Physikalisches Praktikum Drehschwinger

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1 Physk-Labor Fachberech Elektrotechnk und Informatk Fachberech Mechatronk und Maschnenbau Physkalsches Praktkum M3 Drehschwnger Versuchszel Für verschedene Körper, de als Drehschwnger ausgelegt snd, sollen de Massenträghetsmomente bezüglch der Drehachse aus den Perodendauern bestmmt werden. In enem Fall wrd das expermentelle Ergebns mt ener theoretschen Berechnung verglchen. Weterhn soll der STEIERsche Satz expermentell nachgewesen werden. De Geräte snd: Drllachse, Kresschebe mt Bohrungen, rotatonssymmetrscher Körper, Kraftmesser, Tafelwaage, Maßstab, Messscheber, Stoppuhr. Lteratur Tpler Physk Gerthsen Physk Höflng Physk, Band II, Tel Hallday/Resnck Physk Walcher Praktkum der Physk Grundlagen. Begrffe und Größen (werden als bekannt vorausgesetzt) Starrer Körper, Wnkelgeschwndgket, Wnkelbeschleungung, Kraft, Wrkungslne, Arbet, Energe, Drehmoment, Massenträghetsmoment, Schwerpunkt, antparallel, Vektor, Vektorprodukt.. Rotatonsenerge Dreht sch en starrer Körper um rgendene Körperachse A, so bestzt er bezüglch deser Achse de Rotatonsenerge () W dϕ = mt ω = = ϕ dt ROT Aω = A ( ϕ)

2 Hern st ω = ϕ der Betrag der Wnkelgeschwndgket und A das Massenträghetsmoment des Körpers bezüglch der Achse A. 3. Massenträghetsmoment Anhand der nebenstehenden Skzze lässt sch Glechung () lecht für ene Schebe (zwedmensonaler Körper) herleten: Δm De Schebe se aus Massepunkten mt den Massen Δm, Δm,..., Δm zusammengesetzt. Δm r Se möge um de Achse A mt der konstanten Wnkelgeschwndgket ω roteren. Dann bewegt r sch der -te Massenpunkt mt der Masse Δm auf ener Kresbahn vom Radus r um A mt Δm r der konstanten Bahngeschwndgket v. Dabe bestzt er de knetsche Energe A () W = m v oder mt v = r ω (3) W = m r ω De Summe der Bewegungsenergen aller roterenden Massepunkte ergbt de Rotatonsenerge der sch um A drehenden Schebe: (4) W ROT = Σ m r Σ W = Σ m r ω = ω = = = (5) A = Σ m r = nennt man das Massenträghetsmoment (kurz MTM) des Körpers bezüglch der Drehachse A. Betrachtet man nfntesmale Massenpunkte (Δm ), erhält man bem Grenzübergang statt der Glechung (5) allgemener m (6) = r dm mt r = r(m) A De Größe des MTM hängt davon ab, we sch de Masse (das st: Träghet und Schwere) enes Körpers relatv zur Drehachse vertelt. Darum bestzt en starrer Körper mt der Masse m um verschedene Körperachsen auch unterschedlche Massenträghetsmomente. De Angabe enes MTM hat also nur dann enen Snn, wenn es ener Drehachse (Körperachse) zugeordnet wrd.

3 4. STEIERscher Satz Drehachsen, de durch den Schwerpunkt enes Körpers verlaufen, nennt man Schwerpunktachsen. Ist das Massenträghetsmoment S enes Körpers bezüglch ener Schwerpunktachse S bekannt, lässt sch sen MTM bezüglch jeder belebgen zur Schwerpunktachse parallel verlaufenden Achse X angeben: (7) X = S + m b STEIERscher Satz Hern bedeutet X das MTM des Körpers bezüglch der Achse X, S das MTM bezüglch der Schwerpunktachse S, m de Masse des Körpers und b der Abstand der zuenander parallelen Achsen X und S. 5. Drehmoment Zwe glech große antparallele Kräfte F und F, deren Wrkungslnen ncht zusammenfallen, nennt man en Kräftepaar. Greft an enem starren Körper en Kräftepaar an, erfährt der Körper ene beschleungte Drehbewegung. Ist r der Ortsvektor, der vom Angrffspunkt der Kraft F zum Angrffspunkt der Kraft F west, wrd das Vektorprodukt der beden Vektoren r und F das Drehmoment M des Kräftepaares genannt. Man schrebt F (8) M = r F r Das Drehmoment M st also en Vektor, der senkrecht auf der Drehebene (Ebene, de von den Vektoren F F und F aufgespannt wrd) steht, und der n dejenge Rchtung zegt, n de sch ene Rechtsschraube bewegt, wenn man se so dreht, dass man auf dem kürzesten Weg aus der Rchtung von r n de Rchtung von F gelangt. In der Abbldung zegt M senkrecht n de Paperebene nach unten! Wrd durch den Angrffspunkt der Kraft F senkrecht zur Drehebene ene Drehachse gesteckt, dann genügt zur Ausübung des Drehmomentes M schenbar das Wrken der Kraft m Abstand r von A. In Wrklchket wrkt jedoch auch her en Kräftepaar ( F, F ), da de Kraft F von der Drehachse A gelefert wrd. Ganz allgemen sagt man: das Kräftepaar ( F, F ) übt am Körper das Drehmoment M aus, wodurch der Körper beschleungt rotert. Der Betrag der Wnkelbeschleungung α hängt ab vom Betrag des Drehmomentes M und vom Massenträghetsmoment. De Rchtungen von α und M snd glech. Damt glt für de Vektoren (9) M = α und für de Beträge M = α = ω = ϕ 3

4 6. Wnkelrchtgröße Ist en Körper um ene festgelegte Achse drehbar en engespannter Draht, ene Spralfeder und an ene Glechgewchtslage gebunden, braucht man en Drehmoment vom Betrag M, damt man den Körper um den Wnkel ϕ aus sener Glechgewchtslage herausdrehen kann. Expermentell fndet man n gewssen Grenzen: () M ~ ϕ aus deser Proportonaltät wrd () M = D ϕ wenn man D als ene Apparatekonstante enführt, de m wesentlchen de elastschen Egenschaften des Drahtes oder der Spralfeder (Federhärte) kennzechnet. () D = M nennt man daher de Wnkelrchtgröße, ϕ das Rchtmoment oder Drektonsmoment des Drahtes bzw. der Spralfeder. 7. Dreharbet Bem Herausdrehen des Körpers aus sener Glechgewchtslage um den Wnkel ϕ wrd de Arbet (3) W = M ϕ verrchtet, wenn M = const. also unabhängg von ϕ st. Im Allgemenen st jedoch M = M ( ϕ ), also rgendene Funkton von ϕ. En Bespel herfür st unter 6. genannt. In desem Fall wrd de Arbet ϕ (4) W = M( ϕ) dϕ ϕ bem Drehen des Körpers um de Wnkelauslenkung ϕ = ϕ ϕ verrchtet. Dese Arbet blebt als potentelle Energe solange m System, we de Wnkelauslenkung erhalten blebt. 8. Drehschwnger Das unter 6. beschrebene System wrd dann zum Drehschwnger, wenn man den aus der Glechgewchtslage ausgelenkte Körper fregbt. Dann übt der Draht auf den Körper en rückstellendes Drehmoment M aus, das den glechen Betrag jedoch de entgegengesetzte Rchtung we M hat ( M = M ). M versucht den Körper weder n sene Glechgewchtslage zu drehen. Wegen sener Träghet (festgelegt durch das MTM bezüglch der Drehachse) schwngt der Körper jedoch über de Glechgewchtslage hnaus. Bem Fehlen jeglcher Rebung (Idealfall!) gewnnt der Körper deselbe maxmale 4

5 Auslenkung ϕˆ auch auf der anderen Sete der Glechgewchtslage, we er se zuvor auf der enen Sete hatte. Das Spel begnnt von neuem, der Körper schwngt perodsch und ungedämpft. Herbe fndet ständg ene Umformung von potenteller n knetsche Energe statt und umgekehrt. Da sch der Auslenkungswnkel ϕ als Funkton der Zet t ändert, ändern sch auch de Momentanwerte der potentellen und knetschen Energe zetlch, de bede Funktonen von ϕ und damt auch von t snd (sehe de Glechungen (4) und () ). Unter Vernachlässgung der Rebung blebt jedoch de Summe aus potenteller und knetscher Energe m System zetlch konstant, so dass nach dem Energeerhaltungssatz (5) W ( ϕ (t)) + W ( ϕ(t)) const glt. Heraus wrd Pot Kn = ϕ (6) M( ϕ) dϕ + ( ϕ ) = const wenn (4) und () berückschtgt werden. Setzt man her Glechung () M = D ϕ en und löst das Integral, so erhält man (7) D ϕ + ( ϕ ) = const mt ϕ = ϕ(t) und ω = ϕ = ϕ(t ) Dfferenzert man (7) nach der Zet, ergbt sch (8) D ϕ ϕ + ϕ ϕ = und nach Dvson durch ϕ (9) D ϕ + ϕ = Des st ene homogene Dfferentalglechung.Ordnung vom Typ () ϕ + ω ϕ mt = ω = D We man durch Ensetzen prüfen kann, st () ϕ t) = ϕˆ sn( ω t + ) de Lösung der Glechung (). ( ϕ Dese Glechung () nennt man Schwngungsglechung. Se gbt den Wnkelausschlag ϕ als Funkton der Zet t an. ϕˆ st de Ampltude, d.h. der maxmal möglche Wnkelausschlag. ϕ st der Phasennullwnkel. () π ω = π f = = T D st de Egenfrequenz. Se hängt von den Systemgrößen und D ab. 5

6 T (3) = D ergbt sch aus (). 4π Wenn man de Wnkelrchtgröße D der Spralfeder kennt und de Perodendauer T enes Drehschwngers msst, kann man aus (3) das Massenträghetsmoment des Schwngers bestmmen. Herbe wrd allerdngs von ener Dämpfung (Rebung) während der Messung abgesehen (sehe (5)). Dese Annahme führt m Realfall natürlch zu Fehlern. Aufgabe. Ermtteln Se de Wnkelrchtgröße D der Drllachsenfeder mehrmals und berechnen Se de Fehler D und δ D (s. Enführung n de Fehlerrechnung).. Messen Se de Perodendauer T, mt der en auf der Drllachse monterter rotatonssymmetrscher Körper (Holz- bzw. Styroporschebe) schwngt. Bestmmen Se sen Massenträghetsmoment bezüglch sener Drehachse, de her ene Schwerpunktsachse st, nach Glechung (3). 3. Prüfen Se den STEIERschen Satz und bestmmen Se aus Ihren Messwerten S das MTM bezüglch der Schwerpunktachse und de Masse der Metallschebe. Durchführung und Auswertung. Zur Messung von D wrd de Kresschebe (Metall) auf der Drllachse befestgt. Im Abstand cm vom Mttelpunkt wrd n der entsprechenden Bohrung en Stft festgeschraubt, an dem der Kraftmesser angesetzt werden kann. un msst man jewels dremal de Kraft, de zur Verstellung der Schebe um de Wnkel ϕ = π/, π, 3π/ aus der Glechgewchtslage notwendg st. Dabe muss darauf geachtet werden, dass der Kraftmesser mmer senkrecht zum Radusvektor, also tangental zum Kresbogen steht (warum?). Aus den Messwerten für den Wnkel und de Kraft st jewels D nach Gl. () zu berechnen. Aus den berechneten neun D- Werten st schleßlch der Mttelwert von D und der absolute Fehler εd zu bestmmen.. Messen Se für den rotatonssymmetrschen Körper t = T, d.h. de Zet für Schwngungen, be ener Anfangsauslenkung von ϕˆ 9. Der Fehler T wrd abgeschätzt. De Messung wrd -mal durchgeführt. De Anfangsauslenkung von ϕˆ 9 st en Erfahrungswert. Der Wnkel sollte so groß sen, dass möglchst vele Schwngungen zustande kommen, er sollte jedoch ncht so groß sen, dass de erste Schwngung bs zur Ausgangslage überschlägt, da des de Messung verfälschen würde. Be der Auswertung wrd nach Glechung (3) bestmmt und und δ nach dem Fehlerfortpflanzungsgesetz berechnet. 3. Für dese Messungen wrd weder de Metallschebe verwendet. Für de Bestmmung des Massenträghetsmomentes nach Glechung (7) wrd de Masse und der Radus der Schebe benötgt. Zusätzlch wrd aus der Schwngungsdauer ( t = 5 T ) bestmmt. Dazu wrd de Schebe zunächst n hrem Mttelpunkt auf der Drllachse befestgt, dann nachenander exzentrsch n weteren 4 Bohrungen. Deren Abstände b vom Mttelpunkt 6

7 werden gemessen. Zur Darstellung der Lösung wrd ene Tabelle angefertgt mt den jewelgen b, b, T und T Werten, sowe den daraus berechneten Werten (Gl. (3)) und den aus Masse und Radus nach dem STEIERsche Satz berechneten Werten (Gl (7)). Auf ene Fehlerrechnung wrd herbe verzchtet. Abschleßend wrd de aus den Messwerten nach Gl. (3) bestmmte Funkton = (b ) graphsch dargestellt. Wenn der STEIERsche Satz stmmt, muss des ene Gerade ergeben (warum?), aus deren Achsenabschntt das Massenträghetsmoment bezüglch der Schwerpunktsachse und aus deren Stegung de Masse der Schebe bestmmt werden können. Fragen (zur Versuchsvorberetung). Was versteht man unter Masse?. Ist de Wnkelgeschwndgket en Vektor? 3. Warum bestzt en Körper um verschedene Drehachsen unterschedlche Massenträghetsmomente? 7