Prof. Dr. Jürgen Dassow Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg Fakultät für Informatik. Codierungstheorie und Kryptographie

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1 Prof. Dr. Jürgen Dassow Otto-von-Guercke-Unverstät Magdeburg Fakultät für Informatk Coderungstheore und Kryptographe Sommersemester

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3 Inhaltsverzechns 1 Defnton und Charakterserung von Codes Defnton von Codes Coderung und Decoderung durch Automaten Entschedbarket der Egenschaft, Code zu sen Codendkator und Konstrukton von Codes Optmale Codes 27 3 Fehlerkorrgerende Codes Fehlertypen und Fehlerkorrektur Bespele für fehlerkorrgerende Codes Abschätzungen für fehlerkorrgerende Codes Lneare Codes 55 Lteraturverzechns 65 3

4 Kaptel 4 Lneare Codes Bsher haben wr Codes als Mengen von Wörtern aufgefasst. Um Codeegenschaften zu ermtteln oder zu untersuchen, haben wr m Wesentlchen kombnatorsche Egenschaften der Wortmenge bzw. der Wörter selbst betrachtet. In Abschntt 3.2 haben wr be den Hammng-Codes festgestellt, dass de Menge der Codewörter sogar enen lnearen Vektorraum bldet. Daher können neben kombnatorschen Egenschaften auch de algebraschen Egenschaften der Wortmenge bem Studum der Hammng-Codes benutzt werden. Dese Möglchket soll n desem Kaptel für ene ganze Klasse von Codes genutzt werden. Jedem Wort w = a 1 a 2... a n der Länge n kann n enendeutger Wese der n-dmensonale Zelenvektor v w = (a 1, a 2,..., a n ) zugeordnet werden. In desem Abschntt werden wr oft ncht zwschen dem Wort und senem zugeordneten Vektor unterschreben. Daher erhalten wr auch ene Addton von Wörtern der Länge n, da m Vektorraum aller n-dmensonalen Vektoren ene Addton defnert st. Des lefert a 1 a 2... a n b 1 b 2... b n = c 1 c 2... c n mt c = a b für 1 n. Defnton 4.1 En Blockcode C {0, 1} heßt lnearer Code, wenn de Elemente aus C enen lnearen Vektorraum über dem Körper {0, 1} blden. 1 Aus den Egenschaften enes lnearen Vektorraumes folgt sofort, dass das Wort 0 n n jedem lnearen Code C {0, 1} n st. Der lneare Code C {0, 1} n hat als Vektorraum ene Dmenson, de wr mt dm(c) bezechnen. Wr sagen dann auch, dass C en [n, dm(c)]-code st. Defnton 4.2 Se C en [n, k]-code. ) Ene Matrx G vom Typ (k, n) heßt Erzeugendenmatrx für C, falls de k Zelen von G en Erzeugendensystem für C (als Vektorraum) blden. ) Ene Matrx H vom Typ (n k, n) heßt Kontrollmatrx für C, falls glt. C = {c c {0, 1} n, Hc T = (0 n ) T } 1 We schon m vorhergehenden Kaptel beschränken wr uns auch n desem Kaptel auf Codes über {0, 1}. Enge unserer Konzepte und Resultate können aber auch für den Fall formulert bzw. bewesen werden, wenn man anstelle des Körpers {0, 1} enen anderen endlchen Körper K und Codes über K (genauer Blockcodes, de n K enthalten snd) betrachtet. 55

5 Da jeder lneare Vektorraum ene Bass bestzt und de Elemente der Erzeugenmatrx ene Bass blden, gbt es zu jedem lnearen Code ene Erzeugendenmatrx. Se C en [n, k]-code. Dann blden de n-dmensonalen Vektoren, de senkrecht auf allen Vektoren aus C stehen, d.h. de Menge aller v mt vc T = 0 für alle c C, enen lnearen Vektorraum C der Dmenson n k. Wählen wr nun ene Bass von C und nehmen deren Elemente als Zelen ener Matrx, so blden dese ene Kontrollmatrx H für C. Des folgt daraus, dass de Menge C aller Vektoren x mt Hx T = (0 n ) T als Lösungsmenge enes lnearen homogenen Glechungssystems enen lnearen Vektorraum der Dmenson n (n k) = k bldet und nach Defnton alle Elemente aus C n C legen, woraus sch C = C ergbt. Damt bestzt auch jeder lneare Code ene Kontrollmatrx. Für den Hammng-Code aus Abschntt 3.2. ergeben sch als Erzeugendenmatrx G = ndem wr de Codewörter so wählen, dass de ersten dre Komponenten ene Permutaton der Enhetsmatrx blden, und als Kontrollmatrx H = , ndem wr aus der Tabelle n Abschntt 3.2 de Wahlen von x 3, x 5 und x 6 auswählen, be denen dese Komponenten erneut m Wesentlchen de Enhetsmatrx blden. Defnton 4.3 ) Unter dem Gewcht w(c) enes Wortes c {0, 1} + verstehen wr de Anzahl der n c vorkommenden Ensen. ) Das Gewcht w(c) enes Blockcodes C {0, 1} n wrd durch defnert., w(c) = mn{w(c) w C \ {0 n } Offenschtlch gelten w(c) = # 1 (c) und d(c 1, c 2 ) = w(c 1 c 2 ) für alle Wörter c 1, c 2 {0, 1} n. Für c = c 1 c 2... c n setzen wr T r(c) = { c = 1}. Dann glt offenbar w(c) = #(T r(c)). Seen c 1 und c 2 zwe Wörter der Länge n. Ohne Beschränkung der Allgemenhet können wr annehmen, dass c 1 = 1 t 0 s 1 r 0 n t s r und c 2 = 0 t 1 s 1 r 0 n t s r glt (durch Umordnen kann des stets errecht werden). Es glt dann w(c 1 c 2 ) = t + s = (t + r) + (s + r) 2r = w(c 1 ) + w(c 2 ) 2 #(T r(c 1 ) T r(c 2 )). (4.1) Wr geben nun ene Charakterserung des Gewchtes enes Codes durch de Kontrollmatrx an. 56

6 Satz 4.1 Es se C en lnearer [n, k]-code und H ene Kontrollmatrx für C. Dann glt w(c) = mn{r es gbt r lnear abhängge Spalten von H} = max{r je r 1 Spalten von H snd lnear unabhängg} Bewes. Es seen h 1, h 2,..., h n de Spalten von H. Da H nur n k Zelen hat, snd de n Spalten lnear abhängg. Es se nun p de mnmale Anzahl lnear abhängger Spalten von H. h 1, h 2,..., h p seen p lnear abhängge Spalten. Dann glt wegen der Mnmaltät von p de Bezehung p j=1 h j = (0 n k ) T. Wr defneren nun den Vektor v = v 1, v 2,... v n dadurch, dass wr genau dann v = 1 setzen, wenn { 1, 2,..., p }. Dann glt n p Hv T = v h = h j = (0 n k ) T. =1 j=1 Damt st nach Defnton der Kontrollmatrx v C. Da w(v) = p st, erhalten wr p w(c). Angenommen, es gbt en c C mt w(c) = t < p. Es seen c k1, c k2,..., c kt de von Null verschedenen Komponenten von c. Da Hc T = (0 n k ) T glt, st n t (0 n k ) T = c h = h kt. =1 j=1 Damt snd de t Spalten h k1, h k2,..., h kt lnear abhängg, was wegen der Mnmaltät von p unmöglch st. Folglch glt w(c) = mn{r es gbt r lnear abhängge Spalten von H}. De andere Glechhet folgt sofort. Wr wollen nun zegen, dass de Berechnung des Codeabstandes be lnearen Codes (erheblch) enfacher st als be belebgen Blockcodes. Satz 4.2 Für enen lnearen Code C glt d(c) = w(c). Bewes. Se zuerst c en Codewort aus C {0, 1} n, für das w(c) = w(c) glt. Da C en lnearer Code st, st 0 n C. Offenbar glt w(c) = d(c, 0 n ) d(c). Folglch haben wr w(c) d(c). Es seen nun c 1 und c 2 zwe (verschedene) Codewörter aus C mt d(c 1, c 2 ) = d(c). Dann erhalten wr d(c) = d(c 1, c 2 ) = w(c 1 c 2 ) w(c). Somt folgt d(c) = w(c). Zur Bestmmung des Codeabstandes müssen wr m allgemenen Fall alle Abstände zwschen zwe Codewörtern betrachten und dann das Mnmum bestmmen. Des erfordert enen quadratschen Aufwand n der Anzahl der Codewörter. Be lnearen Codes haben dagegen nur das Mnmum der Gewchte zu ermtteln, was mt lnearen Aufwand erfolgen kann. Als zwetes Bespel für de Effzenz von lnearen Codes betrachten wr de Decoderung. Nehmen wr an, dass wr en Wort v empfangen haben. Falls es ken Codewort st, so st es sehr natürlch anzunehmen, dass das Codewort x gesendet wurde, für das d(v, x) = mn{d(v, c) c C} (4.2) 57

7 erfüllt st. Des erfordert m Allgemenen enen Aufwand k n #(C), wobe k ene Konstante st (für jedes Codewort erfordert de Berechnung des Abstandes n Vergleche). Se nun C en lnearer [n, k]-code. Wr defneren de Äquvalenzklasse ϱ n {0, 1} n durch (x, y) ϱ genau dann, wenn Hx T = Hy T. (Es st lecht zu sehen, dass ϱ tatsächlch ene Äquvalenzrelaton st.) De Nebenklasse bez. ϱ, de 0 n enthält, besteht dann genau aus den Vektoren x mt Hx T = H(0 n ) T = (0 n k ) T ). Damt besteht dese Nebenklasse genau aus den Elementen aus C. Se nun f en Repräsentant ener Nebenklasse N von ϱ. Dann glt N = f C. Somt gbt es 2 n /#(C) Nebenklassen. Für jede Nebenklasse N bestmmen wr nun das Element f N mt w(f N ) = mn{w(y) y N}. Das empfangene Wort v legt n ener Äquvalenzklasse, sagen wr n N. Für das Codewort x mt (4.2) und f = v x glt Hf T = H(v x) T = Hv t Hx T = Hv T, d.h., dass v und f n der glechen Nebenklasse, also n N legen. Weterhn haben aber auch f N = v + c für en Codewort c. Damt glt c(f N ) = d(v, c ). Wegen der Wahl von f glt daher c(f) c(f N ). Nach Wahl von f N glt aber auch c(f N ) c(f). Folglch st c(f N ) = c(f). Somt können wr zur Decoderung von v, das Codewort c mt v + c = f N verwenden. Um das gesendete Codewort zu ermtteln, recht es also de Elemente f N, wobe N ene Nebenklasse st, durchzumustern und festzustellen, welches von desen Hf T N = Hv T erfüllt. Da de Vektoren Hf T N vorab berechnet werden können, muss also nur Hv T berechnet werden und mt den Hf T N verglchen werden. De Berechnung von Hv T kann n k n 2 Schrtten erfolgen, wobe k ene Konstante st (man gehe entsprechend der Defnton des Produktes vor), jeder der Vergleche erfordert n Schrtte. Folglch haben wr höchstens k n 2 + n 2 n #(C) Schrtte auszuführen. Falls dm(c) = t > n/2 st, so st der Aufwand klener als k n 2 + n2 n t. Deser Aufwand st wegen t < n/2 gernger als der des obgen allgemenen Verfahrens, das kn2 t Schrtte erfordert. Wr wollen nun en paar Aussagen über de maxmale Mächtgket lnearer Codes machen. Da de Anzahl der Elemente enes lnearen Codes der Dmenson k gerade 2 k st, recht es de Dmenson zu maxmeren. Für n 1 und d 1 defneren wr k(n, d) = max{dm(c) C {0, 1} n st lnearer Code mt d(c) d}. Aus den Aussagen von Satz und der Tatsache dass ener Multplkaton be der Mächtgket des Codes ene Addton der Dmenson entsprcht erhalten wr sofort k(n, d) k(n 1, d) + 1, k(n, d) = k(n + 1, d 1) für ungerades d, k(2n, 2d) k(n, d) + k(n, 2d). 58

8 Weterhn defneren wr n(k, d) als de mnmale Zahl n, so dass en lnearer Code C mt C {0, 1} n, d(c) = d und dm(c) = k exstert. Ohne Bewes bemerken wr, dass n ene sowohl n k als auch n d wachsende Funkton st, d.h. es gelten für belebges k 1 und d 1 de Unglechungen n(k + 1, d) > n(k, d) und n(k, d + 1) > n(k, d). Satz 4.3 Für k > 1 st n(k, d) n(k 1, d 2 ) + d. Bewes. Es se C en lnearer [n, k]-code mt n = n(k, d) und Codeabstand d. Ferner se G ene Erzeugendenmatrx von C. Ohne Beschränkung der Allgemenhet können wr annehmen, dass ene Zele von G durch das Codewort c 1 = 0 n d 1 d gebldet wrd (wr wählen als enes der erzeugenden Elemente von C en Wort c 1 mt d = d(c 1, 0 n ) und vertauschen notfalls de Rehenfolge (d.h. de Spalten der Matrx), um c zu erhalten). De Zelen von G seen c 1, c 2,..., c k. Für 2 k se d de Zele aus G, de aus c durch Strechen der letzten d Komponenten hervorgeht. G se de Matrx mt den Zelen d 2, d 3,..., d k. Angenommen, de Zelen von G wären lnear abhängg. Dann hätten wr k 1 =2 α d = 0 n d, wobe α = 1 für mndestens en mt 2 d glt. Wr betrachten nun c = k 1 =2 α c. Offenschtlch st c C wegen der Lneartät von C. Außerdem glt c = 0 n d c. Falls c c 1, so glt d(c, 0 n ) < d, womt en Wderspruch zu d = d(c) besteht. Somt muss c = c 1 sen. Dann glt aber (wegen 1=-1) c 1 k 1 =2 α c = 0 n m Wderspruch zur lnearen Unabhänggket der Zelen von G. Daher st unsere Annahme falsch, und folglch snd de Zelen d 2, d 3,..., d n lnear unabhängg und blden enen [n d, k 1]-Code C. Es se d = d(c ). Dann gbt es ene Zele b n G mt w(b ) = d. In G gbt es dann ene Zele b = b b mt b {0, 1} d. Damt erhalten wr c 1 b C und w(c 1 b) = d + d w(b ) d und w(b) = d + w(b ) d, woraus 2d d resultert. Folglch st d(c ) d/2 und n d n(k 1, d/2 ), was zu bewesen war. Unter Berückschtgung von n(1, d) = d und d/2 2 = d 2 +1 ergbt sch aus Satz 4.3 durch Indukton sofort de folgende Aussage, de als Gresmer- Schranke für lneare Codes bekannt st. Folgerung 4.4 Für k 1 glt k 1 n(k, d) d 2. Aus der Gresmer-Schranke ergbt sch auch ene Abschätzung für k(n, d). 59 =1

9 Folgerung 4.5 Es glt k 1 k(n, d) max{k d 2 n}. =1 Bewes. Se Dann glt wegen Folgerung 4.4 k 1 l = max{k d 2 n}. =1 l n(l + 1, d) d =1 2 > n}. Wäre nun k(n, d) > l, so wäre wegen der Monotone von n(k, d) auch n = n(k(n, d), d) n(l + 1, d) > n, woraus en Wderspruch resultert. Wr wollen nun lneare Codes konstrueren, de bewesen, dass de Gresmer-Schranke optmal st. Dazu geben wr zuerst ene Methode an, mt der aus lnearen Codes neue lneare Codes gewonnen werden können und de Parameter des neuen Codes sch aus denen der gegebenen Codes enfach errechnen lassen. Lemma 4.6 Seen de lnearen Codes C 1 und C 2 mt den Dmensonen k 1 bzw. k 2 und den Codeabständen d 1 und d 2 gegeben. Dann st en lnearer Code mt C = C 1 αc 2 = {(c 1, c 1 c 2 ) c 1 C 1, c 2 C 2 } C {0, 1} 2n, dm(c) = k 1 + k 2 und d(c) = mn{2d 1, d 2 }. Bewes. Nach Defnton glt C {0, 1} 2n. Damt st C en Blockcode. Es blebt daher zu zegen, dass C en lnearer Vektorraum st, um C als lnearen Code nachzuwesen. Dafür recht es nach den Krteren für Vektorräume zu bewesen, dass für belebge Elemente x und y aus C und γ {0, 1} auch x y und γx n C legen. Seen x = (c 1, c 1 c 2 ) und y = (c 1, c 1 c 2) mt c 1, c 1 C 1 und c 2, c 2 C 2. Dann ergbt sch x y = (c 1, c 1 c 2 ) (c 1, c 1 c 2) = (c 1 c 1, (c 1 c 2 ) (c 1 c 2)) = (c 1 c 1, (c 1 c 1) (c 2 c 2)), woraus mt c 1 c 1 C 1 und c 2 c 2 C 2 folgt, dass x y C glt. Wegen 0 x = 0 2n = (0 n, 0 n 0 n ) C und 1 x = x C st auch de zwete Forderung erfüllt. Offenschtlch st de Abbldung τ : (C1 C 2 ) C vermöge (c 1, c 2 ) (c 1, c 1 c 2 ) ene Isomorphe zwschen den Vektorräumen (C1 C 2 ) (mt komponentenweser Addton) und C (denn es gelten τ((c 1, c 1) (c 2, c 2)) = τ((c 1 c 2, c 1 c 2)) = (c 1 c 1, (c 1 c 1) (c 2 c 2)) = (c 1, c 1 c 1) (c 1, c 1 c 2) = τ((c 1, c 1)) τ((c 2, c 2)) 60

10 und τ(γ(c 1, c 2 )) = τ((γc 1, γc 2 )) = (γc 1, γc 1 γc 2 ) = (γc 1, γ(c 1 c 2 )) = γτ((c 1, c 2 )). Damt glt dm(c) = dm(c 1 C 2 ) = k 1 + k 2. Se c = (c 1, c 1 c 2 ). Zuerst betrachten wr den Fall, dass c 2 = 0 n glt. Dann ergbt sch Für c 2 0 n erhalten wr w(c) = w(c 1 ) + w(c 1 c 2 ) w(c) = w(c 1 ) + w(c 1 ) = 2 w(c 1 ) 2d 1. = w(c 1 ) + w(c 1 ) + w(c 2 ) 2 #(T r(c 1 ) T r(c 2 )) (wegen (4.1)) w(c 2 ) (wegen w(c 1 ) = #(T r(c 1 )) #(T r(c 1 ) T r(c 2 )))) d 2. Somt haben wr w(c) mn{2d 1, d 2 } für alle c C. Damt glt d(c) = w(c) mn{2d 1, d 2 }. Es seen c 1 und c 2 Codewörter aus C 1 bzw. C 2 so, dass w(c 1 ) = d(c 1 ) = d 1 bzw. w(c 2 ) = d(c 2 ) = d 2 gelten (also von mnmalen Gewcht n den Codes). Dann erhalten wr wegen 0 n C 1 C 2 w((c 1, c 1 0 n )) = 2w(c 1 ) = 2d 1 und w((0 n, 0 n c 2 )) = w(c 2 ) = d 2. Daher glt d(c) = w(c) = mn{w(c) c C} mn{2d 1, d 2 }, woraus mt Obgem sofort d(c) = mn{2d 1, d 2 } folgt. Wr nutzen de Konstrukton von lnearen Codes aus lnearen Codes, de n Lemma 4.6 engeführt wurde, um Reed-Müller-Codes RM(r, m) für r, m N und 0 r m zu defneren. Dazu defneren wr zuerst uns setzen für 1 r m RM(0, m) = {0 2m, 1 2m } und RM(m, m) = {0, 1} 2m RM(r, m) = RM(r, m 1)αRM(r 1, m 1). Wr bestmmen de Reed-Muller-Codes für klene Werte von r und m. Für m = 1 erhalten wr de Codes RM(0, 1) = {00, 11} und RM(1, 1) = {00, 01, 10, 11}. Für m = 2 und m = 3 ergeben sch de Codes RM(0, 2) = {0000, 1111}, RM(1, 2) = RM(1, 1)αRM(0, 1) = {0000, 0101, 1010, 1111, 0011, 0110, 1001, 1100}, RM(2, 2) = {0000, 0001, 0010, 0011, 0100, 0101, 0110, 0111, 1000, 1001, 1010, 1011, 1100, 1101, 1110, 1111}. 61

11 und RM(0, 3) = { , }, RM(1, 3) = { , , , , , , , , , , , , , , , }, RM(2, 3) = {w 1 w 2 w 1 {0, 1} 4, w 2 = w 1 v, v RM(1, 2)}, RM(3, 3) = {0, 1} 8. Reed-Muller-Codes wurden n den sebzger Jahre des vorgen Jahrhundert be der Weltraumfahrt benutzt. Wr wollen nun zegen, dass de Reed-Muller-Codes RM(r, m) lneare [2 m, ( ) r m =0 ]- Codes mt dem Codeabstand 2 m r snd. Wr bewesen des mttels vollständger Indukton über r. Für r = 0 ergbt sch de Aussage sofort aus der Defnton von RM(0, m), der en lnearer Code n {0, 1} 2m mt der Dmenson 1(= ( ) 0 m =0 ) und dem Codeabstand 2 m st. Wegen Lemma 4.6 erhalten wr, dass RM(r, m) en lnearer Code mt RM(r, m) = RM(r, m 1)αRM(r 1, m 1) {0, 1} 2m 1 {0, 1} 2m 1 = {0, 1} 2m, d(rm(r, m)) = mn{2 d(rm(r 1, m)), d(rm(r 1, m 1))} = mn{2 2 m 1 r, 2 m 1 (r 1) } = 2 m r, dm(rm(r, m)) = dm(rm(r, m 1)) + dm(rm(r 1, m 1) ( ) ( ) r m 1 r 1 m 1 = + =0 =0 ( ) ( ) r m 1 r 1 m 1 = (1 + ) + =1 =0 ( ) ( ) r 1 m 1 r 1 m 1 = (1 + ) + =0 + 1 =0 ( ) ( ) r 1 m 1 m 1 = 1 + ( + ) =0 + 1 ( ) ( ) r 1 m r m = 1 + = 1 + =0 + 1 =1 ( ) r m = =0 st. Für de Reed-Muller-Codes RM(1, m) {0, 1} 2m dm(rm(1, m)) = 1 =0 haben wr ( ) m = m + 1 und d(rm(1, m)) = 2 m 1. 62

12 Damt ergbt sch aus Folgerung 4.4 n(k, d) m d m 0 2 = 2 m 1 =0 2 = 2 m m = 2 m. Da anderersets RM(1, m) {0, 1} 2m glt, st damt de Gresmer-Schranke ncht zu verbessern. In Folgerung 4.5 haben wr ene obere Schranke für de maxmale Dmenson k(n, d) angegeben. Wr geben abschleßend noch ene untere Schranke an, de auf Glbert und Varshamov zurückgeht. Satz 4.7 Wenn de natürlchen Zahlen n, k und d de Bedngungen ( ) d 2 k n und 2 n k n 1 > erfüllen, so gbt es enen lnearen Code C mt C {0, 1} n, dm(c) = k und d(c) d (es glt also k(n, d) k). Bewes. Ist k = n, also 2 n k = 2 0 = 1, so muss wegen der zweten vorausgesetzten Unglechung d = 1 sen. Für de Parameter n = k und d = 1 st {0, 1} n en Code der gewünschten Art. Se also k < n. Es se v 1, v 2,..., v n k ene Bass von {0, 1} n k. Ferner seen v n k+1, v n k+2,..., v n k+s wetere Elemente aus {0, 1} n k derart, dass je d 1 Vektoren lnear unabhängg snd. De Anzahl der Vektoren, de sch als Lnearkombnaton von höchstens d 2 Elementen aus {v 1, v 2,... v n k+s } blden lassen st d 2 =0 =0 ( ) n k + s. Ist dese Summe echt klener als 2 n k, so läßt sch n {0, 1} n k \{v 1, v 2,... v n k+s } en Element v n k+s+1 fnden, so dass je d 1 Vektoren aus {v 1, v 2,... v n k+s, v n k s+1 } lnear unabhängg snd. Nach Voraussetzung erhalten wr de Exstenz ener Menge {v 1, v 2,... v n }. Aus v 1, v 2,... v n blden wr nun ene Matrx K vom Typ (n-k,n) und verwenden dese als Kontrollmatrx enes Codes C. C st dann en lnearer [n, k]-code, dessen Codeabstand nach den Sätzen 4.1 und 4.2 mndestens d st. 63