vorläufge) Annahme, dass de Gerade durch den Schwerpunkt ( x, ȳ) verläuft. Vorläufg st de Annahme, wel Se n Übung 3 zegen werden, dass de Regressonsgerade automatsch den Schwerpunkt enthält. Plausbel st se, wel für jede Gerade, de den Schwerpunkt enthält, ebenfalls analog zum Mttelwert de vertkale Abwechungsegenschaft glt: Ist y µ y = m(x µ x ) ene solche Gerade, so betrachtet man de vertkalen Abwechungen a von der Geraden: a = y (m(x µ x ) + µ y ) = (y µ y ) m(x µ x ) Im Gegensatz zu den quadrerten Abwechungen können se postve und negatve Vorzechen haben. Summert man se auf, so heben sch de postven und de negatven Abwechungen gerade auf: a = =1 (y µ y ) m =1 (x µ x ) = 0 De letzte Glechhet folgt aus der gewöhnlchen Schwerpunktegenschaft ( Robn-Hood-Glechung ) für de Datensätze {x } und {y }. Man kann de vertkale Abwechungsegenschaft auch anders lesen: De Abwechungen der y-werte enes Datensatzes von ener belebgen Gerade durch den Schwerpunkt haben den Mttelwert null. Für de Herletung der Regressonsgeraden betrachten wr enen schon standardserten Datensatz (x, y ), wobe = 1, 2,..., n. Also glt =1 µ x = 0 µ y = 0 σ x = 1 σ y = 1

27 M. Krener: Statstk 27 Gesucht st also ene Gerade durch den Schwerpunkt - das st her der Ursprung. Also ene Gerade der Form y = mx. Dabe st m so gewählt, dass de von m abhängge quadratsche Funkton SQA(m) = (y mx ) 2 =1 = m 2 ( =1 ) ( x 2 + m 2 =1 ) ( ) x y + y 2 =1 hren klensten Wert annmmt. Das st bem Schetelpunkt der zugehörgen Parabel der Fall. Nach der Schetelpunktformel also für m = 2 x y 2 x 2 = 1 x y = r n De vorletzte Glechhet folgt wegen σ x = 1, d.h. n =1 x 2 = n, de letzte aus der Defnton des Korrelatonskoeffzenten r als Kovaranz der standardserten Daten. De Regressonsgerade enes standardserten Datensatzes (x, y ) lautet also enfach y = rx Um de Standardserung rückgängg zu machen, setzen wr =1 x = x µ x σ x und y = y µ y σ y n de Regressonsglechung en und erhalten (nach ener kürzeren Rechnung, sehe Übung 1) de Glechung der Regressonsgeraden für enen belebgen Datensatz: Enge Übungen dazu y = r σ y σ x (x µ x ) + µ y 1. Führen Se de eben erwähnte kürzere Rechnung durch. 2. We lautet der Achsenabschntt der allgemenen Regressonsgeraden? 3. Wr müssen noch zegen, dass der Schwerpunkt automatsch auf der Regressonsgeraden legt. Wr gehen weder von enem standardserten Datensatz aus, nehmen jetzt aber an, dass de Regressonsgerade durch den Punkt (0, c) geht. Zu zegen st, dass c = 0 glt. (a) Zegen Se zunächst, dass für de von m und c abhängge Summe der quadrerten Abwechungen glt: SQA(m, c) = (y (mx + c)) 2 =1 = n m 2 2nr m + n(c 2 + 1) (b) Des kann man weder als quadratsche Funkton n m auffassen. Für welches (von c abhängge) m wrd der Schetelpunkt angenommen? Für welches c st dann SQA(m, c) mnmal? 4. Wr haben gesehen, dass alle Geraden durch den Schwerpunkt enes Datensatzes de vertkale Abwechungsegenschaft haben. Zegen Se, dass Geraden, de ncht durch den Schwerpunkt verlaufen, dese Egenschaft ncht haben.

28 M. Krener: Statstk Warum (und we genau) funktonert das Bestmmthetsmass? Wr verglechen de realen y-werte mt den durch das Regressonsmodell vorhergesagten Werten ŷ. Wenn also x k en gemessenes Alter st, dann st ŷ k = mx k + b de vorhergesagt Körpergrösse. Offenbar streuen de gemessenen Daten y k mehr als de vorhergesagten Daten ŷ k, für de Varanzen (das waren de Quadrate der Standardabwechungen) glt also Wenn man zum Bespel das Verhältns var(ŷ) < var(y) var(ŷ) = 0.75 bzw. var(ŷ) = 0.75 var(y) var(y) erhält, dann verwendet man de Sprechwese, dass 75% der gesamten Varanz durch das lneare Modell erklärt werden. De Formel var(ŷ) var(y) = r 2 bzw. var(ŷ) = r 2 var(y) ergbt sch lecht aus den Rechenregel für Varanzen, als Übung sollten Se folgendes nachrechnen: Für jede Konstante c glt var(y + c) = var(y) und var(c y) = c 2 var(y) Mt erhält man we behauptet. ŷ = r σ y σ x x + b var(ŷ) = var( r σ y σ x x + b) = var( r σ y σ x x) = r 2 σy 2 σx 2 var(x) = r 2 var(y) var(x) var(x) = r 2 var(y)

29 M. Krener: Statstk Warum funktonert der Regressonsfehler RF? Da das Bestmmthetsmass r 2 den Prozentsatz angbt, zu dem das lneare Modell für de Varanz der y- Werte verantwortlch st, st es ncht weter überraschend, dass 1 r 2 n dem Ausdruck vorkommt, der de restlche Streuung der vertkalen Abwechungen von der Regressonsgeraden beschrebt. Wr betrachten de vertkalen Abwechungen a k = y k ŷ k der Punkte von der Regressonsgeraden. Es stellt sch heraus, dass der RF de Standardabwechung deser Abwechungen a k st: RF = σ y ŷ = var(y ŷ) Zum Bewes genügt es zu zegen, dass var(y ŷ) = (1 r 2 )var(y) glt. Um de Rechnung zu verenfachen, transformeren wr de Daten (durch Subtraheren der Mttelwerte), so dass x = ȳ = 0 glt - dadurch ändern sch de Werte von a k ncht. De Regressonsgerade hat dann de Glechung ŷ = r σ y x σ x We wr auf Sete 26 gesehen haben, haben de Abwechungen a k den Mttelwert ā = 0, damt glt var(y ŷ) = var(a) = 1 ak 2 n = 1 ( y k r σ y x k n σ x Für den letzten Term erhält man durch Ausmultplzeren 1 n yk 2 2 r σ y 1 σ x n = var(y) 2 r σ y 1 σ x n = var(y) 2 r σ y 1 σ x σ y σ x n = var(y) 2rσ 2 y r + r 2 var(y) = var(y) r 2 var(y) = (1 r 2 )var(y) x k y k + r 2 σ 2 y σ 2 x ) 2 1 n xk 2 x k y k + r 2 var(y) var(x) var(x) x k σ x y k σ y + r 2 var(y)