Theoretische Physik B MECHANIK. Vorlesung SS 2003

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1 Theoretsche Physk B MECHANIK Vorlesung SS 2003 P. Wölfle Insttut für Theore der Kondenserten Matere Fakultät für Physk Unverstät Karlsruhe Homepage: Textverarbetung: D. Scherer

2 Inhaltsverzechns 1. Enletung 2. Lagrangeformalsmus der Mechank 2.1 Zwangsbedngungen und -kräfte: Lagrangeglechungen 1. Art 2.2 Lagrangeglechungen 2. Art 2.3 Erhaltungsgrößen 3. Varatonsprnzpen der Mechank 3.1 Varatonsrechnung 3.2 Prnzp der klensten Wrkung (Hamlton sches Prnzp) 3.3 Symmetren und Erhaltungsgrößen, Noethertheorem 4. Bewegte Bezugssysteme 4.1 Inertalsysteme, Galletransformaton 4.2 Beschleungte Bezugssysteme 5. Starrer Körper 5.1 Knematk 5.2 Träghetstensor 5.3 Euler sche Glechungen 5.4 Lagrangefunkton 6. Hamltonformalsmus 6.1 Kanonsche Glechungen 6.2 Posson sche Klammern 6.3 Kanonsche Transformatonen 6.4 Phasenraum und Lonvlle scher Satz 6.5 Hamlton-Jacob sche Dfferentalglechung 1

3 Lteratur: T. Fleßbach, Mechank (BI Wssenschaftsverlag) L.D. Landau und E.M. Lfschtz - Mechank (Akademe-Verlag Berln) H. Goldsten - Klasssche Mechank (Akademsche Verlagsgesellschaft, Frankfurt) J. Honerkamp und H. Römer - Grundlagen der klassschen Theoretschen Physk (Sprnger, Berln) F. Scheck - Mechank (Sprnger, Berln) R.P. Feynman, R.B. Leghton, M. Sands - The Feynman Lectures on Physcs Vol. 1 (Add. Wesby) Mathematsche Ergänzung: Bronsten, Semendjajew, Musal, Mühlg - Taschenbuch der Mathematk (Harr Deutsch) R. Shankar - Basc Tranng n Mathematcs (A Ftness Program for Scence Students) (Plenum Press, New York) 2

4 Kaptel 1 Enletung In deser Vorlesung sollen de Grundbegrffe der analytschen Mechank vermttelt werden. De Mechank wurde als erste physkalsche Theore schon ab dem 17. Jahrhundert (Newton) formulert und m 18. und 19. Jahrhundert nsbesondere durch Lagrange und Hamlton zu dem Prototyp ener physkalschen Theore entwckelt. De Begrffsbldungen und Methoden der Mechank denten als Vorbld für de mesten anderen Gebete der theoretschen Physk, we de Elektrodynamk und de Quantenmechank. So st z.b. das Konzept der Feldtheore, d.h. der Kontnuumsbeschrebung von Phänomenen durch Ampltuden, de von Raum und Zet abhängen und lokal verknüpft snd (z.b. durch Abletungen), aus der Kontnuumsmechank der Flüssgketen und elastschen Körper entlehnt. De große Bedeutung von Symmetren und Symmetretransformatonen für physkalsche Systeme wurde zum ersten Mal n der Mechank erkannt. Deser Tel der Mechank st von überragender Bedeutung und wrd deshalb her ausführlch behandelt. De analytsche Mechank st auch heute noch Gegenstand ntensver Forschung. Dabe steht nsbesondere das sogenannte chaotsche Verhalten m Mttelpunkt des Interesses. 3

5 Kaptel 2 Lagrangeformalsmus der Mechank Der Lagrangeformalsmus gbt enen allgemenen Rahmen für de Beschrebung der Dynamk (also der Bewegungsvorgänge) n enem physkalschen System. Wr wollen desen Formalsmus für de Mechank vorstellen und zunächst ene Motvaton dafür geben. Wr wr n der vorangegangenen Vorlesung Theore A sehen konnten, geben de Newton schen Bewegungsglechungen ene vollständge Beschrebung enes Systems von Massenpunkten n d Dmensonen. In velen Fällen st de Bewegung der Körper engeschränkt, z.b. durch feste Verbndungsstangen zwschen den Körpern. In desem Fall st de Abletung der entsprechenden Newton schen Bewegungsglechungen u.u. ncht ohne weteres möglch. Man sprcht dann von Zwangsbedngungen, denen das System ausgesetzt st. Wr wollen zunächst betrachten, was man darunter versteht. 2.1 Zwangsbedngungen und Zwangskräfte: Lagrange-Glechungen 1. Art Wr betrachten Systeme von N Massenpunkten mt Massen m, = 1, 2,..., N. Wenn alle Massenpunkte n hren dredmensonalen Bewegungsmöglchketen unengeschränkt snd, hat das System f = 3N Frehetsgrade. Wr wollen jetzt solche Fälle voraussetzen, n denen de Massenpunkte ncht unengeschränkt beweglch snd, sondern gewssen Zwangsbedngungen unterworfen snd, z.b. a) alle Massenpunkte snd an ene Fläche m Raum gebunden b) de Abstände der Massenpunkte snd paarwese konstant (starrer Körper). Zwangsbedngungen lassen sch häufg n der Form A µ ( r 1, r 2,..., r N, t) = 0, µ = 1, 2,..., N Z schreben. Man nennt se dann holonom und weter skleronom, falls Aµ t = 0 oder rheonom, falls Aµ t 0. Wenn de N Z Glechungen A µ = 0 unabhängg snd, beträgt de Anzahl f der Frehetsgrade des Systems f = 3N N Z 4

6 Bespele: a) alle m können sch nur n ener Ebene bewegen: her st N Z = N und damt f = 2N a r c = 0, a, c = const. b) alle m snd an ene Ebene gebunden, de sch mt Geschwndgket v 0 bewegt: N Z = N, f = 2N c) De Abstände der m snd paarwese konstant: a ( r v 0 t) c = 0 r r j = r j = const. de verblebenden Frehetsgrade m Fall N 3 snd durch de Bewegungsmöglchket der Translaton des Schwerpunkts und der Rotaton des Systems als starrer Körper um dre orthogonale Achsen gegeben und damt st f = 6. (Für N = 2 st f = 5) Zwangsbedngungen, de von den Geschwndgketen abhängen, nennt man ncht holonom. Der Enfluss der Zwangsbedngungen auf de Bewegung der Massenpunkte lässt sch durch sog. Zwangskräfte Z beschreben, de zusätzlch zu den egentlchen Kräften F auf de m wrken, so dass de Newton schen Bewegungsglechungen lauten: m r = F + Z, = 1, 2,..., N De Z werden m Allgemenen von der Bewegung selbst abhängen und snd damt als Funkton von r und r zu verstehen. Im enfachsten Fall enes enzgen Massenpunkts m, dessen Bewegung der Zwangsbedngung A( r, t) = 0 unterlegt, fndet de Bewegung offenbar auf der durch A = 0 defnerten, u.u. zetabhänggen Fläche statt. Auf deser Fläche soll de Bewegung ohne Enschränkung verlaufen, d.h. de Zwangskraft muss senkrecht zur Fläche gerchtet sen: Z( r, t) = λ(t) A( r, t) Herbe haben wr benutzt, dass A n Rchtung der Normalen auf dese Fläche zegt. Der Proportonaltätsfaktor λ(t) st dabe noch zu bestmmen. Ergänzung: De Aussage, dass A stets senkrecht auf der durch A defnerten Fläche steht, lässt sch so zegen: Wr betrachten zwe nfntesmal benachbarte Punkte r und r + d r auf deser Fläche, so dass glt: A( r, t) = 0, A( r + d r, t) = 0 De zwete Glechung entwckeln wr nach d r: A( r + d r, t) = A( r, t) + A d r + O((d r) 2 ) = 0 5

7 Daraus folgt A d r = 0, und da d r en belebger (nfntesmaler) Vektor parallel zur Tangentenfläche m Punkt r st, muss damt A senkrecht auf der Fläche stehen. A r dr r dr De Bewegung des Massenpunkts wrd also durch folgendes System von Glechungen beschreben: m r = F + λ A( r, t) A( r, t) = 0 Als Bespel betrachten wr das mathematsche Pendel n der x-z-ebene. z l m x F mg êz A( r, t) = x 2 + z 2 l 2 = 0 A = 2(x, 0, z) Bewegungsglechungen: mẍ = 2λx m z = mg + 2λz x 2 + z 2 l 2 = 0 Deses Vorgehen lässt sch unmttelbar auf mehrere Telchen und mehrere Zwangsbedngungen verallgemenern. De 3N Bewegungsglechungen und N Z Zwangsbedngungen ergeben Lagrangeglechungen 1. Art: m r = F N Z + λ µ (t) A µ ( r 1, r 2,..., r N, t) ; = 1,..., N r µ=1 A µ ( r 1,..., r N, t) = 0 ; µ = 1,..., N Z 6

8 De Zahl der Zwangsbedngungen st durch N Z 3N 1 begrenzt, damt mndestens en Frehetsgrad vorhanden st. Energeaufnahme durch Zwangsbedngungen: Um de Energeblanz zu untersuchen, multplzeren wr de Bewegungsglechung für das -te Telchen mt r und verwenden we früher de Identtäten r r = 1 d 2 dt r 2 und r F = r U = du r dt Aus den Zwangsbedngungen folgt (konservatve Kräfte vorausgesetzt) A µ ({ r, t}) = 0 d dt A µ = r r A µ + t A µ = 0 Damt ergbt sch de Energeänderung pro Zet, de durch de Zwangsbedngungen verursacht wrd als NZ de dt = λ µ (t) t A µ({ r, t}) µ=1 de Energe des Systems st. wobe E = m 2 r 2 + U({ r }) 2.2 Lagrangeglechungen 2.Art De m letzten Abschntt engeführten Zwangsbedngungen Z snd Hlfsgrößen, de.a. ncht von physkalscher Bedeutung snd. Es st deshalb anzustreben, se von vorneheren zu vermeden, z.b. ndem man se als ersten Schrtt zur Lösung der Lagrangeglechungen 1. Art elmnert. Deses Verfahren führt jedoch u.u. auf unnötg komplzerte Formulerungen. Ene ökonomsche Durchführung deser Idee wrd durch de Verwendung verallgemenerter Koordnaten ermöglcht, de so gewählt snd, dass se genau den durch de (holonomen) Zwangsbedngungen defnerten Unterraum parametrseren. Verallgemenerte Koordnaten De Zahl der Frehetsgrade enes Systems von N Telchen m 3-dmensonalen Raum, das N Z Zwangsbedngungen unterlegt, st f = 3N N Z. Von den ursprünglchen 3N Koordnaten snd damt nur f Koordnaten vonenander unabhängg. Wr bezechnen jede Wahl deser Koordnaten als verallgemenerte oder generalserte Koordnaten q = {q 1, q 2,..., q f } De Wahl der q st ncht endeutg, und wrd von Symmetregeschtspunkten und möglchst großer Enfachhet bestmmt. 7

9 De Orte aller Telchen snd durch de Wahl der q festgelegt: r = r (q 1, q 2,..., q f ; t) und de Zwangsbedngungen snd für belebge q automatsch erfüllt A µ ( r 1 (q 1, q 2,..., q f ; t),..., r N (q 1, q 2,..., q f ; t)) = 0, µ = 1, 2,..., N Z Bespel: Ebenes Pendel mt varabler Fadenlänge l(t) z l(t) x m Der enzge her vorhandene Frehetsgrad st der Wnkel ϕ(t) Mt der Darstellung der kartesschen Koordnaten des Massenpunkts x = l(t) sn ϕ z = l(t) cos ϕ y = 0 st de Zwangsbedngung x 2 + z 2 = l 2 (t) automatsch erfüllt. F Lagrangefunkton Wr multplzeren de Bewegungsglechung für m mt r q α und summeren über : m r F Z µ 1 λ µ (t) A µ r = 0 r (α = 1,..., f) q α und benützen, dass aus A µ ({q α }, t) 0 folgt A µ q α = 0 und damt r q α A µ r = 0 Ergänzung: A µ hängt von q α über de kartesschen Koordnaten r ({q α }, t) ab. Damt st A µ q α = N =1 A µ r r q α (Kettenregel) De Zwangskräfte fallen damt aus obgen Glechungen heraus: ( m r r F q r ) = 0 α q α 8

10 Dese f Glechungen lassen sch we folgt umformen. Wr benützen zunächst, dass aus r = r (q, t) durch totale Abletung nach t folgt: r = r t + α r q α q α = r ({q α, q α }, t) und damt r q α = r q α Für den 1. Term der Bewegungsglechungen ergbt sch somt unter Benutzung deser Bezehung m r r = m r r { } = d 1 q α q α dt q α 2 m r 2 1 q α 2 m r 2 = d { } T T dt q α q α wobe T = 1 2 m r 2 de knetsche Energe bezechnet. Bewes: { d dt benutzt wurde. q α } { 1 2 m r 2 = d m r r } = dt q α wobe d r = d r dt q α q α dt = r q α m r r q α + m r r q α Für de Kraftterme glt ähnlch: F r q α = ( U ) r = U(q, t) r q α q α wobe U(q, t) = U( r 1 (q, t), r 2 (q, t),..., r N (q, t)) de potentelle Energe des Systems, ausgedrückt durch de verallgemenerten Koordnaten, st. De Bewegungsglechungen lassen sch mt Hlfe obger Umformungen kompakt schreben als ( ) d L = L dt q α q α mt α = 1, 2,..., f, wobe L de Lagrangefunkton darstellt, defnert als L(q, q, t) = T (q, q, t) U(q, t) Dese als Lagrangeglechungen 2. Art bekannten Bewegungsglechungen enes Systems von Massenpunkten stellen den wchtgsten Ausgangspunkt zur Lösung von Problemen n der Mechank dar. Dabe st en System endeutg charaktersert durch sene Lagrangefunkton L,.A. gegeben als Dfferenz von knetscher Energe T und potenteller Energe U. Dese st ene Funkton der verallgemenerten Koordnaten q und Geschwndgketen q, sowe der Zet t. 9

11 De Aufstellung von Bewegungsglechungen für Systeme mt Zwangsbedngungen erfolgt also n dre Schrtten: 1) Wahl ener geegneten Parametrserung des f-dmensonalen Unterraums des 3N-dmensonalen Konfguratonsraums q = {q 1, q 2,..., q f } 2) Bestmmung von T und U L 3) Aufstellung der Lagrangeglechungen 2.3 Erhaltungsgrößen We berets n Theore A dskutert, spelen Erhaltungssätze ene wchtge Rolle für das qualtatve Verhalten enes Systems. Auch für de Lösung der Bewegungsglechungen snd se von großem Nutzen. Im Lagrangeformalsmus snd Erhaltungsgrößen dadurch charaktersert, dass de Lagrangefunkton L(q, q, t) von enem oder mehreren hrer Argumente ncht abhängt. a) Energeerhaltung Wr betrachten zuerst den Fall, dass L ncht explzt von der Zet abhängt. De totale zetlche Abletung von L ergbt dann d dt L = f α=1 { L q α + L } q α = q α q α α {( ) d L dt q α L t = 0 q α + L } { q α = d q α dt α } L q α q α (Produktregel) wobe m 2. Schrtt de Lagrangeglechung benutzt wurde. Wenn wr den Term auf der rechten Sete der Glechung auf de lnke Sete schreben, ergbt sch en Erhaltungssatz: d dt H = 0 wobe de Erhaltungsgröße H defnert wurde: ( ) L H = q α L q α H heßt Hamltonfunkton. α Falls de Zwangsbedngungen ncht explzt von der Zet abhängen, st de knetsche Energe quadratsch n den q α T = a αβ q α q β α,β mt Koeffzenten a αβ (verallgemenerter Massentensor). Wenn zusätzlch U ncht von den Geschwndgketen q α abhängt, st L q α = 2a αβ q α q β = 2T q α α α,β 10

12 und damt st H = 2T L = T + U = E De Hamltonfunkton st dann glech der Energe des Systems. b) Zyklsche Koordnaten Im Falle, dass L von ener der verallgemenerten Koordnaten q β ncht explzt abhängt, d.h. nennt man q β ene zyklsche Koordnate. Aus der Bewegungsglechung L q β = 0 d L = L = 0 dt q β q β folgt dann, dass der zugehörge verallgemenerte Impuls p β : zetlch erhalten st, d.h. p β = const. 1. Bespel: Frees Telchen, L = m 2 r 2 p β = L q β p = L r = m r = const. Impulserhaltung 2. Bespel: Massenpunkt auf enem Kres n der x-y-ebene, L = m 2 l2 ϕ 2, q = lϕ l m J Z = 1 l L = ml ϕ = const. ϕ Drehmpulserhaltung Nchtkonservatve Kräfte Im Falle von Kräften, de sch ncht als Gradent enes Potentals schreben lassen, snd de Lagrangeglechungen 2. Art zu erwetern. Wr gehen aus von den jewelgen Krafttermen und leten geegnete Zusatzterme ab. 11

13 a) Elektromagnetsche Kräfte En elektrsches Feld E und en Magnetfeld B üben auf ene Ladung Q de sogenannte Lorentz-Kraft aus ( ) K = Q E( r, t) + r B( r, t) Der magnetsche Antel deser Kraft st von der Geschwndgket r abhängg und damt ncht konservatv. Wr versuchen ene Verallgemenerung der Formulerung für konservatve Systeme, ndem wr m Potental U auch von r abhängge Terme zulassen. Be unveränderter Anwendung der Lagrange-Glechung (mt (q 1, q 2, q 3 ) = (x 1, x 2, x 3 ), den kartesschen Koordnaten) ergbt sch also en Zusatzterm zur Kraft d L = d dt q α dt ( T q α U q α K nk = d U dt q α ) = L q α Frage: Gbt es ene Funkton U nk, aus der nach Dfferentaton bezüglch r und Zetabletung de Lorentzkraft folgt? Antwort: Ja, aber dese Funkton lässt sch nur durch das Vektorpotental A des Magnetfeldes ausdrücken (zunächst ohne Zwangsbedngungen) U nk = Q r A( r, t) De elektromagnetschen Potentale Φ( r, t) und A( r, t) snd defnert durch de Glechungen E = Φ A t B = A Das gesamte Potental st gegeben durch U( r, r, t) = Q Φ( r, t) Q r A( r, t) Wr setzen n de Lagrangeglechung en und erhalten folgenden Ausdruck für de Kraft K = U + d U dt r = Q Φ 3 + Q ẋ j Aj ( r, t) Q d A( r, dt t) j=1 = Q E + Q A t Q A t + Q 3 j=1 ( ẋ j Aj ( r, t) A ) ẋ j x j Der letzte Term lässt sch umformen: ( 3 ẋ j A j A ) = x r ( A) j j=1 12

14 womt gezegt st, dass K de Lorentzkraft st. De Lagrangefunkton hat also de Form L( r, r, t) = m 2 r 2 QΦ( r, t) + Q r A( r, t) Falls Zwangsbedngungen vorlegen, st r = r({q α }) zu setzen. b) Rebungskräfte Ene realstsche Beschrebung mechanscher Systeme aus makroskopschen Körpern erfordert de Berückschtgung von Rebungs- oder Dämpfungseffekten. De entsprechenden Kräfte treten nur für bewegte Telchen auf, d.h. be endlcher Geschwndgket. Für klene Geschwndgketen st oft en lnearer Zusammenhang gegeben. K dss, = γ r ; -tes Telchen Derartge Kräfte führen n der Lagrangeglechung für de α-te Koordnate zu Zusatztermen N =1 K dss, r q α Dese Zusatzterme lassen sch ncht durch enen r-abhänggen Zusatz zu L erfassen. Es st aber möglch und snnvoll, ene wetere skalare Funkton F (neben L) zu defneren als F ( r) = N =1 1 2 γ r 2 F (q, q, t) = N =1 1 2 γ r 2 (q, q, t) Für de verallgemenerte Dsspatonskraft glt dann N =1 K dss, r q α = = N =1 N =1 F r r q α F r r q α = F q α De modfzerten Lagrangeglechungen lauten ( ) d L L + F = 0 dt q α q α q α F st de Raylegh sche Dsspatonsfunkton. Se st glech der halben vom System gegen Rebung abgegebenen Lestung. 13

15 Kaptel 3 Varatonsprnzpen der Mechank 3.1 Varatonsrechnung De Varatonsrechnung behandelt de Lösung von Problemen, be denen der extremale (mnmale oder maxmale) Wert ener Größe zu fnden st, de als Integral über enen Funktonalausdruck darzustellen st. Wr betrachten en erstes Bespel: Gesucht st de Funkton y(x), mt Randwerten y(x 1 2 ) = y 1 2, de das Funktonal zum Mnmum macht. J = J[y] = x2 x 1 dx F (y, y, x) Lösungsstratege: y 0 (x) se de gesuchte Funkton. Dann muss für jede nfntesmal davon abwechende Funkton y(x) = y 0 (x) + δy(x) = y 0 (x) + ɛη(x) mt ɛ nfntesmal und η(x 1 ) = η(x 2 ) = 0 gelten. J[y 0 + ɛη(x)] > J[y 0 ], η(x) Heraus folgt d dɛ J[y 0 + ɛη(x)] ɛ=0 = 0 n Analoge zur Bedngung für en Extremum ener Funkton f(x): f (x) = 0 be x = x 0. Aus der Bedngung dj dɛ = 0 lässt sch ene Dfferentalglechung für η(x) ableten: d dɛ J[y x2 [ ] 0(x) + ɛη(x)] F F = dx η(x) + ɛ=0 y y η (x) Nach parteller Integraton des zweten Terms x2 dx F [ df y η (x) = dy η(x) folgt x 1 d dɛ J [y 0(x) + ɛη(x)] x 1 ] x2 x 1 } {{ } =0 = ɛ=0 x2 x 1 dx 14! = 0 x2 dx η(x) d ( ) F x 1 dx y [ F y d ( )] F dx y η(x) =! 0

16 Das Integral soll für belebges η(x) verschwnden, was nur möglch st, wenn der Ausdruck n den Klammern Null st. Eulerglechung d dx ( F (y, y ), x) y = F (y, y, x) y De Lösungen y(x) deser DGL 2. Ordnung ergeben statonäre Punkte von J[y]. Falls mehrere Lösungen exsteren, st de zum Mnmum gehörge zu fnden. Folgende Kurznotaton st üblch: δj = J[y + δy] J[y] = dx ( ) F F δy + y y δy = dx [ F y d dx F y ] δy = 0 Funktonalabletung δj δy = F y d dx F y = 0 Varatonsprobleme mt Nebenbedngung Wenn de aus enem Extremalprnzp zu bestmmende Funkton y(x) weteren Bedngungen genügen muss, sprcht man von enem Varatonsproblem mt Nebenbedngungen. Bespel: Ene Kette mt konstanter Massendchte ρ und Länge L werde m Schwerefeld der Erde aufgehängt. y y1 P1 y 2 P 2 Frage: Welche Kurvenform nmmt de Kette an? x1 x 2 x Der Glechgewchtszustand wrd durch den mnmalen Wert der potentellen Energe bestmmt: J = U pot = 2 Element der Bogenlänge: ds = 1 + y 2 dx 1 gρy ds = gρ x2 x 1 dx y 1 + y 2 = mn. De Nebenbedngung besteht darn, dass de Länge der Kette gegeben st: K[y] = x2 x 1 dx 1 + y 2 = L 15

17 Nebenbedngungen der Form K[y] = C heßen sopermetrsch. Nebenbedngungen lassen sch mt Hlfe der Methode der Lagrangemultplkatoren n en verallgemenertes Extremalprnzp aufnehmen: Statt J[y] = mn. und K[y] = C kann man setzen J [y, λ] = J[y] λ(k[y] C) = mn. De Extremalbedngungen snd dann: oder ausgeschreben, mt und J λ = 0 = K[y] C J[y] = und K[y] = δj δy = 0 = δj δy λδk δy x2 x 1 dx F (y, y, x) x2 x 1 dx G(y, y, x) = C : δj δy = d ( F dx y λ G ) y + F y λ G y = 0 Bewes: Wr nehmen an y = y 0 (x) se de Lösung und betrachten klene Abwechungen y = y 0 (x) + ɛ 1 η 1 (x) + ɛ 2 η 2 (x) wobe η 1 (x) und η 2 (x) lnear unabhängg snd. Dann wrd durch K[y] = K(ɛ 1, ɛ 2 ) = C ene Kurve n der ɛ 1 -ɛ 2 -Ebene festgelegt, de durch den Nullpunkt geht. Für Werte von (ɛ 1, ɛ 2 ) auf deser Kurve st J[y] = J(ɛ 1, ɛ 2 ) = mn. am Punkt ɛ 1 = ɛ 2 = 0. Es snd also de Glechungen zu lösen: K(ɛ 1, ɛ 2 ) = C K ɛ 1 dɛ 1 + K ɛ 2 dɛ 2 = 0 dɛ 2 dɛ 1 = K ɛ 1 K ɛ 2 J + J dɛ 2 = 0 = J J ɛ 1 ɛ 2 dɛ 1 ɛ 1 ɛ 2 16 K ɛ 1 K ɛ 2

18 Dese Glechung ergbt sch aber aus der Bedngung J λk = mn. q.e.d. J ɛ 1 λ K ɛ 1 = 0 J ɛ 2 λ K ɛ 2 = 0 J J ɛ 1 ɛ 2 K ɛ 1 K ɛ 2 = Prnzp der klensten Wrkung (Hamlton sches Prnzp) Frage: Lassen sch de Lagrangeglechungen als Eulerglechung enes Varatonsprnzps auffassen? De Form der Lagrangeglechungen ( ) d L = L dt q α q α legt nahe, se als Eulerglechungen für das Statonartätsprnzp S = t2 t 1 dt L(q, q, t) = statonär aufzufassen. S st de Wrkung, bzw. das Wrkungsfunktonal. Dabe snd de Randbedngungen q α (t 1 ) = q 1α, q α (t 2 ) = q 2α gegeben. Mest wrd S mnmal. Man sprcht deshalb vom Prnzp der klensten Wrkung. De Bestmmung des Bewegungsablaufs enes mechanschen Systems lässt sch also so formuleren: 1. Man fnde de Lagrangefunkton L, mest gegeben durch L = T U, und damt de Wrkung S. 2. Man betrachte alle Wege q(t) = {q α (t)}, de von den Anfangspunkten q 1α zur Zet t 1 zu den Endpunkten q 2α zur Zet t 2 führen und fnde de Wege q α (t), de das Mnmum (oder Extremum) von S ergeben. Falls q(t) der gesuchte Weg st, glt S[q(t)] S[ q(t)] für alle q(t). y y1 P1 y 2 P 2 x1 x 2 3. Aus der Statonartätsbedngung δs δq x = 0 folgen de Lagrangeglechungen. 17

19 De Lagrangeglechungen 1. Art lassen sch ebenso aus der Statonartätsbedngung für de Wrkung, aber nun mt den Nebenbedngungen A µ (x, t) = 0, µ = 1, 2,..., z ableten. Man kann de Nebenbedngungen mt Hlfe von Lagrangeparametern λ µ (t) berückschtgen, was zu dem Varatonsproblem δs [x, λ, t] = 0 führt, [ ] t2 z mt S [x, λ, t] = dt L(x, ẋ, t) + λ µ (t)a µ (x, t). Her st de Varaton sowohl nach x(t) = {x (t)}, als auch nach λ µ (t) vorzunehmen. t 1 µ=1 Das Prnzp der klensten Wrkung stellt de allgemenste und kompakteste Formulerung der Mechank dar. Se st vollkommen unabhängg von der Darstellung, d.h. von der Wahl der Koordnaten (Kartessch, Wnkel, etc.). En weterer Vortel st, dass sch de Form der Lagrangefunkton durch Symmetrebedngungen stark enschränken lässt. Für de Lagrangefkt. enes freen Telchens muss gelten: 1. L kann ncht explzt von t abhängen (Homogentät der Zet) 2. L kann ncht explzt von r abhängen (Homogentät des Raums) 3. L muss sotrop sen. Damt kann L nur ene Funkton von r 2 sen. De enfachste Möglchket st L = const. r 2 Mt const. = m 2 st das de bekannte Form. Unbestmmthet der Lagrangefunkton: Zu L kann en belebger Term hnzugefügt werden, der ene totale Zetabletung ener Funkton von q und t (aber ncht q) darstellt: L (q, q, t) = L(q, q, t) + d f(q, t) dt Deser Zusatzterm führt zu ener addtven Konstanten n S: Bespele: () Galletransformaton: Mt r r + m v folgt: S = t2 t 1 dt d dt f(q, t) = f(q 2, t 2 ) f(q 1, t 1 ) = const. L L + m r v + m 2 v 2 = L + d dt (m r v + m 2 v 2 t) 18

20 () Echtransformaton n der Elektrodynamk: De Defnton der elektromagnetschen Potentale Φ, A durch E = 1 c A t Φ, B = A legt A und Φ nur bs auf Echtransformatonen fest. Offenbar snd E und B unter ener Transformaton A A + Λ, Φ Φ 1 c mt belebgem Λ( r, t) nvarant. [ L ändert sch dabe we L = m r 2 2 qφ + q r c A ] : L L + q c dλ( r, t). dt Damt folgt de Invaranz der Bewegungsglechungen ohne wetere Rechnung. Λ t 3.3 Symmetren und Erhaltungsgrößen. Noethertheorem Das Prnzp der klensten Wrkung stellt den besten Ausgangspunkt für de Beschrebung allgemener Zusammenhänge n der Mechank dar. Das wchtgste Bespel dafür st de Abletung enes allgemenen Zusammenhangs zwschen bestmmten Symmetren des betrachteten Systems und daraus folgenden Erhaltungssätzen. Wr betrachten das Verhalten der Wrkung S, bzw. der Lagrangefunkton L(x, ẋ, t) unter ener belebgen nfntesmalen Transformaton x x = x + ɛ ψ (x, ẋ, t) t t = t + ɛ ϕ(x, ẋ, t) mt ɛ nfntesmal, wobe ψ (x, ẋ, t) und ϕ(x, ẋ, t) belebge Funktonen snd. Bespele: () Zettranslaton t = t + ɛ, x (t ) = x (t) () Räumlche Translaton x = x + ɛ, t = t () Drehung r = r + ɛ ˆω r, t = t (v) Galletransformaton r = r + ɛ ˆvt, t = t Wr verglechen de transformerte Wrkung S = mt den transformerten Randbedngungen x (t 1 2 t 2 t 1 ) = x (t 1 2 dt L(x, ẋ, t ) ) + ɛψ (x(t ), ẋ(t 1 ), t )

21 mt der ursprünglchen Wrkung S. Falls S = S, st de Wrkung nvarant unter der betrachteten Transformaton und es glt S ɛ = 0 Heraus lässt sch en Erhaltungssatz für ene Größe Q(x, ẋ, t) ableten: Q = d Q(x, ẋ, t) = 0, wobe dt L ẋ ψ + ( L L ẋ ẋ ) ϕ. Bewes: S = t 2 t 1 dt L(x, dx t2 dt, t ) = dt L(x, dx t 1 dt, t ) dt t2 dt = dt L(x, dx [ }] d {L(x t 1 dt, t)+ɛ, dx dɛ dt, t ) dt + O(ɛ 2 ) dt ɛ=0 Damt S = S muss gelten Zunächst folgt aus t = t + ɛϕ und aus x = x + ɛψ Dann st dx dt = dx dt Unter Verwendung von } d {L(x, dx dɛ dt, t ) dt = 0 dt ɛ=0 dt dt = 1 + ɛdϕ dt ( ) ( dt dt = dx dt + ɛdψ 1 ɛ dϕ ) = ẋ + ɛ dψ dt dt dt ɛẋ dϕ dt + O(ɛ2 ). { ( d L x + ɛψ, ẋ + ɛ dψ dɛ = L ψ + L x ẋ ( ) ( = d L ψ + L dt ẋ L wobe = d L x dt ẋ d dt L = L t + = L t + = L t + d dt ) ( dt ɛẋ dϕ dt, t + ɛϕ ( ) dψ dt ẋ dϕ + L dt L ẋ ẋ L ẋ + x ( d L dt ẋ ( ) L ẋ ẋ ) benutzt wurde. L ẋ ẍ ) ẋ ɛ dϕ dt t ϕ + Ldϕ dt )} dϕ dt + ϕ L t = 0 L ẋ ẍ ɛ=0 20

22 ergbt sch mt der Erhaltungsgröße Q = d Q(x, ẋ, t) = 0 dt ( L ψ + L ẋ ) L ẋ ϕ = const. ẋ Es glt also folgender allgemener Zusammenhang, der als Noethertheorem bezechnet wrd: Ene Symmetre des Systems, de n der Invaranz der Wrkung gegenüber ener enparametrgen Raum-Zet-Transformaton besteht (festgelegt durch de Funktonen ψ und ϕ) st verknüpft mt der Exstenz ener Erhaltungsgröße Q. Symmetre S Erhaltungsgröße S = S Q = Q(x, ẋ, t) = const. Deser teflegende Zusammenhang zwschen dem Verhalten des Systems unter Symmetretransformatonen und der beobachtbaren Konsequenz der Exstenz von Erhaltungsgrößen st von grundlegender Bedeutung für de gesamte Physk. Bespele: 1. Homogentät der Zet: L hängt ncht explzt von der Zet ab: x = x ψ = 0 t = t + ɛ ϕ = 1 Falls Q = L L = T U = L ẋ ẋ m 2 ẋ2 U(x) Energeerhaltung st Q = T U 2T = (U + T ) = E 2. Homogentät des Raums: L st nvarant gegen zetunabhängge räumlche Verschebungen, z.b. n x-rchtung r n = r n + ɛˆx ψ nx = 1, ψ ny = ψ nz = 0 Q = n t = t ϕ = 0 L ẋ n = n p nx = P x = const. wobe p n = L r n der Impuls des n-ten Telchens st und P der Gesamtmpuls des Systems st. 21

23 3. Isotrope des Raums: Invaranz von L gegen Rotatonen um ene belebg gerchtete Achse durch enen Bezugspunkt (der als Ursprung gewählt wrd), z.b. Drehungen um Achse ˆω für enen Massenpunkt r = r + ɛ(ˆω r) x = x + ɛ kl ɛ kl ω k x l ψ = kl ɛ kl ˆω k x l, ψ = ˆω r Q = L ẋ ψ = p ɛ kl ˆω k x l = p (ˆω r) = ˆω L Drehmpuls L = r p. Q st de Drehmpulskomponente n Rchtung der Drehachse. Erwetertes Noethertheorem De Invaranzbedngung S = S st stärker als de egentlch enzg wesentlche Bedngung, dass de Bewegungsglechungen nvarant unter der betrachteten Transformaton snd. Des st äquvalent zu δs = δs Da δs nur bs auf totale Zetabletungsterme bestmmt st, können auch solche Transformatonen als Invaranzprobleme zugelassen werden, de de Lagrangefunkton um ene totale Zetabletung ändern, d.h. de Invaranzbedngung lautet: d dɛ und damt ergbt sch als Erhaltungsgröße Q = ( L ψ + L ẋ ] [L(x, dx dt, t ) dt = d f(x, t) dt ɛ=0 dt ) L ẋ ϕ f(x, t) = const. ẋ Bespel: Gallenvaranz r n = r n + ɛtû, ψn = tû, t = t d dɛ L = 1 2 [L dt dt N 2 m n r n n=1 = ɛ=0 n d.h. es glt ncht S = S, sondern nur δs = δs! ] N U nm ( r n r m ) n,m n<m m n rn û = d dt (M R û) = df dt Q = n L r n ψn f(x, t) = M( Rt R) û = const. 22

24 Da des für belebge Rchtung û glt, st also Rt R = const. R(t) = v 0 t + R 0 Des folgt aber berets be Translatonsnvaranz aus der Impulserhaltung: M R = const. Ergänzung: Das sogenannte Noether-Theorem wurde von der Mathematkern Emmy Noether n ener grundlegenden Untersuchung zur modernen Algebra formulert. Se hat mt hren Arbeten ncht nur de theoretsche Physk, sondern auch de Mathematk des 20. Jahrhunderts entschedend beenflusst als Tochter des Mathematkprofessors Max Noether geboren, wrkte se nach dem Studum der Mathematk ab 1919 als Dozentn n Göttngen. Nach dem Entzug der Lehrberechtgung 1933 durch de Natonalsozalsten emgrerte se n de USA, wo se 1935 n Prnceton starb. 23

25 Kaptel 4 Bewegte Bezugssysteme Transformatonen von enem festen Bezugssystem n en bewegtes snd sowohl von praktschem Interesse, z.b. wenn sch Massenpunkte unter dem Enfluss von zetlch veränderlchen Zwangsbedngungen bewegen, als auch von grundsätzlchem Interesse, wenn es z.b. um de Frage geht, n welchem Bezugssystem de physkalschen Gesetze de enfachste Form annehmen. Im Folgenden betrachten wr nur lneare Transformatonen. 4.1 Bewegte Inertalsysteme. Galletransformaton Wr gehen aus von enem Inertalsystem IS mt kartesschen Koordnaten (x, y, z) (x 1, x 2, x 3 ) und betrachten en weteres kartessches Koordnatensystem KS mt (x y z ) = (x 1, x 2, x 3). Frage: We darf sch KS relatv zu IS bewegen, so dass de Newton schen Axome n KS gelten? 1. Fall: De Achsen von IS und KS seen parallel, wobe der Ursprung von KS mt dem Ursprung von IS durch den Vektor d(t) verbunden se. Es glt also r(t) = r (t) + d(t). z z KS` IS d (t) x y y x Falls KS en Inertalsystem sen soll, muss mt (1. Axom) m r = 0 auch gelten m r = 0 Daraus ergbt sch de Bedngung d = 0. Integraton lefert d(t) = vt + a 24

26 wobe v de Relatvgeschwndgket der beden Koordnatensysteme st. IS darf sch also gegenüber IS mt konstanter Geschwndgket bewegen. Zusätzlch st auch ene konstante Verschebung erlaubt. 2. Fall: De Achsen von IS und KS seen gegenenander verdreht; den Ursprung wählen wr der Enfachhet halber glech. Es glt also x = 3 α j x j wobe α j de Elemente ener orthogonalen Matrx ( Drehmatrx ) snd, für de gelten muss j=1 α l αlj T = δ j d.h. de transponerte Matrx α T j = α j st de Inverse der Matrx α: l α 1 = α T (folgt aus der Forderung ( r ) 2 = r 2, d.h. Abstände bleben be der Drehung unverändert) Das 1. Axom lautet n KS mẍ = m wobe ẍ j = 0, gültg n IS, benutzt wurde. 3 ( α j ẋ j + 2 α j ẋ j ) j=1 Man seht, dass nur ene zetunabhängge Drehung, d.h. α j = α j = 0 zulässg st, wenn KS en Inertalsystem sen soll. Damt lautet de allgemenste Transformaton, de Inertalsysteme nenander transformert: 3 x = α j x j + v t + a j=1 t = t t 0 ẋ = α j ẋ j + v j wobe noch ene Verschebung der Zetvarablen als enzge möglche Transformaton von t hnzugenommen wurde. Derartge Transformatonen nennt man Galletransformatonen (GT). De allgemene Galletransformaton st durch 10 Parameter charaktersert: 3 Drehwnkel, 3 Geschwndgketskomponenten v 1, v 2, v 3, dre räumlche Verschebungen a 1, a 2, a 3 und ene Zetverschebung t 0. Zwe hnterenander ausgeführte GT lassen sch durch ene enzge GT bewrken. Zu jeder GT gbt es ene Inverse, de durch de negatven Werte der 10 Parameter charaktersert st. De GT blden also ene Gruppe. De Newton schen Bewegungsglechungen transformeren sch offenbar we m ẍ = K m ẍ = 3 α j K j K j=1 25

27 wobe K.A. unglech K st. De Bewegungsglechung st also formnvarant oder kovarant, aber ncht nvarant. Für en abgeschlossenes System von N Massenpunkten glt, we früher gezegt K ν = r ν U ({ r ν r µ }) für das ν-te Telchen. Da der Abstand r ν r µ unter GT nvarant st, glt her (K ν) = α j (K ν ) j = ( ) α j x ν U({ r ν r µ }) = j j j x ν U({ r ν r µ }) also der gleche Ausdruck n den neuen Koordnaten we n den alten Koordnaten. Dabe wurde benutzt j α j x j = j α j l x l x j x l = j,l α j α lj x l = x Damt snd de Newton schen Bewegungsglechungen für abgeschlossene Systeme nvarant unter GT. Grenzen der Gallenvaranz De Maxwellglechungen der Elektrodynamk snd ncht kovarant unter GT. Se beschreben de Ausbretung von Wellenfronten mt der Geschwndgket c (Lchtgeschwndgket). Be GT mt Geschwndgket v würde also ẋ = c n ẋ = c + v übergehen. Expermentell wrd aber ẋ = c beobachtet. Falls man expermentell ausschleßen kann, dass es en bevorzugtes IS gbt (defnert durch en Medum das de Lchtwelle trägt), blebt nur de Möglchketm das Transformatonsgesetz zwschen IS Äther, zu ändern. Des wrd m Rahmen der spezellen Relatvtätstheore durch de Lorentztransformaton LT errecht. De GT ergbt sch dann als Grenzfall der LT für Geschwndgketen v c. 4.2 Beschleungte Bezugssysteme In beschleungten Bezugssystemen gelten de Newton schen Axome ncht. Wr geben m Folgenden de Zusatzterme n den Bewegungsglechungen für lnear beschleungte und für roterende Bezugssysteme an. ) Lneare Beschleungung Das vorher defnerte Bezugssystem KS se relatv zu IS konstant beschleungt, d.h. für den Abstandsvektor d, der de Koordnatenursprünge verbndet, glt d(t) = 1 2 bt 2 und damt: r(t) = r (t) bt 2 Vorausgesetzt dass t = t, transformert sch das 1. Axom m r(t) = 0 ; IS m r (t) = m b ; KS Es wrkt also n KS ene konstante Kraft, de als Schenkraft bezechnet wrd. 26

28 Bespel: In enem fre m Schwerefeld der Erde fallenden Laborraum wrd de Schwerkraft exakt durch de Schenkraft der glechmäßg beschleungten Fallbewegung kompensert. ) Roterendes Bezugssystem Wr betrachten en Koordnatensystem KS, das relatv zum Ruhesystem IS um ene Drehachse ˆω um den Wnkel ϕ(t) gedreht wrd. Wr defneren de Wnkelgeschwndgket ω = dϕ und den Vektor ω = ωˆω dt z x x y y d G d Grot En Vektor G, der m System KS zetunabhängg st, wrd vom System IS aus betrachtet zetabhängg. De Änderung von G m nfntesmalen Zetntervall dt st d G rot = dϕ(ˆω G) = ( ω G)dt denn ˆω G st en Vektor senkrecht zu ˆω und G mt Betrag G sn θ = Abstand zur Drehachse Für enen zetabhänggen Vektor G(t) glt analog und damt glt für de Zetabletung von G ( d G IS = d G KS + [ ω G(t)]dt dg ) ( d = ) G + ω G(t) dt dt IS KS Anwendung auf de Bewegungsglechung enes Massenpunkts ergbt ) für de Geschwndgket ( r : IS, r : KS ) ) für de Beschleungung ) für das 1. Axom r = r + ω r r = r + ω r + ω ( r + ω r ) + ω r m r = 0 m r = 2m ω }{{ r } m ω ( ω r ) m }{{} ω r }{{} Corolskraft Zentrfugalkraft Träghetskraft De Träghetskraft ensteht durch de Wnkelbeschleungung. 27

29 Im roterenden System treten also Schenkräfte auf mt folgenden Egenschaften: a) Zentrfugalkraft: Flehkraft - Rchtung: ω ( ω r ) = ω( ω r ) r ω 2 radal nach außen, ω - Betrag: ω 2 r sn θ b) Corolskraft: - Rchtung: ω und r - Betrag: ωv sn χ, χ = ( ω, v) Bespel: (1) Wndbewegung auf der roterenden Erdkugel (2) Foucault sches Pendel Andere Abletung der Beschleungung m roterenden System: Vektoren m IS: G und m roterenden KS: G snd durch Drehmatrx verknüpft (z-achse ω o.b.d.a) G(t) = D(t) G 3 cos ϕ sn ϕ 0 (t) = D j (t)g j(t), D = sn ϕ cos ϕ 0 j= G = D(t) G + Ḋ G Verglech mt G = KS G + ω G KS IS lefert Ḋ = D ω... 28

30 oder Ḋj = lk D l ɛ lkj ω k = sn ϕ cos ϕ 0 cos ϕ sn ϕ ϕ Anwendung auf r: Anwendung auf r: r = D ( r + ω r ) r = D r + 2Ḋ r + D r D = Ḋ ω + D ω = D ( ω ω + ω... ) r = D [ r + 2 ω r + ω ( ω r ) + ω r ] 29

31 Kaptel 5 Starrer Körper 5.1 Knematk De Bewegung enes starren Körpers st wesentlch rechhaltger als de enes Massenpunkts. Wr betrachten zunächst de grundlegende Beschrebung der Bewegung, d.h. de Zahl und de Defnton der Frehetsgrade sowe der Bewegungsgrößen. En starrer Körper besteht aus ener belebgen Anzahl von Massenpunkten, de starr mtenander verbunden snd und daher feste Abstände bestzen: 1) N Massenpunkte m n n Postonen r n, n = 1,..., N 2) r n r m = r nm = const., n, m = 1,..., N Dese 1 2N(N 1) Zwangsbedngungen snd jedoch ncht unabhängg. Für N = 3 ergeben sch dre Zwangsbedngungen. Falls für N Massenpunkte R N Zwangsbedngungen exsteren, snd es für N + 1 Massenpunkte R N+1 = R N + 3, denn de Angabe von 3 Abständen legt de Poston des (N + 1)-ten Telchens fest. Daraus folgt: R N = 3(N 2) De Zahl der Frehetsgrade st damt f = 3N R N = 6 unabhängg von N. De 6 Frehetsgrade ergeben sch unmttelbar, wenn man zunächst de 3 Schwerpunktskoordnaten abspaltet. De verblebenden Frehetsgrade m Schwerpunktssystem ( R = 0) snd Drehungen um alle möglchen Achsen durch den Schwerpunkt, von denen es n 3 Dmensonen 3 unabhängge, z.b. de Drehungen um dre kartessche Achsen, gbt. Auch wenn rgenden anderer Punkt des Körpers festgehalten wrd, bleben nur de 3 Drehfrehetsgrade übrg. Dese Systeme nennt man Kresel. Wnkelgeschwndgket Wr defneren 2 Koordnatensysteme, en körperfestes KS: x 1, x 2, x 3 mt Achsen ê 1, ê 2, ê 3 und en raumfestes IS: x, y, z mt Achsen ê x, ê y, ê z. De Bassvektoren ê (t) snd.a. zetabhängg, d.h. KS st ken Inertalsystem. Der Ursprung des körperfesten KS habe m IS den Ortsvektor r 0 (t), sene Geschwndgket se v 0 (t). 30

32 Das körperfeste KS drehe sch mt der Wnkelgeschwndgket ω(t) = ˆω(t) ω(t), ω = dϕ dt relatv zu IS, wobe dϕ der Drehwnkel m Zetelement dt zur Zet t um de momentane Achse ˆω st. Sowohl ˆω als auch ω snd.a. zetabhängg. En belebger Punkt P des starren Körpers habe den Ortsvektor r P,IS m IS. z r P, IS P x3 r P x 2 x1 r 0 y x Der Vektor vom Ursprung 0 von KS zum Punkt P st und de Geschwndgket des Punktes P m IS st r P = r P,IS r 0 Da der Punkt P n KS ruht, also ( d rp dt ( d rp dt v IS = v 0 + d r P dt ) KS ) IS = 0 glt also = v 0 + ω r P auch wenn ω = ω(t). Wr wollen nun untersuchen, ob dese Glechung von der Wahl des Ursprungs von KS abhängt. Wr nehmen an, dass be Wahl des Ursprungs 0 mt r 0 = r 0 a de Wnkelgeschwndgket von KS durch ω gegeben se. Damt glt für den Punkt P während vorher muss also v P,IS = v 0 + ω r P v P,IS = v 0 + ω r P Wegen gelten. Da dese Glechung für alle r P gelten muss, folgt war. r P = r P + a v 0 + ω r P = v 0 + ω ( r P + a)! = v 0 + ω r P ω = ω 31

33 und v 0 = v 0 + ω a De Wnkelgeschwndgket ω hängt also ncht von der Wahl von KS ab, sondern charaktersert den Rotatonszustand des Körpers n endeutger Wese. Euler sche Wnkel Da aufenanderfolgende Drehungen des KS ncht mtenander vertauschen, wenn se ncht um de gleche Achse stattfnden, st de Defnton verallgemenerter Koordnaten für ene allgemene Drehung ncht trval. De von dem deutsch-russschen Mathematker Euler angegebene Parametrserung st am gebräuchlchsten: z x3 x 2 y x K x1 Wr defneren zunächst ene Knotenlne K als Schnttgerade der x-y-ebene mt der x 1 -x 2 -Ebene. Der Enhetsvektor ê K bldet mt der x-achse den Wnkel φ, mt der x 1 -Achse den Wnkel ψ. Als drtte Varable θ wählt man den Wnkel zwschen z-achse und x 3 -Achse. Man kann sch de schefe Lage enes Körpers mt Eulerwnkeln (ψ, θ, φ) vorstellen als entstanden aus dre aufenanderfolgenden Drehungen: 1. Drehung um de z-achse mt Wnkel φ 2. Drehung um de x-achse mt Wnkel θ 3. Drehung um de z-achse mt Wnkel ψ Wr defneren Wnkelgeschwndgketen für jede deser dre Drehungen: ω ψ = ψ ê 3 ω θ = θ ê K ω φ = φ ê z wobe de Rchtungen ê K und ê z m KS so gegeben snd: ê K = cos ψ ê 1 sn ψ ê 2 = cos φ ê x + sn φ ê y ê z = sn θ sn ψ ê 1 + sn θ cos ψ ê 2 + cos θ ê 3 32

34 (folgt aus Projekton der z-achse n de x 1 x 2 -Ebene). x3 z x 2 ê K x1 En belebger Vektor der Wnkelgeschwndgket ω lässt sch zerlegen n de dre Komponenten ω = ω ψ + ω θ + ω φ denn nfntesmale Drehungen, de nachenander ausgeführt werden, snd addtv: d ϕ = ω ψ dt + ω θ dt + ω φ dt + O(dt 2 ) Für Drehungen um endlche Wnkel glt en komplzerter nchtlnearer Zusammenhang, den wr später betrachten werden. De Wnkelgeschwndgket ω kann wahlwese m System KS oder IS dargestellt werden. ω = ω 1 ê 1 + ω 2 ê 2 + ω 3 ê 3 ω = ω x ê x + ω y ê y + ω z ê z KS IS Dabe snd de Komponenten n KS gegeben durch ( ω 1 = ω ê 1 = ψê 3 + θê K + φê ) z ê 1 = θ cos ψ + φ sn θ sn ψ ω 2 = ω ê 2 = θ sn ψ + φ sn θ cos ψ ω 3 = ω ê 3 = ψ + φ cos θ Dese Ausdrücke werden später für de Lagrangeformulerung n den verallgemenerten Koordnaten ψ, θ, φ benötgt. Ergänzung zu den Euler-Drehungen : De Drehung enes Vektors wrd durch ene Drehmatrx beschreben. 3 x = D j x j j=1 33

35 Für Drehungen um de z-achse glt: z = z (oder x 3 = x 3 ) y = cos φ y sn φ x x = cos φ x + sn φ y y x x also y D(ẑ, φ) = cos φ sn φ 0 sn φ cos φ Analog glt für Drehungen um de x-achse D(ˆx, φ) = cos θ sn θ 0 sn θ cos θ Ene allgemene Drehung um de Eulerwnkel ψ, θ, φ wrd also beschreben durch de Drehmatrx D(ψ, θ, φ) = D(ẑ, φ) D(ˆx, θ) D(ẑ, ψ) wobe aufenanderfolgende Drehungen durch das Matrxprodukt beschreben werden. 5.2 Träghetstensor Knetsche Energe De knetsche Energe enes Systems von N Massenpunkten st Mt r n = r nis r 0 und r n = ω r n folgt r nis = r 0 + ω r n und damt st T = 1 2 T = N n=1 1 2 m n r nis 2 N { m n r r 0 ( ω r n ) + ( ω r n ) 2} n=1 34

36 Wr setzen voraus, dass entweder r 0 = 0 (Ursprung m Unterstützungspunkt des Kresels) oder m n r n = 0 R = 0 n KS. Dann separeren wr Translaton und Rotaton: T = M 2 r N m n ( ω r n ) 2 = T trans + T rot n=1 In KS glt mt ω = (ω 1, ω 2, ω 3 ), r n = (x n,1, x n,2, x n,3 ) und ( ω r n ) 2 = ω 2 r n 2 ( ω r n ) 2 : T rot = 1 2 3,j=1 n=1 N m n ( r 2 nδ j x n, x n,j )ω ω j T rot = Θ j ω ω j,j=1 Das Träghetsmoment Θ st n Analoge zu sehen zur Masse m, st also ene Egenschaft des starren Körpers: T trans = 1 2 mv2, T rot = 1 2 Θω2 Im Gegensatz zur Masse st Θ.A. ene Tensorgröße N Θ j = m n ( r 2 n δ j x n, x n,j ) n=1 Träghetstensor In velen Fällen bestzt en Körper ene so große Zahl von Massenpunkten (Atome, Atomkerne, Elektronen), dass es snnvoll st, ene kontnuerlche Massenvertelung anzugeben, als Quotent der Summe der Massen n enem Volumenelement V um r, und V : ρ( r) = m( r) lm V 0 V Massendchte wobe m( r) = n m n = N 0 α=1 m (ν,α) (mt n V um r) Wr telen das Volumen n N 1 Telvolumna V mt je N 0 Telchen auf. De Summe über de enzelnen Telchen lässt sch dann durch en Integral über en Volumen ersetzen. N m n Θ j = V ( r n 2 δ j x (n) n=1 ( N 1 N0 ) m ( (ν,α) = r 2 V ν=1 α=1 x (n) j ) V (ν,α) δ j x (ν,α) ) x (ν,α) j V 35

37 wobe lm Θ j = N der Ort des ν-ten Volumenelements V st. d 3 r ρ( r)(r 2 δ j x x j ) r = 1 N 0 N 0 α=1 r (ν,α) Drehmpuls De relevante Bewegungsgröße für Drehbewegungen st der Drehmpuls. Je nach Bezugssystem und Bezugspunkt können wr defneren N ( L IS = m n r n,is r ) n,is bezogen auf den Ursprung von IS, L = n=1 N n=1 m n ( r n r n ) bezogen auf den Ursprung von KS. De Zetabletung bezeht sch n beden Fällen auf IS. Da wr.a. an Drehbewegungen des starren Körpers um senen Schwerpunkt, bzw. enen anderen festgehaltenen Punkt nteressert snd, und ncht an Drehungen des starren Körpers um ene Achse außerhalb, betrachten wr den 2. Ausdruck. Mt Hlfe von r n = ω r n ergbt sch und mt N L = m n r n ( ω r n ) n=1 r ( ω r) = r 2 ω ( r ω) r st L = = N m n n=1 j=1 3 Θ j ω j j=1 3 (rnδ 2 j x (n) x (n) j )ω j n den kartesschen Koordnaten von KS. Andere Schrebwesen deser Zusammenhänge ergeben sch durch de Defnton der Matrx Θ 11 Θ 12 Θ 13 Θ = Θ 21 Θ 22 Θ 23 Θ 31 Θ 32 Θ 33 und der Spaltenvektoren L = L 1 L 2 L 3, ω = ω 1 ω 2 ω 3 36

38 als L = Θω oder, darstellungsunabhängg unter Verwendung der Enhetsvektoren mt Defnton der Dyade 3 Θ = Θ j ê ê j,j=1 als L = Θ ω Das dyadsche Produkt oder Tensorprodukt zweer Vektoren st so defnert, dass glt (ê ê j ) a = ê (ê j a) und oder auch a (ê ê j ) = ( a ê )ê j (ê ê j ) a = â (ê j a) etc. Damt lässt sch de knetsche Energe schreben als T rot = 1 Θ j ω ω j = ωt Θω = 1 2 ω Θ ω,j wobe ω T de zu ω transponerte Matrx bezechnet. De Transposton vertauscht Zelen und Spalten ener Matrx und macht aus enem Spaltenvektor enen Zelenvektor: A T j = A j ω T = (ω 1, ω 2, ω 3 ) Das Träghetsmoment Θ nn bezüglch ener Drehachse ˆn ergbt sch aus Θ durch skalare Multplkaton mt ˆn Θˆnˆn = ˆn Θ ˆn Transformaton auf Hauptachsen De Matrx Θ st reell und symmetrsch: Θ j = Θ j und kann damt durch ene geegnete orthogonale Transformaton α dagonalsert werden: Θ Θ = αθα T = 0 Θ Θ 3 dabe st α ene bestmmte orthogonale Matrx (sehe später). De dre Größen Θ 1, Θ 2, Θ 3 nennt man de Egenwerte der Matrx Θ. Se stellen de Hauptträghetsmomente dar. 37

39 De Transformaton α entsprcht ener (zetunabhänggen) Drehung des körperfesten Koordnatensystems KS KS, n dem Θ ene Dagonalmatrx st, das sog. Hauptachsensystem. Für de Hauptträghetsmomente glt: Θ 1 = Θ 11 = N m n ( r 2 n x 2 n,1) = n=1 N m n (x 2 n,2 + x 2 n,3) 0 und zyklsch. De Masse m n trägt also zu Θ 1 be mt dem Gewcht hres Abstandsquadrats zur Achse 1. 1 n=1 r n m n r n Bestmmung von α: Wr gehen aus von enem gegebenen Träghetstensor n KS: Θ = (Θ j ) Es soll α bestmmt werden, so dass Θ = αθα T dagonal st, oder Θ j = l,k α l Θ lk α T kj = Θ δ j ( ) Für orthogonale Matrzen glt α 1 = α T, d.h. Wr multplzeren ( ) von lnks mt α T und defneren Vektoren αα T = α T α = I Enhetsmatrx 3 Θ k αkj T = αjθ T j k=1 ω (j) = α T 1j α T 2j α T 3j so, dass Θω (j) = Θ j ω (j), j = 1, 2, 3 Deses System von lnearen homogenen Glechungen hat nur dann ene nchttrvale Lösung, wenn det(θ Θ j I) = 0 wobe I de Enhetsmatrx st. De Determnante st en Polynom 3. Grades n Θ j mt den dre Nullstellen Θ 1, Θ 2, Θ 3. Dese snd de Egenwerte von Θ. De Egenvektoren snd de ω (j). Se snd orthogonal, ( ω ()) T ω (j) = δ j, 38

40 falls Θ Θ j, was aus (ω (j) ) T Θω () = Θ ω () (ω () ) T Θω (j) = Θ j ω (j) (Θ Θ j )(ω () ) T ω (j) = 0 folgt. Falls Θ = Θ j können ω () und ω (j) orthogonal gewählt werden. De Egenwerte Θ 1, Θ 2, Θ 3 snd darstellungsunabhängge Größen, de den Körper bezüglch sener Rotatonsegenschaften um Achsen durch den gewählten Ursprung von KS charakterseren. Des folgt aus der Invaranz des charakterstschen Polynoms: det(θ Θ I) = det[α(θ Θ I)α T ] = det(α) det(θ Θ I) det(α T ) = det(θ Θ I) denn det(αα T ) = det(α) det(α T ) = det(i) = 1 De physkalsche Bedeutung der Hauptachsen st, dass be Rotaton um ene Hauptachse Drehmpuls L und Wnkelgeschwndgket ω parallel snd. Be Körpern mt symmetrschem Aufbau snd de Hauptachsen parallel zu den Symmetreachsen. Wenn der Träghetstensor Θ enes Körpers bezüglch enes belebgen körperfesten Bezugspunkts enmal bekannt st, ergbt sch der Träghetstensor Θ bezüglch enes belebgen anderen Punkts, z.b. um a verschoben, durch ene enfache Umrechnung: Θ j = N [ m n ( rn + a) 2 δ j (x n, + a )(x n,j + a j ) ] (5.1) n=1 = n = Θ j + M m n [ ( rn r n a + a 2 )δ j (x n, x n,j + x n, a j + x n,j a + a a j ) ] (5.2) [ (2R ] a + a 2 )δ j (R a j + R j a + a a j ) wobe R = 1 m n r n der Schwerpunktsvektor st. M n Falls Θ j sch auf en KS mt Ursprung m Schwerpunkt bezeht, st R = 0. Für das Träghetsmoment Θˆnˆn um ene Achse ˆn durch den Ursprung und Θ ˆnˆn um ene dazu parallel verschobene Achse glt der Stener sche Satz : Θ ˆnˆn = Θˆnˆn + Mb 2 wobe b = a ˆn( a ˆn) nˆ (5.3) b a 39

41 Nachtrag: Drehungen bzw. Spegelungen des Raums (bzw. des KS) blden de Gesamthet der Operatonen, de de Abstände zwschen Massenpunkten konstant halten: Aus x n = αx n (oder r n = α r n ) und r n r m 2 = r n r m 2! α k x k α j x j = ( x j ) 2 k j j folgt αkα T j = δ jk α T α = I orthogonale Transformaton Defnton und Egenschaften von Tensoren Ene Größe A n, de de Komponenten enes von den Koordnaten abhänggen Objekts n enem kartesschen Koordnatensystem ( j = 1, 2, 3) beschrebt, heßt Tensor N-ter Stufe, falls unter orthogonalen Transformatonen (Drehungen und Spegelungen) α m folgendes Verhalten glt: A N = 3 m 1=1 3 m N =1 α 1m 1 α 2m 2... α N m N A m1m 2...m N Tensoren nullter Stufe: A (kene Indzes), nvarant unter orthog. Transformatonen, heßen Skalare Tensoren erster Stufe: A = α m A m Vektoren n Tensoren zweter Stufe: A 1 2 = m 1 (Merke: A = αaα T ) m 2 α 1m 1 α 2m 2 A m1m 2 Rechenoperatonen mt Tensoren: 1. Addton: βa 1... N + γb 1... N = C 1... N 2. Multplkaton a) Drekte Multplkaton: A 1... N B N+1... N+M = C 1... N+M Tensor (N+M)-ter Stufe b) Skalare Multplkaton: A 1... N j 1...j L B j1...j L N+1... N+M = C 1... N+M j 1...j L 3 3. Kontrakton von Indzes: A 1...k...k... N = C 1... N 2 Tensor (N-2)-ter Stufe Pseudotensoren k=1 Lev-Cvta-Tensor 1 wenn (, k, l) = (1, 2, 3) und zyklsch ɛ kl = 1 wenn (, k, l) = (2, 1, 3) und zyklsch 0 sonst 40

42 ɛ kl = α α kk α ll ɛ k l k l für = k glt: ɛ l = α α k α }{{} ll ɛ k l = 0,k,l δ k für (, k, l) = (1, 2, 3): ɛ 123 = α 1 α 2k α 3l ɛ k l = det α,k,l und ebenso für belebge Permutatonen von (1, 2, 3). Damt st ɛ kl = det α ɛ kl Defnton: Ene Größe A 1... N, de sch we A 1... N = det(α) α 1m 1... α N m N A m1...m N transformert, heßt Pseudotensor N-ter Stufe. Bemerkung zu det α: Aus det α = det α T und det(α T α) = 1 = det(α T ) det(α) = (det α) 2 folgt det α = ±1. Falls det α = 1 handelt es sch um egentlche Drehungen, falls det α = 1 snd noch Spegelungen an Ebenen, bzw. Inverson ( r r) engeschlossen. Bsp: Spegelung an x-y-ebene: α = Inverson: α = Euler sche Glechungen De Bewegungsglechung für Rotatonen enes starren Körpers st de Bewegungsglechung für den Drehmpuls L, de wr schon früher betrachtet hatten d dt L = M wobe M das auf den Körper wrkende Drehmoment st. Im körperfesten Koordnatensystem KS glt L = N m n ( r n r n ) = Θ ω n=1 41

43 we m letzten Abschntt gezegt. Das Drehmoment M st durch de äußeren Kräfte K n (a) gegeben, de an den n-ten Massenpunkt angrefen. M = N n=1 r n K (a) n We früher gezegt, tragen de Wechselwrkungskräfte zwschen den Massenpunkten ncht zu M be. Zweckmäßg legen wr das körperfeste KS parallel zu den Hauptachsen des Träghetstensors Θ. Dann st Θ Θ = 0 Θ Θ 3 Mt n KS, und sowe ω = ω 1 ω 2 ω 3 und M = M 1 M 2 M 3 ( ) ( ) ( ) d L dt d d = IS dt ( Θ ω) = IS dt ( Θ ω) + ω ( Θ ω) = M KS ( ) ( ) d Θ d Θ ω = dt KS dt ω KS folgt für de Komponenten von ω n KS (Hauptachsen!) das System von dre gekoppelten DGL 1. Ordnung: Θ 1 ω 1 + (Θ 3 Θ 2 )ω 2 ω 3 = M 1 Θ 2 ω 2 + (Θ 1 Θ 3 )ω 3 ω 1 = M 2 Θ 3 ω 3 + (Θ 2 Θ 1 )ω 1 ω 2 = M 3 de sogenannten Euler schen Glechungen des starren Körpers. De Komponenten von ω, p,q,r snd we früher berets abgeletet mt den Eulerwnkeln φ, θ, ψ verknüpft durch ω 1 = φ sn θ sn ψ + θ cos ψ ω 2 = φ sn θ cos ψ θ sn ψ ω 3 = φ cos θ + ψ Nachtel deser Formulerung st, dass das Drehmoment durch sene Komponenten m körperfesten KS darzustellen st,.a. aber m IS gegeben st. De Umrechnung von IS auf KS erfordert aber de Kenntns der Bewegung des Körpers, also de Lösung des Problems. Wr betrachten deshalb n desem Abschntt nur de kräftefree Rotaton, we se z.b. näherungswese für enen Satellten m Weltraum gegeben st. 42

44 Free Rotaton um ene Hauptachse De kräftefree Bewegung enes Massenpunkts st glechförmg und geradlng, d.h. v = r =const. Es st deshalb nahelegend, zu vermuten, dass m Falle der Rotatonsbewegung de Wnkelgeschwndgket konstant sen wrd. Aus ω 1 = ω 2 = ω 3 = 0 folgt (Θ 3 Θ 2 )ω 2 ω 3 = 0 (Θ 1 Θ 3 )ω 3 ω 1 = 0 (Θ 2 Θ 1 )ω 1 ω 2 = 0 Für Θ 1 Θ 2, Θ 2 Θ 3, Θ 3 Θ 1 exstert ene Lösung nur falls mndestens zwe Komponenten von ω Null snd, also ω 1 = ω 0 1 = const., ω 2 = ω 3 = 0 oder ω 2 = ω 0 2 = const., ω 3 = ω 1 = 0 oder ω 3 = ω 0 3 = const., ω 1 = ω 2 = 0 Für M = 0 glt Drehmpulserhaltung, also L = const., oder L = Θ ω = Θ 1 ω 1 ê 1 = const., ê 1 = Rchtung der 1. Hauptachse für de erste Lösung. Damt st ê 1 = const., also zetunabhängg. Der Körper rotert also um de erste Hauptachse ê 1, de n IS raumfest st, mt konstanter Wnkelgeschwndgket ω 1. Stabltät der Lösung: Es gbt dre derartge Lösungen für de dre Hauptachsen. Nur zwe davon snd stabl. Um des zu zegen, betrachten wr klene Abwechungen von der gefundenen Lösung. Falls dese Abwechungen m Lauf der Zet katastrophal anwachsen, st de Lösung nstabl. Wr nehmen also an, es se ω 1 = ω 0 1, ω 2 ω 0 1, ω 3 ω 0 1 Dann können wr quadratsche Terme von ω 2, ω 3 vernachlässgen n den Eulerglechungen Θ 1 ω 1 = (Θ 3 Θ 2 )ω 2 ω 3 0 Θ 2 ω 2 = (Θ 1 Θ 3 )ω 3 ω 1 (Θ 1 Θ 3 )ω 3 ω1 0 Θ 3 ω 3 = (Θ 2 Θ 1 )ω 1 ω 2 (Θ 2 Θ 1 )ω 2 ω1 0 Das erhaltene System lnearer DGL 1. Ordnung mt konst. Koeffzenten lässt sch durch den Ansatz mt der Exponentalfunkton lösen. 43

45 Zunächst folgt aus der 1. Glechung nach we vor ω 1 = 0, also ω 1 = const. = ω1. 0 De 2. und 3. Glechung lassen sch nenander ensetzen und ergeben Θ 2 ω 2 = (Θ 1 Θ 3 )ω 0 1 ω 3 = (Θ 1 Θ 3 )(Θ 2 Θ 1 ) Θ 3 (ω 0 1) 2 ω 2 oder mt ω 2 + Hω 2 = 0 und ω 3 + Hω 3 = 0 H = (Θ 1 Θ 3 )(Θ 1 Θ 2 ) Θ 2 Θ 3 Des snd de DGL für enen ungedämpften Oszllator, also für en schwngendes System, falls H > 0 Mt ω 2 = ω 0 2e kt folgt k 2 ω 2 + Hω 2 = 0 k = ± H () Für H < 0, also Θ 2 < Θ 1 < Θ 3 oder Θ 3 < Θ 1 < Θ 2 (Θ 1 legt zwschen Θ 2 und Θ 3 ) st k reell, k = ±k 0, und de allgemene Lösung lautet ω 2 (t) = a e k0t + b e +k0t ω 3 (t) = c e k0t + d e +k0t Falls b oder d 0 st, stegt ω 2 oder ω 3 (oder bede) exponentell an, womt de Instabltät der Lösung ω 1 = ω 0 1, ω 2 = ω 3 = 0 gezegt st. () Für H > 0 dagegen, also wenn Θ 1 das größte oder klenste der Träghetsmomente st, folgt k = ± H und { } ω 1 (t) = Re a e Ht + b e Ht = a cos( Ht + b) { } ω 2 (t) = Re c e Ht + d e Ht = c cos( Ht + d) De Lösung oszllert also um ω 2 = ω 3 = 0 mt klenen Ampltuden ω1. 0 De obge Überlegung zegt, dass es zwar spezelle Lösungen gbt, de der naven Erwartung ω = const. entsprechen, dass aber de allgemene Lösung des kräftefreen Kresels komplexer st. Wr betrachten nun enen Spezalfall. Kräftefreer symmetrscher Kresel Falls Θ 1 = Θ 2 und Θ 3 Θ 1 sprcht man von enem symmetrschen starren Körper oder Kresel. Offenbar st jeder rotatonssymmetrsche Körper von deser Art, aber de Rotatonssymmetre st ncht Voraussetzung. 44