3. Das Magnetfeld. Kraftwirkungen bewegter Ladungen I. Grundlagen der Elektrotechnik GET 1. Phänomenologie der Effekte v D

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1 Grundlagen der Elektrotechnk GET Das Magnetfeld [uch Sete ] De magnetsche Flussdchte De magnetsche Feldstärke Das Durchflutungsgesetz und espele Kräfte und Momente m Magnetfeld Magnetfeld und Matere Der Magnetsche Fluss und das Induktonsgesetz Grenzbedngungen für das Magnetfeld Energe und Kräfte m Magnetfeld Kraftwrkungen bewegter Ladungen I Phänomenologe der Effekte q M v D F r P Metallkörper Magnetnadeln Dauermagnete ewegte Ladungen Stromdurchflossener Leter (c) En Stromfluss n ener bewegten, geschlossenen Leterschlefe nduzert. (d) Flesst en veränderlcher Strom, so wrd n ener geschlossenen Leterschlefe en Strom nduzert, selbst wenn de Schlefe n Ruhe st. ewegte Ladungen q, bzw. en elektrscher Strom rufen erneut ene Änderung des Zustands des Raumes hervor. Äussert sch durch ene erneute Kraftwrkung (Kraft F und/oder Drehmoment M). Flesst n enem Leter en Strom mt der Stromstärke, so wrd: (a) Kraft auf magnetserte Körper (Dauermagnete, Magnetausgeübt. (b) Kraft auf bewegte Ladungen und wetere stromführenden Leter(-schlefen) ausgeübt

2 Kraftwrkungen bewegter Ladungen II Schlüsse aus der Phänomenologe der Effekte Kräfte auf Dauermagneten Kräfte auf stromdurchflossene Leterschlefen: Kraftwrkung n Dauermagneten beruht auf mkroskopschen Kresströmen. Erste Defnton des Magnetfeldes: Über de beschrebenen Kraftwrkungen kann erneut en Feld engeführt werden das Magnetfeld. Ursache des Magnetfeldes (d.h. de Quellen) snd bewegte Ladungen; also elektrsche Ströme. Sene Wrkungen snd de genannten Kräfte und de beschrebene Induktonswrkung (en weterer Effekt der Kraftwrkung) Geschlossener Zyklus elektromagnetscher Prozesse: (Erster Hnwes für ene enhetlche elektromagnetsche Feldtheore) Elektrsche Ladungen Kraft auf bewegte Ladungen Magnetfeld Elektrsches Feld Elektrscher Strom Zyklus Kraft auf Ladungen Ladungsträgerbewegung Kraftwrkungen bewegter Ladungen III Vorgrff: eschrebung des Magnetfeldes (1) Kraftwrkung: De Kraftwrkung des magnetschen Feldes wrd durch das Vektorfeld der magnetschen Flussdchte beschreben. Damt entsprcht de magnetsche Flussdchte hre Defnton nach der elektrschen Feldstärke m erech des elektrschen Feldes. E Merke: Für de magnetsche Flussdchte wrd gemäss DIN 1325 de ezechnung «magnetsche Indukton» vorgeschlagen (aus hstorschen Gründen wrd aber an der Verwendung der ezechnung «magnetsche Flussdchte» festgehalten). (2) Ursache: De Ursache des magnetschen Feldes st der elektrsche Strom. Zur eschrebung der Verknüpfung des Magnetfeld mt sener Ursache wrd das Vektorfeld der magnetschen Feldstärke H engeführt. Damt entsprcht de magnetsche Feldstärke der elektrschen Flussdchte m erech des elektrschen Feldes. H D

3 De magnetsche Flussdchte I Kraftwrkung auf ene stromführende Leterschlefe (1) Versuchsanordnung: Quelle Leter 4 Leter 1 Leter 3 Leter 2 n F ewegungsrchtung rebungsfreer Kontakt (2) eobachtung der Kraftwrkungen: F v D, F F F = f ( n, ) (Lage der Leterschlefe m Magnetfeld) Leter 2 st stromdurchflossen und beweglch, d.h. verschebbar. Leter 1, 3 und 4 snd stromdurchflossen und starr montert. Alle Leter befnden sch m Magnetfeld. Dre Versuchs- Expermente De magnetsche Flussdchte II Kraftwrkung auf ene stromführende Leterschlefe (3) Abhänggket der Kraftwrkung auf Drehung der Leterschlefe: n max n max Drehrchtung 3 4 F max,c 2 1 F max,a a) 2 c) n max n max Fazt: etrag der Kraft auf den Leter 2 blebt unverändert! b) 1 d) F max,a = F max,b = F max,c = F max,d F max,b F max,d 3

4 De magnetsche Flussdchte III Kraftwrkung auf ene stromführende Leterschlefe (4) Abhänggket der Kraftwrkung auf axale Drehung der Leterschlefe: (Drehrchtung parallel zu Leter 2) Fazt: etrag der Kraft auf den Leter 2 blebt unverändert! F max,a = F max,b = = F max,c = F max,d n = n max b) 2 n d) n max F F max,c max,a a) 2 c) n Drehrchtung n max n max F max,b n F max,d De magnetsche Flussdchte IV Kraftwrkung auf ene stromführende Leterschlefe (4) Abhänggket der Kraftwrkung auf axale Drehung der Leterschlefe: (Drehrchtung senkrecht zu Leter 2) Fazt: etrag der Kraft auf den Leter 2 varert snusförmg steht aber stets senkrecht auf Leter 2! F cos n, n max ( ( )) n = n max 3 F 1 max,a 4 4 Drehrchtung a) 2 c) 1 3 n max 3 b) 4 1 n 2 Fmax,b = 0 bzw. d) 4 ( ( )) F sn, n max 3 n max F max,c n 2 n n max 1 Fmax,d = 0 F max,c

5 De magnetsche Flussdchte V Formale Defnton = e e = n max = e F max e F sn, n max = lm 0 0 ( ( )), n max F max ( ) 0, [ ] F = = Vs m = T 2 De magnetsche Flussdchte VI Defnton n Worten uch Sete 150: «De magnetsche Flussdchte st en Vektorfeld, welches senkrecht auf ener von ener stromführenden Leterschlefe aufgespannten Ebene steht, wenn auf de stromführenden Leter der Schlefe n Abhänggket von der Flächennormalen- Rchtung entsprechend der bshergen Dskusson de maxmale Kraft ausgeübt wrd.» «Der etrag der magnetschen Flussdchte st glech dem etrag der maxmalen Kraft F max auf enen Leter der Leterschlefe bezogen auf de Leterlänge und de zugehörge Stromstärke, falls sowohl als auch belebg klen werden.» «De Rchtung der Kraft auf den stromführenden Leter steht senkrecht zur Rchtung des Leters und senkrecht zur Rchtung der magnetschen Flussdchte. De Kraftrchtung st der Rchtung des ezugspfeles der Stromstärke, bzw. der Rchtung des Längenvektors und der Rchtung der magnetschen Flussdchte m Rechtsschraubensnn zugeordnet.» 5

6 De magnetsche Flussdchte VII Kraftwrkung auf stromführenden Leter (1) «Makroskopsche» etrachtung: F, F F,,, Wr haben ene ezehung zwschen den makroskopschen Grössen der Kraft, des Stroms mt sener Rchtung F ( ) und der magnetschen Flussdchte gefunden. F F Aus der Defnton (Fole 177): = lm 0 F,, { } F max 0 F = sn( (, )), F = ( ) (vergleche Fole 176) : De dre Grössen snd enander m Rechtsschraubensnn zugeordnet. De magnetsche Flussdchte VIII Intermezzo: «Rechtsschraubensnn» F, F F,, F F (3) Rechte-Hand-Regel: F, (1) Ausgangsglechung: F = ( ) (2) Grössen: {( ),, F }, ( ) 6

7 De magnetsche Flussdchte IX Kraftwrkung auf stromführenden Leter (2) «Mkroskopsche» etrachtung: Sehe herzu Fole 131 zum Leterstrom : (3) Verglech mt Coulomb-Kraft: Kraft auf bewegte Ladung F = Q v ( ) Kraft auf ruhende Ladung F = QE = ( J n )A = n q qv D A = n q qa v D = Q v D Mt: F = v v D ( ) F = Q v ( ) v D = n q q V = A Lorentz-Kraft De magnetsche Flussdchte X espel: «Geladenes Telchen m Magnetfeld» Q (2) Durch den Ablenkvorgang vom Magnetfeld gelestete Arbet: ( ) W m = Fd s = Q v C v 2 v 1 2r 0 C x F v Q Fz d s (1) ahnkurve: F = Q( v ) F = Q v F z = m v 2 r 0 r 0 = m v Q =: F v Das Kräfteglechgewcht IF I = IF z I ergbt ene konstant gekrümmte ahnkurve (Kres mt Radus r 0 ). 7

8 De magnetsche Flussdchte XI espel: «Geladenes Telchen m Magnetfeld» Q v 2 v 1 2r 0 x F v Q Fz (2) Durch den Ablenkvorgang vom Magnetfeld gelestete Arbet: W m = ds W m = Q dt ds = Q dt ds d s dt = 0 C C d s d s C Fd s = Q v C ( ) ds = Q dt ds C ( a b )c = ( b c )a = ( c a )b d s W kn,1 = W kn,2 v 1 = v 2 Aus der Vektoranalyss De magnetsche Flussdchte XII espel: «Geladenes Telchen m Magnetfeld» (3) Dskusson: Q v 1 v 1 «Reflektor» e der Ablenkung lestet das Magnetfeld kene Arbet. Ablenkrchtung aus Rchtung der Telchengeschwndgket und der magnetschen Flussdchte m Snne der Rechtsschraube. Für sehr grosse Werte der magnetschen Flussdchte wrd der ahnradus r 0 sehr klen, das hesst, das geladene Telchen wrd am Magnetfeld nahezu reflektert. «Reflektorfunkton» kann m Snne ener Ladungstelchensperre verwendet werden, um en «Ladungstelchengas» (Plasma) enzusperren. Man sprcht n desem Zusammenhang von sogenannten «Magnetflaschen». 8

9 De magnetsche Flussdchte XIII espel: «Plasma-Enschluss n Magnetflasche» Torodale «Flasche» Plasma: Vele free Ladungsträger, «Ladungsträgergas». Fusonsszenaro: Vele Träger be hohen Temperaturen mtenander kollderen lassen: hesses Plasma. Stellarator: So hesst de rngförmge Magnetflasche (cf. ld). Stellarator Ladungsträgerbewegung Leter Plasma De magnetsche Feldstärke I Unteschedlche Zugänge (1) Zum Wesen der magnetschen Feldstärke: De magnetsche Flussdchte wurde über de Kraftwrkung des Magnetfeldes defnert (etrachtung: Leterstrom Magnetfeld Flussdchte ). e der Defnton magnetschen Feldstärke H wrd nun en umgekehrter Standpunkt engenommen ndem wr nach der Ursache des Magnetfeldes fragen (etrachtung: Leterstrom Magnetfeld Feldstärke H). Ursachen für en Magnetfeld snd: (A) En elektrscher Strom () En magnetserter Körper (C) En zetlch veränderlches elektrsches Feld. Ursache (A), d.h. der elektrsche Strom, kann m Enklang mt Fole 169 als ene sehr allgemene Quelle des Magnetfeldes betrachtet werden und egnet sch deshalb gut für de Defnton der magnetschen Feldstärke H. 9

10 De magnetsche Feldstärke II Unteschedlche Zugänge (2) Charakterserung und Gestalt des Magnetfeldes: In der Umgebung des Leterdrahts bldet sch en Magnetfeld aus, welches über de Kraftwrkung n klenen Leterschlefen beschreben werden kann. Unter der Kraftwrkung werden Esenfelspäne entlang von kresförmgen Lnen ausgerchtet: Dese Lnen können als Feldlnen des Magnetfeldes nterpretert werden. Mttels ener klenen Leterschlefe (Versuch aus Fole 176) kann gezegt werden, dass de dargestellten Feldlnen parallel zur magnetschen Flussdchte verlaufen (Esenfelspäne rchten sch n Flussrchtung aus). Im geraden Leterdraht flesst en elektrscher Strom der Stromstärke. Anordnung «Magnetfeld um Stromleter» soll für Defntonszwecke verbessert werden Spule. De magnetsche Feldstärke III Unteschedlche Zugänge (3) Das Magnetfeld n ener «langen» Spule: Anzahl Wndungen w Länge Durchmesser d Stromstärke «Lange» Spule: 10d Feldlnen blden n sch geschlossene Lnen (Ausserhalb: Streufeld). De Lage der Esenfelspäne deutet en starkes, homogenes Magnetfeld m Innern der Spule an, welches parallel zur Spulenachse ausgerchtet st (m Innern: Hauptfeld). 10

11 De magnetsche Feldstärke IV Unteschedlche Zugänge (4) De «langen» Spule als Defntonsgrundlage der magnetschen Feldstärke: H «Lange Spule» mt homogenem Hauptfeld egnet sch gut um de zwete, mt der Ursache des Magnetfeldes verknüpfte Feldgrösse zu defneren w De magnetsche Feldstärke H ener «lange Spule» st en Vektorfeld dessen Absolutbetrag entsprechend dem Experment defnert wrd. De Rchtung verläuft entlang der Spulenachse und steht mt dem ezugspfel des Stromes m Rechtsschraubensnn. Messung der magnetschen Flussdchte mttels klener Leterschlefe (Fole 176). Magnetfeld m Innern Stromstärke Magnetfeld m Innern Wndungszahl w Magnetfeld m Innern 1 H = w H = A m De magnetsche Feldstärke V Unteschedlche Zugänge (5) De lokale Defnton der magnetschen Feldstärke: H a H = lm 0 0 w w H a Der Rchtungssnn des H-Feldes bldet mt dem Kompensatonsstrom en Lnksschraubensystem e der «Defnton» der magnetschen Feldstärke auf Fole 188 handelt es sch egentlch mehr um ene «Messvorschrft». De Defnton ener (magnetschen) Feldgrösse muss lokal geschehen, d.h. m Raumpunkt. «Messvorschrft» plus lokale Defnton ergeben das folgende Vorgehen: (A) Verschwndend klene lange Spule wrd n en äusseres Magnetfeld H a gebracht. () Stromstärke und de Spulenrchtung werden so lange verändert, bs en Nullfeld m Innern der Spule resultert (Kompensaton). (C) Der etrag der elektrschen Feldstärke H a st demnach gegeben und de Rchtung entsprcht derjengen der Spulenachse. 11

12 De magnetsche Feldstärke VI Unteschedlche Zugänge (6) Magnetsche Feldstärke und magnetsche Flussdchte: Im Vakuum: De magnetsche Feldstärke und de magnetsche Flussdchte beschreben dasselbe Magnetfeld und snd m Vakuum zuenander proporonal. De Grösse 0 hesst magnetsche Feldkonstante (st we 0 ene Naturkonstante). Im Materal: Das Experment zegt ene veränderte Proportonalät zwschen der magnetschen Feldstärke und der magnetschen Flussdchte m homogenen Materal. = μ 0 H μ 0 = Vs Am = Vs Am = μ 0 μ r H = μ H μ r : Permeabltätszahl des Materals Das Durchflutungsgesetz I Defnton (1) Expermentalanordnung: Fole 188 s := N H s N ( w k ) C = =1 s s cos ( H,s ) =1 ( ) Unendlch langer Draht. Es flesst en Strom mt der elektrschen Stromstärke. Frage: We gross st de magnetsche Feldstärke H n Abhänggket der Stromstärke. Klene Messspule gemäss Anordnung aus Fole 189. Spule längs geschlossenen Kurven C führen, de den Leter umschlessen. Produkt H s blden

13 Das Durchflutungsgesetz II Defnton (1) Expermentalanordnung: Fole 186: Je weter weg vom Leter, umso schwächer wrd das magnetsche Feld. ( ) ( ( )) N H s N w C = k =1 s s cos H,s =1 Summe st vom Typ Strom. N ( ) = w k cos H,s =1 N =1 C H s H d s = ( ( )) = längsc = Experment! Je weter weg vom Leter, umso länger st C und umso grösser N. + : Summe bzw. Integral konvergeren auf enen (Strom-)Wert. Das Durchflutungsgesetz III Intermezzo: «Magnetfeldrchtung be Stromletern» Rechte-Hand-Regel für Ströme: H 13

14 Das Durchflutungsgesetz IV Defnton (2) Das Durchflutungsgesetz: Das Ergebns aus Fole 192 kann zum sogenannten «Durchflutungsgesetz» verallgemenert werden: C H d s = N =1 = [ ]= A Der Flächennormalenvektor steht zum Umlaufsnn von C steht m Rechtsschraubensnn (Fole 193). Ströme n Rchtung der Flächennormalen werden postv gezählt: damt st = Das Lnenntegral der magnetschen Feldstärke längs der geschlossenen Kurve C st de Summe der vom Weg C umschlossenen elektrschen Stomstärken. Dese Grösse hesst elektrsche Durchflutung. Se durchsetzt de von der geschlossenen Kurve C aufgespannte Fläche A. Das Durchflutungsgesetz V espele zum Durchflutungsgesetz espel #1: «Unendlch langer, zylndrscher Leter» y e H P Integratonsweg C n a) b) Leteranordnung Leterquerschntt x J H Leter mt Radus 0. Der Strom der Stromstärke entsprcht ener konstanten Stromdchte: J = A In Anbetracht z.. der Fole 193 wrd de magnetsche Feldstärke we folgt angesetzt: H = H e Der Integratonsweg C se en Kres mt Radus

15 Das Durchflutungsgesetz VI espele zum Durchflutungsgesetz espel #1: «Unendlch langer, zylndrscher Leter» Integratonsweg C H a) 2 0 Leteranordnung y Aussen, d.h. > 0 : e = H ds P C C n x = H e d s = H ds = H 2= ds = ds e H = H e = 2 e H = 2 e > 0 Stromrchtung st dem Flächennormalenenhetsvektor entgegengesetzt:. C Das Durchflutungsgesetz VII espele zum Durchflutungsgesetz espel #1: «Unendlch langer, zylndrscher Leter» Leterquerschntt: b) 2 0 J H Innen, d.h. 0 : J = e 2 z J = H ds = H 2= C H = H = 2 e Kresfläche nnerhalb der Kontur C. 15

16 Das Durchflutungsgesetz VIII espele zum Durchflutungsgesetz espel #1: «Unendlch langer, zylndrscher Leter» H() H ( Innen) = H ( Aussen) «Innen» «Aussen» 1 Magnetsche Feldstärke st stetg aber ncht dfferenzerbar n Das Durchflutungsgesetz IX espele zum Durchflutungsgesetz espel #2 : «Ideale lange Spule» z = C w H d s n C = H e z e z = w H 0 H = w In der dealen langen Spule gbt es nur en homogenes Haupt feld (Streufeld st vernachlässgbar): H Aussen ( ) 0 Homogen bedeutet her: H = H e z H = w e z ds = dse z (cf. emprsch gefundene Formel n Fole 188) 16

17 Das Durchflutungsgesetz X Intermezzo «Feldblder von kurzen Spulen» (1) De kurze Spule: «Röhren»: Verlauf der magnetschen Feldlnen (H-Feld). «Farbcode»: Intenstät der magnetschen Flussdchte m Snne enes «hessen» Farbkonzeptes (rot: grosse Werte; blau: klene Werte). Kurze Spule ergbt relatv grosses Streufeld, doch auch en berets erstaunlch homogenes Hauptfeld. Das Durchflutungsgesetz XI Intermezzo «Feldblder von kurzen Spulen» (1) De noch kürzere Spule (Chp-Spule): «Röhren»: Verlauf der magnetschen Feldlnen. «Farbcode» der Röhren: Intenstät der magnetschen Feldstärke m Snne enes «hessen» Farbkonzeptes (rot: grosse Werte; blau: klene Werte). Farbcode der Leter: Potental entlang der verlustbehafteten Letersprale (rot: postv; blau: negatv). Sehr nhomogenes Feld! 17

18 Das Durchflutungsgesetz XII espele zum Durchflutungsgesetz espel #3 : «Rngspule» Spule hat w Wndungen. Mttlere Umfangslänge: l m m = 2 1 r 2 ( + r a )= 2 r m r r m r H Gesucht: Magnetsche Feldstärke auf der mttleren Umfangslne: = C m H = H d s = H 2 r m = w w 2 r m H d s C m Von C m aufgespannte Fläche wrd w-mal von der Stromstärke durchsetzt: = w. Das Durchflutungsgesetz XIII Intermezzo «Rechte-Hand-Regel für Spulen»

19 Das Durchflutungsgesetz XIV espele zum Durchflutungsgesetz espel #4: «Zwe parallele, unendlch lange, gerade Leter» H H 0 0 (A) Gegensnnger elektrscher Strom: - Feldlnen blden Apollonsche Krese. - In der Symmetreebene (SE) zwschen den Letern verläuft das H-Feld parallel. () Gechsnnger elektrscher Strom: - Feldlnen umschlessen sowohl enzelne als auch bede Leter. - Feldlenen snd senkrecht zur SE. Das Durchflutungsgesetz XV espele zum Durchflutungsgesetz espel #4: «Zwe parallele, unendlch lange, gerade Leter» Graphsche Konstrukton des magnetschen Feldes: - Im Raumpunkt durch vektorelle Überlagerung der Enzelfelder. - Enzelfeld mt Hlfe des Durchflutungssatzes bestmmen (sehe herzu espel #1, Fole 196). - Feldlnen der Enzelfelder snd konzentrsche Krese um den Mttelpunkt des jewelgen Leters. - Rchtungssnn des Enzelfeldes gemäss Fole

20 Das Durchflutungsgesetz XVI espele zum Durchflutungsgesetz espel #4: «Zwe parallele, unendlch lange, gerade Leter» Nullstellen snd ncht mehr n der Letermtte. H = = 2 x e z 2 ( d x) e z d 2 x( d x) e z = H z e z z = 0 Feld ausserhalb der Leter glt: H = = 2 d x 2 x e z ( ) e z ( ) ( ) e z = H z e z 2x d 2 x d x Das Durchflutungsgesetz XVII espele zum Durchflutungsgesetz espel #4: «Zwe parallele, unendlch lange, gerade Leter» De magnetsche Feldstärke zweer Leter mt zwe gegensnngen Strömen von jewels unterschedlcher Stromstärke: 2 =

21 Das Durchflutungsgesetz XVIII espele zum Durchflutungsgesetz espel #5: «Koaxalletung» y H e der Koaxalletung müssen ver Feldbereche unterscheden werden: Innenleter: [0, ] a a e x Delektkum Innenleter Zwschenberech: [, a ] Aussenleter: [ a, a ] Aussenberech: [ a, [ Mantel Aussenleter Das Durchflutungsgesetz muss n allen ver erechen angesetzt werden, d.h. es snd entsprechende Konturen C zu wählen. Das Durchflutungsgesetz XIX espele zum Durchflutungsgesetz espel #5: «Koaxalletung» a a y H e x Innenleter: We bem geraden Leter aus Fole 197. H = 2 2 [ 0, ] Zwschenberech: Deser erech entsprcht dem Aussenberech bem geraden Leter aus Fole 196. H = 2 [, a ] 21

22 Das Durchflutungsgesetz XX espele zum Durchflutungsgesetz espel #5: «Koaxalletung» a a y Aussenberech: H e H = 0 > a x Aussenleter: - Aus Gründen der Symmetre snd de Feldlnen auch her als konzentrsche Krese um den Leter ausgebldet. - Integratonskontur umschlesst Strom m Innenleter und entgegengesetzten Strom m Aussenleter. J a = 2 2 a a = 2 H = 2 2 ( a ) ( ) H [ a, a ] 2 ( ) 2 2 ( a a ) a Das Durchflutungsgesetz XXI espele zum Durchflutungsgesetz espel #5: «Koaxalletung» H ( ) 2 erech 1 Leter erech 2 Luft erech 3 Leter erech 4 Luft Fällt stärker als mt 1/ ab! a 1 etet sch als Kabeltyp zum Energetransport an, wo grosse Ströme (ohne äusseres Magnetfeld) flessen können. a a 22

23 Kräfte und Momente I Kräfte zwschen zwe geraden, parallelen Letern (1) Expermentalanordnung: H 2, 2 d F 12 F 21 H 1,1 F 12 H2, 1 2 H 1, 1 a) b) c) Glechsnnger Stromfluss y z x d 2 1 d Das gewählte Koordnatensystem Annahme: d >> Gegensnnger Stromfluss F 21 Ströme snd de Ursache der Kräfte (Fole 169). Kräfte über de ezehung zwschen der magnetschen Flussdchte und dem elektrschen Strom (Fole 178) berechnen. Gedankenexperment: Leter 1 erzeugt magnetsches Feld n welches der stromführende Leter 2 engebracht wrd. Kräfte und Momente II Kräfte zwschen zwe geraden, parallelen Letern (2) Glechsnnger Stromfluss: H 2, 2 1 d 2 F 12 F 21 H 1,1 Das m Leter 2 vorhandene Magnetfeld, welches vom Strom 1 m Leter 1 erzeugt wurde (d >> 2 0 ) 1 = μ d e y Kraft des Leter 1 auf en Stück des Leters 2 der Länge (cf. Folen 178, 179): a) c) y z x d 2 = e z F 21 = 2 2 ( 1 )= 2 e z μ d e y F 21 = μ e x 2 d 23

24 Kräfte und Momente III Kräfte zwschen zwe geraden, parallelen Letern (2) Glechsnnger Stromfluss: H 2, 2 a) c) 1 y F 12 F 21 H 1,1 z x d d 2 Kraft des Leter 2 auf en Stück des Leters 1 der Länge: 1 = e z F 12 = 1 ( 1 2 )= 1 e z μ d e y F 12 = + μ e x 2 d Defnton der Stromstärke 1 Ampère: De beden Leter zehen sch gegensetg an! Abstand d = 1 m. Es flesst genau 1 A, falls de Anzehungskraft pro Abschntt F = N/m st. Wäre auch über «acto = reacto» zu ermtteln gewesen! Kräfte und Momente IV Kräfte zwschen zwe geraden, parallelen Letern (3) Gegensnnger Stromfluss: F 12 d 1 2 F 21 H2, 2 H 1, 1 b) c) y z x d Das Vorgehen m Fall des gegensnngen Stromflusses st analog zu demjengen des glechsnngen Stromflusses. De her auftretende Kräfte snd denjengen des vorhergehenden espels (glechsnnger Stromfluss) entgegengesetzt: ( gegensnng F ) j = F ( glechsnng) j, j = 1, 2; j De beden Leter stossen sch gegensetg ab!

25 Kräfte und Momente V Drehmoment an ener Leterschlefe m Magnetfeld Geschlossene, von der Stromstärke durchflossene Leterschlefe. Magnetfeld n x-rchtung. h Drehachse n y-rchtung. Gemäss Rechte-Hand-Regel (Fole 179) wrken de Kräfte n z-rchtung. a) y z 2a x = e x Kräfte auf de beden Leter: F1 = 1 ( 1 )= he y e x ( ) = he z F 2 = 2 ( 2 )= +he y e x ( ) = h e z Kräfte und Momente VI Drehmoment an ener Leterschlefe m Magnetfeld b) F 1 y T n x z F 2 Drehmoment auf de Leterschlefe: ( ( )) T = T 1 + T 2 = ae x F 1 + ae x F 2 = ah e x e z + e x e z = ( 2ah)e y = T y e y s1 = a ex s 2 =+ae x Hebelarme zur Erzeugung des Drehmoments: 25

26 Kräfte und Momente VII Drehmoment an ener Leterschlefe m Magnetfeld c) F 1 F 2 90 T F 1 n F 2 Wnkelabhänggket des Drehmoments, d.h. Abhänggket des Drehmoments T zum Wnkel zwschen der Flächennormalen und -Feld. Kräfte F 1 und F 2 bleben konstant n Rchtung und etrag. Wnkel zwschen Kräften (F 1 und F 2 ) und den zugehörgen Hebelarmen (s 1 und s 2 ) ändert sch mt (1) Drehmoment: T = ( 2ah)sn e y = T y ( )e y Nur de Komponenten F 1 und F 2 lesten enen etrag zum Drehmoment. Mt wachsendem Argument 90 nehmen de Komponenten F 1 und F 2 ab doch treten zusätzlche Zug- und Druckkräfte n der Schlefe auf. Kräfte und Momente VIII Drehmoment an ener Leterschlefe m Magnetfeld c) F 1 F 2 90 T F 1 n F 2 = ( n, ) Das magnetsche Dpolmoment m ener geschlossenen Leterschlefe st m etrag glech der Stromstärke mal der von der Leterschlefe aufgespannten Fläche. De Rchtung st glech der Stromrchtung m Rechtsschraubensnn zugeordneten Flächennormalen. «Neue Schrebwese» der Wnkelabhänggket des Drehmoments: T = ( 2ah)sn = ( A)sn = An sn = ( An ) =: m T = m [ m]= Am 2 (2) Magnetsches Dpolmoment: m = 2ah n = A n

27 Kräfte und Momente IX Drehmoment an ener Leterschlefe m Magnetfeld T y Stable Glechgewchtslage für = 0: Dpolmoment und -feld snd parallel. Lable Glechgewchtslage für = : Dpolmoment und -Feld snd antparallel. 0 «stabl» «labl» T = m = T y ( )e y Magnetfeld und Matere I Mkroskopsche Kresströme (1) Mkroskopsche Modellannahmen zum magnetserten Materal: (3) Darstellung der Wnkelabhänggket des Drehmoments: ohr sches Atommodell mt «kresenden» Elektronen Kresstrom. Kresstrom bewrkt elementares H-Feld. = dq dt = e T = 2 e 27

28 Magnetfeld und Matere II Mkroskopsche Kresströme (2) Magnetserbares Materal m externen Magnetfeld: De Gesamthet der durch de atomaren Kresströme erzeugten elementaren Magnetfelder beschrebt das magnetsche Verhalten des Materals. Es st ene sem-klasssche eschrebung: Der Drehmpuls des enzelnen Elektrons (Spn) wrd vernachlässgt, der ahndrehmpuls der Elektronenbahn se quantsert (nmmt bestmmte feste Werte en). Das so beschrebene Materal erschent gegen Aussen als «magnetsch passv», d.h. de Elementarfelder snd statstsch n alle Rchtungen ausgerchtet und kompenseren sch n hrer Gesamthet. We reagert en so beschrebenes Materal, wenn es n en externes Magnetfeld gebracht wrd? ext = μ 0 H ext Es werden her dre resulterende, physkalsche Effekte betrachtet: Damagnetsmus, Paramagnetsmus und Ferromagnetsmus. Magnetfeld und Matere III Damagnetsmus (1) Verenfachtes Modell: v 2 = z = 0 e r 0 r v 1 = v 2 1 = 2 v1 Das Materal st n sch «magnetsch passv». De elementaren Magnetfelder zugehörg zu den verschedenen Elektronenbahnen des Atoms kompenseren sch. Im verenfachten Modell betrachten wr zwe, überenanderlegende Elektronenbahnen. De Umlaufrchtungen der beden betrachteten Elektronenbahnen st entgegengesetzt. Quantenmechansche Voraussetzung: de ahndrehmpulse («Drall» der Elektronenkresbewegung) snd quantsert, d.h. se können unter allen Umständen nur bestmmte, feste Werte ennehmen. Wr brngen das Atom n en externes -Feld

29 Magnetfeld und Matere IV Damagnetsmus (2) Das Atom m externen Magnetfeld: v 2 F m2 2 1 z e 0 r 0 r Fm1 v1 v 1 v Im externen Magnetfeld erfahren de Elektronen ene nach aussen oder nnen gerchtete Lorentzkraft (Fole 180): F m = e v ( ) Im Glechgewchtsfall müssen dese Kräfte durch de Zentrfugalkräfte der Elektronen kompensert werden. ahndrehmpuls st quantsert (fester Wert), d.h. de ahnraden r 0 bleben konstant. Elektronen müssen daher hre ahngeschwndgket ändern (v 1, v 2 ), damt das Glechgewcht erhalten blebt. Kresströme ändern sch auch ( 1, 2 ). Magnetfeld und Matere V Damagnetsmus (3) Klärung enes vermentlchen Wderspruchs: Fole 224: ahndrehmpuls der Elektronenbahn blebt konstant. Elektronengeschwndgket muss sch m externen -Feld aber ändern. Das Elektron kann zusätzlch Geschwndgket aufnehmen, ohne dass der ahndrehmpuls verändert wrd, ndem ene «anders gerchtete» Drehbewegung überlagert wrd. Dese «anders gerchtete» Drehbewegung kann n der Form ener Präzesson des Atoms «mplementert» werden. «Drall» der Elektronenbahn blebt konstant, obwohl das Elektron von Aussen besehen de Geschwndgketsänderung v erfahren hat. 29

30 Magnetfeld und Matere VI Damagnetsmus (4) erechnung der resulterenden Änderungen: r 0 Fm1 r 0 1 v1 v 2 F m2 2 z e r 2 1 v 2 v 1 Annahmen: Das externe Magnetfeld se schwach.präzessonswnkel st daher klen. De Änderungen v und snd klen gegenüber den Werten v und. Magnetfeld und Matere VII Damagnetsmus (4) erechnung der resulterenden Änderungen (Elektron #1): v 1 = v 1 e = v 1 e ( ) v2 = v 2 e = v 2 e = e z eobachtung: Änderungen snd glechgerchtet! v 1 = v 1 e Kräfteglechgewcht: ( ) e e z = e r ze2 4 0 r e 2 r e [ v 1 + v 1 ]e e z + m ( v 1 + v 1 ) 2 e r = 0 0 r 0 Coulombkraft Lorentzkraft Zentrfugalkraft ( ) = 0 ze2 4 0 r e 2 ( v + v 1 1)+ m v v 1 v 1 + v 1 0 r 0 v v 1 er 0 m v 1 er v 0 1 m ungestörtes Atom = 0 ze2 4 0 r = m 2 v r 0 30

31 Magnetfeld und Matere VIII Damagnetsmus (4) erechnung der resulterenden Änderungen (Elektron #1): v v 1 er 0 m v 1 er 0 v 1 m = 0 Quadratsche Glechung Lösung unter Vernachlässgung klener quadratscher Terme: v er m v 1 v 2 1 er 2 0 2m v 1 er 0 2m v 1 er 0 2m e v 1 = 1 r 0 v1 e 1 1 e2 2r 0 4 m De Geschwndgket v 1 wrd um den etrag v 1 vergrössert (sehe herzu auch de eobachtung aus Fole 226) 1 = v 1 r 0 e 2m Larmor- Präzesson (Fole 225) Magnetfeld und Matere IX Damagnetsmus (4) erechnung der resulterenden Änderungen (Elektron #2): v 2 = v 2 e = v 2 e Kräfteglechgewcht: ( ) v 2 = v 2 ( e ) ( ) = e z e e z = e r ze2 4 0 r e 2 r e [ v 2 + v 2 ]( e ) e z + m ( v 2 + v 2 ) 2 e r = 0 0 r 0 Coulombkraft Lorentzkraft Zentrfugalkraft v v 2 + er 0 m v 2 + er v 0 2 m = 0 Quadratsche Glechung v 2 er 0 2m v 2 = er 0 2m ( e ) 2 = v 2 e2 2r 0 4 m 31

32 Magnetfeld und Matere X Damagnetsmus (5) Der gesamte Magnetserungseffekt: 1 r 0 2 v 2 v 1 We berets n Fole 226 vermutet wurde, snd de Geschwndgketsänderungen (v 1, v 2 ) glechgerchtet. Dadurch snd auch de Änderungen der jewelgen Kresströme ( 1, 2 ) glechgerchtet. De ezugspfelrchtungen der Stromänderungen snd (trotzt der entgegengesetzten Kresströme) glech und postv. Man darf also annehmen, dass das -Feld m Materal enen zusätzlchen Kresstrom erzeugt hat: = = e2 2 m Magnetfeld und Matere XI Damagnetsmus (5) Der gesamte Magnetserungseffekt: m 2, H 1 1 Der resulterende Kresstrom erzeugt wederum en magnetsches Dpolmoment m. m = An = An = e2 2 m r 2 ( 0 )n = e2 2 r 0 2 m n = e2 2 μ 0 r 0 2 m H n n 2 2 m 1 Normalenvektor n bzw. m stehen m Rechtsschraubensnn zu. m Der Vektor des H-Feldes st dem Normalenvektor (und dadurch auch m) entgegengesetzt: m = e2 μ 0 r m H Magnetsches Dpolmoment schwächt das erzeugende H-Feld. 32

33 Magnetfeld und Matere XII Damagnetsmus (5) Der gesamte Magnetserungseffekt: Es se n A de Anzahl Atome pro Volumenenhet enes damagnetschen Materals. M = n A m M = 1 Am 2 = Am m 3 De magnetsche Dpoldchte hesst Magnetserung M und hat de Enhet der magnetschen Feldstärke H. De Magnetserung M st glech dem magnetschen Dpolmoment pro Volumenenhet (magnetsche Dpoldchte), das n enem Materal unter Enfluss enes externen Magnetfeldes ausgebldet wrd oder dort permanent vorhanden st (Permanentmagnet). De Magnetserung M st glechzetg en Mass für de vom Materal bem Anlegen des Magnetfeldes gegenüber dem Fall des Vakuums zusätzlch aufgebrachte magnetsche Feldstärke (cf. Schwächung). magnetsche Dpoldchte = μ 0 H + M ( ) Magnetfeld und Matere XIII Damagnetsmus (6) De magnetsche Suszeptbltät m : We auch aus Fole 231 hervorgeht, st bem Damagnetsmus de Magnetserung proportonal zur (lokalen externen) magnetschen Feldstärke. M = m H Fole 231 m = e2 2 μ 0 r 0 2 m n A De m damagnetschen Materal auftretende Flussdchte st daher: = μ 0 ( H + M )= μ 0 ( 1+ m ) H = μ 0 μ r H = μh μ r μ Magnetsche Suszeptbltät μ = μ 0 μ r μ r = 1+ m : Permeabltät des Materals; μ 0 : magnetsche Feldkonstante : Permeabltätszahl des Materals (Damagnetsmus: < 1) 33

34 Magnetfeld und Matere XIV Damagnetsmus (6) De magnetsche Suszeptbltät m : ( Modell ) m = e2 2 μ 0 r 0 2 m n A ( real ) m e2 2 μ 0 r 0 6 m Z n A Mttelung über Atomorenterungen, mttlerer Radus va Quantenmechank, Annahme schwacher Dpolwrkungen. em Damagnetsmus hat de Magnetserung M ene schwächende Wrkung auf das externe Magnetfeld. De Magnetsche Suszeptbltät m st daher negatv. Magnetfeld und Matere XV (b) Anlegen enes externen Magnetfeldes erzeugt en Drehmoment auf de Dpolmomente und lässt dese n Rchtung des externen Magnetfeldes drehen: Verstärkung des externen Magnetfeldes Paramagnetsmus (1) Materal mt nchtverschwndenden magnetschen Dpolmomenten: z.. ungleche Kresströme (a) Statstsch n alle Rchtungen wesendes Dpolmoment führt zu magnetsch passvem Materalverhalten. 34

35 Magnetfeld und Matere XVI Paramagnetsmus (2) Magnetsche Suszebtltät m bem Paramagnetsmus: Der Verstärkungseffekt des externen Magnetfeldes bem Paramagnetsmus drückt sch m postven Wert der magnetschen Suszeptbltät m aus. Auch bem Paramagnetsmus glt näherungswese de Proportonaltät: M = m H μ r = 1+ m > 1 De statstsche Ausrchtung der Dpolmomente be fehlendem externen Magnetfeld st en Effekt der Temperaturbewegung. Der Wert von m st daher temperaturabhängg. Magnetfeld und Matere XVII Ferromagnetsmus Wess sche ezrke 180 -Wand H = Wand Auch ohne Anlegen enes externen Feldes exsteren ereche mt spontan, parallel ausgerchteten Dpolmomenten (Wess sche ezrke), welche durch sog. lochwände abgegrenzt snd. De resulterenden magnetschen Dpolmomente aller Wess schen ezrke snd statstsch n alle Rchtungen ausgerchtet, so dass kene Magnetserung von aussen festgestellt werden kann (magnetsch passv) bzw 180 -lochwände bezechnen de de Rchtungswechsel des magnetschen Dpolmomentes n den beden durch de lochwand abgegrenzten ezrke. Was gescheht nun durch Anlegen enes externen Magnetfeldes?

36 Magnetfeld und Matere XVIII Ferromagnetsmus Wess sche ezrke H = Wand H H 180 -Wand a) b) c) (1) Anlegen ener zunehmenden magnetschen Feldstärke: lochwände verscheben sch so, dass ezrke mt ähnlcher Ausrchtung der Magnetserung zum externen Feld vergrössert werden. Magnetserung wrd weter zum Feld hn gedreht. Magnetfeld und Matere XIX Ferromagnetsmus (2) Zusammenhang zwschen -Feld und H-Feld: Der Magnetserungsprozesses des ferromagnetschen Materals m externen Feld st wesentlch komplzerter geworden, da de Verschebung der lochwände enen rreversblen Prozess darstellen. De Magnetserung hängt deshalb von der «magnetschen Vorgeschchte» des Materals ab. Der Zusammenhang zwschen der Magnetserung M und dem H-Feld, bzw. zwschen dem -Feld und dem H-Feld st de jewelge Hysterese-Kurve (her de Funkton g bzw. f). M = g H ( ) = μ 0 ( H + M )= f H ( ) Der Zusammenhang zwschen dem M-, dem - und dem H-Feld st komplzert und nchtlnear geworden und lässt sch ncht mehr mttels Proportonaltät beschreben: Für ferromagnetsche Materalen kann kene Permeabltätszahl r mehr defnert werden. 36

37 Magnetfeld und Matere XX Ferromagnetsmus (3) De Hysterese-Kurve M(H): Remanente Magnetserung M r : M r = M r e M Koerztvfeldstärke H k : H k = H k e H ( ) M = M e M Sättgungsmagnetserung M s : Hysterese M max = M s e H (n Rchtung des externen H-Feldes, Fole 238) H k gross: magnetsch hart. H k klen: magnetsch wech. H = H e H Magnetfeld und Matere XXI Ferromagnetsmus (4) De Hysterese-Kurve (H): s = μ 0 M s s Stegung μ 0 H r = μ 0 M r r = μ 0 H s r = μ 0 (Fole 239) H + M ( ) 37