Die Zahl i phantastisch, praktisch, anschaulich

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Die Zahl i phantastisch, praktisch, anschaulich"

Transkript

1 Unverstät Würzburg 977 Würzburg Telefon: ( De Zahl phantastsch, praktsch, anschaulch De Geschchte der Zahl war dre Jahrhunderte lang dadurch geprägt, dass se und damt de kompleen Zahlen n Mathematkerkresen n Frage gestellt, ja als Phantasegeblde des menschlchen Gestes abgetan wurden. Des wrd mmer weder auch an den Adjektven deutlch, de mt desen Zahlen verbunden werden. Berühmte Mathematker nennen se u. a. unmöglch, engebldet und magnär. Carl Fredrch Gauß ( beschrebt noch 181 de Haltung der mesten Mathematker den kompleen Zahlen gegenüber sehr prägnant: allen de den reellen Grössen gegenübergestellten magnären ehemals, und hn und weder noch jetzt, obwohl unschcklch, unmöglche genannt snd noch mmer wenger engebürgert als nur geduldet, und erschenen also mehr we en an sch nhaltsleeres Zechenspel, dem man en denkbares Substrat unbedngt absprcht, ohne doch den rechen Trbut, welchen deses Zechenspel zuletzt n den Schatz der Verhältnsse der reellen Grössen steuert, verschmähen zu wollen. (Gauß 187, S. 175 Phantastsch We kommt man auf? We kam es dazu, dass man sch mt desen phantastschen Zahlen ausenander gesetzt hat? Werfen wr dazu enmal enen Blck n de geschchtlche Entwcklung: Im 1. Jahrhundert beschäftgen sch vele Mathematker ntensv mt der Suche nach Lösungsformeln für Glechungen. In desem Zusammenhang stellt Heronmo Cardano ( n senem 155 n Nürnberg erschenenen Buch Ars magna folgende Aufgabe: Tele 1 n zwe Tele, deren Produkt st. Es geht also um de Lösung der Glechung ( 1. Zwar nennt Cardano dese Aufgabe unmöglch, berechnet aber trotzdem de Lösungen 5 15 und Enersets snd Wurzeln aus negatven Zahlen ncht erklärt, anderersets lösen dese Ausdrücke de Glechung, wenn man se formal ensetzt. Es stellt sch also de Frage, was ene Wurzel aus ener negatven Zahl sen soll. Cardano löst das Problem, ndem er festlegt, dass n enem solchen Fall berets de Frage selbst falsch st. Dass es durchaus Snn machen kann, mt solchen unmöglchen, engebldeten, magnären, phantastschen (d. h. der Phantase entsprungenen Zahlen formal zu rechnen, erkennt als erster Rafael Bombell ( an Hand von kubschen Glechungen der Form p q. Für desen Glechungstp hat berets Cardano ene Lösungsformel angegeben, nämlch: Abb. 1: Heronmo Cardano ( q q p q q p Se lefert ene Lösung der gegebenen kubschen Glechung, wenn de rechte Sete estert, wenn also glt: 1 von

2 Unverstät Würzburg 977 Würzburg Telefon: ( q p, d. h. q p 7. p q p Für q < st ncht defnert und damt de Formel schenbar 7 unbrauchbar. Deser Fall gng als casus rreducbls n de Geschchte der Mathematk en. Bombell stellt n sener 157 veröffentlchen L algebra fest, dass man auch n desem Fall durch formales Weterrechnen mt der Formel we m Reellen zu snnvollen, d. h. reellen Ergebnssen kommen kann. So ergbt sch z. B. für de Glechung ( zwar 1 <, aber, unter Benutzung 7 von 1, auch ( 1 ( 1 ( 1 ( 1. 1 Durch Ensetzen verfzert man lecht, dass tatsächlch ene Lösung der Glechung st. Es st also offenschtlch möglch über Rechnungen mt kompleen Zahlen zu reellen Lösungen zu kommen. Damt kann de Aufgabe selbst ncht als unmöglch charaktersert werden (vgl. de Lösung von Cardano und es zegt sch zum ersten Mal en echter Nutzwert der Anwendung deser magnären Zahlen. Gottfred Wlhelm Lebnz (1 171 entdeckt 1 1 und rechnet sehr geschckt mt kompleen Zahlen. Trotzdem nennt er 17 magnäre Wurzeln fene und wunderbare Zuflucht des göttlchen Gestes, benahe en Zwtterwesen zwschen Sen und Nchtsen (nter Ens et non Ens Amphbo. (ztert nach Remmert, S. 8. Leonhard Euler ( führt das Smbol für 1 en und rechnet, we wenn ² 1 se. Er hat auf deser Grundlage jahrzehntelang ntensv mt magnären Zahlen gearbetet, kennt berets 178 de Bezehung 1 1 π log π bzw. e und letet 178 de Euler schen Formeln her: 1 1 e cos e e und sn e. ( ( Trotzdem schrebt er n senem Lehrbuch Vollständge Anletung zur Algebra aus dem Jahr 177: Wel nun alle möglchen Zahlen, de man sch mmer vorstellen mag, entweder größer oder klener als oder aber selbst snd, st klar, dass Abb. : Leonhard Euler ( de Quadratwurzeln von Negatvzahlen ncht enmal zu den möglchen Zahlen gerechnet werden können. Folglch müssen wr sagen, dass se unmöglche Zahlen snd. Deser Umstand führt uns zum Begrff solcher Zahlen, de hrer Natur nach von

3 Unverstät Würzburg 977 Würzburg Telefon: ( unmöglch snd und gewöhnlch magnäre oder engebldete Zahlen genannt werden, wel se bloß n der Enbldung vorhanden snd. ( Dennoch beten se sch unserem Verstande dar und fnden n unserer Enbldung Platz; deshalb werden se auch bloß engebldete Zahlen genannt. Obwohl aber dese Zahlen, we z. B., hrer Natur nach ganz und gar unmöglch snd, haben wr von hnen doch enen hnlänglchen Begrff, da wr wssen, dass durch se ene Zahl angedeutet wrd, de mt sch selbst multplzert als Produkt hervorbrngt; und deser Begrff st ausrechend, um dese Zahlen den Rechenverfahren zu unterwerfen. (Euler 1959, S. 8 Carl Fredrch Gauß ( st es zu verdanken, dass de kompleen Zahlen (dese Bezechnung stammt von Gauß hren Nmbus des Esoterschen und Phantastschen (m Snne von ncht real verloren haben und als echte Zahlen anerkannt werden. Sen entschedender Verdenst st de Veröffentlchung ener geometrschen Interpretaton für de kompleen Zahlen. Damt macht er de kompleen Zahlen der Anschauung zugänglch. Ene besonders knappe und deutlche Beschrebung sener später Gauß sche Zahlenebene genannten Veranschaulchung gelngt hm n enem Bref an Fredrch Wlhelm Bessel ( aus dem Jahr 1811: so we man sch das ganze Rech aller reellen Grössen durch ene unendlche gerade Lne denken kann, so kann man das ganze Abb. : Carl Fredrch Gauß ( Rech aller Grössen, reeller und magnärer Grössen sch durch ene unendlche Ebene snnlch machen, worn jeder Punct, durch Abscsse a Ordnate b bestmmt, de Grösse a b glechsam repräsentrt. (Gauß 1975, S. 15f. Obwohl er berets 1799 n sener Dssertaton den Fundamentalsatz der Algebra bewest, veröffentlcht Carl Fredrch Gauß erst 181 sene geometrsche Deutung der Kompleen Zahlen allgemen zugänglch (Gauß 187, S De formale Defnton der kompleen Zahlen als geordnete reelle Zahlenpaare, de nach der Gauß schen geometrschen Deutung schenbar auf der Hand legt, blebt aber Sr Wllam Rowan Hamlton ( vorbehalten, der se 185 veröffentlcht. Praktsch Warum komplee Zahlen m Unterrcht? De Frage, ob de kompleen Zahlen, de n den mesten Lehrplänen zur Zet ncht (mehr vorkommen, m Unterrcht thematsert werden sollten, lässt sch angeschts der Stoffüberfrachtung scher nur von jeder Lehrkraft ndvduell beantworten. Allerdngs tauchen bem Lösen von Glechungen mt Computer-Algebra-Sstemen komplee Zahlen auf herfür sollte man den Schülernnen und Schülern ene befredgende Erklärung anbeten. Auch de nach dem Spralprnzp angelegte Vermttlung der Idee der Zahlberechserweterung bem Errechen ener Grenze des aktuellen Zahlberechs wrd unterstützt, wenn man bem Glechungslösen und Wurzelzehen an Grenzen stößt und sch Gedanken über ene möglche Zahlberechserweterung macht. von

4 Unverstät Würzburg 977 Würzburg Telefon: ( En entschedendes Argument, das für ene Enführung n de kompleen Zahlen sprcht, st folgendes: Komplee Zahlen snd praktsch, wel se de mathematsche Aufarbetung von velen nner- und außermathematschen Problemen deutlch verenfachen oder überhaupt erst möglch machen. Anschaulch We kann en geometrsch ausgerchteter Zugang aussehen? Hstorsch gesehen haben sch de kompleen Zahlen erst wrklch durchgesetzt, als mt der Gauß schen Zahlenebene ene geometrsche Interpretaton vorlag. Für ene anschaulche Enführung n de kompleen Zahlen für Schülernnen und Schüler ener 1. Klasse betet sch en geometrsch ausgerchteter Zugang an. Ausgangspunkt st de Fragestellung ob es enen über de reellen Zahlen hnausgehenden Zahlberech gbt, n dem z. B. de Glechung 1 gelöst werden kann, der den Zahlberech der reellen Zahlen enthält und n dem de bekannten Rechenregeln weterhn gültg snd (Permanenzprnzp. Mathematsch gesehen geht es um de Frage, ob de Körperaome erfüllt snd und der Körper der reellen Zahlen en Telkörper deses neuen Körpers st. De her verfolgte Idee besteht darn, den anschaulchen, zum Körper der reellen Zahlen somorphen Körper der reellen Zeger zu betrachten und hn auf der anschaulchen Ebene geegnet zu erwetern. Im Folgenden soll grob skzzert werden, we en entsprechender Unterrcht durchgeführt werden kann. (Deser Vorschlag orentert sch an dem Konzept von Nederdrenk-Felgner Komplee Zahlen als Zeger De bekannte Deutung von Punkten der Zahlengeraden als reelle Zahlen wrd geometrsch erwetert auf de Punkte der Ebene, de als komplee Zahlen gedeutet werden sollen. Komplee Zahlen werden dabe durch Zeger repräsentert, de m Koordnatenursprung begnnen. Alle Zeger z ( r, ϕ z z werden endeutg festgelegt durch hre Länge r z und den Wnkel ϕ z, den se mt der postven reellen Achse enschleßen (Abb.. Dabe st r z ene postve reelle Zahl und für ϕ z glt ϕz <. Der Nullzeger wrd mt bezechnet. Damt werden z. B. de reellen Zahlen als Zeger aufgefasst, de m Ursprung begnnen und bem entsprechenden Punkt auf der reellen Zahlengeraden enden. Insbesondere lassen sch z. B. de reellen Zahlen und - schreben als (, und - (, 18 (Abb. 5. Im Vordergrund steht de Untersuchung von geegneten Verknüpfungen, de de aus dem Berech der reellen Zahlen bekannten enthalten sollen. ϕ ϕ - 1 Abb. : Zahlen der Zahlenebene werden als Zeger repräsentert. ϕ - ϕ 1 Abb. 5: De reellen Zahlen - und n der Zegerdarstellung. von

5 Unverstät Würzburg 977 Würzburg Telefon: ( Multplkaton als Drehstreckung De Zegermultplkaton wrd operatv durch ene Drehstreckung defnert: Der Zeger des zweten Faktors wrd mt der Länge des ersten Faktors gestreckt (Streckungszentrum: Koordnatenursprung und anschleßend um den Wnkel n mathematsch postvem Umlaufsnn gedreht, den der Zeger des ersten Faktors mt der postven reellen Achse enschleßt (Abb.. Für de Zeger ( r, ϕ ( und r, ϕ ergbt sch der Produktzeger z ( r r, ϕ ϕ. Ergbt sch be der Addton der Wnkelmaßzahlen ϕ ϕ, so wrd de Wnkelmaßzahl des Summenzegers glech ϕ ϕ gesetzt. (Wr betrachten also Wnkel modulo. De Multplkaton mt dem Nullzeger ergbt mmer den Nullzeger. Offenschtlch st dese Operaton kommutatv und, we man lecht zegt, auch assozatv. Durchführung mt reellen Zegern zegt, dass dese Verknüpfung de reelle Multplkaton benhaltet. ϕ ϕ 1 Abb. a: De Zeger und werden multplzert: ϕ ϕ 1 Abb. b: wrd um de Länge von gestreckt, z ϕ ϕ ϕ 1 Abb. c: gestreckt wrd um ϕ um den Ursprung gedreht. De Zahl De Rchtung der zweten Koordnatenachse wrd durch den Zeger (, 9 1 festgelegt. Da er offenschtlch ene herausragende Bedeutung n unserem Zahlenberech hat, geben wr hm enen egenen Namen, nämlch. (In den bshergen Abbldungen der Koordnatenssteme wrd dem berets durch de Achsenbeschrftung Rechnung getragen. Wenn man mt sch selbst multplzert, dann ergbt sch ( 1, 9 ( 1, 9 ( 1 1, 9 9 ( 1, 18. Des st en Zeger auf der reellen Achse, nämlch de reelle Zahl 1. In desem Zahlensstem st de Glechung 1 also lösbar! Addton als Anenanderhängen von Zegern Es wrd ene Zegeraddton operatv defnert als Anenanderhängen von Zegern. Dabe wrd der Zeger für den zweten Summanden so parallel verschoben, dass sen Fuß mt der Sptze des Zegers für den ersten Summanden zusammenfällt. Der Summenzeger verläuft dann vom Koordnatenursprung bs zur Sptze des verschobenen zweten Summanden (Abb. 7. (Des entsprcht für reelle Zeger der bekannten Zegeraddton. Man kann auch her lecht zegen, dass dese Operaton kommutatv und assozatv st. 5 von

6 Unverstät Würzburg 977 Würzburg Telefon: ( ϕ ϕ 1 Abb. 7a: De Zeger und werden addert: ϕ ϕ 1 Abb. 7b: wrd parallel verschoben, z ϕ ϕ 1 Abb. 7c: z st der Summenzeger. Mt der eben defnerten Zegeraddton kann jeder Zeger z als Summe dargestellt werden aus enem auf der reellen Achse legenden Zeger und enem auf der durch festgelegten Achse (wr nennen se -Achse legenden Zeger. Damt ergbt sch: z z r, r, 9 r ( ( ( r, ( r 1, 9 ( r, ( r, ( 1, 9 r 1 Abb. 8: Darstellung enes Zegers als Summe enes reellen und enes -Zegers Dabe snd r und r reelle Zahlen. Mt Hlfe deser Überlegung lässt sch z. B. der Zeger z n Abbldung 8 schreben als z 1,5. In deser Schrebwese kann das Ergebns ener Zegeraddton drekt abgelesen werden. Aus desen Grundlagen können alle üblchen Rechenregeln für Zahlen (de Körperaome relatv enfach hergeletet werden. Damt st der Nachwes erbracht, dass es sch be den neuen Geblden wrklch um Zahlen m herkömmlchen Snn handelt. Mt Ihnen kann man nun dverse Probleme n Angrff nehmen. De vorgestellte Enführung gelngt noch anschaulcher, wenn de Zeger dnamsch varert werden können. Entsprechende Dateen für das Programm EUKLID DnaGeo können von der folgenden Sete heruntergeladen werden: Lteratur Euler, L.: Vollständge Anletung zur Algebra. Unter Mtwrkung von Joh. Nessner n revderter Fassung neu herausgegeben von Jos. E. Hofmann, Reclam-Verlag, Stuttgart, 1959 Gauß, C. F.: Werke, Ergänzungsrehe, Band I, Brefwechsel C. F. Gauß F. W. Bessel. Georg Olms Verlag, Hldeshem, New York, Nachdruck 1975 Gauß, C. F.: Werke, zweter Band. Göttngen, 187 Nederdrenk-Felgner, C.: Themenhefte Mathematk, Komplee Zahlen. Ernst Klett Schulbuchverlag, Stuttgart, 1985 Remmert, R.: Komplee Zahlen. In: Ebbnghaus H.-D. et al: Zahlen. Sprnger Verlag, Berln, Hedelberg, 1988 Kurzbographen der genannten Mathematker fndet man n englscher Sprache m Internet unter: von

Methoden der innerbetrieblichen Leistungsverrechnung

Methoden der innerbetrieblichen Leistungsverrechnung Methoden der nnerbetreblchen Lestungsverrechnung In der nnerbetreblchen Lestungsverrechnung werden de Gemenosten der Hlfsostenstellen auf de Hauptostenstellen übertragen. Grundlage dafür snd de von den

Mehr

Seminar Analysis und Geometrie Professor Dr. Martin Schmidt - Markus Knopf - Jörg Zentgraf. - Fixpunktsatz von Schauder -

Seminar Analysis und Geometrie Professor Dr. Martin Schmidt - Markus Knopf - Jörg Zentgraf. - Fixpunktsatz von Schauder - Unverstät Mannhem Fakultät für Mathematk und Informatk Lehrstuhl für Mathematk III Semnar Analyss und Geometre Professor Dr. Martn Schmdt - Markus Knopf - Jörg Zentgraf - Fxpunktsatz von Schauder - Ncole

Mehr

Flußnetzwerke - Strukturbildung in der natürlichen Umwelt -

Flußnetzwerke - Strukturbildung in der natürlichen Umwelt - Flußnetzwerke - Strukturbldung n der natürlchen Umwelt - Volkhard Nordmeer, Claus Zeger und Hans Joachm Schlchtng Unverstät - Gesamthochschule Essen Das wohl bekannteste und größte exsterende natürlche

Mehr

4. Musterlösung. Problem 1: Kreuzende Schnitte **

4. Musterlösung. Problem 1: Kreuzende Schnitte ** Unverstät Karlsruhe Algorthmentechnk Fakultät für Informatk WS 05/06 ITI Wagner 4. Musterlösung Problem 1: Kreuzende Schntte ** Zwe Schntte (S, V \ S) und (T, V \ T ) n enem Graph G = (V, E) kreuzen sch,

Mehr

Spiele und Codes. Rafael Mechtel

Spiele und Codes. Rafael Mechtel Spele und Codes Rafael Mechtel Koderungstheore Worum es geht Über enen Kanal werden Informatonen Übertragen. De Informatonen werden dabe n Worte über enem Alphabet Q übertragen, d.h. als Tupel w = (w,,

Mehr

Kreditrisikomodellierung und Risikogewichte im Neuen Baseler Accord

Kreditrisikomodellierung und Risikogewichte im Neuen Baseler Accord 1 Kredtrskomodellerung und Rskogewchte m Neuen Baseler Accord erschenen n: Zetschrft für das gesamte Kredtwesen (ZfgK), 54. Jahrgang, 2001, S. 1004-1005. Prvatdozent Dr. Hans Rau-Bredow, Lehrstuhl für

Mehr

3. Lineare Algebra (Teil 2)

3. Lineare Algebra (Teil 2) Mathematk I und II für Ingeneure (FB 8) Verson /704004 Lneare Algebra (Tel ) Parameterdarstellung ener Geraden Im folgenden betrachten wr Geraden m eukldschen Raum n, wobe uns hauptsächlch de Fälle n bzw

Mehr

12 LK Ph / Gr Elektrische Leistung im Wechselstromkreis 1/5 31.01.2007. ω Additionstheorem: 2 sin 2 2

12 LK Ph / Gr Elektrische Leistung im Wechselstromkreis 1/5 31.01.2007. ω Additionstheorem: 2 sin 2 2 1 K Ph / Gr Elektrsche estng m Wechselstromkres 1/5 3101007 estng m Wechselstromkres a) Ohmscher Wderstand = ˆ ( ω ) ( t) = sn ( ω t) t sn t ˆ ˆ P t = t t = sn ω t Momentane estng 1 cos ( t) ˆ ω = Addtonstheorem:

Mehr

Funktionsgleichungen folgende Funktionsgleichungen aus der Vorlesung erhält. = e

Funktionsgleichungen folgende Funktionsgleichungen aus der Vorlesung erhält. = e Andere Darstellungsformen für de Ausfall- bzw. Überlebens-Wahrschenlchket der Webull-Vertelung snd we folgt: Ausfallwahrschenlchket: F ( t ) Überlebenswahrschenlchket: ( t ) = R = e e t t Dabe haben de

Mehr

Der Satz von COOK (1971)

Der Satz von COOK (1971) Der Satz von COOK (1971) Voraussetzung: Das Konzept der -Band-Turng-Maschne (TM) 1.) Notatonen: Ene momentane Beschrebung (mb) ener Konfguraton ener TM st en -Tupel ( α1, α2,..., α ) mt α = xqy, falls

Mehr

Versicherungstechnischer Umgang mit Risiko

Versicherungstechnischer Umgang mit Risiko Verscherungstechnscher Umgang mt Rsko. Denstlestung Verscherung: Schadensdeckung von für de enzelne Person ncht tragbaren Schäden durch den fnanzellen Ausglech n der Zet und m Kollektv. Des st möglch über

Mehr

Statistik und Wahrscheinlichkeit

Statistik und Wahrscheinlichkeit Regeln der Wahrschenlchketsrechnung tatstk und Wahrschenlchket Regeln der Wahrschenlchketsrechnung Relatve Häufgket n nt := Eregnsalgebra Eregnsraum oder scheres Eregns und n := 00 Wahrschenlchket Eregnsse

Mehr

Für wen ist dieses Buch? Was ist dieses Buch? Besonderheiten. Neu in dieser Auflage

Für wen ist dieses Buch? Was ist dieses Buch? Besonderheiten. Neu in dieser Auflage Für wen st deses Bch? Das Taschenbch der Elektrotechnk rchtet sch an Stdentnnen nd Stdenten an nverstäten nd Fachhochschlen n den Berechen Elektrotechnk Nachrchtentechnk Technsche Informatk allgemene Ingenerwssenschaften

Mehr

Ionenselektive Elektroden (Potentiometrie)

Ionenselektive Elektroden (Potentiometrie) III.4.1 Ionenselektve Elektroden (otentometre) Zelstellung des Versuches Ionenselektve Elektroden gestatten ene verhältnsmäßg enfache und schnelle Bestmmung von Ionenkonzentratonen n verschedenen Meden,

Mehr

FORMELSAMMLUNG STATISTIK (I)

FORMELSAMMLUNG STATISTIK (I) Statst I / B. Zegler Formelsammlng FORMELSAMMLUG STATISTIK (I) Statstsche Formeln, Defntonen nd Erläterngen A a X n qaltatves Mermal Mermalsasprägng qanttatves Mermal Mermalswert Anzahl der statstschen

Mehr

Daten sind in Tabellenform gegeben durch die Eingabe von FORMELN können mit diesen Daten automatisierte Berechnungen durchgeführt werden.

Daten sind in Tabellenform gegeben durch die Eingabe von FORMELN können mit diesen Daten automatisierte Berechnungen durchgeführt werden. Ene kurze Enführung n EXCEL Daten snd n Tabellenform gegeben durch de Engabe von FORMELN können mt desen Daten automatserte Berechnungen durchgeführt werden. Menüleste Symbolleste Bearbetungszele aktve

Mehr

Quant oder das Verwelken der Wertpapiere. Die Geburt der Finanzkrise aus dem Geist der angewandten Mathematik

Quant oder das Verwelken der Wertpapiere. Die Geburt der Finanzkrise aus dem Geist der angewandten Mathematik Quant der das Verwelken der Wertpapere. De Geburt der Fnanzkrse aus dem Gest der angewandten Mathematk Dmensnen - de Welt der Wssenschaft Gestaltung: Armn Stadler Sendedatum: 7. Ma 2012 Länge: 24 Mnuten

Mehr

Kommentierte Linkliste

Kommentierte Linkliste Mobbng Kommenterte Lnklste Mobbng fndet sch n allen sozalen Schchten und Altersgruppen: auch be Kndern und Jugendlchen. Aktuelle Studen kommen zu dem Ergebns, dass jede/r verte österrechsche SchülerIn

Mehr

Ich habe ein Beispiel ähnlich dem der Ansys-Issue [ansys_advantage_vol2_issue3.pdf] durchgeführt. Es stammt aus dem Dokument Rfatigue.pdf.

Ich habe ein Beispiel ähnlich dem der Ansys-Issue [ansys_advantage_vol2_issue3.pdf] durchgeführt. Es stammt aus dem Dokument Rfatigue.pdf. Ich habe en Bespel ähnlch dem der Ansys-Issue [ansys_advantage_vol_ssue3.pdf durchgeführt. Es stammt aus dem Dokument Rfatgue.pdf. Abbldung 1: Bespel aus Rfatgue.pdf 1. ch habe es manuell durchgerechnet

Mehr

Boost-Schaltwandler für Blitzgeräte

Boost-Schaltwandler für Blitzgeräte jean-claude.feltes@educaton.lu 1 Boost-Schaltwandler für Bltzgeräte In Bltzgeräten wrd en Schaltwandler benutzt um den Bltzkondensator auf ene Spannung von engen 100V zu laden. Oft werden dazu Sperrwandler

Mehr

Klassische Gatter und Logikelemente. Seminarvortrag zu Ausgewählte Kapitel der Quantentheorie Quantenalgorithmen

Klassische Gatter und Logikelemente. Seminarvortrag zu Ausgewählte Kapitel der Quantentheorie Quantenalgorithmen Klasssche Gatter und Logkelemente Semnarvortrag zu Ausgewählte Kaptel der Quantentheore Quantenalgorthmen Gerd Ch. Krzek WS 2003 I. Grundlagen und Methoden der Logk: Im folgenden soll de Konstrukton und

Mehr

Franzis Verlag, 85586 Poing ISBN 978-3-7723-4046-8 Autor des Buches: Leonhard Stiny

Franzis Verlag, 85586 Poing ISBN 978-3-7723-4046-8 Autor des Buches: Leonhard Stiny eseproben aus dem Buch "n mt en zur Elektrotechnk" Franzs Verlag, 85586 Pong ISBN 978--77-4046-8 Autor des Buches: eonhard Stny Autor deser eseprobe: eonhard Stny 005/08, alle echte vorbehalten. De Formaterung

Mehr

"Zukunft der Arbeit" Arbeiten bis 70 - Utopie - oder bald Realität? Die Arbeitnehmer der Zukunft

Zukunft der Arbeit Arbeiten bis 70 - Utopie - oder bald Realität? Die Arbeitnehmer der Zukunft "Zukunft der Arbet" Arbeten bs 70 - Utope - oder bald Realtät? De Arbetnehmer der Zukunft Saldo - das Wrtschaftsmagazn Gestaltung: Astrd Petermann Moderaton: Volker Obermayr Sendedatum: 7. Dezember 2012

Mehr

Zufallsvariable, Wahrscheinlichkeitsverteilungen und Erwartungswert

Zufallsvariable, Wahrscheinlichkeitsverteilungen und Erwartungswert R. Brnkmann http://brnkmann-du.de Sete..8 Zufallsvarable, Wahrschenlchketsvertelungen und Erwartungswert Enführungsbespel: Zwe Würfel (en blauer und en grüner) werden 4 mal zusammen geworfen. De Häufgketen

Mehr

1 Definition und Grundbegriffe

1 Definition und Grundbegriffe 1 Defnton und Grundbegrffe Defnton: Ene Glechung n der ene unbekannte Funkton y y und deren Abletungen bs zur n-ten Ordnung auftreten heßt gewöhnlche Dfferentalglechung n-ter Ordnung Möglche Formen snd:

Mehr

1 BWL 4 Tutorium V vom 15.05.02

1 BWL 4 Tutorium V vom 15.05.02 1 BWL 4 Tutorum V vom 15.05.02 1.1 Der Tlgungsfaktor Der Tlgungsfaktor st der Kehrwert des Endwertfaktors (EWF). EW F (n; ) = (1 + )n 1 T F (n; ) = 1 BWL 4 TUTORIUM V VOM 15.05.02 (1 ) n 1 Mt dem Tlgungsfaktor(TF)

Mehr

Polygonalisierung einer Kugel. Verfahren für die Polygonalisierung einer Kugel. Eldar Sultanow, Universität Potsdam, sultanow@gmail.com.

Polygonalisierung einer Kugel. Verfahren für die Polygonalisierung einer Kugel. Eldar Sultanow, Universität Potsdam, sultanow@gmail.com. Verfahren für de Polygonalserung ener Kugel Eldar Sultanow, Unverstät Potsdam, sultanow@gmal.com Abstract Ene Kugel kann durch mathematsche Funktonen beschreben werden. Man sprcht n desem Falle von ener

Mehr

Wir betrachten in diesem Abschnitt Matrixspiele in der Maximierungsform, also endliche 2 Personen Nullsummenspiele der Gestalt

Wir betrachten in diesem Abschnitt Matrixspiele in der Maximierungsform, also endliche 2 Personen Nullsummenspiele der Gestalt Kaptel 3 Zwe Personen Spele 3.1 Matrxspele 3.2 Matrxspele n gemschten Strategen 3.3 B Matrxspele und quadratsche Programme 3.4 B Matrxspele und lneare Komplementartätsprobleme 3.1 Matrxspele Wr betrachten

Mehr

1. Runde 2010. Aufgaben und Lösungen. Bundeswettbewerb Mathematik

1. Runde 2010. Aufgaben und Lösungen. Bundeswettbewerb Mathematik Bundeswettbewerb Mathemat Wssenschaftszentrum Postfach 2 14 48 53144 Bonn Fon: 228-9 59 15-2 Fax: 228-9 59 15-29 e-mal: nfo@bundeswettbewerb-mathemat.de www.bundeswettbewerb-mathemat.de Korreturommsson

Mehr

Lineare Regression (1) - Einführung I -

Lineare Regression (1) - Einführung I - Lneare Regresson (1) - Enführung I - Mttels Regressonsanalysen und kompleeren, auf Regressonsanalysen aserenden Verfahren können schenar verschedene, jedoch nenander üerführare Fragen untersucht werden:

Mehr

Auswertung univariater Datenmengen - deskriptiv

Auswertung univariater Datenmengen - deskriptiv Auswertung unvarater Datenmengen - desrptv Bblografe Prof. Dr. Küc; Statst, Vorlesungssrpt Abschntt 6.. Bleymüller/Gehlert/Gülcher; Statst für Wrtschaftswssenschaftler Verlag Vahlen Bleymüller/Gehlert;

Mehr

1 = Gl.(12.7) Der Vergleich mit Gl. (12.3) zeigt, dass für die laminare Rohrströmung die Rohrreibungszahl

1 = Gl.(12.7) Der Vergleich mit Gl. (12.3) zeigt, dass für die laminare Rohrströmung die Rohrreibungszahl 0. STRÖMUNG INKOMPRESSIBLER FLUIDE IN ROHRLEITUNGEN Enführung Vorlesung Strömungslehre Prof. Dr.-Ing. Chrstan Olver Pascheret C. O. Pascheret Insttute of Flud Mechancs and Acoustcs olver.pascheret@tu-berln.de

Mehr

Operations Research II (Netzplantechnik und Projektmanagement)

Operations Research II (Netzplantechnik und Projektmanagement) Operatons Research II (Netzplantechnk und Projektmanagement). Aprl Frank Köller,, Hans-Jörg von Mettenhem & Mchael H. Bretner.. # // ::: Gute Vorlesung:-) Danke! Feedback.. # Netzplantechnk: Überblck Wchtges

Mehr

Aufgabe 8 (Gewinnmaximierung bei vollständiger Konkurrenz):

Aufgabe 8 (Gewinnmaximierung bei vollständiger Konkurrenz): LÖSUNG AUFGABE 8 ZUR INDUSTRIEÖKONOMIK SEITE 1 VON 6 Aufgabe 8 (Gewnnmaxmerung be vollständger Konkurrenz): Betrachtet wrd en Unternehmen, das ausschleßlch das Gut x produzert. De m Unternehmen verwendete

Mehr

3.2 Die Kennzeichnung von Partikeln 3.2.1 Partikelmerkmale

3.2 Die Kennzeichnung von Partikeln 3.2.1 Partikelmerkmale 3. De Kennzechnung von Patkeln 3..1 Patkelmekmale De Kennzechnung von Patkeln efolgt duch bestmmte, an dem Patkel mess bae und deses endeutg beschebende physka lsche Gößen (z.b. Masse, Volumen, chaaktestsche

Mehr

Datenträger löschen und einrichten

Datenträger löschen und einrichten Datenträger löschen und enrchten De Zentrale zum Enrchten, Löschen und Parttoneren von Festplatten st das Festplatten-Denstprogramm. Es beherrscht nun auch das Verklenern von Parttonen, ohne dass dabe

Mehr

Diskrete Mathematik 1 WS 2008/09

Diskrete Mathematik 1 WS 2008/09 Ruhr-Unverstät Bochum Lehrstuhl für Kryptologe und IT-Scherhet Prof. Dr. Alexander May M. Rtzenhofen, M. Mansour Al Sawad, A. Meurer Lösungsblatt zur Vorlesung Dskrete Mathematk 1 WS 2008/09 Blatt 7 /

Mehr

Wie eröffne ich als Bestandskunde ein Festgeld-Konto bei NIBC Direct?

Wie eröffne ich als Bestandskunde ein Festgeld-Konto bei NIBC Direct? We eröffne ch als Bestandskunde en Festgeld-Konto be NIBC Drect? Informatonen zum Festgeld-Konto: Be enem Festgeld-Konto handelt es sch um en Termnenlagenkonto, be dem de Bank enen festen Znssatz für de

Mehr

Grundlagen Modul 4. Internet. Im Internet etwas suchen. Seite 1 GM4

Grundlagen Modul 4. Internet. Im Internet etwas suchen. Seite 1 GM4 Klene Schule Grundlagen Modul 4 Internet Im Internet etwas suchen Sete 1 De Schulungsunterlagen Der Aufbau De Schulungsunterlagen snd n verschedene Module aufgetelt. Enersets n Grundlagen Module, welche

Mehr

Unter der Drehgruppe verstehen wir diegruppe der homogenen linearen Transformationen

Unter der Drehgruppe verstehen wir diegruppe der homogenen linearen Transformationen Darstellunstheore der SO() und SU() Powtschnk Alexander. Defnton Darstellun Ene Darstellun ener Gruppe G st homomorphe Abbldun von deser Gruppe auf ene Gruppe nchtsnulärer lnearer Operatoren auf enem Vektorraum

Mehr

Auswertung univariater Datenmengen - deskriptiv

Auswertung univariater Datenmengen - deskriptiv Auswertung unvarater Datenmengen - desrptv Bblografe Prof. Dr. Küc; Statst, Vorlesungssrpt Abschntt 6.. Bleymüller/Gehlert/Gülcher; Statst für Wrtschaftswssenschaftler Verlag Vahlen Bleymüller/Gehlert;

Mehr

d da B A Die gesamte Erscheinung der magnetischen Feldlinien bezeichnet man als magnetischen Fluss. = 1 V s = 1 Wb

d da B A Die gesamte Erscheinung der magnetischen Feldlinien bezeichnet man als magnetischen Fluss. = 1 V s = 1 Wb S N De amte Erschenng der magnetschen Feldlnen bezechnet man als magnetschen Flss. = V s = Wb Kraftflssdchte oder magnetsche ndkton B. B d da B = Wb/m = T Für homogene Magnetfelder, we se m nneren von

Mehr

phil omondo phil omondo Skalierung von Organisationen und Innovationen gestalten Sie möchten mehr Preise und Leistungen Workshops und Seminare

phil omondo phil omondo Skalierung von Organisationen und Innovationen gestalten Sie möchten mehr Preise und Leistungen Workshops und Seminare Skalerung von Organsatonen und Innovatonen gestalten phl omondo Se stehen vor dem nächsten Wachstumsschrtt hrer Organsaton oder haben berets begonnen desen aktv zu gestalten? In desem Workshop-Semnar erarbeten

Mehr

Für jeden reinen, ideal kristallisierten Stoff ist die Entropie am absoluten Nullpunkt gleich

Für jeden reinen, ideal kristallisierten Stoff ist die Entropie am absoluten Nullpunkt gleich Drtter Hauptsatz der Thermodynamk Rückblck auf vorherge Vorlesung Methoden zur Erzeugung tefer Temperaturen: - umgekehrt laufende WKM (Wärmepumpe) - Joule-Thomson Effekt bs 4 K - Verdampfen von flüssgem

Mehr

binäre Suchbäume Informatik I 6. Kapitel binäre Suchbäume binäre Suchbäume Rainer Schrader 4. Juni 2008 O(n) im worst-case Wir haben bisher behandelt:

binäre Suchbäume Informatik I 6. Kapitel binäre Suchbäume binäre Suchbäume Rainer Schrader 4. Juni 2008 O(n) im worst-case Wir haben bisher behandelt: Informatk I 6. Kaptel Raner Schrader Zentrum für Angewandte Informatk Köln 4. Jun 008 Wr haben bsher behandelt: Suchen n Lsten (lnear und verkettet) Suchen mttels Hashfunktonen jewels unter der Annahme,

Mehr

Konkave und Konvexe Funktionen

Konkave und Konvexe Funktionen Konkave und Konvexe Funktonen Auch wenn es n der Wrtschaftstheore mest ncht möglch st, de Form enes funktonalen Zusammenhangs explzt anzugeben, so kann man doch n velen Stuatonen de Klasse der n Frage

Mehr

Kleiner Fermatscher Satz, Chinesischer Restsatz, Eulersche ϕ-funktion, RSA

Kleiner Fermatscher Satz, Chinesischer Restsatz, Eulersche ϕ-funktion, RSA Klener Fermatscher Satz, Chnesscher Restsatz, Eulersche ϕ-funkton, RSA Manfred Gruber http://www.cs.hm.edu/~gruber SS 2008, KW 15 Klener Fermatscher Satz Satz 1. Se p prm und a Z p. Dann st a p 1 mod p

Mehr

6.5. Rückgewinnung des Zeitvorgangs: Rolle der Pole und Nullstellen

6.5. Rückgewinnung des Zeitvorgangs: Rolle der Pole und Nullstellen 196 6.5. Rückgewnnung des Zetvorgangs: Rolle der Pole und Nullstellen We n 6.2. und 6.. gezegt wurde, st de Übertragungsfunkton G( enes lnearen zetnvaranten Systems mt n unabhänggen Spechern ene gebrochen

Mehr

Finanzwirtschaft. Kapitel 3: Simultane Investitions- und Finanzplanung. Lehrstuhl für Finanzwirtschaft - Universität Bremen 1

Finanzwirtschaft. Kapitel 3: Simultane Investitions- und Finanzplanung. Lehrstuhl für Finanzwirtschaft - Universität Bremen 1 Fnanzwrtschaft Kaptel 3: Smultane Investtons- und Fnanzplanung Prof. Dr. Thorsten Poddg Lehrstuhl für Allgemene Betrebswrtschaftslehre, nsbes. Fnanzwrtschaft Unverstät Bremen Hochschulrng 4 / WW-Gebäude

Mehr

Netzwerkstrukturen. Entfernung in Kilometer:

Netzwerkstrukturen. Entfernung in Kilometer: Netzwerkstrukturen 1) Nehmen wr an, n enem Neubaugebet soll für 10.000 Haushalte en Telefonnetz nstallert werden. Herzu muss von jedem Haushalt en Kabel zur nächstgelegenen Vermttlungsstelle gezogen werden.

Mehr

1.1 Grundbegriffe und Grundgesetze 29

1.1 Grundbegriffe und Grundgesetze 29 1.1 Grundbegrffe und Grundgesetze 9 mt dem udrtschen Temperturkoeffzenten 0 (Enhet: K - ) T 1 d 0. (1.60) 0 dt T 93 K Betrchtet mn nun den elektrschen Wderstnd enes von enem homogenen elektrschen Feld

Mehr

Gruppe. Lineare Block-Codes

Gruppe. Lineare Block-Codes Thema: Lneare Block-Codes Lneare Block-Codes Zele Mt desen rechnerschen und expermentellen Übungen wrd de prnzpelle Vorgehenswese zur Kanalcoderung mt lnearen Block-Codes erarbetet. De konkrete Anwendung

Mehr

Einführung in die Finanzmathematik

Einführung in die Finanzmathematik 1 Themen Enführung n de Fnanzmathematk 1. Znsen- und Znsesznsrechnung 2. Rentenrechnung 3. Schuldentlgung 2 Defntonen Kaptal Betrag n ener bestmmten Währungsenhet, der zu enem gegebenen Zetpunkt fällg

Mehr

Portfoliothorie (Markowitz) Separationstheorem (Tobin) Kapitamarkttheorie (Sharpe

Portfoliothorie (Markowitz) Separationstheorem (Tobin) Kapitamarkttheorie (Sharpe Portfolothore (Markowtz) Separatonstheore (Tobn) Kaptaarkttheore (Sharpe Ene Enführung n das Werk von dre Nobelpresträgern zu ene Thea U3L-Vorlesung R.H. Schdt, 3.12.2015 Wozu braucht an Theoren oder Modelle?

Mehr

NSt. Der Wert für: x= +1 liegt, erkennbar an dem zugehörigen Funktionswert, der gesuchten Nullstelle näher.

NSt. Der Wert für: x= +1 liegt, erkennbar an dem zugehörigen Funktionswert, der gesuchten Nullstelle näher. PV - Hausaugabe Nr. 7.. Berechnen Se eakt und verglechen Se de Werte ür de Nullstelle, de mttels dem Verahren von Newton, der Regula als und ener Mttelung zu erhalten snd von der! Funkton: ( ) Lösungs

Mehr

2. Spiele in Normalform (strategischer Form)

2. Spiele in Normalform (strategischer Form) 2. Spele n Normalform (strategscher Form) 2.1 Domnante Strategen 2.2 Domnerte Strategen 2.3 Sukzessve Elmnerung domnerter Strategen 2.4 Nash-Glechgewcht 2.5 Gemschte Strategen und Nash-Glechgewcht 2.6

Mehr

Zinseszinsformel (Abschnitt 1.2) Begriffe und Symbole der Zinsrechnung. Die vier Fragestellungen der Zinseszinsrechnung 4. Investition & Finanzierung

Zinseszinsformel (Abschnitt 1.2) Begriffe und Symbole der Zinsrechnung. Die vier Fragestellungen der Zinseszinsrechnung 4. Investition & Finanzierung Znsesznsformel (Abschntt 1.2) 3 Investton & Fnanzerung 1. Fnanzmathematk Unv.-Prof. Dr. Dr. Andreas Löffler (AL@wacc.de) t Z t K t Znsesznsformel 0 1.000 K 0 1 100 1.100 K 1 = K 0 + K 0 = K 0 (1 + ) 2

Mehr

IT- und Fachwissen: Was zusammengehört, muss wieder zusammenwachsen.

IT- und Fachwissen: Was zusammengehört, muss wieder zusammenwachsen. IT- und achwssen: Was zusammengehört, muss weder zusammenwachsen. Dr. Günther Menhold, regercht 2011 Inhalt 1. Manuelle Informatonsverarbetung en ntegraler Bestandtel der fachlchen Arbet 2. Abspaltung

Mehr

Kreisel. koerperfestes KS. z y. raumfestes KS. Starrer Körper: System von Massepunkten m i, deren Abstände r i r j untereinander konstant sind.

Kreisel. koerperfestes KS. z y. raumfestes KS. Starrer Körper: System von Massepunkten m i, deren Abstände r i r j untereinander konstant sind. Kresel z y koerperfestes KS z y x raumfestes KS x Starrer Körper: System von Massepunkten m, deren Abstände r r j unterenander konstant snd. Der Zustand läßt sch beschreben durch: Poston des Schwerpunktes,

Mehr

?? RUBRIK?? / 1 / Spezial

?? RUBRIK?? / 1 / Spezial ?? RUBRIK?? / 1 / Spezal carrere & more Semnarprogramm für Dozentnnen und Dozenten / 2 /?? RUBRIK?? Nveau st kene Handcreme! carrere & more Semnarprogramm für Dozentnnen und Dozenten S. 3 Vorwort S. 4

Mehr

Wie eröffne ich als Bestandskunde ein Festgeld-Konto bei NIBC Direct?

Wie eröffne ich als Bestandskunde ein Festgeld-Konto bei NIBC Direct? We eröffne ch als Bestandskunde en Festgeld-Konto be NIBC Drect? Informatonen zum Festgeld-Konto: Be enem Festgeld-Konto handelt es sch um en Termnenlagenkonto, be dem de Bank enen festen Znssatz für de

Mehr

Mobile Sicherheit durch effiziente Public-Key-Verschlüsselung

Mobile Sicherheit durch effiziente Public-Key-Verschlüsselung Moble cherhet durch effzente ublc-key-verschlüsselung Hagen loog Drk Tmmermann Unverstät Rostock, Insttut für Angewandte Mkroelektronk und Datenverarbetung Rchard-Wagner-tr., 9 Rostock Hagen.loog@un-rostock.de

Mehr

Grundlagen der makroökonomischen Analyse kleiner offener Volkswirtschaften

Grundlagen der makroökonomischen Analyse kleiner offener Volkswirtschaften Bassmodul Makroökonomk /W 2010 Grundlagen der makroökonomschen Analyse klener offener Volkswrtschaften Terms of Trade und Wechselkurs Es se en sogenannter Fall des klenen Landes zu betrachten; d.h., de

Mehr

Standardnormalverteilung / z-transformation

Standardnormalverteilung / z-transformation Standardnormalvertelung / -Transformaton Unter den unendlch velen Normalvertelungen gbt es ene Normalvertelung, de sch dadurch ausgeechnet st, dass se enen Erwartungswert von µ 0 und ene Streuung von σ

Mehr

Vermessungskunde für Bauingenieure und Geodäten

Vermessungskunde für Bauingenieure und Geodäten Vermessungskunde für Baungeneure und Geodäten Übung 4: Free Statonerung (Koordnatentransformaton) und Flächenberechnung nach Gauß Mlo Hrsch Hendrk Hellmers Floran Schll Insttut für Geodäse Fachberech 13

Mehr

Stochastische Prozesse

Stochastische Prozesse INSTITUT FÜR STOCHASTIK SS 2009 UNIVERSITÄT KARLSRUHE Blatt 2 Prv.-Doz. Dr. D. Kadelka Dpl.-Math. W. Lao Übungen zur Vorlesung Stochastsche Prozesse Musterlösungen Aufgabe 7: (B. Fredmans Urnenmodell)

Mehr

Erfahrung. Innovation.

Erfahrung. Innovation. Erfahrung. Innovaton. Erfolg. Maschnen-/ Anlagenbau >>> 11:55 PM consultants GmbH ERFOLG BENÖTIGT VORBEREITUNG. LERNEN SIE UNS KENNEN. Wr beten Ihnen Lösungen für das Projekt- und Clam Management, welche

Mehr

Das gratis ebook fur deinen erfolgreichen Blogstart

Das gratis ebook fur deinen erfolgreichen Blogstart Das grats ebook fur denen erfolgrechen Blogstart präsentert von www.pascromag.de DAS ONLINE-MAGAZIN für dene täglche Inspraton aus den Berechen Desgn, Fotografe und Resen. Mt velen wertvollen Tpps. 1.

Mehr

Online Algorithmen. k-server randomisiert Teil II

Online Algorithmen. k-server randomisiert Teil II Onlne Algorthmen k-server randomsert Tel II Ausarbetung für das Semnar Onlne Algorthmen Prof. Dr. Ro. Klen Anette Ebbers-Baumann Ansgar Grüne Insttut für Informatk Theorethsche Informatk und formale Methoden

Mehr

Digitale Verarbeitung von Sensorsignalen

Digitale Verarbeitung von Sensorsignalen Labor für Automatserung und Dynamk AuD FB 3MB Dgtale Verarbetung von Sensorsgnalen J. Höcht 7.3.26 -... Stand: 3.6.28 Prof. Dr. Höcht 3.6.28 8:9 Labor für Automatserung und Dynamk AuD FB 3MB Prof. Dr.

Mehr

Transistor als Schalter

Transistor als Schalter Elektrotechnsches Grundlagen-Labor II Transstor als Schalter Versuch Nr. 5 Erforderlche Geräte Anzahl Bezechnung, Daten GL-Nr. 1 Doppelnetzgerät 198 1 Oszllograph 178 1 Impulsgenerator 153 1 NF-Transstor

Mehr

Kreditpunkte-Klausur zur Lehrveranstaltung Projektmanagement (inkl. Netzplantechnik)

Kreditpunkte-Klausur zur Lehrveranstaltung Projektmanagement (inkl. Netzplantechnik) Kredtpunkte-Klausur zur Lehrveranstaltung Projektmanagement (nkl. Netzplantechnk) Themensteller: Unv.-Prof. Dr. St. Zelewsk m Haupttermn des Wntersemesters 010/11 Btte kreuzen Se das gewählte Thema an:

Mehr

Lehrstuhl für Empirische Wirtschaftsforschung und Ökonometrie Dr. Roland Füss Statistik II: Schließende Statistik SS 2007

Lehrstuhl für Empirische Wirtschaftsforschung und Ökonometrie Dr. Roland Füss Statistik II: Schließende Statistik SS 2007 Lehrstuhl für Emprsche Wrtschaftsforschung und Ökonometre Dr Roland Füss Statstk II: Schleßende Statstk SS 007 5 Mehrdmensonale Zufallsvarablen Be velen Problemstellungen st ene solerte Betrachtung enzelnen

Mehr

1.1 Das Prinzip von No Arbitrage

1.1 Das Prinzip von No Arbitrage Fnanzmärkte H 2006 Tr V Dang Unverstät Mannhem. Das Prnzp von No Arbtrage..A..B..C..D..E..F..G..H Das Framework Bespele Das Fundamental Theorem of Fnance Interpretaton des Theorems und Zustandsprese No

Mehr

ERP Cloud Tutorial. E-Commerce ECM ERP SFA EDI. Backup. Preise erfassen. www.comarch-cloud.de

ERP Cloud Tutorial. E-Commerce ECM ERP SFA EDI. Backup. Preise erfassen. www.comarch-cloud.de ERP Cloud SFA ECM Backup E-Commerce ERP EDI Prese erfassen www.comarch-cloud.de Inhaltsverzechns 1 Zel des s 3 2 Enführung: Welche Arten von Presen gbt es? 3 3 Beschaffungsprese erfassen 3 3.1 Vordefnerte

Mehr

Dr. Florian Englmaier 1 Übung Wettbewerbstheorie und -politik. Handout zu Übungsblatt 1: Einführung

Dr. Florian Englmaier 1 Übung Wettbewerbstheorie und -politik. Handout zu Übungsblatt 1: Einführung Dr. Floran Englmaer 1 Handout zu Übungsblatt 1: Enführung De Industreökonomk beschäftgt sch mt dem Marktverhalten und der nternen Organsaton von Unternehmen. (Preswettbewerb, Marktzutrttsverhalten, Produktdff.

Mehr

Vorlesung 1. Prof. Dr. Klaus Röder Lehrstuhl für BWL, insb. Finanzdienstleistungen Universität Regensburg. Prof. Dr. Klaus Röder Folie 1

Vorlesung 1. Prof. Dr. Klaus Röder Lehrstuhl für BWL, insb. Finanzdienstleistungen Universität Regensburg. Prof. Dr. Klaus Röder Folie 1 Vorlesung Entschedungslehre h SS 205 Prof. Dr. Klaus Röder Lehrstuhl für BWL, nsb. Fnanzdenstlestungen Unverstät Regensburg Prof. Dr. Klaus Röder Fole Organsatorsches Relevante Informatonen önnen Se stets

Mehr

13.Selbstinduktion; Induktivität

13.Selbstinduktion; Induktivität 13Sebstndukton; Induktvtät 131 Sebstndukton be En- und Ausschatvorgängen Versuch 1: Be geschossenem Schater S wrd der Wderstand R 1 so groß gewäht, dass de Gühämpchen G 1 und G 2 gech he euchten Somt snd

Mehr

Y 1 (rein) Y 2 (rein) Mischphase Bezeichnung (g) (g) (g) Mischung (l) (l) (l) Mischung,Lösung (l) (s) (l) Lösung. (s) (g) (s) Lösung

Y 1 (rein) Y 2 (rein) Mischphase Bezeichnung (g) (g) (g) Mischung (l) (l) (l) Mischung,Lösung (l) (s) (l) Lösung. (s) (g) (s) Lösung 3 Lösungen 3. Mschungen und Lösungen Homogene Phasen, n denen alle Komonenten glechartg behandelt werden, heßen Mschungen. Wenn ene Komonente m Überschuß vorlegt, kann man von Lösungen srechen. Sezfsche

Mehr

6. Modelle mit binären abhängigen Variablen

6. Modelle mit binären abhängigen Variablen 6. Modelle mt bnären abhänggen Varablen 6.1 Lneare Wahrschenlchketsmodelle Qualtatve Varablen: Bnäre Varablen: Dese Varablen haben genau zwe möglche Kategoren und nehmen deshalb genau zwe Werte an, nämlch

Mehr

SIMULATION VON HYBRIDFAHRZEUGANTRIEBEN MIT

SIMULATION VON HYBRIDFAHRZEUGANTRIEBEN MIT Smulaton von Hybrdfahrzeugantreben mt optmerter Synchronmaschne 1 SIMULATION VON HYBRIDFAHRZEUGANTRIEBEN MIT OPTIMIERTER SYNCHRONMASCHINE H. Wöhl-Bruhn 1 EINLEITUNG Ene Velzahl von Untersuchungen hat sch

Mehr

nonparametrische Tests werden auch verteilungsfreie Tests genannt, da sie keine spezielle Verteilung der Daten in der Population voraussetzen

nonparametrische Tests werden auch verteilungsfreie Tests genannt, da sie keine spezielle Verteilung der Daten in der Population voraussetzen arametrsche vs. nonparametrsche Testverfahren Verfahren zur Analyse nomnalskalerten Daten Thomas Schäfer SS 009 1 arametrsche vs. nonparametrsche Testverfahren nonparametrsche Tests werden auch vertelungsfree

Mehr

Institut für Stochastik Prof. Dr. N. Bäuerle Dipl.-Math. S. Urban

Institut für Stochastik Prof. Dr. N. Bäuerle Dipl.-Math. S. Urban Insttut für Stochastk Prof Dr N Bäuerle Dpl-Math S Urban Lösungsvorschlag 6 Übungsblatt zur Vorlesung Fnanzatheatk I Aufgabe Put-Call-Party Wr snd nach Voraussetzung n ene arbtragefreen Markt, also exstert

Mehr

Beim Wiegen von 50 Reispaketen ergaben sich folgende Gewichte X(in Gramm):

Beim Wiegen von 50 Reispaketen ergaben sich folgende Gewichte X(in Gramm): Aufgabe 1 (4 + 2 + 3 Punkte) Bem Wegen von 0 Respaketen ergaben sch folgende Gewchte X(n Gramm): 1 2 3 4 K = (x u, x o ] (98,99] (99, 1000] (1000,100] (100,1020] n 1 20 10 a) Erstellen Se das Hstogramm.

Mehr

4. Optische Resonatoren

4. Optische Resonatoren 4. Optsche Resonatoren 4.. Modenselekton Bs jetzt haben wr nur den enfachsten Resonatortyp, den Fabry-erot Laser besprochen. In Abb. 4.. snd nochal de wchtsten Eenschaften deses Lasertyps darestellt. a)

Mehr

Auswertung von Umfragen und Experimenten. Umgang mit Statistiken in Maturaarbeiten Realisierung der Auswertung mit Excel 07

Auswertung von Umfragen und Experimenten. Umgang mit Statistiken in Maturaarbeiten Realisierung der Auswertung mit Excel 07 Auswertung von Umfragen und Expermenten Umgang mt Statstken n Maturaarbeten Realserung der Auswertung mt Excel 07 3.Auflage Dese Broschüre hlft bem Verfassen und Betreuen von Maturaarbeten. De 3.Auflage

Mehr

2. Nullstellensuche. Eines der ältesten numerischen Probleme stellt die Bestimmung der Nullstellen einer Funktion f(x) = 0 dar.

2. Nullstellensuche. Eines der ältesten numerischen Probleme stellt die Bestimmung der Nullstellen einer Funktion f(x) = 0 dar. . Nullstellensuche Enes der ältesten numerschen Probleme stellt de Bestmmung der Nullstellen ener Funkton = dar. =c +c =c +c +c =Σc =c - sn 3 Für ene Gerade st das Problem trval, de Wurzel ener quadratschen

Mehr

wird auch Spannweite bzw. Variationsbreite genannt ist definiert als die Differenz zwischen dem größten und kleinsten Messwert einer Verteilung:

wird auch Spannweite bzw. Variationsbreite genannt ist definiert als die Differenz zwischen dem größten und kleinsten Messwert einer Verteilung: Streuungswerte: 1) Range (R) ab metrschem Messnveau ) Quartlabstand (QA) und mttlere Quartlabstand (MQA) ab metrschem Messnveau 3) Durchschnttlche Abwechung (AD) ab metrschem Messnveau 4) Varanz (s ) ab

Mehr

Temporäre Stilllegungsentscheidungen mittels stufenweiser E W U F W O R K I N G P A P E R

Temporäre Stilllegungsentscheidungen mittels stufenweiser E W U F W O R K I N G P A P E R Temporäre Stlllegungsentschedungen mttels stufenweser Grenzkostenrechnung E W U F W O R K I N G P A P E R Mag. Dr. Thomas Wala, FH des bf Wen PD Dr. Leonhard Knoll, Unverstät Würzburg Mag. Dr. Stephane

Mehr

Beschreibung des Zusammenhangs zweier metrischer Merkmale. Streudiagramme Korrelationskoeffizienten Regression

Beschreibung des Zusammenhangs zweier metrischer Merkmale. Streudiagramme Korrelationskoeffizienten Regression Beschrebung des Zusammenhangs zweer metrscher Merkmale Streudagramme Korrelatonskoeffzenten Regresson Alter und Gewcht be Kndern bs 36 Monaten Knd Monate Gewcht 9 9 5 8 3 4 7.5 4 3 6 5 3 6 4 3.5 7 35 5

Mehr

tutorial N o 1a InDesign CS4 Layoutgestaltung Erste Schritte - Anlegen eines Dokumentes I a (Einfache Nutzung) Kompetenzstufe keine Voraussetzung

tutorial N o 1a InDesign CS4 Layoutgestaltung Erste Schritte - Anlegen eines Dokumentes I a (Einfache Nutzung) Kompetenzstufe keine Voraussetzung Software Oberkategore Unterkategore Kompetenzstufe Voraussetzung Kompetenzerwerb / Zele: InDesgn CS4 Layoutgestaltung Erste Schrtte - Anlegen enes Dokumentes I a (Enfache Nutzung) kene N o 1a Umgang mt

Mehr

9 Phasengleichgewicht in heterogenen Mehrkomponentensystemen

9 Phasengleichgewicht in heterogenen Mehrkomponentensystemen 9 Phasenglechgewcht n heterogenen Mehrkomonentensystemen 9. Gbbs sche Phasenregel α =... ν Phasen =... k Komonenten Y n (α) -Molzahl der Komonente Y n der Phase α. Für jede Phase glt ene Gbbs-Duhem-Margules

Mehr

18. Dynamisches Programmieren

18. Dynamisches Programmieren 8. Dynamsches Programmeren Dynamsche Programmerung we gerge Algorthmen ene Algorthmenmethode, um Optmerungsprobleme zu lösen. We Dvde&Conquer berechnet Dynamsche Programmerung Lösung enes Problems aus

Mehr

Kapitel 8: Graph-Strukturierte Daten

Kapitel 8: Graph-Strukturierte Daten Ludwg Maxmlans Unerstät München Insttut für Informatk Lehr- und Forschungsenhet für Datenbanksysteme Skrpt zur Vorlesung Knowledge Dscoery n Dtb Databases II m Wntersemester 2011/2012 Kaptel 8: Graph-Strukturerte

Mehr

Messtechnik/Qualitätssicherung

Messtechnik/Qualitätssicherung Name, Vorname Matrkel-Nr. Studenzentrum Studengang Wrtschaftsngeneurwesen Fach Messtechnk/Qualtätsscherung Art der Lestung Prüfungslestung Klausur-Knz. WI-MQS-P 08053 Datum 3.05.008 Hnwes zur Rückgabe

Mehr

j 2 j b i =2 f g Grenzfrequenz des Tiefpaßes 1 a i j b i j 2 = e j2 i arctan a i

j 2 j b i =2 f g Grenzfrequenz des Tiefpaßes 1 a i j b i j 2 = e j2 i arctan a i 6. Versuch AlIpaßflter (Phasenschebegled) (Durchführung Sete J- 8). Her handelt es sch um ene Schaltung, deren Verstärkung konstant und deren Phasenverschebung zwschen En- und Ausgangsspannung annähernd

Mehr

Die Natur im Maintal. erleben. Naturerlebniswege, Aussichtstürme und Radwege. im LIFE-Natur-Projektgebiet Mainaue von Haßfurt bis Eltmann

Die Natur im Maintal. erleben. Naturerlebniswege, Aussichtstürme und Radwege. im LIFE-Natur-Projektgebiet Mainaue von Haßfurt bis Eltmann De m Mantal erleben erlebnswege, Ausschtstürme und Radwege m LIFEgebet von Haßfurt bs Eltmann Lebe Mtbürgernnen und Mtbürger, lebe Besuchernnen und Besucher des Mantals! Im Rahmen des LIFEFörderprogrammes

Mehr

Anwendungsmöglichkeiten von Lernverfahren

Anwendungsmöglichkeiten von Lernverfahren Künstlche Neuronale Netze Lernen n neuronalen Netzen 2 / 30 Anwendungsmöglcheten von Lernverfahren Prnzpelle Möglcheten Verbndungsorentert 1 Hnzufügen neuer Verbndungen 2 Löschen bestehender Verbndungen

Mehr

Qualitative Evaluation einer interkulturellen Trainingseinheit

Qualitative Evaluation einer interkulturellen Trainingseinheit Qualtatve Evaluaton ener nterkulturellen Tranngsenhet Xun Luo Bettna Müller Yelz Yldrm Kranng Zur Kulturgebundenhet schrftlcher und mündlcher Befragungsmethoden und hrer Egnung zur Evaluaton m nterkulturellen

Mehr

5. ZWEI ODER MEHRERE METRISCHE MERKMALE

5. ZWEI ODER MEHRERE METRISCHE MERKMALE 5. ZWEI ODER MEHRERE METRISCHE MERKMALE wenn an ener Beobachtungsenhet zwe (oder mehr) metrsche Varablen erhoben wurden wesentlche Problemstellungen: Frage nach Zusammenhang: Bsp.: Duxbury Press (sehe

Mehr