9. Der starre Körper; Rotation I

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1 Mechank De stae Köpe; Rotaton I 9. De stae Köpe; Rotaton I 9.. Enletung bshe: (Systeme on) Punktmassen jetzt: Betachtung ausgedehnte Köpe, übe de de Masse glechmäßg etelt st (kene Atome). Köpe soll sch unte äußee Kaft ncht efomen stae Köpe Dchte ρ: m ρ V Maßenhet: 3 kg [ ρ] m () SI Gesamtmasse M: M ρ V M ρ dv Vol () Otsekto des Schwepunktes S s : analog zu Gl. (7 - ) scheben w: s s M M Masse dm ρ( ) Vol dv (3) 5

2 9.. Käfte und Dehmoment an staen Köpen Mechank De stae Köpe; Rotaton I Wedeholung zum System mehee Punktmassen (gl. <7..>): Kaft F gefe an Schwepunkt S enes staen Köpes de Masse M an: Bewegung des Köpes gemäß: F M a (3- ) Kaft F gefe ncht am Schwepunkt S an: F F F3 + F F 3 F 3 F F + F + F3 (4) Käftepaa Kaft, de an Schwepunkt angeft Tanslaton, ken Dehmoment Käftepaa Paa zwee entgegengesetzt gleche Käfte, de an zwe eschedenen Punkten (he: S, P) angefen Dehmoment, und zwa: M sp F (M he bezogen auf S) (5) Ncht-Schwepunkt-Kaft bewkt Tanslaton und Rotaton Renes Käftepaa bewkt nu Rotaton. Damt en Köpe n Ruhe blebt, müssen sowohl F ges als auch M ges sen. Dann gbt es wede Tanslaton noch Rotaton Täghetsmoment gegeben: um bestmmte Achse oteende Köpe gesucht: E kn de Rotaton 53

3 Mechank De stae Köpe; Rotaton I knetsche Enege enes Volumenelementes V m (senkechten) Abstand on de Achse st E kn m Tangentalgeschwndgket on m m ρ V ω Wnkelgeschwndgket m glt natülch wetehn. W fomen nu zweckmäßg um und ehalten E kn E kn ρ V ω ω ρ V bzw. n Integalfom: ω E kn ρ dv Volumen (6) De Göße ρ dv (7) Volumen heßt Täghetsmoment. Mt egbt sch E kn dann als E kn ω (8) Analogen: { } {ω} { m} {} Roteende Köpe lässt sch schwe n Dehung esetzen (d.h. st täge) bzw. hat dehend el Enege, wenn goß st, d.h. de gegebene Masse außen stzt. Bespel: Beechnung on fü homogenen Zylnde (ρ const.) mt de änge : dv ds d dz ds dϕ 54

4 Mechank De stae Köpe; Rotaton I aus (7) folgt damt: R π ρ R 4 ρ π 4 mt: M ρ V ρ πr d dϕ dz bzw. MR MV π (9) (9 ) Also: Be gegebene Masse bzw. (ρ const) Volumen kann übe R bzw. das belebg zwschen und engestellt weden (Daht bs ausgedehnte Platte ) STEINERsche Satz: gegeben: um Achse, de duch den Schwepunkt geht ( s ) gesucht: um Achse, de um de Stecke a on S entfent st ( a ) a s + M a () Plausbltätsekläung: Rotaton um a-achse Bewegung des Schwepunktes um dese + Rotaton des Köpes um de Schwepunktachse 9.4. Dynamk be de Rotaton Bewegungsglechung Fü de Tanslaton wa (gl. <3.3.>): bzw. F dp dt F m a m & m & (3-6) (3- ) 55

5 Analog egbt sch fü de Rotaton: M d dt Mechank De stae Köpe; Rotaton I (5-3) bzw. fü const. unte Vewendung on α, ω, ϕ (gl. <.4.>): M α ω & ϕ& () In öllge Analoge zu Tanslaton gbt es nun de eschedenen Bewegungstypen, z.b. glechmäßg beschleungte Dehbewegung mt konstantem M und α (was zu lnea anstegendem ω füht), usw Dehschwngungen (D)...st dem Fedeschwnge öllg analog (gl. <6..>) Vefomung enes Tosonsstabes füht zu entgegenwkendem Dehmoment M T * D ϕ () mt: D *... Rchtmoment, [D*] N m Maßenhet: * ] N m ( Fedekonstante) [D SI () n () lefet als Bewegungsglechung: ϕ & D * ϕ (3) öllg analog zu Gl. (6 - ) fü den Fedeschwnge Als ösung folgt, wede analog (desmal zu Gl. (6-4)): mt: ϕ( t) ϕ cos ωt ω D * π πν T (4) Also: stefe Stab/klenes schnelle Schwngung nachgebge Stab/goßes langsame Schwngung Dese Tosonsschwngung st hamonsch. Auch de gedämpfte Schwngung st öllg analog. 56

6 Mechank De stae Köpe; Rotaton I Dehmpulsehaltung Dehmpuls enes Volumenelementes enes oteenden Köpes: p m (5 - ) Wegen echnen w skala wete: m ω ρ V m ω ρ V (5) Gl. (5) glt fü en Volumenelement enes Köpes. Fü den Gesamtköpe müssen w aufsummeen: bzw. ntegeen: ω ρ V ω ρ dv (6) Volumen Veglech mt (7) zegt, dass (w scheben wede als Vektoen) ω st. (7) Natülch st wetehn gültg, dass fü M const. st (abgeschlossenes System), und zwa wegen M d dt (5-3) Des glt, analog zu Impulsehaltung, unabhängg on eentuellen nneen Rebungskäften. 57

7 9.5. Zusammenstellung wchtge fomale Analogen Otsekto: Dehwnkel: ϕ Geschwndgket: Wnkelgeschwndgket: & ω Mechank De stae Köpe; Rotaton I Betag ω ϕ& Rchtung Dehachse (Recht-Hand-Regel) Beschleungung: Dehbeschleungung: a & α ω & knetsche Tanslatonsenege: knetsche Rotatonsenege: m E tans E ot ω Masse: Täghetsmoment: m ρ dv Kaft: Dehmoment: F M Impuls: Dehmpuls: p m ω Bewegungsglechung: Bewegungsglechung: F p& m & & M ω & Im abgeschlossenen System bleben p und ehalten 58