Eine Kompassnadel, die sich nur um eine vertikale Achse drehen kann, richtet sich entlang der Horizontalkomponente des Erdmagnetfeldes B E,

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1 IYPT 009 Problem Nr..: Coupled compasses Place a compass on a table. Place a smlar compass next to the frst one and shake t gently to make the needle start oscllatng. The orgnal compass' needle wll start oscllatng. Observe and explan the behavour of these coupled oscllators. 1. Physkalsche Grundlagen Ene Kompassnadel, de sch nur um ene vertkale Achse drehen kann, rchtet sch entlang der Horzontalkomponente des Erdmagnetfeldes B E, h aus (magnetscher Merdan). Ihr Nordpol zegt dabe defntonsgemäss nach Norden. Zegt de Nadel n ene andere Rchtung, übt das Erdmagnetfeld en Drehmoment auf de Nadel aus, das durch M = µ B B Dpol E, h gegeben st. Dabe st µ Dpol das magnetsche Dpolmoment der Nadel. Das Drehmoment st der Wnkelauslenkung ϕ aus der Glechgewchtslage entgegengesetzt und proportonal zu snϕ. Ene Nadel allen führt daher m Magnetfeld der Erde ene (für klene Drehwnkel näherungswese harmonsche) Schwngung aus. Für zwe benachbarte Magnetnadeln kommt nun noch de Wrkung des Magnetfeldes der jewels anderen Nadel hnzu. Deses st aber keneswegs homogen. Daher wrd für de Wechselwrkung der Nadeln unterenander folgende Näherung engeführt: De Nadeln werden als Dpole mt punktförmgen Kraftzentren (Polen) n der Nähe der Nadelsptzen angesehen. Für klene Ausschläge der Nadeln wrd nur de Wechselwrkung der jewels nächsten Pole berückschtgt. Dese Schtwese wrd durch den Verlauf der Magnetfeldlnen zwschen den benachbarten Sptzen der beden Nadeln gerechtfertgt (sehe Abb. 1). De Feldlnen verlaufen dort ähnlch zu den Feldlnen zweer magnetscher Monopole. De ungefähre Lage deser Pole st m Foto mt roten Kresen markert. De Wechselwrkung mt den jewels weter entfernt legenden Polen kann vernachlässgt werden. Abb. 1 1/7

2 y l P,1 r ϕ 1 ϕ a l P, x Abb. zegt de geometrsche Stuaton. Es glt: a lp cosϕ lp cosϕ r = a + lp, lp,1 = lp snϕ lp snϕ1 We schon Ch. A. Coulomb feststellte, glt unter den genannten Umständen für de Kraft zwschen den beden Polen mt Abstand r en zu elektrschen Ladungen analoges Gesetz (sehe auch [Ber 71, S.98]): 1 p r FM =. 4πµ r r 0 Dabe st p de Polstärke (gelegentlch auch als magnetsche Ladung bezechnet). Dese Kraft führt be beden Nadeln ( = 1,) zu enem zusätzlchen Drehmoment M M, = lp, FM,, wobe l P, der Vektor von der Drehachse der jewelgen Nadel zum Pol st F = F glt. und M,1 M, Abb. Das Gesamtdrehmoment für ene Nadel st de Summe der beden Drehmomente: M = M B + M M. Das Drehmoment bestmmt de zetlche Abletung des Drehmpulses L ɺ gemäss M = L. Ausserdem glt L = J ω = J ɺ ϕ (J = Träghetsmoment). In allen Fällen kann mt Beträgen gerechnet werden, da de Drehachse fest st. Es glt dann für dentsche Nadeln, deren Drehachsen auf dem glechen magnetschen Merdan stehen: l r p M l ϕ F l ϕ F B µ ϕ ϕ ϕ B µ ϕ P y lprx p = P cos y P sn x E, h Dpol sn = cos sn 3 3 E, h Dpol sn 4πµ 0r 4πµ 0r Der Abstand der Pole r st oben als Funkton der Grösse l P, den beden Drehwnkeln ϕ und dem Abstand a der Drehachsen der beden Nadeln angegeben. De Bewegungsglechungen der beden Nadeln snd dadurch n komplzerter Wese gekoppelt.. Messungen und Beobachtungen Zwe Nadeln glecher Abmessungen (Länge von Sptze zu Sptze 100 mm, Gesamtmasse.0 g) werden mt enem Permanentmagneten magnetsert. Se zegen be klenen Ausschlägen (< 30 ) m Erdmagnetfeld jewels allen nahezu dentsche Schwngungsdauern von (.5 ± 0.05) s. Ihr Träghetsmoment wrd aus den mechanschen Abmessungen und 7 Massen der Bestandtele zu etwa kg m bestmmt (sehe Anhang ). De Bewegungen der Nadeln wurden für verschedene Anfangswnkel und verschedene Abstände der Drehachsen mt Vdeo aufgenommen. In allen Fällen waren de maxmalen Drehwnkel unter 30. Spezelle Bedngungen führen zu symmetrschen Schwngungen /7

3 (Anfangswnkel ϕ1,0 = ϕ,0 ) bzw. zu antsymmetrschen Schwngungen (Anfangswnkel ϕ = ϕ ). Dese Schwngungen snd ncht harmonsch, denn n beden Spezalfällen war zu 1,0,0 beobachten, dass de Schwngungsdauer mt abnehmender Ampltude deutlch abnahm. In enem asymmetrschen Fall (Startwnkel ϕ 1,0 = 0 und ϕ,0 = 30, sowe Abstand a = 110 mm ) wurden de Funktonen ϕ ( t) aus Vdeoaufnahmen mt 30 Bldern/s bestmmt. Dabe wurden de Wnkel n jedem der Enzelblder (sehe Abb. 3) abgelesen. In Abb. 4 st das Ergebns dargestellt (Es st ϕ dargestellt. Dadurch entsprcht en grosser Untersched der Kurven auch enem grossen Abstand der Nadelsptzen.) Abb. 3 Couppled Compasses Messungen a = 11 cm (Grentz) 30 0 Wnkel 1 neg Wnkel 10 Angle n Degree Tme n s Abb. 4 3/7

4 3. Numersche Lösung der Dfferentalglechungen De Funktonen ϕ ( t) sollen numersch bestmmt werden. Dazu wrd das Standardprogramm Stella engesetzt. De beden Nadeln stehen m Abstand a auf dem glechen magnetschen Merdan. De Rebung wrd heurstsch durch en zum Drehmpuls proportonales, negatves Drehmoment berückschtgt. 6 Für de Horzontalkomponente des Erdmagnetfeldes wrd der Wert 1 10 T angenommen. Das magnetsche Dpolmoment der Nadeln wrd aus enem enfachen Modell für ene Nadel durch Anpassung an den gemessene Schwngungsdauer zu 0. Nm/T bestmmt. Das Modell der gekoppelten Nadeln (dargestellt m Anhang) basert auf den oben dargelegten physkalschen Zusammenhängen. Es werden de Polstärke p, der Polradus l P und de Rebungszahl so angepasst, dass gemessene und berechnete Daten möglchst gut zusammenpassen (sehe Abb. 5). Alle Parameter können m Anhang aus der Lste der Glechungen n SI-Enheten abgelesen werden. De wetgehende Überenstmmung zwschen Messung und Rechnung für de ersten 4 Sekunden der Bewegung st offenschtlch. Das Modell beschrebt de Beobachtungen n desem Fall recht gut. Abb. 5 Quellen [Ber 71] Bergmann Schaefer, Lehrbuch der Expermentalphysk, Band II Elektrztät und Magnetsmus, Verlag Walter de Gruyter, Berln, 6. Aufl., /7

5 Anhang 1: Das Stella-Modell 5/7

6 Equatons: Drehmpuls_1(t) = Drehmpuls_1(t - dt) + (Drehmoment1) * dt INIT Drehmpuls_1 = 0 Drehmoment1 = Polradus_lp*COS(Drehwnkel_1)*Fy- Polradus_lp*SIN(Drehwnkel_1)*Fx-BEH*Magnetsches_Moment*SIN(Drehwnkel_1)- Rebung*Drehmpuls_1 Drehmpuls_(t) = Drehmpuls_(t - dt) + (Drehmoment_) * dt INIT Drehmpuls_ = 0 Drehmoment_ = Polradus_lp*COS(Drehwnkel_)*Fy- Polradus_lp*SIN(Drehwnkel_)*Fx-BEH*Magnetsches_Moment*SIN(Drehwnkel_)- Rebung*Drehmpuls_ Drehwnkel_1(t) = Drehwnkel_1(t - dt) + (Wnkelgeschwndgket_1) * dt INIT Drehwnkel_1 = 0 Wnkelgeschwndgket_1 = Drehmpuls_1/Traeghetsmoment_ Drehwnkel_(t) = Drehwnkel_(t - dt) + (Wnkelgeschwndgket_) * dt INIT Drehwnkel_ = 30/180*P Wnkelgeschwndgket_ = Drehmpuls_/Traeghetsmoment_1 Abstand_rx = Polkoordnate_x-Polkoordnate1_x Abstand_ry = Polkoordnate_y-Polkoordnate1_y Abstandsbetrag = SQRT(Abstand_rx^+Abstand_ry^) BEH = 1E-6 Fx = 1/((4*PI)^*1E-7)*Polstaerke^/Abstandsbetrag^3*Abstand_rx Fy = 1/((4*PI)^*1E-7)*Polstaerke^/Abstandsbetrag^3*Abstand_ry Magnetsches_Moment = 0. Nadelabstand_a = 0.11 Polkoordnate1_x = 0.05*COS(Drehwnkel_1) Polkoordnate1_y = 0.05*SIN(Drehwnkel_1) Polkoordnate_x = Nadelabstand_a-Polradus_lp*COS(Drehwnkel_) Polkoordnate_y = -Polradus_lp*SIN(Drehwnkel_) Polradus_lp = Polstaerke = 1.0E-6 Rebung = 0.14 Traeghetsmoment_1 = 6E-7 Traeghetsmoment_ = 6E-7 6/7

7 Anhang : Berechnung des Träghetsmoments der Kompassnadel Träghetsmoment bezüglch des Schwerpunktes: De Fläche wrd n Strefen der Länge l und der nfntesmalen Brete dx zerlegt. Der Abstand des Strefens zu Drehachse se x. Mt m = Masse der Nadel st de Masse des Strefens: m dm = ldx. ab Sen Träghetsmoment st mt dem bekannten Ausdruck für das Träghetsmoment enes dünnen Stabes und dem Satz von Stener: 1 m 3 m dj = l dx lx dx 1 ab + ab (1) a x Dabe glt nach Strahlensatz folgende Bezehung: l = b. Damt wrd (1) zu a 3 1 m a x m a x dj = b dx + x dx 6 a a a a De Integraton lefert das Träghetsmoment der Nadel: a / a / a / 1 mb 3 4m 3 J = dj = 4 ( a x) dx + ( ax x ) dx 3 a a mb a 4m a J = mb ma m( a b ) 3 a 8 + a 96 = = 4 + De Nadel setzt sch aus enem Esenblech mt den Abmessungen a = m und b = m und ener zylnderförmgen Halterung aus Messng und Saphr (?) zusammen. Letztere hat enen Durchmesser von m und wrd m folgenden vernachlässgt. Das Esenblech mt ener Dcke von 0.50 mm hat ene aus der Dchte berechnete Masse von 1.6 g (de gesamte Nadel wegt.0 g). Damt ergbt sch für das Träghetsmoment der Wert 7 J = kg m. Deser wurde m Modell noch gerngfügg angepasst. x a l b 7/7