Experimentalphysik 1. Vorlesung 1

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1 Technsche Unverstät München Fakultät für Physk Ferenkurs Expermentalphysk 1 WS 2016/17 Vorlesung 1 Ronja Berg (ronja.berg@tum.de) Katharna Sche (katharna.sche@tum.de) Inhaltsverzechns 1 Klasssche Mechank des Massenpunktes Knematk Glechförmg beschleungte Bewegungen Superpostonsprnzp Bewegungen mt ncht-konstanter Beschleungung Glechförmge Kresbewegung Allgemene krummlnge Bewegung Kräfte Gravtaton Normalkraft Zentrpetalkraft Federkraft Drehmpuls und Drehmoment Arbet, Energe, Lestung Arbet Wegunabhängge Arbet: Konservatve Kraftfelder Energe Lestung Gravtaton, Planetenbewegungen

2 1 Klasssche Mechank des Massenpunktes 1.1 Knematk Be velen Problemen n der Physk kann man de räumlche Ausdehnung der Körper vernachlässgen und stattdessen von sogenannten Massenpunkten ausgehen. We der Name berets verrät, snd Massenpunkte punktförmg und haben kene räumlche Ausdehnung. Um de Bahnkurve, also de Lage, enes Massenpunktes zu beschreben wählt man en geegnetes Koordnatensystem, n welchem man den Ort des Massenpunktes n Abhänggket von der Zet darstellen kann. Abhängg von der jewelgen Aufgabenstellung beten sch her kartessche, Zylnder- oder Kugelkoordnaten an. In kartesschen Koordnaten können wr de Bahnkurve enes Massenpunktes n ganz allgemener Form folgendermaßen darstellen: x(t) r(t) = y(t) (1) z(t) Her verwenden wr bewusst de vektorelle Darstellung, da de wengsten Probleme n der Physk endmensonal snd. Ene Ausnahme st bespelswese der free Fall, her genügt ene endmensonale Darstellung vollkommen. De Geschwndgket des Massenpunktes wrd analog zum endmensonalen Fall bestmmt: v x (t) ẋ(t) v(t) = v y (t) = ẏ(t) = r(t). (2) v z (t) ż(t) Der Betrag der Geschwndgket entsprcht der Länge des Geschwndgketsvektors: v(t) = v x (t) 2 + v y (t) 2 + v z (t) 2. (3) De Beschleungung kann man nun berechnen aus a x (t) a(t) = a y (t) = d v(t) a z (t) = d2 r(t) 2 = r(t) = ẍ(t) ÿ(t). (4) z(t) 1

3 Falls m Gegenzug de Beschleungung bekannt st, kann man durch Integraton de Geschwndgket v(t) und de Bahnkurve r(t) berechnen. Herzu kann man entweder unbestmmt ntegreren und de Randbedngungen zum Schluss ensetzen oder de Randbedngung schon gezelt be der bestmmten Integraton n de Integratonsgrenzen ensetzen. v(t) = a(t) bzw. v(t) v(t 0 ) = t t 0 a(t ) (5) Analog verfährt man nun, um de Bahnkurve aus der Geschwndgket zu bestmmen. r(t) = v(t) bzw. r(t) r(t 0 ) = t t 0 v(t ) (6) 1.2 Glechförmg beschleungte Bewegungen En Spezalfall ener beschleungten Bewegung stellt de glechförmg beschleungte Bewegung dar - also ene Bewegung mt konstanter und demnach zetunabhängger Beschleungung: a x a(t) = a = a y (7) a z Geschwndgket und Bahnkurve des Massepunkts können dann durch Integraton über de Zet ermttelt werden. r(t) = v(t) = v(t) = a = a t + v 0 (8) a t + v 0 = 1 2 at2 + v 0 t + r 0 (9) De Konstanten v 0 und r 0 snd de Anfangsbedngungen für Ort und Geschwndgket. 2

4 1.3 Superpostonsprnzp Für r, v und a glt Vektoradon. Das bedeutet, dass Bewegungen n verschedene Rchtungen superponert werden können. En Bespel für das Superpostonprnzp von Bewegungen st der schefe Wurf m Gravtatonsfeld, den wr her kurz aufgrefen wollen. En Geschoss wrd zum Zetpunkt t = t 0 unter dem Wnkel α zur Erdoberfläche auf der Höhe h mt der Anfangsgeschwndgket v 0 abgeschossen. Es werden zwe Bewegungen überlagert. Zum enen flegt das Geschoss n x-rchtung (unter Vernachlässgung der Rebungskraft) mt der konstanten Geschwndgket v 0x. Zum anderen wrkt auf de Masse de Schwerkraft, weshalb es de Beschleungung a y = g = 9, 81 m erfährt. Zusätzlch hat das Geschoss n s 2 y-rchtung de Anfangsgeschwndgket v 0y. Um de vollständge Bahnkurve des Geschosses aufzustellen, verwenden wr de Glechungen (8) und (9). Dazu benötgen wr de Anfangsbedngungen für den Ort und de Geschwndgket. Zum Zetpunkt t = t 0 haben der Ortsvektor r(t 0 ) = r 0 und Geschwndgketsvektor v(t 0 ) = v 0 de folgende Form: r 0 = x 0 y 0 z 0 0 = h (10) 0 v 0x v 0 cos α v 0 = v 0y = v 0 sn α (11) v 0z 0 Setzt man dese Anfangsbedngungen n de Glechungen (8) und (9) en, erhält man für de Geschwndgket v(t) und de Bahnkurve r(t): v 0x v 0 cos α v(t) = a y t + v 0y = gt + v 0 sn α (12) v 0z 0 v 0x t + x 0 v 0x t r(t) = 1 2 a yt 2 + v 0y t + y 0 = 1 2 gt2 + v 0y t + h (13) z 0 0 Es st sehr wchtg, sch am Anfang ener Aufgabe zu überlegen, welche Anfangsbedngungen be ener Problematk vorlegen! 3

5 1.4 Bewegungen mt ncht-konstanter Beschleungung Nun wollen wr uns näher mt zetlch veränderlchen Beschleungungen befassen. Zunächst betrachten wr de glechförmge Kresbewegung, be der sch nur de Rchtung der Beschleungung, ncht aber hr Betrag ändert Glechförmge Kresbewegung Be der glechförmgen Kresbewegung, werden n glechen Zeten gleche Strecken zurückgelegt. Der Betrag der Geschwndgket st also konstant, jedoch ändert sch de Rchtung des Geschwndgketsvektors. Der Geschwndgketsvektor st mmer tangental zur kresförmgen Kresbewegung. Ähnlch verhält es sch mt der Beschleungung, der Betrag blebt glech, doch de Rchtung ändert sch mt der Zet. De Bahnkurve enes Körpers, der sch glechförmg auf ener Kresbahn mt konstantem Radus r n der xy-ebene bewegt, wrd beschreben durch: r(t) = ( ) r cos(ϕ(t)) r sn(ϕ(t)) (14) De Bahngeschwndgket erhalten wr durch ableten: v(t) = d r(t) ( ) r sn(ϕ(t)) dϕ(t) = r cos(ϕ(t)) dϕ(t) := ( ) r ω sn(ϕ(t)). (15) r ω cos(ϕ(t)) Wr nennen ω de Wnkelgeschwndgket: ω = dϕ, [ω] = rad/s. (16) Nochmalges Ableten ergbt de Beschleungung. Da wr jetzt ene glechförmge Kresbewegung betrachten, st ω zetlch konstant. a(t) = ( ) r ω2 cos(ϕ(t)) r ω 2 = r ω 2 ê sn(ϕ(t)) r (17) a = r ω 2 (18) De Beschleungung a heßt Zentrpetalbeschleungung und zegt zum Mttelpunkt der Kresbahn. 4

6 1.4.2 Allgemene krummlnge Bewegung Allgemen kann sch v natürlch n Betrag und Rchtung ändern. De Geschwndgket st n jedem Punkt de Tangente an de Bahnkurve. De Beschleungung kann allerdngs ene belebge Rchtung haben. Se lässt sch aber mmer n enen zur Bahnkurve tangentalen und enen normalen Tel zerlegen: a(t) = d v(t) = dv ê t + v dê t = a t + a n (19) De Tangentalbeschleungung a t zegt n Tangentalrchtung der Bahnkurve und st damt parallel zu v. Se beschrebt de Änderung des Betrags der Geschwndgket. De Normalbeschleungung a n zegt n Normalrchtung der Bahnkurve, steht also senkrecht auf der Tangentalbeschleungung. De Normalbeschleungung beschrebt de Änderung der Rchtung der Geschwndgket. Ist a n = 0, handelt es sch um ene geradlnge Beschleungung (z.b. en auf gerader Strecke beschleungendes Auto). Ist a t = 0 beschrebt der Körper ene Kurve, be der sch der Betrag sener Geschwndgket ncht ändert. 1.5 Kräfte De Ursache für de Änderung enes Bewegungszustandes st de Wechselwrkung enes Körpers mt sener Umgebung. Alle Wechselwrkungen werden durch Kräfte beschreben. Enen Körper, der kene Wechselwrkung mt sener Umgebung erfährt oder auf den kene resulterende Kräfte wrken (d.h. Fresulterend = F = 0), nennt man fre. Kräfte snd Vektoren und auch her glt weder das Superpostonsprnzp. De mathematsche Beschrebung der Bewegung von Körpern unter dem Enfluss von Kräften kann auf wenge Grundglechungen zurückgeführt werden, de sogenannten Newtonschen Axome. 1. Newtonsches Axom: Jeder Körper verharrt m Zustand der Ruhe oder der glechförmgen geradlngen Bewegung, solange kene resulterende Kraft auf hn wrkt. 2. Newtonsches Axom: De Ursache für de Impulsänderung enes Körpers st ene auf den Körper wrkende Kraft: F = d p = m d v + dm v (20) Falls de Masse zetlch konstant st, verenfacht sch de Glechung zu: F = m a (21) 5

7 3. Newtonsches Axom: Zwe Körper A und B befnden sch n enem abgeschlossenen System, d.h. de Körper snd von hrer Umgebung solert (kene äußere Kräfte!) und können nur mtenander wechselwrken. Übt der Körper A auf den Körper B de Kraft F 1 aus (acto), so übt der Körper B auf Körper A ene entgegengesetzt glech große Kraft F 2 = F 1 aus (reacto). acto = reacto F 2 = F 1 (22) Kräfteglechgewcht: Be enem Kräfteglechgewcht betrachten wr enen Körper, an dem kene resulterende Kraft angreft: F = 0. (23) Grefen Kräfte n mehrere Rchtungen an, erwest es sch häufg als snnvoll de Kräfte aufzutelen n Kräfte, de n x-,y-, bzw. z-rchtung wrken. Für jede Rchtung muss de Summe der Kräfte Null ergeben: F,x = 0, F,y = 0, F,z = 0. (24) Gegebenenfalls muss man enzelne Kräfte, we z.b. de Normalkraft be ener schefen Ebene, n hre Komponenten auftelen Gravtaton De Wechselwrkung zwschen zwe Massen m 1 und m 2 wrd durch das Gravtatonsgesetz beschreben, welches ebenfalls auf Newton zurückgeht. Das Kraftfeld der Gravtaton st en Zentralkraftfeld. F G = G m1 m 2 r r 3 = G m1 m 2 r 2 ê r, (25) wobe G = 6, m3 de Gravtatonskonstante (Naturkonstante!) st. Das negatve kg s 2 Vorzechen steht für de anzehende Wrkung der Kraft. Der Vektor ê r bedeutet, dass de Gravtatonskraft entlang der Verbndungslne zwschen den beden Massen wrkt. Für den Oberflächenberech der Erde wrd das Gesetz abgekürzt zu: F G = m g ê r mt g = G me re 2, (26) 6

8 mt m E der Masse der Erde und r E dem Erdradus Normalkraft Übt en Körper ene Kraft senkrecht auf ene Oberfläche aus, so übt de Oberfläche enen entgegengesetzt glech große Kraft auf den Körper aus (2. Newtonsches Axom: acto = reacto). Dese Kraft bezechnen wr als Normalkraft F N Zentrpetalkraft De Zentrpetalkraft st de Kraft, de nötg st um ene Kresbewegung aufrecht zu erhalten. De Zentrpetalkraft steht durch das 2. Newtonsche Axom n drektem Zusammenhang mt der Zentrpetalbeschleungung. De Zentrpetalkraft st we de Zentrpetalbeschleungung zum Kresmttelpunkt hn gerchtet. F Z = m a Z = m ω 2 r ê r = m v2 r ê r (27) Federkraft De rückstellende Kraft ener Feder st proportonal zur Auslenkung x der Feder: F = D x. (28) D st de Federkonstante, bzw. Federhärte. 1.6 Drehmpuls und Drehmoment Der Drehmpuls L st defnert als das Kreuzprodukt zwschen dem Ortsvektor r und dem Impuls p: L = r p = m ( r v), (29) L = m r v sn(ϕ). (30) Stehen r und p, bzw. v senkrecht aufenander (ϕ = 90, Kresbewegung), st sn(90 ) = 1 und wr können verenfachend schreben: L = m r v = m r 2 ω. (31) 7

9 De zetlche Abletung des Drehmpulses st das Drehmoment D: D = d L = d r d p d p p + r = r = r F. (32) Das Kreuzprodukt d r d r p verschwndet, wel der Vektor v = parallel zu p = m v st. Drehmomentglechgewcht: Be Drehmomenten betrachten wr ausgedehnte Körper und kene Punktmassen. Drehmomentglechgewcht bedeutet, dass sch der Körper ncht dreht und sch alle wrkenden Drehmomente gegensetg aufheben. D = D, + D, = 0 (33) Außerdem können wr uns be enem Drehmomentglechgewcht aussuchen, welcher Punkt der Drehpunkt st. Häufg st es snnvoll enen Drehpunkt zu wählen, an dem möglchst vele Kräfte angrefen. Drehmpulserhaltung: Wenn de Summe aller Drehmomente, de an enem Körper angrefen, Null st, st der Gesamtdrehmpuls L zetlch konstant: D = d L = 0 L = const. (34) 1.7 Arbet, Energe, Lestung Arbet Wenn en Massenpunkt n enem Kraftfeld F ( r) das Wegelement r zwschen den Punkten P 1 und P 2 zurücklegt, dann st de mechansche Arbet W, de de Kraft F am Massenpunkt entlang des Weges r verrchtet: W = F ( r) r. (35) Für komplzerte Wege zwschen P 1 und P 2, lässt sch de Arbet berechnen, ndem man den Weg n vele klene Wegstücke r zerlegt und für jeden Wegabschntt de Arbet W berechnet. Für de gesamte am Massenpunkt verrchtete Arbet glt dann: W = F ( r) r. (36) De Summe geht m Grenzwert r 0 n das Wegntegral W = x2 y2 z2 F d r = F x dx + F y dy + F z dz (37) P 1 x 1 y 1 z 1 über. 8

10 1.7.2 Wegunabhängge Arbet: Konservatve Kraftfelder Wr betrachten zwe Wege a und b n enem zetunabhänggen Kraftfeld F ( r). Dann glt für de verrchtete Arbet auf dem jewelgen Weg: W a = P 1 F d ra bzw. W b = P 1 F d rb. (38) Falls für belebge Wege a und b zwschen P 1 und P 2 glt, dass W a = W b, dann st das Integral wegunabhängg und das Kraftfeld F ( r) konservatv. Für konservatve Kraftfelder glt außerdem, dass de Arbet auf geschlossenen Wegen Null st: W = F d r = = P 1 F d ra + F d ra P1 P 2 P 1 P 1 F d rb F d rb = W a W b = 0 (39) Ob en Kraftfeld konservatv st, lässt sch lecht über de notwendge Bedngung für en konservatves Kraftfeld überprüfen: rot F = 0. (40) Energe Potentelle Energe Wrd n enem konservatven Kraftfeld (z.b. Gravtatonsfeld) en Körper bewegt, so wrd de an hm verrchtete Arbet n potenteller Energe gespechert. De verrchtete Arbet entsprcht dabe der Dfferenz zwschen der potentellen Energe be Punkt P 1 und der potentellen Energe be Punkt P 2. W = P 1 F d r = [Ep (P 2 ) E p (P 1 )] = E p (P 1 ) E p (P 2 ) (41) Wr haben her W so defnert, dass de Arbet, de be ener Bewegung gegen de Kraft F gelestet wrd, negatv gerechnet wrd. Für W < 0 wrd dem Körper also Energe zugeführt. 9

11 Ene absolute potentelle Energe gbt es ncht. Man kann de potentelle Energe mmer nur relatv zu enem Bezugspunkt(Nullpunkt) angeben. De Wahl des Nullpunkts der potentellen Energe st abhängg von der Aufgabenstellung. Als klenes Bespel betrachten wr enen Sten, den wr vom Boden h 1 auf ene Höhe h 2 heben. De Potentaldfferenz st dann nach (41): h2 E pot = ( mg)dh = mgh 2 mgh 1 = mg(h 2 h 1 ). (42) h 1 Setzen wr den Nullpunkt der potentellen Energe auf den Boden ( h 1 = 0), so st de potentelle Energe des Stens be enem Abstand h 2 = h von der Erdoberfläche: E pot = m g h (43) Knetsche Energe Wrd en Körper durch de Kraft F von P 0 nach P 1 beschleungt, st de verrchtete Arbet: W = P1 P 0 F d r = m P1 P 0 P1 d v v1 a d r = m P 0 d r = m v d v = m v 0 2 v2 1 m 2 v2 0 (44) Der Ausdruck E kn = 1 2 mv2 (45) bezechnet de knetsche Energe enes Körpers mt Geschwndgket v = v und Masse m. Energeerhaltung In enem abgeschlossenen System glt Energeerhaltung. Man unterschedet be den mechanschen Energeformen zwschen potenteller und knetscher Energe. Geht n dem System kene Energe durch Wärme oder Verformung verloren (Energedsspaton), st de Gesamtenerge des Systems stets konstant. E ges = E pot + E kn = const. (46) 10

12 1.7.4 Lestung De Lestung P st defnert als de Arbet dw, de n enem Zetntervall verrchtet wrd: P = dw. (47) 1.8 Gravtaton, Planetenbewegungen De Planetenbewegungen werden durch de 3 Keplerschen Gesetze beschreben: 1. Keplersches Gesetz: De Planeten bewegen sch auf Ellpsen, n deren enem Brennpunkt de Sonne steht. 2. Keplersches Gesetz: Der Fahrstrahl von der Sonne zur Erde überstrecht n glechen Zeten gleche Flächen. 3. Keplersches Gesetz: De Quadrate der Umlaufzeten der Planeten verhalten sch we de drtten Potenzen hrer großen Halbachsen: T1 2 T2 2 = a3 1 a 3, bzw. 2 T 2 a 3 = const. (für alle Planeten). (48) Quellen: Demtröder, Wolfgang (2008): Expermentalphysk 1, 4.Auflage, Sprnger-Verlag Berln Hedelberg