Versuch 03. Sommersemester Daniel Scholz. Gruppe: 13

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1 Physkalsches Praktkum für das Hauptfach Physk Versuch 03 Das Träghetsmoment Sommersemester 2005 Name: Danel Scholz Mtarbeter: Hauke Rohmeyer EMal: Gruppe: 13 Assstent: Sarah Köster Durchgeführt am: 21. Aprl 2005 Protokoll abgebeben: 28. Aprl 2005 Protokoll verbessert: 07. Jul 2005 Unterschrft: Testert:

2 2 1 Enletung De Physk hat das Bestreben sämtlche Formen von Bewegung durch Glechungen fassbar zu machen. Dazu unterschedet man zwschen zwe Typen n der Dynamk: Translatons- und Rotatonsbewegungen. Durch den vorlegenden Versuch soll de Rotatonsbewegungen studert und analysert werden. Zu desem Zweck wrd nsbesondere de Rolle des Träghetsmomentes betrachtet. Es schleßt sch dann de Berechnung deser Größe für verschedene Körper an. 2 Theore 2.1 Defnton des Träghetsmomentes Es sollen starre Körper betrachtet werden, de sch um ene feste Achse drehen. De Vorstellung, solch en Körper se aus nfntesmal klenen Massenelementen dm mt festem Abstand r von der Drehachse zusammengesetzt, erlechtert de Berechnungen der entschedenden Größen. Jedes deser Massenelemente bestzt ene Geschwndgket v und hat daher de knetsche Energe E kn = 1 dm v 2. 2 Für de Beschrebung von Rotatonsbewegungen st de so genannte Wnkelgeschwndgket ω mt v = ω r von entschedender Bedeutung. Se beschrebt den Wnkel, den en Massenelement n ener Zetenhet überstrecht und st für jedes Element m, das an der Bewegung um de Drehachse betelgt st, glech. Es folgt dann E kn = 1 dm r 2 ω 2. 2 Für den gesamten Körper erhält man somt de Rotatonsenerge 1 E rot = lm dm r 2 ω 2 = 1 dm ω2 r 2 ϱ dv, dabe st ϱ de Dchte und V das Volumen des Körpers. Da deser Ausdruck be Rotatonsbewegungen ausserordentlch wchtg st, defnert man nun J = r 2 ϱ dv = r 2 dm als das Träghetsmoment. V V V

3 3 2.2 Analogen zwschen Translaton und Rotaton Anhand deser Defnton werden de Analoge zur knetschen Energe der Translatonsbewegung besonders deutlch, denn es glt nun gerade E rot = 1 2 Jω2. De folgende Tabelle zegt wetere Analogen zwschen Translaton und Rotaton: Translaton Masse m Rotaton Träghetsmoment J Ort r ϕ Geschwndgket v = r ω = ϕ Beschleungung a = r ω = ϕ Energe E kn = 1 2 mv2 E rot = 1 2 Jω2 Kraft F Impuls p Drehmoment M Drehmpuls L Bewegungsglechung F = m a M = J ω Impulserhaltung Drehmpulserhaltung 2.3 Satz von Stener Es st enzusehen, dass das Träghetsmoment von der betrachteten Drehachse abhängt. Im folgenden se A de Drehachse, de durch den Schwerpunkt des Körpers verläuft. Wenn sch en Körper um ene Achse A dreht, de parallel zu A st, so lässt sch das Träghetsmoment bezüglch der Achse A lecht aus demjengen bezüglch der Schwerpunktachse berechnen.

4 4 Abbldung 1: Satz von Stener Se nun a der Abstand zwschen A und A. Dann glt J A = r 2 dm = lm dm r 2 V dm 0 = lm dm (r 2 + 2ar + a 2 ) dm 0 ( = lm dm r 2 + dm 2ar + dm 0 ( = lm dm r 2 + ) dm a 2 dm 0 ( = lm dm r 2 + a ) 2 dm dm 0 = r 2 dm + a 2 dm = J A + Ma 2. V V dm a 2 ) De mttlere Summe verwndet, da A de Achse durch den Schwerpunkt st. De nun erhaltende Glechung beschrebt den Satz von Stener. 2.4 Träghetsellpsod J A = J A + Ma 2 We berets erklärt, bestzt en Körper, der um ene belebge Achse durch den Schwerpunkt rotert, en Träghetsmoment J A und m Allgemenen verschedene Träghetsmomente bezüglch dazu senkrechter Achsen B und C. Spelt man auf dese Wese alle möglchen Kombnatonen zuenander orthogonaler Achsen durch, so zechnen sch zwe von hnen besonders aus, da das Träghetsmoment für ene Rotaton um dese Achsen maxmal bzw. mnmal st. Bezüglch der zu den beden genannten senkrechten Achse nmmt

5 5 das Träghetsmoment enen Sattelwert an. Dese dre Achsen heßen Hauptträghetsachsen des Körpers. Be homogenen geometrschen Körpern snd de Hauptträghetsachsen mmer zuglech Symmetreachsen. En Körper rotert mmer um de Hauptträghetsachsen, wenn de Drehachse ncht m Raum fxert st. Das Fnden der Hauptträghetsmomente st äquvalent zum Dagonalseren des Träghetstensors, denn letzterer st en symmetrscher reeller Tensor der postven Egenwerte. Damt beschrebt de zugehörge Matrx ene quadratsche Form. Aufgrund der ausschleßlch postven Egenwerte hat dese Form de Gestalt enes Ellpsoden. Führt man ene Hauptachsentransformaton durch, so lefert des de Egenwerte, de zuglech de Hauptträghetsmomente snd. Der entsprechende Ellpsod wrd Träghetsellpsod genannt. Zechnet man den Träghetsellpsoden auf, so lässt sch mt sener Hlfe das Träghetsmoment bezüglch ener belebgen anderen Achse bestmmen, ndem man den Abstand des Durchstoßpunktes der Achse durch den Ellpsoden berechnet. Denn für desen glt de Bezehung Abbldung 2: Träghetsellpsod mt ρ ρ = 1 J. Damt entsprcht de größte Ellpsodachse dem klensten und de klenste Ellpsodachse dem größten Träghetsmoment. 2.5 Physkalsches Pendel En physkalsches Pendel unterschedet sch von dem mathematschen Pendel dadurch, dass her en ganzer Körper, also en Kontnuum von Massenpunkten, außerhalb des Schwerpunktes an ener Drehachse aufgehängt st und um dese schwngen kann. Be enem mathematschen Pendel dagegen st der Körper als Massepunkt dealsert. Se nun m de Masse des pendelnden Körpers und r der Abstand des Massenmttelpunktes zur Drehachse. De Schwerkraft F = mg wrkt auf das

6 6 Pendel, womt für das rücktrebende Drehmoment M = r F M = rf sn ϕ = rmg sn ϕ glt. Für klene Wnkel ϕ glt sn ϕ ϕ uns somt verenfacht sch M be klenen Auslenkungen zu M rmgϕ Durch M = J ϕ erhält man somt de Schwngungsglechung J ϕ + rmgϕ = 0. Nun lässt sch das physkalsche Pendel we en mathematsches betrachten, dessen Fadenlänge durch l = J mr gegeben wrd. Da für en mathematsches Pendel gerade g ω = T s = 2π l ω = 2π l g glt, ergbt sch daraus de Frequenz der Schwngung enes physkalschen Pendels: mgr ω = J. Stellt man dese Formel nun nach J um, so erhält man mt ω = 2π T das Träghetsmoment des Pendels: J = mgr ω 2 = mgrt 2 4π 2. In desem Versuch wrd nun an dem großen Rad der Masse M noch en Zusatzgewcht der Masse m z m Abstand z zur Drehachse befestgt. Somt st de Gesamtmasse des Pendels M gesamt = M +m z. Nach dem Hebelgesetz glt nun für den Schwerpunkt des Rades s = 0 M + z m z M + m z = Also glt für das Träghesmoment des Pendels J = (M + m z)gst 2 4π 2 zm z M + m z. = (M + m z)g( zmz M+m z )T 2 4π 2 = gzm zt 2 4π 2. Deses Träghetsmoment umfasst allerdngs noch de Masse des Zusatzgewchtes m z, durch de de Pendelbewegung ausgelöst wrd. Um J Rad zu erhalten, muss das berechnete J noch um das Träghetsmoment deser Schwungsmasse reduzert werden, welches sch zu J m = m z z 2 berechnet. Somt folgt J Rad = J m z z 2 = m zgzt 2 4π 2 m z z 2.

7 7 2.6 Träghetsmoment aus dem Drehmoment Zur expermentellen Bestmmung des Träghetsmomentes enes bestmmten Körpers kann deser mt ener Feder n ene Drehschwngung versetzt werden. Aus der Perodendauer der Schwngung kann man nun das Träghetsmoment berechnen. Wenn ene Feder um enen Wnkel ϕ ausgelenkt wrd, so erzeugt des en rücktrebendes Drehmoment M, welches n vollkommener Analoge zum Federkraftgesetz F = Dx durch de so genannte Wnkelrchtgröße D beschreben wrd: M = Dϕ. Anderersets glt für das Drehmoment M = J ω = J ϕ. Durch Glechsetzen erhält man ene Dfferentalglechung, de de Schwngung beschrebt. Für dese lässt sch en harmonscher Ansatz wählen, aus dem ene Bezehung für de Perodendauer T s gewonnen werden kann, nämlch ( ) 2 Ts J = D. 2π Dabe st natürlch zu beachten, dass das Träghetsmoment der verbndenden Achse sowe der Feder selbst vernachlässgt wurde. 2.7 Träghetsmoment aus der Wnkelrchtungsgröße Abbldung 3: Skzze des Rades mt Schwungrad

8 8 Auf das Gewcht der Masse m wrkt de Schwerkraft F G = mg. Wenn sch das Schwungrad n Bewegung setzt, so übt der Faden wenger Kraft auf das Schwungrad aus. Es glt F F aden = mg ma = m(g a ). Für das am Schwungrad angrefende Drehmoment glt also M = F r M = F F aden r. Mt dem Träghetsmoment des Rades J und dessen Wnkelbeschleungung ϕ = ω = α glt nun für das angrefende Drehmoment de Bewegungsglechung M = Jα. Stellt man des nach J um, so ergbt sch J = M α = F F aden r α = m(g a )r. α Bldet man nun de zetlche Abletung der für de Kresfrequenz ω geltende Formel ωr = v, ergbt sch ω R = v oder anders α R = a. Daraus folgt Analog glt αr = a, woraus α = a R. a = a R r folgt. Setzt man α und a nun n J en, ergbt sch für das Träghetsmoment des Rades J = m(g a )r α = m(g a R r)rr a mar (mg R = )rr a = mgrr mr 2. a

9 9 2.8 Träghetsmoment verschedener Körper Im Folgenden wurden de Träghetsmomente verschedener Körper zusammengetragen. ( 1 ) Kresschebe mt Radus R. Achse st Symmetreachse. J = 1 2 MR2 ( 2 ) Kugel mt Radus R. Achse durch Mttelpunkt. J = 2 5 MR2 ( 3 ) Stab mt Länge L. Achse durch das Stabende und senkrecht zur Stabrchtung. J = 1 3 ML2 ( 4 ) Stab mt Länge L. Achse durch de Stabmtte und senkrecht zur Stabrchtung. J = 1 12 ML2 ( 5 ) Würfel der Kantenlänge A. Achse durch Flächenmtte oder Achse dagonal. J = 1 6 MA2 ( 6 ) Hohlzylnder mt Raden R und r. Achse st Symmetreachse. J = 1 2 M(R2 + r 2 ) ( 7 ) Hantelkörper mt Stabmasse M, Hantelkopfmassen M 1 und M 2, Stablänge 2L. Achse senkrecht zum Stab. 3 Versuchsdurchführung 3.1 Versuchstel A J = 1 3 ML2 + M 1 L 2 + M 2 L 2 Der Aufbau besteht aus ener Spralfeder, an deren Mttelpunkt verschedene Probekörper fxert und n Schwngung gebracht werden können. Aus hrer Schwngungsdauer lässt sch auf de oben beschrebene Wese hr Träghetsmoment berechnen. Zunächst wrd de Drehachse der Spralfeder parallel zur

10 10 Tschebene gekppt und durch Anhängen verschedener Gewchte de Wnkelrchtgröße bestmmt, wobe zu beden Seten hn ausgelenkt wrd. Zur Berechnung des Träghetsmomentes aus den geometrschen Größen müssen dese zuvor natürlch auch notert werden. Nach Kppen der Spralfeder orthogonal zur Tschebene, lassen sch de Probekörper anbrngen und hre Perodendauern für mehrere Schwngungen messen. Dabe st darauf zu achten, dass de Schwngung möglchst fre verläuft [en Anschlagen der Feder an de Gestellwand st zu vermeden]. Für en Tschchen werden de Schwngungsdauern unter verschedenen Wnkeln notert. 3.2 Versuchstel B En Rad st mt enem kleneren Rad über ene feste Drehachse verbunden. Durch Anhängen verschedener Gewchte [100g, 200g, 500g und 1000g] an das klenere Rad wrd mt Hlfe enes Fadens de Erdbeschleungung n ene Wnkelbeschleungung umgewandelt. Auf das Rad wrd zuvor en Paperstrefen befestgt, auf den durch enen Zetmarkengeber alle 0.1sec ene Markerung gebracht wrd. Daraus ergbt sch de Beschleungung und damt das Träghetsmoment. In enem zweten Tel wrd das Rad durch en Zusatzgewcht zu enem physkalschen Pendel umgestaltet, aus dessen Schwngung dann ebenfalls das Träghetsmoment berechnet werden kann. 4 Auswertung 4.1 Träghetmomente der Körper Das Drehmoment M berechnet sch durch M = M = F r = F r = gmr, wobe r der Radus der Schebe und m de Masse des angehängten Gewchtes st. Für ϕ wurde der Mttelwert der Ausschläge lnks und rechts verwendet. Der Fehler wurde auf σ ϕ = 1 geschätzt. De Unterschede zwschen der mathematsch postven und der negatven Auslenkung lassen sch dadurch erklären, dass de Spralfeder, de dem Drehmoment entgegenwrkt, n de ene Rchtung gedehnt und n de andere gestaucht wrd.

11 11 m [kg] ϕ [ ] ϕ [rad] M Durch lneare Regresson ergbt sch Abbldung 4: Bestmmung von D D = M ϕ = 0, 0181 Nm mt dem Fehler σ D = 0, 0006 Nm. Jetzt lässt sch das Träghetsmoment der Körper mt der Glechung ( ) 2 Ts J = D 2π mt dem Fehler σ J = σ 2 D ( ) J 2 ( ) J 2 + σt 2 D s T s

12 12 berechnen. Es berechneten sch somt folgende Träghetsmomente n kg m 2 : Körper J 10 4 theor. J 10 4 exp. σ Jex Kugel Vollzylnder Schebe Hohlzylnder Hantel Würfel [Mtt.pkt.] Würfel [Ecke] Stab [Schwerpkt.] Stab [n. Schwerpkt.] Abbldung 5: Träghetsmomente der Probekörper

13 Träghetsmoment des Tschchens ϕ [ ] J J Abbldung 6: Träghetsellpsod Das Träghetsellpsod wurde n desem Versuch nur n zwe Dmensonen betrachtet, somt zegt de Grafk ene Ellpse. De Hauptträghetsachsen des Tschchens wurden be ermttelt. 15 und 105

14 Träghetsmoment des Rades De Auswertung des Paperstrefens ergab folgende Werte [Abstände n mm]: Zet [s] 1.0 kg 0.5 kg 0.2 kg 0.1 kg

15 15 De entsprechenden Wnkelbeschleungung ergeben sch aus ener lnearen Regresson: Abbldung 7: Bestmmung von ω Nun können de Träghetsmomente mt der Formel J = rmgr ω r 2 m berechnet werden. Der Fehler ergbt sch durch das Gesetz der Fehlerfortpflanzung: ( ) J 2 ( ) J 2 ( ) J 2 σ J = σr 2 + σr 2 + σ 2 ω, r R ω wobe σ r = 0, 0016 m und σ R = 0, 0032 m geschätzt wurde. m [kg] ω [m s 1 ] σ ω [m s 1 ] J [kg m 2 ] σ J [kg m 2 ]

16 Physkalsches Pendel Aus unseren Messungen ergbt sch der Mttelwert der Schwngungsdauern T s = 2, 70 s mt dem Fehler σ T = 0, 01 s + 0, 005 2, 7 s 0, 03 s. Nun lässt sch das Träghetsmoment des Rades nach der Glechung J = zmgt 2 s 4π 2 z 2 m berechnen. Der Fehler ergbt sch mttels der Fehlerfortpflanzung: ( ) J 2 ( ) J 2 σ J = σz 2 + σt 2. z T Es ergbt sch das Träghetsmoment J = kg m 2 mt dem Fehler σ J = 0, 0049 kg m 2. 5 Dskusson 5.1 Fehlerdskusson Versuchstel A De Fehler entstanden vor allem durch Messungenaugketen be der Schwngung und durch de Idealserung, das Pendel se rebungslos. Ene wetere Fehlerquelle st scherlch, dass das Träghetsmoment der verbndenden Achse sowe der Feder vernachlässgt wurde. De so sehr große Dfferenz bem Hohlzylnder st uns ncht erklärbar. Entweder haben wr uns verzählt oder de Stoppuhr ncht rchtg betätgt. Auch wederholte Prüfungen ergaben kene Aufklärung der Fehlerquelle. Versuchstel B De Messungen be den Wnkelbeschleungungen waren sehr gut, de Endergebnsse legen alle nnerhalb der errechneten Fehlerbalken. Das Träghetsmoment aus den Schwngungsdauern des Pendels unterschedet sch von den vorhergen Messungen, da das Pendel als rebungslos betrachtet wurde.

17 17 6 Anhang 6.1 Abbldung 4 - Bestmmung von D

18 6.2 Abbldung 5 - Träghetmomente der Probekörper 18

19 6.3 Abbldung 6 - Träghetsellpsod 19

20 6.4 Abbldung 7 - Bestmmung von ω 20